第二章 常用逻辑用语

数学(文科A)第二章常用逻辑用语考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选常用逻辑用语作为学习数学知识的工具,在高考中多有

体现,并且所占比重也会越来越大,在高考中多以选择题

、填空题的形式出现,有时也隐含于解答题中,主要考查

有关命题的概念、四种命题间的相互关系、充要条件、

逻辑联结词的使用等.预测2011年高考对本模块的考查为:1.命题仍保持原来的模式,不会出现大的波动.考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选2.命题的重点:一是命题的四种形式及命题的等价性;二是充要条件的判定,主要考查命题的转换、逻辑推理能力和分析问题的能力.3.全称量词与存在量词以及全称命题,特称命题作为新增内容,会在选择题、填空题中出现.有关充要条件、命题真假、特称命题与全称命题及其否定的试题主要考查对概念的准确记忆和深层次理解.考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选一、命题及其相互关系1.四种命题原命题:若p则q.原命题的否命题:若p则q.原命题的逆命题:若q则p.原命题的逆否命题:若q则p.考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选2.四种命题及关系(1)原命题为真,其逆否命题一定为真,但逆命题、否命题不一定为真.(2)“否命题”与“命题的否定”不是同一概念,否命题是将原命题的条件和结论同时否定,而命题的否定只是否定原命题的结论.考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选二、充要条件1.充分条件:如果p⇒q,则称p是q的充分条件,也可称q是p的必要条件.2.必要条件:如果q⇒p,则称p是q的必要条件,也可称q是p的充分条件.3.充要条件:如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则称p是q的充要条件.若p⇒q,q⇒/p,则p是q的充分不必要条件,从集合观点,p⫋q;若p⇒/q,q⇒p,则p是q的必要不充分条件,从集合观点,q⫋p;若p⇒q,q⇒p,则p是q的充分必要条件,从集合观点,p=q;若p⇒/q,q⇒/p,则p是q既不充分也不必要条件,从集合观点,p⊈q,q⊈p.考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选三、逻辑联结词1.“或”命题、“且”命题、“非”命题若p、q表示命题,把“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题分别简称为“或”命题、“且”命题、“非”命题.其中逻辑联结词

“或”、“且”、“非”可分别用符号“∨”、“∧”、“”表示.2.判断“p或q”、“p且q”、“非p”命题真假的方式真值表:表示复合命题真假的表叫真值表.考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选也就是说:“且”命题:全真为真,有假即假.“或”命题:全假为

假,有真即真.“非”命题:真假相反.四、量词1.量词(1)短语“所有的、任意一个、全体、一切、每一个”等词在逻辑中通常叫全称量词.全称量词可用“∀”表示.(2)短语“存在一个、至少一个、某些、有的”等词在逻辑中通常叫存在量词,存在量词用“∃”表示.2.全称、特称命题全称命题:“对M中任意一个x,有p(x)成立”.简记为:任意x∈M,p(x).特称命题:“存在M中的一个x,使p(x)成立”.简记为:存在x∈M,p(x).考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选3.全称命题与存在性命题真假性的判断方法(1)要判断全称命题“任意x∈M”是真命题,需要对集合M中每一个元素,证明p(x)成立.如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题.(2)要判断存在性命题“存在x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素不存在(即对集合M中每一个元素,能证明p(x)不成立),那么这个存在性命题就是假命题.考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选4.全称命题与特称命题的否定全称命题p:任意x∈M,p(x),它的否定p:存在x∈M,p(x);全称命题的否定是存在性命题;全称量可用符号“∀”表示.存在性命题p:存在x∈M,p(x),它的否定p:任意x∈M,p(x);存在性命题的否定是全称命题;存在量词可用符号“∃”表示.5.一些常用正面叙述的词语及其否定词列表如下:考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选1.(2009年·安徽)“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的

(

)(A)必要不充分条件.(B)充分不必要条件.(C)充分必要条件.(D)既不充分也不必要条件.【解析】由a>b且c>d⇒a+c>b+d,而由a+c>b+d⇒/a>b且c>d,可举反例.【答案】A考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选2.(2010年·湖南省师大附中高三月考)命题p:任意x∈R,x2+x-1<0,则命

题p是

(

)(A)任意x∈R,x2+x-1≥0.(B)存在x∈R,x2+x-1≥0.(C)任意x∈R,x2+x-1>0.(D)存在x∈R,x2+x-1<0.【解析】全称命题的否定是特殊命题.【答案】B考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选3.(2010年·广东省南海中学)下列说法错误的是

