电工技术及技能训练(第2版) 第2章

第2章直流电路的计算

教学导航教知识重点1．直流电路的概念2．电阻的混联3．电位、电能的计算4．基尔霍夫定律5．叠加定理6．戴维南定理知识难点用基尔霍夫定律、叠加定理、戴维南定理计算复杂直流电路推荐教学方式从工作任务入手，从实际问题出发，讲解如何分析复杂电路建议学时6学时学推荐学习方法观察复杂实际电路，了解电路组成，分析电路工作原理和常见电路故障及排除方法，在老师指导下动手练习必须掌握的理论知识1．电阻的混联2．电位的计算3．基尔霍夫定律4．叠加定理5．戴维南定理需要掌握的工作技能1．正确分析电路组成2．正确计算复杂电路任务2.1简单直流电路的计算直流电路是指电路中电流为直流的电路。2.1.1电阻的串联计算将若干个电阻元件顺序地无分支地连接起来，这种连结方式称为电阻的串联，这种电路称为串联电路。如图2.1所示。图2.1电阻的串联

自己动手：测量图2.2中R1、R2，电压U1、U2，电流I、I1、I2，电阻RAB，功率PAB、P1、P2（每人一个电路，一块万用表）。图2.2自己动手电路参数：外加电压U=6V。测量结果：Ul=2V，U2=4V，I1=I2=I=lmA，R1=2kΩ、R2=4kΩ，RAB=6kΩ，PAB=6mW，P1=2mW，P2=4mW。由测量结果可知，电阻的串联具有如下特点：流过各串联电阻的电流相等I=I1=I2（2.1）总串联电阻的电压等于各串联电阻的电压之和U=Ul＋U2

（2.2）

串联电阻的等效电阻等于各电阻之和

RAB=R1＋R2（2.3）串联电阻的总功率等于各电阻功率之和

PAB=P1＋P2=U1I＋U2I=UI

（2.4）上述结论可推广到两个以上电阻的串联。2.1.2电阻的并联计算将若干个电阻元件都接在两个共同端点之间，这种连接方式称为并联，这种电路称为并联电阻电路，如图2.3所示。图2.3电阻的并联

自己动手：测量图2.4中的R1、R2，电压U1、U2，电流I、I1、I2，电阻RAB，功率PAB、P1、P2（每人一个电路，一块万用表，已知电路参数U=6V）。

图2.4自己动手

测量结果：

R1=6KΩ，R2=3kΩ，I1=lmA，I2=2mA，I=3mA；电阻两端电压都是U=6V；RAB=2kΩ；P1=6mW，P2=12mW，PAB=18mW。由测量结果可知，电阻并联具有如下特点：并联的各电阻元件承受同一电压

U=U1=U2（2.5）流过并联各支路电阻元件的电流之和等于并联总电流I=I1＋I2

（2.6）电阻并联的等效电阻的倒数等于各支路电阻元件电阻倒数之和

并联电阻的总功率等于各电阻元件功率之和

PAB=P1＋P2=UI1＋UI2=UI

（2.8）上述结论可推广到两个以上电阻的并联。（2.7）2.1.3电阻的串并联计算

电路中既有电阻串联又有电阻并联的连接称为串并联。电阻的串并联在实际应用中十分普遍。图2.5、图2.6是两种基本的串并联电路。图2.5是R1和R2串联后再与R3并联的电路，称为“先串后并”的结构，其等效电阻可写成R＝(Rl+R2)//R3图2.5先串后并

图2.6先并后串图2.6是R2和R3并联后再与R1串联的电路，称为“先并后串”的结构，其等效电阻可写成R＝Rl+R2//R3分析串并联电路，关键在于分清各电阻的串并联关系，然后采用逐步合并的化简方法，最后求出等效电阻。例2.1如图2.7所示的电路。求：a、b间的等效电阻。图2.7例2.1

解：从电路结构看，R1与R2并联，R3与R4并联，然后再串联，而R5被短接，故a、b间的等效电阻可写成R＝Rl//R2+R3//R4例2.2如图2.8所示电路。求：a、b间的等效电阻。图2.8例2.2图2.9例2.2等效电阻解：电路中虽然只有四个电阻，却不太容易分清它们的连接关系。解决的方法是改画电路图，电阻R2的右端连在c点与连在a点是一样的，改画一下，如图2.9所示，很明显Rl和R2是并联的，于是a、b间的等效电阻可写为R＝(Rl//R2+R3)//R4例2.3如图2.10所示电路。求：电流I。图2.10例2.3图2.11例2.3等效电路解：由图2.10可见两个8Ω电阻是并联，其等效电阻R’＝8//8＝4Ω；电阻3Ω与6Ω也是并联，其等效电阻R”＝3//6＝2Ω。导线ab可以缩为一点，电路化简为图2.11所示电路。算出总电流I=18/(4+2)=3A例2.4如图2.12电路。求：a、b间的等效电阻。图2.12例2.4

