画法几何 题解

画法几何及土木工程制图第八章立体表面展开（第四版）1目录

概述§8-1多面体表面展开§8-2可展曲面的展开2概述

立体表面可看作由若干小块平面组成，把表面沿适当位置裁开，按每小块平面的实际形状和大小，无褶皱地摊开在同一平面上，称为立体表面展开，展开后所得的图形称为展开图。3概述

立体表面分为可展和不可展两种。多面体的表面都为可展。曲面体中只有柱面、锥面和切线面为可展曲面，因为这些曲面上相邻素线平行或相交，可以构成小块平面。对于不可展曲面，工程实际中一般把它们近似为相应的可展曲面，进行近似展开。

点击1次4§8-1多面体表面展开

多面体的表面由若干多边形平面组成。如图所示的料斗，忽略其壁厚，上部有棱柱和棱台体侧表面，下部为棱柱体侧表面。棱锥和棱柱的表面由矩形和梯形组成。因此，要作出料斗表面的展开图，需作出属于多面体侧表面的所有多边形的实形，并依次把它们画在同一平面上。点击1次5§8-1多面体表面展开

一、棱柱

棱柱的各棱线互相平行，若用一个垂直于棱线的正截面截棱柱，则沿截交线展开后，截交线成为一直线，且展开后的各棱线垂直于该直线。棱柱表面展开，一般利用这种正截面方法进行。6§8-1多面体表面展开

例8-1

已知料斗下部出料管的投影图，试作其展开图。

解：将顶部正截面的截交线展开成一水平线，可作出料管上部棱柱表面的展开图。

点击5次7§8-1多面体表面展开

然后，过出料管边线AB作棱柱的正截面，在展开图中作水平线RBAKR，过其上各点作竖直线并将正面投影中的长度U1、U2、U3

量取到相应的竖直线上，连接各点，即得展开图。

点击5次8§8-1多面体表面展开点击后自动演播例8-1

已知料斗下部出料管的投影图，试作其展开图。

解：再看作图过程：9§8-1多面体表面展开例8-1

已知料斗下部出料管的投影图，试作其展开图。

解：再看作图过程：点击后自动演播10§8-1多面体表面展开

从展开作图可以看出，这样展开所得到的上、下两部分棱柱表面的展开图可以拼画在一起，从而可节省板料，而且上、下两部分连接处的展开折线在安装时能准确地拼合。点击2次11§8-1多面体表面展开

二、棱锥

棱椎的侧表面都是三角形，只需求出各棱线和底边的实长，依次画出各棱面（三角形）的实形，即为展开图。

例8-2

已知截头三棱锥SABC的投影图，截交线为DEF，试作展开图。12§8-1多面体表面展开

解：因为已知棱锥的底面为水平面，所以水平投影反映各条底边的实长。各棱边实长可以利用直角三角形法作得。依次拼画各棱面的实形在一起，即得截头三棱锥的展开图。点击后自动演播13§8-1多面体表面展开

解：因为已知棱锥的底面为水平面，所以水平投影反映各条底边的实长。各棱边实长可以利用直角三角形法作得。依次拼画各棱面的实形在一起，即得截头三棱锥的展开图。点击后自动演播求棱线实长画展开图14§8-1多面体表面展开例8-3

已知料斗进口的投影图，试作其展开图。

解：因为四棱台表面有两个互相垂直的对称面，因此，以对称线为基准进行展开，有利于作图。首先，作前、后两个长边棱面的实形。然后，作左、右两个短边棱面的实形，拼画在一起，从而可得四棱台四个棱面的展开图。点击1次15§8-2可展曲面的展开

一、柱面

柱面可以看作为棱线无限增多的棱柱面，因而其展开方法与棱柱面类似。这里主要讨论圆柱面的展开。

例8-4已知直径为d的截头圆柱的投影图，试作圆柱面的展开图。下页解答16§8-2可展曲面的展开

解：柱底为水平面，且为柱的正截面。将柱底圆展开成一条水平线(长度为d)，将其与正面投影对齐。将柱底圆及其展开线作相同的n等分，过各等分点作柱面素线的正面投影。用光滑曲线连接各点，得到截交线的展开曲线。展开曲线、两端素线、底圆展开线所围成的图形即为截头圆柱面的展开图。

