数字信号处理第二章-2-2

数字信号处理

DigitalSignalProcessing2.5序列的Z变换2.6利用z变换分析信号和系统的频域特性2.5序列的Z变换Z变换在离散时间系统中的作用就如同拉氏变换在连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。模拟信号和系统中频域分析复频域分析傅里叶变换拉普拉斯变换时域离散信号系统频域分析复频域分析傅里叶变换Z变换1.

定义存在条件：绝对可和可小到0可大到2.5.1Z变换的定义单边Z变换：极点和零点的概念：常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示。

使的点叫的零点，使的点叫的极点。欲使Z变换存在，收敛域中不能有极点，也就是说收敛域总是用极点限定其边界的。*FT和ZT的关系：单位圆上的Z变换就是序列的傅立叶变换。z=e

jω表示在Z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。

由于是对有限项求和，所以除0和两点是否收敛与n1和n2取值情况有关外，整个Z平面均收敛。1.有限长序列整个Z平面均收敛其Z变换为2.5.2

序列特性对收敛域的影响*即右序列圆外域左序列圆内域双边序列环状域2.

右序列当时

第一个序列为有限长序列，其收敛域为第二个序列为因果序列，其收敛域为将两个收敛域相与，得到收敛域为当时，没有第一项，所以收敛域为圆外域3.左序列如果n2<0，没有第二项，则收敛域为当n2>0时第一项的收敛域为左序列,收敛域为第二项有限长序列,收敛域为将两个收敛域相与，得到收敛域为圆内域4.双边序列一个双边序列可以看成是一个左序列和一个右序列之和。X(z)的收敛域为两个收敛域的公共部分。如果，则两个收敛域没有公共收敛域，即收敛域不存在。如果，其收敛域为，是一环状域。环状域

（1）收敛域中无极点，收敛域总是以极点为界。（2）同一个Z变换函数，收敛域不同，对应的序列是不同的。（3）右序列收敛域必在某个圆之外，左序列收敛域必在某个圆内。注环状域圆内域圆外域留数法（残数法）部分分式展开法长除法§2.5.3

序列的逆z变换定义：c是X(z)收敛域内一条逆时针的闭合曲线c1.留数法逆Z变换是围线C内所有的极点留数之和。如果在围线c内的极点用表示，则有留数定理：讨论1.如果Zk是单极点，则根据留数定理2.如果Zk是N阶极点，则根据留数定理留数辅助定理则成立条件：F(z)的分母阶次比分子阶次高二阶或以上。

设在Z平面上有N个极点，在收敛域内的封闭曲线c将Z平面上极点分成两部分：c内极点N1个，c外极点N2个定理说明：在满足辅助定理条件情况下，如果c内有多阶极点，而c外极点没有高阶的，可以改求c圆外极点留数之和，最后加一个负号。例2.5.6，*2.5.7，例6.3.32.长除法该方法也称为幂级数法，它是指利用Z变换定义，用长除的方法将X(z)写成幂级数形式，其系数就是序列x(n)。该方法的缺点是在复杂的情况下，很难得到x(n)的封闭解形式。说明：如果x(n)是右序列，分子分母按Z的降幂（或的升幂）排列,

得到的结果应该是负幂级数：

如果x(n)是左序列，分子分母按Z的升幂（或的降幂）排列,

得到的结果应该是正幂级数。*3.部分分式展开法该方法适合于大多数单阶极点的序列。

设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶的，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单常用的部分分式之和，通过查表求得各部分的逆变换，再相加即得原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成：由此式可见：在极点z=0的留数就是系数,在的极点留数就是系数。由此求得系数Am后，很容易得到序列。例2.5.10

相加后Z变换的收敛域一般为两个序列原来收敛域的交集，某些情况下个别零点和极点相互抵消后可能扩大收敛域。§2.5.4 Z变换的性质和定理1、线性*2、序列的移位¥-¥=-==ånnznxnxzX)()]([ZT)(3、乘以指数序列4、序列乘以n5、复序列取共轭*7、终值定理如果

x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其他极点均在单位圆内，则：*6、初值定理*8、序列卷积9、复卷积定理（序列相乘）

c是v平面收敛域中一条闭合单围线。10、帕斯维尔定理物理意义：时域的序列能量=频域的频谱能量§2.5.5

利用Z变换解差分方程N阶线性常系数差分方程

在数字信号处理中，一般只研究系统的稳态响应，即系统在加入输入序列之前是处在“零状态”下，也就是系统的任何部分都没有预先赋予初值，无需考虑初始状态。这是大多数系统的实际工作情况。

在求解给定初始条件的离散时间系统时，则应用单边z变换，求出系统的暂态解。Ⅰ）求零状态响应Ⅱ）求零输入响应、全响应求移位序列的单边Z变换：设设x(n)是因果序列，已知初始条件y(-1),y(-2),…y(-N)零状态解零输入解考虑了初始状态的Z变换称的傅里叶变换： 为系统的传输函数

(频率响应）。§2.6利用z变换分析信号和系统的频域特性一、传输函数与系统函数

单位脉冲响应h(n)：设系统初始状态为零，系统对输入为单位样值序列的响应称为。称的Z变换： 为系统的系统函数。如果H(z)的收敛域包含单位圆，即：单位样值响应在单位圆上的Z变换就是系统的传输函数。极点位置与h(n)形状的关系如图所示。极点位置与h(n)形状的关系单位圆上等幅单位圆外增幅单位圆内减幅稳定性：要求收敛域包含单位圆。因果、稳定：

即H(z)的极点集中在单位圆内二、用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性因果性：其单位脉冲响应h(n)一定满足：n<0时，h(n)=0其系统函数H(z)的收敛域，一定包含*P59，例2.6.1三、利用系统的零极点分布分析系统的频率特性把系统函数表示为：

其中：是系统零点；是系统极点。A=b0/a0。设系统稳定零点矢量极点矢量其中当B点转到极点附近时，极点矢量长度最短，幅度特性将出现峰值,极点越靠近单位圆，峰值越高越尖锐。但极点过于靠近单位圆，容易引起系统不稳定，因为幅度特性为无穷。极点在z=0处，矢量长度始终为1，所以对幅度响应没有影响。当B点转到零点附近时，零点矢量长度变短，幅度特性将出现谷值。零点越靠近单位圆，谷值越接近零。当零点在单位圆上时，谷