第九章 能量法1

第一节杆件应变能计算第二节功的互等定理及位移互等定理第三节卡氏第二定理第四节莫尔定理及图乘法第九章能量方法初步第九章能量方法初步第一节杆件应变能计算弹性体在外力作用下将发生变形，在变形过程中，一方面载荷将在相应的位移上做功，称为外力功，用W表示；另一方面，弹性体由于变形，在其内部存储了能量，这种因变形而存储的能量称为应变能（变形能），用Vε或U表示。根据能量守恒定律:如果载荷是静载，则应变能在数值上应等于外力功:利用这个能量原理和在此基础上导出的其他功、能关系，可以求解弹性体的变形、位移和内力等，这种方法称为能量法。功能原理第一节杆件应变能计算预备知识：作用在弹性杆件上的力所作的常力功和变力功常力功

弹性体在平衡力系的作用下，在一定的变形状态保持平衡，这时，如果某种外界因素使这一变形状态发生改变，作用在弹性体上的力作功，是常力功:预备知识：作用在弹性杆件上的力所作的常力功和变力功变力功

作用在弹性杆件上的力，其加力点的位移，随着杆件受力和变形的增加而增加，在这种情形下，力所作的功为变力功。对于材料满足胡克定律、又在小变形条件下工作的弹性杆件，作用在杆件上的力与位移成线性关系。FPΔOFP预备知识：作用在弹性杆件上的力所作的常力功和变力功需要指出的是，上述功的表达式中，力和位移都是广义的。FP可以是一个力，也可以是一个力偶；当FP是一个力时，对应的位移Δ是线位移，当FP是一个力偶时，对应的位移Δ是角位移。一、弹性应变能的一般公式克拉贝依隆原理（ClapeyronLaw）：

线弹性体的应变能等于每一个外力与其相应的位移乘积的二分之一的总和。二、杆件的变形能计算1、轴向拉伸（压缩）外力F作用是缓慢加载，F-DL关系符合胡克定律，呈线性关系当加载至F，变形为DL时，外力作功为图示的阴影部分面积。外力作功:变形能:二、杆件的变形能计算1、轴向拉伸（压缩）若杆件中轴力为：FN当杆件的轴力沿杆件的轴线发生变化时,dx微段的应变能:整个拉伸杆件的应变能:杆件的比能：二、杆件的变形能计算2、扭转外力偶矩从0缓慢增加至最终值，圆轴的转角j与外力偶矩T的关系也是一条斜直线。若当扭矩沿轴线变化时，整个轴的应变能为:则3、弯曲根据挠曲线近似微分方程，可计算两端截面相对转角:弯曲力偶所作的功是:纯弯曲梁的应变能：二、杆件的变形能计算二、杆件的变形能计算3、弯曲对于横力弯曲，梁截面上同时有弯矩和剪力，且一般都随截面位置变化，这时应分别计算弯曲应变能和剪切应变能.剪切应变能:弯曲应变能:但是在细长梁(l:h>10)下，剪切应变能与弯曲应变能相比，可以忽略不计。设切应变为γK是无量纲的量，仅与截面形状有关！两种变形能的比较两种变形能之比U2:U1=———12EIkGAl2矩形截面梁k=6/5I/A=h2/12所以U2:U1=

—(1+m)(—)2125hl若m=0.3,h/l=1/5,则U2:U1=0.125若m=0.3,h/l=1/10,则U2:U1=0.0312所以,剪切变形能通常可以忽略二、杆件的变形能计算根据轴向拉压、扭转和弯曲的分析，应变能可综合写成统一形式:

F广义力

D广义位移在线弹性情况下，广义力和广义位移之间是线性关系。对于非线性弹性材料组成的构件，不能用上式计算变形能或外力功，而应有下式计算：杆件在基本变形情况下的变形能：

变形形式外力功位移与力的关系变形能例9-1集中力F作用的矩形截面简支梁如图所示。比较其弯曲和剪切两种应变能，并在忽略切应变能的情况下，求中点C的挠度wc。二、杆件的变形能计算二、杆件的变形能计算解：（1）分别求弯曲应变能