点击后自动演播17§8-2可展曲面的展开

解：柱底为水平面，且为柱的正截面。将柱底圆展开成一条水平线(长度为d)，将其与正面投影对齐。将柱底圆及其展开线作相同的n等分，过各等分点作柱面素线的正面投影。用光滑曲线连接各点，得到截交线的展开曲线。展开曲线、两端素线、底圆展开线所围成的图形即为截头圆柱面的展开图。

点击后自动演播18§8-2可展曲面的展开

例8-5已知由四节圆柱面管节组成的直角弯管的投影图，管径为d，试作其展开图。

解：弯管两端的管节Ⅰ和Ⅳ相同，中间的管节Ⅱ和Ⅲ相同，而且端部管节恰为中间管节的一半。如果把管节Ⅱ和Ⅳ分别绕它们各自的轴线旋转180，则可与管节Ⅰ和Ⅲ组成一个直圆柱管，这样，对于每一个管节都可以按例8-4截头圆柱面展开的方法作出展开图。点击1次19§8-2可展曲面的展开

各管节的展开图拼合成一个矩形，这样可以充分利用板料。点击1次20§8-2可展曲面的展开

例8-6

已知圆柱面叉管的投影图，主管直径为D1，支管直径为d1，试作其展开图。

解：首先，作叉管的相贯线，通过作支管圆柱面端部的辅助半圆，得出相贯线上的点。然后，作支管展开图。为了便于作图，将支管正截面（圆）展开成长度为d1的直线，使此直线位于支管端部底圆正面投影的延长线上，这样，就可按例8－4截头圆柱面展开的方法作出支管柱面展开图。点击1次21§8-2可展曲面的展开

最后，作主管展开图。为了便于作图，将主管正截面（底圆）展开成长度为D1的直线，使其位于主管底圆正面投影的延长线上。点击1次22§8-2可展曲面的展开

二、锥面

锥面可以看作为棱线无限增多的棱锥面，因而其展开方法与棱锥面类似，采用三角形法。

例8-7

已知截头圆锥的投影图，试作其展开图。23§8-2可展曲面的展开

解：圆锥面上各素线长度相等，在正面投影中外形素线反映实长。锥底圆的水平投影反映实形。若圆锥没有被截断，则它的展开图为一扇形，扇形的半径L等于素线实长，扇形的弧长等于直径为D的底圆的周长。对于截头圆锥，可通过截交线上点的正面投影作水平线，与外形素线交于各点，从而得到被截断的各素线实长。点击1次24§8-2可展曲面的展开

为了便于作图，本例使展开图中扇形的圆心与锥顶正面投影s重合。点击1次25§8-2可展曲面的展开

例8-8

已知斜圆台的投影图，试作其表面展开图。

解：延长斜圆台的外形线得锥顶，可利用锥顶S作其展开图。锥底圆的水平投影反映实形，将其12等分，并作出锥面上的12条素线，利用直角三角形法作出各素线的实长。这样，斜圆锥面被分成12部分，每一部分作为一个三角形平面，依次作出斜圆锥面上各个三角形的实形，拼画在一起，便得到斜圆锥面的展开图。点击1次26§8-2可展曲面的展开27§8-2可展曲面的展开

例8-9

已知岔管的水平投影，主管为圆柱面，对称的分岔管为圆锥面。试作其展开图。28§8-2可展曲面的展开

解：作圆柱面展开图。在底圆上作辅助半圆。并把它n=6

等分，从而可作出柱面上的素线，它们与岔管上的交线交于点a、b、c、e、g、j、k。于是可参照例8－4截头圆柱面展开图的画法作出其展开图。点击1次29§8-2可展曲面的展开

再作圆锥面展开图。延长锥面的外形线，相交得锥顶S。过岔管中各轴线的各交点o，作右边锥管底圆的辅助半圆，并把它n=6等分，从而可作出锥面上的素线。与例8－7截头圆锥素线求实长的方法相同，可参照例8－7的画法作出其展开图。

点击1次30§8-2可展曲面的展开

五、变形接头

在圆形和矩形之间由平面和锥面组合而成的表面为变形接头或方圆接头的表面，在钣金工中俗称天圆地方。变形接头在工程中应用较广，如料斗、管道中的渐变段等。表面展开时，只要依次将平面和锥面展开，就能作出整个变形接头的展开图。点击1次31§8-2可展曲面的展开