图2.13例2.4等效电路解：这个电路的电阻较多，不太容易分清各电阻的连接关系。解决的方法是，将明显的串联或并联的电阻，化简为一个等效电阻，其他的电阻保留不动，用这种局部化简的方法来减少电阻个数，逐步明确电路的结构。在图2.12中，可以看出R1与R2并联，用R12＝R1//R2来替换；R3与R4也是并联，用R34＝R3//R4来替换，如图2.13所示。这样由图2.13可以清楚地看出：R34与R6串联后与R5并联，再与R12串联后与R7并联，经整理得R＝[R1//R2+(R3//R4+R6)//R5]//R7自己动手：测量单个电阻的阻值和串并联后的总阻值（每人三只电阻，一块万用表）。任务2.2复杂直流电路的计算2.2.1用基尔霍夫定律计算前面我们学过运用欧姆定律和电阻串并联公式可以求解简单的电路，如图2.14所示的电路有两个电源，用前面学过的知识，已不易求解，这样的电路称为复杂电路，为了解决这个问题，德国科学家基尔霍夫通过实验在1845年提出：在任一时刻，流入任一个节点的电流之和等于从该节点流出的电流之和，即∑Ii=∑Io

（2.9）人们称它为基尔霍夫电流定律，简称KCL。定律中提到了节点和支路的概念，节点是指三条和三条以上的支路的连接点。如图2.14中A点和B点都是节点。支路是指每一段不分支的电路称为支路。如图2.14中AaB，AbB，AdcB都是支路。支路AaB，AdcB中有电源称为含源支路，支路AbB中没有电源称无源支路。图2.14两电源电路例2.5对图2.14所示电路，列出节点A、B的电流方程。解：先选定各支路电流的参考方向如图2.15所示。若设流入节点的电流前面取正号，则流出节点的电流前面取负号。图2.15电流的参考方向根据KCL节点A：I1+I3=I2

节点B：I2=I1+I3我们把上面节点A或节点B的电流方程也可改写为

节点A：I1+I3—I2=0

节点B：I2—I1—I3=0即

∑I=0这就是说，任一时刻，流经电路任一节点的所有电流的代数和恒等于零。可以看出节点A和节点B的电流方程是相同的。上面两个式子是相同的。所以对于具有两个节点的电路只能列出一个独立的节点电流方程。同理，对于具有n个节点的电路，只能列出n一1个独立的节点电流方程。例2.6

图2.16中，在给定的电流参考方向下，已知I1=2A，I2=-6A，I3=2A，I4=-5A。求：I5。图2.16例2.6

解：利用KCL写出节点A：－I1－I2－I3－I4＋I5=0将已知数据代入－2－(－6)－2－(－5)＋I5=0得I5=－7AI5为负值，说明I5是流出节点的电流。由例题可以看出：凡应用KCL时，均应按电流的参考方向来列方程式。自己动手：测量具有两个电源和两个节点的电路中支路的电流是否符合基尔霍夫电流定律（一人一个安全电压电路，一块万用表）。

基尔霍夫通过实验还指出：在任一时刻，电路中任一闭合回路内电压源电压（电位升）的代数和等于电压降(电位降)的代数和。即

∑Us=∑U

（2.10）人们称它为基尔霍夫电压定律，简称KVL。

如果电路中的电压降都是电阻电压降，也可写成

∑Us=∑IR

（2.11）应用（式2.11）列方程时，式中各项符号的正负，按下列规则确定：1.先选定回路的绕行方向。2.方程左边电压源的电压，若电压参考方向与绕行方向一致，则该电压源电压取负号，反之取正号。3.方程右边电阻的电压，若电流参考方向与绕行方向一致，则电压降RI取正号，反之取负号。定律中提到了回路的概念，回路是指电路中任一闭合路径。如图2.15中AbBaA，AdcBbA，AdcBaA都是回路。只有一个回路的电路叫做单回路电路。有时用到网孔和网络的概念，网孔是指在电路中不含有支路的回路。如AbBaA和AdcBbA都是网孔，而AdcBaA则不是网孔。网络是指整个电路。例2.7

对图2.14所示电路，列出回路的电压方程。解：先选定各支路电流的参考方向和回路的绕行方向，如图2.17所示，根据KVL列出网孔AdcBba：一Us2=一I2R2一I3R3网孔AbBaA：Us1=I1R1+I2R2回路AdcBaA：Us1一Us2=I1R1一I3R3