(

)(A)命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”.(B)若p且q为假命题,则p、q均为假命题.(C)“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件.(D)对于命题p:存在x∈R,使x2+x+1<0,则p:任意x∈R,均有x2+x+1≥0.【答案】B考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选4.(2010年·山东省莱州一中高三质量检测)已知命题p:存在x∈R,使si

nx=

,命题q:任意x∈R,都有x2+x+1>0.下列结论中正确的是

(

)(A)命题“p且q”是真命题.(B)命题“p且q”是真命题.(C)命题“p且q”是真命题.(D)命题“p或q”是假命题.【解析】命题p:∵sinx∈[-1,1],

>1,∴为假命题,命题q:∵Δ=1-4<0,∴为真命题.由复合命题的真值表易知选C.【答案】C考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选5.已知p是r的充分条件而不是必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要

条件,q是s的必要条件,现有下列命题:①s是q的充要条件;②p是q的充分条件而不是必要条件;③r是q的必要条件而不是充分条件;④p是s的必要条件而不是充分条件;⑤r是s的充分条件而不是必要条件.则正确命题的序号是

.【解析】由已知,得

.∴①②④成立.【答案】①②④考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

例1

(1)原命题:“设a、b、c∈R,若a>b,则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有

(

)(A)0个.

(B)1个.

(C)2个.

(D)4个.(2)(2008年·广东)已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对

数都是负数,则下列命题中为真命题的是

(

)(A)(p)或q.

(B)p且q.(C)(p)且(q).

(D)(p)或(q).(3)已知命题p:x2-2x-3≤0,命题q:x∈Z;如果“p且q”与“非q”同时

为假命题,则满足条件的x为

(

)(A){x|x≥3或x≤-1,x∈/Z}.题型1四种命题的转化(B){x|-1≤x≤3,x∈Z}(C){0,1,2}.

(D){-1,0,1,2,3}.考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选【分析】根据逆否命题真假性相同,只要判断原命题和逆命题真

假性即可.当命题p或命题q有一个为真时,命题“p或q”为真命题,当命题p和

命题q同时为真时,命题“p且q”为真命题.【解析】(1)原命题中,若c=0,显然ac2=bc2.逆命题:“设a、b、c∈R,若ac2>bc2,则a>b”.根据不等式性质,可得

命题成立.根据逆命题与否命题互为逆命题,又原命题和逆否命题的真假性相同,因此正确的有两个.考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选(2)不难判断命题p为真命题,命题q为假命题,从而上述叙述中只有

(p)或(q)为真命题.(3)因为“非q”为假命题,所以q为真命题,又由“p且q”为假命题

可知,p为假命题,∴|x-1|<2且x∈Z.【答案】(1)C

(2)D

(3)C

点评:在写逆命题、否命题与逆否命题时,注意找准条件和结论,这一步做对了,一般都可以写对命题;命题的真假的判断可以运用推理证明的方法,或举反例的方法,或者根据它的逆否命题的真假来判断.在需要判断两个命题和由这两个命题构成的复合命题的真假时,首先分别判断两个命题的真假,再由复合命题的真值表判断.考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

变式演练1命题:“正数a的平方根不等于0”的逆命题:

,逆命题为

命题(填“真”、“假”);否命题:

,否命题是

命题(填“真”

、“假”);逆否命题是:

,逆否命题为

命题(填“真”

、“假”).【答案】若一个正数的平方根等于0,则这个数a是正数假若一个数a不是正数,则它的平方根等于0假若一个数的平方根等于0,则这个数a不是正数真考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

例2

(1)命题“全等三角形一定相似”的否命题是

,命题的否定是

.(2)(2009年·东北师大附中摸底考试)已知命题p:对任意x∈R,有cosx

≤1,则

(

)(A)p:存在x∈R,使cosx≥1.(B)p:对任意x∈R,有cosx≥1.(C)p:存在x∈R,使cosx>1.(D)p:对任意x∈R,有cosx>1.【分析】(1)分清否命题与命题否定的区别.(2)根据该命题特点判断其为全称命题,因此否定为特称命题.题型2命题的否定考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选【解析】(1)两个三角形不全等,则不一定相似;两个全等三角形不

一定相似.(2)存在性命题的否定命题也有其规律:命题p:“存在x∈A使P(x)成

立”,p为:“对任意x∈A,有p(x)不成立”,它恰与全称性命题的

否定命题相反,故答案为C.【答案】(1)两个三角形不全等,则不一定相似;两个全等三角形不

一定相似

(2)C考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选“整数是有理数”就是全称命题“所有整数都是有理数”;它的

非命题是“有的整数不是有理数”.对特称命题的否定要否定特

称量词变成全称命题.如特称命题“有的实数的平方不是正数”

的非命题是“所有实数的平方都是正数”;命题“所有的分数都

是无理数”的非命题是“有的分数不是无理数”.

点评:对命题否定时,要注意观察命题特点:对简单命题的否定只要直接否定判断词.如“3是正数”的非命题就是“3不是正

数”.对全称命题的否定在否定判断词时还要否定全称量词变成

特称命题.对省略全称量词的全称命题要补回全称量词再否定.如考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

变式演练2

(1)命题“若a∈A,则b∈B”的否定形式是

(

)(A)若a∉A,则b∉B.