和剪切应变能首先求支座反力，由对称性易知再求出剪力方程和弯矩方程由对称性得：杆件的弯曲应变能：剪切应变能：二、杆件的变形能计算剪切应变能与弯曲应变能之比：矩形截面梁：因此，对于细长梁可以不考虑剪切应变能。二、杆件的变形能计算（2）求中点C的挠度wc外力F做的功：杆件变形能：根据功能原理二、杆件的变形能计算例9-2如图所示简支梁，集中力F作用于C点，试用能量原理计算截面C的挠度wc。EI为常数。二、杆件的变形能计算[解]1、计算约束反力，写出弯矩方程2、应变能二、杆件的变形能计算3、外力作功4、根据功能原理二、杆件的变形能计算4、应变能普通表达式组合变形情况下的应变能

在所截取的微段内，可以认为内力为常量。轴力、剪力、弯矩、扭矩对微段来说是处于外力位置。所以注意：对以抗弯为主的杆件及杆系，因轴力和剪力远小于弯矩对变形的影响，所以在计算这类杆件的变形时通常不计轴力和剪力的影响。二、杆件的变形能计算4、应变能普通表达式整个杆的变形能思考：变形能的计算能不能用叠加原理

能量与内力的平方成正比不同类型的能量可以叠加同类型的能量不可以叠加横力弯曲时的剪切变形能通常忽略变形能计算的要点第二节功的互等定理及位移互等定理第九章能量方法初步第二节功的互等定理及位移互等定理一、功的互等定理对于线弹性体（梁、桁架、框架等），第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。第二节功的互等定理及位移互等定理[证明]注:由于在F2作用之前F1已经作用在梁上，因此F1在F2引起的位移D12上作功是常力作功F1

D12两次加载作的功应等于弹性体存储的应变能。而应变能与加载次序无关（若有关，则和能量守恒相矛盾）。第二节功的互等定理及位移互等定理二、位移互等定理若F1=F2

F1作用点沿F1方向由于F2而引起的位移D12,等于F2作用点沿F2方向由于F1引起的位移D21.上述互等定理中的力和位移都应理解为广义的，如果力换成力偶，则相应的位移应当是角位移。一个力作用在2点时，在1点所引起的位移等于该力作用在1点时，在2点所引起的位移.第二节功的互等定理及位移互等定理例9-3如图所示悬臂梁，已知梁的抗弯刚度为EI,若B点的垂直位移为0，试用互等定理求FB第二节功的互等定理及位移互等定理[解]第一组力:F,FB第二组力:F0=1(单位力)根据功互等定理，第一组力在第二组力引起的位移作功等于第二组力在第一组力引起的位移作功计算D1,D2（第二组力，查P78表4-2）

第一组力在第二组力引起的位移上作功:第二节功的互等定理及位移互等定理第一组力在第二组力引起的位移上作功:第二组力在第一组力引起的位移上作功为0（第一组力引起B点位移为0）:由功的互等定理第二节功的互等定理及位移互等定理另解思路：

第一组力F，第二组力FB。

两组力分别单独作用时，在B点的挠度代数和为0，可列出两组力之间的关系。

第二节功的互等定理及位移互等定理课堂练习:如图所示简支梁，已知梁中点C作用F力时，B截面的转角:试求在B截面作用力偶矩M时，C的挠度DC第二节功的互等定理及位移互等定理课堂练习解答根据功的互等定理，F力在M所引起的位移上所作的功等于M在F力所引起的位移（角位移）上所作的功，即方向向下第三节

卡氏第二定理第九章能量方法初步第三节

卡氏第二定理结构因外力作用而存储的应变能：力Fi有一个增量dFi，则应变能增量（功增量）略去高阶小量第一组力第二组力根据功互等定理：若dFi趋于0卡氏第二定理(通常称卡氏定理):线弹性杆件或杆系的应变能对于作用在该杆系上某一载荷的变化率等于该载荷相关的位移。第三节卡氏第二定理若将结构的应变能Vε表示为F1,F2,…Fi…的函数，则应变能对任一载荷Fi的偏导数等于Fi的作用点沿Fi方向的位移Δi.2.梁：横力弯曲1.桁架：各杆均受轴向力拉伸（压缩）第三节卡氏第二定理卡氏定理的具体应用：用卡氏定理求结构某处位移时，该处需有与所求位移相应的载荷（力或力偶），若该处没有与此位移对应的载荷，则可采用附加力法。第三节卡氏第二定理3.轴：扭转即在该点沿位移方向虚设一个广义力F,运用卡氏定理求广义位移，求出位移