图2.17支路电流的参考方向和回路的绕行方向上面三个方程中的任何一个方程都可以从其他两个方程中导出。因此，只有两个电压方程是独立的，通常选用网孔的电压方程。若将式(2.10)中的∑Us移到∑U的同一侧，这时式(2.10)也可表示为

∑U一∑Us=0(2.12)即，基尔霍夫电压定律也可表述为：任一时刻，电路中任一闭合回路内各段电压的代数和恒等于零。在应用式（式2.12）列回路电压方程时，前面的符号规定如下：首先选定回路的绕行方向；凡电压的参考方向与绕行方向相同就在该电压前面取“十”号，反之则取“一”号。自己动手：测量具有两个电源和两个网孔的电路中各元件的电压是否符合基尔霍夫电压定律（一人一个安全电压电路，一块万用表）。电路的分析是指按已给定电路的结构和参数计算电路的有关的物理量。例如，给定电路的联结方式、电路中电阻和电源的数值，去求某一元件上的电压或某一支路的电流。以支路电流为末知量，然后列出和末知量数目相等的方程式，再联立解方程组，这种解题方法称为支路电流法。其方法和步骤以下面的例题来说明。例2.8图2.14所示电路中，已知R1=10Ω，R2=5Ω，R3=5Ω，Us1=12v，Us2=6V。求：R1

、R2

、R3所在支路电流I1、I2、I3。解：1.先假定各支路电流的参考方向，如图2.18所示。图2.18支路电流的参考方向和回路的绕行方向2.根据KCL列出节点电流方程，由节点A得到I1+I3－I2=03.选定回路的绕行方向，如图2.18所示。4.根据KVL列出两个网孔的电压方程。网孔AdcBbA：－Us2=－I2R2－I3R3

网孔AbBaA：Us1=I1R1+I2R2

代入电路参数，得方程组

I1+I3－I2=0－6=－5I2－5I3

12=10I1+5I2

解方程组，得

I1=0.72A，I2=0.96A，

I3=0.24A2.2.2用叠加定理计算

除了基尔霍夫定律外还有没有其他的方法求解复杂电路呢？叠加定理就是一个求解线性复杂电路中的一个基本定理，它反映了线性电路的基本性质。其内容是：线性电路中任一支路的电流(或电压)，是每一个电源(指独立源)单独作用时在该支路中所产生的电流(或电压)的代数和。

其中定理里所说的电源单独作用，是指当这个电源单独作用于电路时，其他电源都要取零值，也就是电压源用短路代替，电流源用开路代替。下面通过例题来说明应用叠加定理解题的方法。例2.9

如图2.14所示电路，其中Rl=10Ω，R2＝R3＝5Ω，US1＝12V，US2＝6V。求：R1

、R2

、R3所在支路电流（用叠加定理）。解：图2.14电路中含有两个电压源，第一步要选定电流的参考方向，如图2.15所示。第二步画出每个电源单独作用时的电路图。US1单独作用的电路图如图2.19所示。其中电源US2已用短路线代替，各电阻保留不动，各支路电流为I1、I2和I3，称为电流分量。US2单独作用的电路图如图2.20所示。其中电源US1已用短路线代替，各个电阻保留不变，电流分量为I1、I2和I3，在图中标出它们的参考方向。然后分别对各分解的电路图进行计算，求出各电流分量的数值。图2.19US1单独作用图2.20US2单独作用在图2.19中，对电源US1两端，等效电阻R1`＝R1+R2//R3＝10+5//5＝12.5Ω在图2.20中，对电源US2两端，等效电阻

即

R3+Rl//R2=5+10//5=25/3Ω最后将各对应支路的电流分量叠加，求出该支路的总电流。叠加时各电流分量的符号以原电路图，即以图2.15对应支路电流的参考方向为标准，相同取正，相反取负。这与前面用支路电流法求解的例2.8的计算结果一样。由此例可知，应用叠加定理可以将一个多电源的复杂电路分解化为几个单电源的简单电路，从而使分析计算得到简化。应用叠加定理求解电路时要注意下面几点：1.应用叠加定理时，必须保持原电路的参数及结构不变。当某一个电源单独作用时，其他电源都应取为零值，即电压源短路，电流源开路，电源的内阻要保留不动。2.在进行叠加时，要注意各个分量在电路图中标出的参考方向。如果分量的参考方向与原图中总量的参考方向一致，叠加时取正号，相反时取负号。3.叠加定理仅仅适用于计算线性电路中的电流或电压，不适用计算功率。因为功率与电流或电压之间不是线性关系。例如，流过电阻R的总电流是由两个分电流叠加，即I＝I’+I”那么电阻消耗的功率

