第三章-一元回归模型

计量经济学第三章一元回归模型一元回归模型现在，我们用一个一次方程来表示两个数据X和Y之间的关系。

Yi=α+βXi+uii=1,2,…，n这个公式就是一元回归模型。X是表示原因的变量，成为解释变量或独立变量；Y是表示结果的变量，称为被解释变量或从属变量。u是误差项或扰乱项，它是Y的变化中不能完全由X的变化来解释的部分，换句话说，它表示的是Y（实际值）与α+βX（理论值）之间的偏差。一般来说，回归分析是为了发现X作为原因，Y作为结果是两者之间的因果关系，因此，X与Y之间的关系，理论上必须能够成立。如果对没有理论意义上的公式进行推算，即使能够得出良好的推算结论，也是没有意义的分析，这一点必须充分注意。回归分析的主要目的是估计回归系数α、β，最常用的办法就是最小二乘法（ordinaryleastsquaresmethod，OLS）。最小二乘法（OLS）利用OLS来估计一元回归模型，可以得到所谓的估计回归线（最小二乘回归线），即称为的估计值（最小二乘估计值）。读作Yhat，如图所示，它是与X实际值（观测值）相对应的估计回归线上的Y值，称为Y的理论值（估计值、计算值、预测值等）。Y（结果）X（原因）Y1：观测值1估计回归线与残差下面，就残差为u，残差=实际值-理论值其次，计算残差的2次方的总和，即残差平方和（residualsumofsquares,RSS）,得寻找能够使残差平方和最小的值，就是OLS的基本原理。为了求残差平方和关于的最小值，需要将上式对分别求偏导，并设其为零，即这个联立方程称为正规方程。例题3-1利用下面的数据，对一元回归模型Y=α+βX+u进行最小二乘估计。解答将数据带入工作表中进行计算，得：又解将数据带入工作表进行计算。决定系数（coefficientofdetermination）是反映估计的回归线对观测的数据的解释能力，或者说是反映两者拟合优度的尺度，是回归分析不可缺少的统计量。我们将Y的实际值与平均值之差的平方和称作Y的全部变化，即另外将Y的理论值与平均值之差的平方和称作能够由回归解释的变化（回归平方和），即这样，所谓决定系数R2反映的是Y的全部变化中，能够由回归来解释的部分的比率，其定义如下：决定系数的计算公式可以采用下面三个公式中的任何一个。此外，决定系数与相关系数之间有以下关系：决定系数=相关系数的平方决定系数的取值范围为：0≤R2≤1决定系数越接近于1，理论值与实际值越近似，说明模型的解释能力越强。例如，如果R2=90%，则模型具有90%的解释力；如果R2=30%，则说明模型只有30%的解释力例题3-2表3-3显示了日本1994-2005年的12年间，实际国内生产总值X与实际居民消费支出Y的数据。（1）对下面的宏观消费函数进行最小二乘估计；Y=α+βX+u（2）计算决定系数R2，并考察估计出来的宏观消费函数的拟合优度；（3）求理论值和残差；（4）利用（1）中估算出来的宏观消费函数，当实际国内生产总值在510兆日元和570兆日元时，对实际居民消费支出分别进行预测。表3-3日本实际国内生产总值与实际居民最终消费支出单位：兆日元解答（1）解答（2）解答（3）表3-4实际居民最终消费支出的实际值、理论值和残差解答（4）非线性方程（non-linearequation）的回归分析当数据的分散情况在一定的较小的范围时，被解释变量与解释变量之间的回归关系，大部分是线性相。但是随着范围的扩大，非线性近似的情况很多。一般来说，非线性方程的回