第三章 时域分析法

第三章：线性系统的时域分析法教学目的时域分析是控制系统分析的一个十分重要的分析方法，通过本章学习，要使学生掌握时域分析方法和系统几个重要时域指标的物理意义、计算方法。如何应用时域分析方法分析控制系统的稳定性、稳态误差和过渡过程指标，以及这些指标的计算方法。教学重点本章是经典控制理论中很重要的一章，需要掌握的重点内容比较多。

1、时域指标及物理意义

2、二阶系统的时域分析，重点分析欠阻尼状态。

3、劳思稳定判据

4、稳态误差的概念及其计算教学内容1、时域指标的定义及物理意义2、通过对简单的一阶系统分析入手，进一步掌握时域指标的概念及其计算方法。3、二阶系统的时域分析，这是时域分析法中最重要的一节内容。二阶系统有完整准确的数学模型以及数学分析；二阶系统在实际应用中的普遍性；不少二阶系统在一定的条件下可以用二阶系统来近似分析；二阶系统的阶跃响应，ξ、ωn与极点关系，与系统性能的关系，以及时域指标的计算；二阶系统的斜坡响应，可一般简介。教学内容4、二阶系统的性能改善，通过增加系统中的控制环节，改善系统的性能，改善性能的实质是改变了阻尼系数和振荡频率。5、稳定性分析，重点介绍劳思稳定判据，霍尔维茨稳定判据留作自学。6、稳态误差分析及计算，重点介绍静态误差系数。自学内容：1、二阶系统的斜坡响应2、高阶系统的时域分析3、动态误差系数3－1引言时域分析法直接在时间域中对系统进行分析，具有直观、准确的优点，可以提供系统时间响应的全部信息。时域分析法的局限性是，除了简单的一、二阶系统外，要精确求解系统的动态指标的解析表达式是很困难的。时域分析法是经典控制理论中的一种常用的系统分析方法。系统的性能指标，主要有动态性能指标和稳态性能指标。3.1.1典型输入信号

研究一个系统，主要是针对某一输入作用，研究其输入－－输出之间的关系。但在绝大多数情况下，输入信号以无法预测的方式变化，为了便于分析、设计，便于对各种系统的性能进行比较，常假定一些基本输入函数形式作为典型输入信号。常用的典型信号有：单位阶跃函数、单位斜波函数、单位加速度函数、正弦函数。典型输入信号是理想化的函数，代替实际输入。对于某一具体系统，不同形式的输入信号，所对应的输出响应是不同的，但系统性能是由自身结构参数决定的，而与输入信号无关。一般认为，阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态，如果系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么系统在其他形式的函数作用下，也能满足要求。所以，通常在系统分析中以单位阶跃函数作为典型输入作用，则可以在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较。3.1.2单位冲激响应

传递函数的反拉氏变换单位冲激响应3.1.2系统的时间响应有理分式的每一个极点都对应中的一个时间响应项，即运动模态。把传递函数极点所对应的运动模态称为该系统的自由运动模态。系统的时间响应中，与传递函数极点对应的时间响应分量称为瞬态分量，与输入信号极点对应的时间响应分量称为稳态分量。3.1.3时间响应的性能指标

在假定系统的初始条件为零，系统在阶跃函数作用下的动态性能指标有：

(1)上升时间tr有二个定义：

a.响应曲线从终值10%到90%所需时间（阶跃响应曲线不超过稳态值时）；

b.响应曲线第一次上升到终值所需时间。

tr越小，说明系统响应速度越快。

(2)峰值时间tp：响应曲线达到第一个峰值所需时间。（3）过渡过程时间(调节时间)ts：响应曲线衰减到与稳态值之差不超过5%或2%内所需要的时间。（4）超调量δ%：最大偏离量h(tp)与终值h(∞)之差的百分比。（5）振荡次数N：在调节时间范围内，阶跃响应曲线穿越其稳态值次数的一半称为振荡次数。在上述时域指标中：上升时间tr、峰值时间tp评价系统的响应速度；超调量δ%评价系统的阻尼程度；调节时间ts综合反映响应速度和阻尼程度。h(t)t时间tr上升峰值时间tpAB超调量σ%=AB100%动态性能指标定义1h(t)t调节时间tsh(t)t时间tr上升峰值时间tpAB超调量σ%=AB100%调节时间tsh(t)t上升时间tr调节时间ts动态性能指标定义23、动态性能与稳定性能