(B)若a∈A,则b∉B.(C)若a∈A,则b∈B.

(D)若b∉A,则a∉B.(2)命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为

(

)(A)存在一个三角形,内角和等于180°.(B)所有三角形,内角和都等于180°.(C)所有三角形,内角和都不等于180°.(D)很多三角形,内角和不等于180°.【解析】(2)中原命题为特殊命题,因此否定为:所有三角形,内角和

都等于180°.【答案】(1)B

(2)B考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

例3

(1)已知条件p:x2+2x-3>0,条件q:x>a,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是

(

)(A)a≥-1.

(B)a≤1.(C)a≥1.

(D)a≤-3.(2)“a=b”是“直线y=x+2与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切”的

(

)(A)充分不必要条件.

(B)必要不充分条件.(C)充分必要条件.

(D)既不充分也不必要条件.【分析】(1)本小题是函数、不等式与充要条件的综合问题,解题

关键是利用集合间的包含关系来判断充要条件.(2)本小题主要考查直线和圆相切的条件以及充要条件,直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径.题型3充要条件的判断考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选【解析】(1)p是q的充分不必要条件,即p⇒q,由已知得p:-3≤x≤1,q:x≤a,运用数形结合可得a≥1,故选C项.此题还可以运用原命题与逆否命题的等价转化求解.(2)直线y=x+2与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切,则

=

,得a-b=0或a-b+4=0,因此“a=b”是“直线y=x+2与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切”

的充分不必要条件.

点评:充要条件贯穿整个高中教学,无处不在.判断充要条件的问题,首先我们要分清条件与结论分别是什么,再分析是“条件【答案】(1)C

(2)A⇒结论”,还是“结论⇒条件”,最后下结论.判断充要条件的方法

有定义法、集合法、逆否法等.考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

变式演练3

(1)已知A={x∈R|

<2x<8},B={x|-1<x<m+1},若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,则实数m的取值范围是

(

)(A)m≥2.

(B)m>2.(C)m≤2.

(D)-2<m<2.(2)(2008年·安徽)a<0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的

(

)(A)必要不充分条件.(B)充分不必要条件.(C)充分必要条件.(D)既不充分也不必要条件.考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选【解析】(1)若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,则有A是

B的真子集,又A={x∈R|-1<x<3},∴m+1>3,m>2.(2)当a=0时,方程有一负实根-

;a<0时,方程ax2+2x+1=0有一个正实根和一个负实根.故a<0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的充

分不必要条件.【答案】(1)B

(2)B考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

例4已知命题p:对任意m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥

;命题q:存在x,使不等式x2+ax+2<0;若p是真命题,q是假命题,求a的取值范围.【分析】通过全称、特称命题的真假性,确定a的取值范围.【解析】∵m∈[-1,1],∴

∈[2

,3].因为任意m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥

,可得a2-5a-3≥3,∴a≥6或a≤-1.故命题p为真命题时,a≥6或a≤-1.又命题q:存在x,使不等式x2+ax+2<0;题型4全称、特称命题与其他知识的综合考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选∴Δ=a2-8>0.∴a>2

或a<-2

,从而命题q为假命题时,-2

≤a≤2

.所以命题p为真命题,q为假命题时,a的取值范围为-2

≤a≤-1.

点评:根据命题真假求参数范围,可以根据原命题确定参数范围,也可以直接根据原命题得出真命题确定参数范围.考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

变式演练4对任意x∈(0,+∞),总存在a∈(0,+∞)使得f(x)=x+

≥2恒成立,求a的取值范围.【解析】由基本不等式f(x)=x+

≥2

(x=

时取等号),得到f(x)min=2

,∴2

≥2,a≥1.考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

例

p:方程x2-5x+6=0有两个相等的实根.写出“非p”.【错解】方程x2-5x+6=0有两个不相等的实根.【剖析】一元二次方程根的情况包含“没有实根”、“有两个不