系统的稳态性能用稳态误差来描述，稳态误差是对系统精度的一种衡量，它表达了系统实际输出值与希望输出值的最终偏差。3－2一阶系统的时域分析1、一阶系统的数学模型，如RC电路C(t)为输出，r(t)为输入，C(0)=0i(t)RCr(t)c(t)令：T＝RC并取Laplace变换：R(s)C(s)I(s)3.2.1一阶系统的单位阶跃响应对于单位阶跃输入于是单位阶跃响应h(t)为：h(t)=1－e-t/T

⑵一阶系统的响应曲线斜率：t=0时h’(t)t=0=(1－e－t/T)’

t=0=－e－t/T(－1/T)t=0=1/T当t=T时h’(t)t=T=0.368/T当t=∞时h’(t)t=∞=0

一阶系统的响应曲线斜率初始值为1/T，并随时间下降，当t＝∞时，动态过程结束，但工程上习惯取t=(3-5)T，认为过渡过程结束。⑴讨论：当t=0

h(0)=0t→∞h(∞)=1t=Th(T)=0.632

t=3Th(3T)=0.95

a.求上升时间tr由上升时间的定义，分别求出h(t1)=0.1；h(t2)=0.9得：t1=0.1T；t2=2.3T所以：tr=t2－t1=2.2Tb.同理可求出ts=3Tc.一阶系统没有超调，所以不需要求tp和δ%。讨论：动态指标与时间常数T有关，T越小，其响应过程越快，即惯性越小，一阶系统又称为“惯性系统”。3.2.2一阶系统单位脉冲响应当输入为单位脉冲函r(t)=δ(t)，求其脉冲响应。因为R(s)=1，由脉冲响应的意义，g(t)t一阶系统的脉冲响应为一单调下降指数曲线，其衰减到初始值5%所需时间仍为ts=3T。由于系统的单位脉冲响应与系统传递函数包含了相同的动态信息，工程上常用测量系统的单位脉冲响应，来求出被测系统的传递函数。工程上无法得到理想单位脉冲函数，一般用具有一定脉宽h和有限幅度的脉冲函数来近似代替，一般要求h<0.1T。3.2.3一阶系统的单位斜坡响应当输入为单位斜坡函数r(t)=t，tr(t)=tc(t)t=0时，e(0)=0；t→∞时，e(∞)=t－T讨论：1.斜坡响应有二部分稳态分量：t－T响应曲线比输入曲线延迟T瞬态分量：随时间的增加而减小。2.输出误差当t=0时，e(0)=0；t→∞时，e(∞)=T

误差与时间常数T有关，惯性越小，系统的速度跟踪误差越小，精度越高。一阶系统暂态响应小结1.对于单位阶跃响应，当t→∞时，系统的稳态误差e(t)→0,说明一阶系统能跟踪单位阶跃输入。

2.对于单位斜坡响应，当t→∞时，系统的稳态误差e(t)＝T，说明一阶系统在单位斜坡信号作用下，存在一个跟踪误差，而且T越小，误差越小。

3.一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪，t→∞时，e(t)→∞。

4.一阶系统的快速性和稳态误差都与T的大小有关系。

5.几种典型信号响应关系，请看教材P76和表3－2。例3.1

某一阶系统如图,（1）求调节时间ts,（2）若要求

解:

(1)与标准形式对比得：T=1/10=0.1，ts=3T=0.3s

(2)

要求ts=0.1s，即3T=0.1s,即,得0.1C(s)R(s)E(s)100/s(-)ts=0.1s,求反馈系数Kh.

解题关键：化闭环传递函数为标准形式。Kh•整理得传递函数

•故得结构图

•取拉氏变换，有

R(s)C(s)(-)•其中：ωn—自然频率；ζ—阻尼比。•又因为

标准形式标准形式3.3.1

二阶系统的典型形式控制系统的运动方程为二阶微分方程，称为二阶系统。3.3二阶系统的时域分析3.3.2二阶系统的阶跃响应

•其根决定了系统的响应形式。其输出的拉氏变换为单位阶跃函数作用下，二阶系统的响应称为单位阶跃响应。二阶系统特征方程(a)闭环极点分布j1122334505(b)单位阶跃响应曲线1.21.01.61.40.80.60.40.2c(t)161824681012140t21354•进一步的描述如下图：

•

稳态部分等于1，表明不存在稳态误差；

•瞬态部分是阻尼正弦振荡过程，阻尼的大小由n(即σ，特征根实部）决定；

•振荡角频率为阻尼振荡角频率d（特征根虚部），其值由阻尼比ζ和自然振荡角频率n决定。

欠阻尼二阶系统的单位阶响应由稳态和瞬态两部分组成：(1).欠阻尼二阶系统

(即0<ζ<1时)

•系统有一对共轭复根：=•

阶跃响应为•其中=cos

0

s1

ωn-n

s2

j

jd

•系统有两个相同的负实根：s1,2=-

n

•阶跃响应:

•此时系统有两个纯虚根：s1,2=±jn

•阶跃响应：c(t)=1-cosnt•系统单位阶跃响应为一条不衰减的等幅余弦振荡曲线。•此时系统有两个不相等负实根(2).临界阻尼二阶系统（即ζ=1时）(3).无阻尼二阶系统（即ζ=0时）(4).过阻尼二阶系统（即ζ>1时）•系统单位阶跃响应是无超调、无振荡单调上升的，不存在稳态误差。•系统的单位跃响应无振荡、无超调、无稳态误差。•阶跃响应：0＜ξ＜1ξ＝1ξ＝0ξ＞1j0j0j0j02c(t)=1T2tT1T21e+T1tT2T11e+c(t)=1-(1+ωnt)e-ω

tnc(t)=1-cosωntj0j0j0j0T11T21ξ＞1ξ＝10＜ξ＜1ξ＝0过阻尼临界阻尼欠阻尼无阻尼0123456789101112ntc(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图：

=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0

不同阻尼比的二阶系统的单位阶跃响应曲线见上图。从图中可以看出,随着阻尼比ζ的减小,阶跃响应的振荡程度加剧。ζ=0时是等幅振荡,ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线,其中临界阻尼对应的过渡过程时间最短。在欠阻尼的状态下,当0.4＜ζ＜0.8时,过渡过程时间比临界阻尼时更短,而且振荡也不严重。因此在控制工程中,除了那些不允许产生超调和振荡的情况外,通常都希望二阶系统工作在0.4＜ζ＜0.8的欠阻尼状态。

在许多实际情况中,评价控制系统动态性能的好坏是通过系统反映单位阶跃函数的过渡过程的特征量来表示的。在一般情况下,希望二阶系统工作在0.4＜ζ＜0.8的欠阻尼状态下。因此,下面有关性能指标的定义和定量关系的推导主要是针对二阶系统的欠阻尼工作状态进行的。另外,系统在单位阶跃函数作用下的过渡过程与初始条件有关,为了便于比较各种系统的过渡过程性能,通常假设系统的初始条件为零。3.3.3欠阻尼二阶系统的动态性能指标单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。