相等的实根”及“有两个相等的实根”三种情况,故对“有两个

相等的实根”的否定应是另外两种情况,即“没有实根”与“有

两个不相等的实根”.【正解】“非p”应为:方程x2-5x+6=0没有两个相等的实根.考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选1.否命题与命题的否定是两个容易混淆的问题,要注意其区别,另外要掌握一些常见词的否定词.2.原命题⇔它的逆否命题(原命题的否命题⇔原命题的逆命题),因此,判断四种命题的真假时,可只判断其中的两个.当一个命题的真假不易判断时,可通过判断此命题的逆否命题解决问题.3.若p⇒q,则p是q的充分条件,同时q也是p的必要条件;若p⇔q,则p与q互为充要条件,对论证充要条件题要分清“充分性”与“必要性”,然后分别作出相应的证明.但要判断两个涉及具体内容的命题p与q之间的关系,掌握涉及的具体数学知识是关键.考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选4.逻辑联结主要考查由联结词联结起来的命题的真假;而全称、特称命题是课标新增部分,对它的复习应引起足够的重视,这必将是高考的重点.要求①理解全称量词与存在量词、全称命题与特称命题的含义,掌握其表示符号;②能够对一个全称命题和特称命题作出判断,判断其真假;③熟练地掌握含有一个量词的命题的否定方法,能够正确地写出一个含有量词的命题的否定形式.考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选1.(2010年·广东省广州)设x∈R,则“x=1”是“x3=x”的

(

)(A)充分不必要条件.

(B)必要不充分条件.(C)充要条件.

(D)既不充分也不必要条件.【解析】∵x3=x,∴x=0,-1,1,∴“x=1”是“x3=x”的充分不必要条件.【答案】A一、选择题考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选2.(2009年·广州)命题“若a>b,则a-1>b-1”的否命题是

(

)(A)若a>b,则a-1≤b-1.

(B)若a>b,则a-1<b-1.(C)若a≤b,则a-1≤b-1.

(D)若a<b,则a-1<b-1.【解析】根据否命题的形式,有:若a≤b,则a-1≤b-1.【答案】C3.(2009年·天津)命题“存在x0∈R,

≤0”的否定是

(

)(A)不存在x0∈R,

>0.(B)存在x0∈R,

≥0.(C)对任意的x∈R,2x≤0.(D)对任意的x∈R,2x>0.【解析】存在的否定为任意,≤的否定为>.【答案】D考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选4.设命题p:x>2是x2>4的充要条件;命题q:若

>

,则a>b.所以

(

)(A)“p或q”为真.

(B)“p且q”为真.(C)p真q假.

(D)p,q均为假命题.【解析】x>2是x2>4的充分不必要条件,p假;q真,所以“p或q”为真.【答案】A考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选5.若命题p:任意x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1是真命题,则实数a的取值范

围是

(

)(A)a≤-3或a≥2.

(B)a≥2.(C)a>-2.

(D)-2<a<2.【解析】根据ax2+4x+a≥-2x2+1得(a+2)x2+4x+a-1≥0.当a+2=0时4x-3≥0,不恒成立.当a+2≠0时,

解之得a≥2.【答案】B考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选二、填空题6.命题“任意x∈R,x2+1>2x”的否定是

.【解析】命题的否定是条件与结论均否定.【答案】存在x∈R,x2+1≤2x7.命题“若xy=0,则x=0或y=0”的逆否命题是

.【答案】若x≠0且y≠0,则xy≠0.考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选8.设p:不等式x2+1>m的解集为R;q:函数f(x)=-(7-3m)x是减函数.若“p

或q”为真命题,“p且q”为假命题,则实数m的取值范围是

.【解析】∵x2+1≥1,∴若p真,则m<1.f(x)为减函数,则7-3m>1,解得m<2.∴若q真,则m<2.∵“p或q”为真,“p且q”为假,∴p、q一真一假.若p真q假,则m<1且m≥2,m不存在.若p假q真,则m≥1且m<2,∴1≤m<2.【答案】1≤m<2考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选9.①正方形都是菱形;②存在x∈R,使4x-3>x;③任意x∈R,x+1=2x;④集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集.上述

命题的否定是真命题的为

.(填序号)【解析】①p:正方形不都是菱形,假命题.②p:任意x∈R,4x-3≤x,假命题.③p:存在x∈R,x+1≠2x,真命题.④p:集合A既不是集合A∩B的子集,也不是集合A∪B的子集,假

命题.【答案】③考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选三、解答题10.已知命题p:方程x2-2

x+1=0的两个根都为实数;命题q:方程x2-2

x+1=0的两个根不相等.写出命题“p或q”;命题“p且q”;命题“非p”形式的复合命题,并

指出其真假.【解析】p或q:方程x2-2

x+1=0的两个根都为实数,或两根不相等,真;p且q:方程x2-2

x+1=0的两个根为实数且不相等,真;非p:方程x2-2

x+1=0的两个根不都为实数,假.考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选11.已知p:x2-8x-20≤0,q:(x-1+m)(x-1-m)≤0(m>0),且q是p的必要不充

分条件,求实数m的取值范围.【解析】由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,即p为:[-2,10].而q为:[1-m,1+m],又q是p的必要不充分条件,即p⇒q,所以

⇒m≥9.即实数m的取值范围为[9,+∞).考纲解读知识框图备考策略考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选12.已知命题p:x2-x-6≥0,命题q:x∈Z,若“p∧q”与“q”都为假命题,求x的值.【解析】∵x2-x