阶跃响应从零第一次升到稳态所需的时间。1.动态性能指标计算

上升时间tr

峰值时间tp单位阶跃响应

•即

•得

•由

•得

•此时单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。

超调量%单位阶跃响应进入±误差带的最小时间。

调节时间ts

•由

•有

•根据定义

•

阻尼比ζ越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长；

•ζ=0.7，调节时间最短，快速性最好，而超调量%<5%，平稳性也好，故称ζ=0.7为最佳阻尼比。2.结构参数ζ对单位阶跃响应性能的影响

欠阻尼二阶系统的一对包络线如右图(取)

c(t)t01包络线（=2%）(=5%)•工程上通常用包络线代替实际曲线来估算。

R(s)(-)C(s)•化为标准形式•即有2n=1/Tm=5,n2=K/Tm=25解：系统闭环传递函数为•解得n=5,ζ=0.5

例3.2

已知图中Tm=0.2，K=5，求系统单位阶跃响应指标。

设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定其开环传递函数。例3.3解：图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线。由图中给出的阶跃响应性能指标，先确定二阶系统参数，再求传递函数。

0t(s)11.30.1h(t)3-4高阶系统的时间响应概述（自学）作业P90:3-33-53-93-103-5控制系统的稳定性

3.5.1稳定的概念

力学系统中，外力为零时，位移保持不变的位置称平衡位置。平衡位置的稳定性取决于外力为零时，系统能否从偏离平衡位置处自行返回到原平衡位置。悬挂的摆，垂直位置是稳定平衡位置。倒立的摆，垂直位置是不稳定平衡位置。控制系统中所有的输入信号为零，而系统输出信号保持不变的点（位置）称为平衡点（位置）。取平衡点时系统的输出信号为零。控制系统所有输入信号为零时，在非零初始条件作用下，如果系统的输出信号随时间的推移而趋于零（即系统能够自行返回到原平衡点），则称系统是稳定的。否则不稳。3.5.2线性定常系统稳定的充分必要条件设系统传递函数的一般表达式为又设则有其中：q+2r=n,q为实数极点的个数，r为共轭复数极点的对数。将上式因式分解，且设可得对上式求拉氏反变换，得系统输出响应为

其中，第一项为由输入引起的输出稳态分量，其余各项为系统输出的瞬态分量。显然，一个稳定的系统，其输出瞬态分量应均为零。由上式可知，要做到这一点，必须满足。

所以，系统稳定的充分与必要条件是：系统所有特征根的实部小于零，即其特征方程的根都在s左半平面。

j0稳定区域不稳定区域[S平面]推论与说明1.线性系统的稳定性是本身固有特性，与外界输入信号无关。2.稳定的系统，单位阶跃响应及输出信号中的瞬态分量都趋于零。3.实际物理系统不稳定时，变量往往形成大幅值的等幅振荡，或趋于最大值。4.有实部为零（位于虚轴上）的极点，其余极点都具有负实部，称临界稳定。工程上临界稳定为不稳定。3.5.3劳思稳定判据对方程的系数做简单计算，可确定正实部根的个数，判定系统稳定性。线性系统特征方程为：

稳定判据则只要根据特征方程的系数便可判别出特征根是否具有负实部，从而判断出系统是否闭环稳定。判别系统稳定性的基本方法：

(1)

劳斯—古尔维茨判据

(2)

根轨迹法

(3)

奈奎斯特判据

(4)

李雅普诺夫第二方法稳定的必要条件：特征方程不缺项，所有系数均为正值。

劳思表

其中等系数按下列公式计算

结论：系统稳定的充要条件是：劳思表第一列各项元素均为正数。如果劳斯表第一列中出现小于零的数值，系统就不稳定，且第

一列各系数符号的改变次数，代表特征方程的正实部根的数目。注意两种特殊情况的处理：

1）某行的第一列项为0，而其余各项不为0或不全为0。用因子（s+a）乘原特征方程（其中a为任意正数），或用很小的正数代替零元素，然后对新特征方程应用劳斯判据。

2）当劳斯表中出现全零行时，用上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。

(这种情况表明特征方程中存在一些绝对值相同但符号相异的特征根)例3.5

设系统特征方程为s4+2s3+s2+2s+2=0；试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。例3.6

设系统特征方程为s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0；试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。解：列出劳斯表s4112s3220s2

(取代0)2

s12-4/s02

可见第一列元素的符号改变两次，故系统是不稳定的且在S右半平面上有两个极点。解：列出劳斯表

s616104s5284s4284辅助多项式A(s)的系数

s3000A(s)=2s4+8s2+4dA(s)/ds=8s3+16s

第一列元素全为正，系统并非不稳定；阵列出现全零行，系统不是稳定的；综合可见，系统是临界稳定的（存在有共轭纯虚根）。

解辅助方程可得共轭纯虚根：令s2=y，

A(s)=2s4+8s2+4=2(y2+4y+2)=0以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳斯表：

s616104s5284s4284s3816dA(s)/ds的系数

s244s18s04

3.6控制系统的稳态误差

稳态误差是衡量系统控制精度的,在控制系统设计中作为稳态指标。实际的控制系统由于本身结构和输入信号的不同,其稳态输出量不可能完全与输入量一致,也不可能在任何扰动作用下都能准确地恢复到原有的平衡点。另外,系统中还存在摩擦、间隙和死区等非线性因素。因此,控制系统的稳态误差总是不可避免的。控制系统设计时应尽可能减小稳态误差。当稳态误差足够小，可以忽略不计的时候,可以认为系统的稳态误差为零,这种系统称为无差系统,而稳态误差不为零的系统则称为有差系统。应当强调的是,只有当系统稳定时,才可以分析系统的稳态误差。3.6.1稳态误差的基本概念

根据控制系统的一般结构(如图所示),可以定义系统的误差与稳态误差。控制系统的一般结构

定义误差的两种方式1、从输出端定义：系统输出量的期望值与实际值之差,即

C稀：是偏差信号e(t)=0时的被控量的值。2、从输入端定义：系统设定输入量与主反馈量之差,即

式中B(S)是实际输出量经反馈后送到输入端的主反馈量。E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)E(s)=C希-C实=-C(s)R(s)H(s)ˊ3、稳态误差稳态误差：误差信号的稳态分量。由参考输入信号r(t)和扰动信号f(t)引起的稳态误差，它们与系统的结构和参数、信号的函数形式（阶跃、斜坡或加速度）以及信号进入系统的位置有关。这些误差又称原理性误差。

R(s)和F(s)都存在，用叠加原理求总的偏差。3.6.2利用终值定理求稳态误差E(s)G(s)C(s)H(s)R(s)B(s)(-)

根据终值定理

使用该公式应满足sE(s)在s右半平面及虚轴上解析的条件，即sE(s)的极点均位于s左半平面(包括坐标原点)。误差传递函数为：1）,符合终值定理应用条件。3）,不符合终值定理应用条件。2）,符合终值定理应用条件。例3.7

设单位反馈系统开环传递函数为G(s)=1/TS,输入信号分别

为1）r(t)=t，2)r(t)=t2/2，3)r(t)=sinωt，求系统稳态误差。

解：误差传递函数为本题说明：1）使用终值定理要注意条件；

2）稳态误差与输入有关。使用终值定理将得出错误结论。3.6.3系统类型与静态误差系数一、影响稳态误差的因素一般开环传递函数可以写成如下形式：

显然，系统的稳态误差取决于原点处开环极点的阶次、开环增益K以及输入信号的形式。式中，K为开环增益。为开环系统在s平面坐标原点的极点重数，=0,1,2时，系统分别称为0型、Ⅰ型、Ⅱ型系统。二、阶跃输入下稳态误差及静态位置误差系数三、斜坡输入下稳态误差及静态速度误差系数四、加速度输入下稳态误差及静态加速度误差系数五、系统型别、静态误差系数与输入信号行式之间的关系如表3-1。

减小或消除误差的措施：提高开环积分环