P＝I2R＝(I’+I’’)2R≠I’2R+I”2R例2.10求解图2.21所示电路中的电流I1和I2，及电流源两端的电压U（用叠加定理）。图2.21例2.10解：在图2.21中含有一个电压源和一个电流源的直流电路。要利用叠加定理，第一步正确画出一个电源单独作用的电路图。电流源单独作用的电路如图2.22所示；电压源单独作用的电路如图2.23所示，注意原电流源位置已被开路代替。图2.22电流源单独作用图2.23电压源单独作用在图2.22中，由分流公式

I’1=3x6/(6+3)=2A

I’2=3-2＝1A在图2.23中，只有一个回路，电流

I”1=I”2==4A叠加求出总电流

Il＝一I’1+I”1＝一2+4＝2A

I2＝I’2+I”2＝1+4＝5A计算电流源的端电压

U＝5x3+6I2＝15+6x5＝45V利用叠加定理不仅可以简化线性电路的计算，而且它是所有线性电路基本性质的一个重要原理，它是分析研究线性电路的重要方法和理论依据，常用来推导线性电路的其他一些定理，同时它又是分析非正弦交流电路、电路过渡过程的基础2.2.3用戴维南定理计算在复杂电路的分析和计算中，往往碰到的是只需要研究某一支路的电流和电压，而不必把所有支路的电流、电压都计算出来，这时应用戴维南定理进行计算，就比较方便快捷。1883年法国工程师戴维南在多年实践的基础上提出：任何一个有源二端网络都可以用一个电压源与电阻相串联的等效电路来代替。这个电压源电压就是有源二端网络的开路电压UOC，这个电阻就是该网络中所有电压源短路、电流源开路时的等效电阻RO，RO又称输出电阻或内阻。我们称它为戴维南定理，又称等效电压源定理。二端网络是指与外电路只有两个出线端相连接的电路。如果电路内部含有电源则称为有源二端网络，用标注N的大方框来表示，如图2.24(a)所示。如果电路内部不含有电源的称为无源二端网络，用标注N0的方框来表示，如图2.24(b)所示。a)

图2.24二端网络b)对于无源二端网络，如果内部是电阻电路，我们总能简化为一个等效电阻。对于有源二端网络，不论它内部是简单电路还是任意复杂的电路，从外电路来看，仅相当于一个电源作用，它对接在两端的外电路提供电能。因此有源二端网络一定可以化简为一个等效电源。在经过这种等效变换后，接在两端的外电路中的电流和其两端的电压没有任何改变。例2.11求如图2.25所示有源二端网络的戴维南等效电路。图2.25例2.11解：先求有源二端网络的开路电压ＵＯＣ，电流、电压的参考方向如图2.26所示。图2.26电流、电压的参考方向再求等效电阻Ro，如图2.27所示，电压源短路，则有

R0=RAB=R1//R2=＝＝3.3Ω图2.27电压源短路

图2.28等效电路因此，所求的戴维南等效电路如图2.28所示。戴维南定理的突出优点是实践性强，其等效电路的参数Uoc与Ro可以直接测得。自己动手：戴维南等效电路参数的测定（每人一块安全电压线路板，一块万用表）。图2.29自己动手1.测定有源二端网络的开路电压Uoc，如图2.29所示，开关Q打开，用电压表测出A、B两端的电压U1，即为有源二端网络的开路电压

UOC=U12.测定内阻Ro，如图2.29所示，开关Q闭合，再用电压表测出接上负载后A、B两端的电压U2。任务2.3热能的计算（焦耳—楞次定律）电压使导体内电荷在电场力作用下定向运动，不断与原子发生碰撞而产生热量，并使导体温度升高，电能转化为热能，这种现象叫做电流的热效应，其原因是导体有电阻。由于电阻元件是耗能元件，它吸收功率常会引起温度的升高。英国物理学家焦耳和俄国科学家楞次各自做了大量的实验，证明了这种电流的热效应现象，焦耳和楞次指出：电流流过导体产生的热量Q与电流I的平方成正比，与导体的电阻R成正比，与通电的时间t

成正比。人们称它为焦耳—楞次定律，即

Q=I2Rt或Q=IUt，Q=U2(2.13)上式中电流的单位为安培(A)，电压的单位为伏特(V)，电阻的单位为欧姆(Ω)，时间的单位为秒(s)，则热量的单位是焦耳(J)。应当注意，焦耳—楞次定律只适用于纯电阻电路，此时电流所做的功W将全部转变成热量Q，即Q＝U2t/R如果不是纯电阻电路，如电路中还包含有电动机、电解槽等用电器，那么，电能除部分转化为内能使温度升高外，还要转化为机械能、化学能等其他形式的能，这时，电功仍等于IUt，生成的热量也仍等于I2Rt，只是IUt>I2Rt，在这种情况下，不能再用I2Rt或U2

来计算电功了。电流的热效应有广泛的应用，如电炉、电烙铁、电烘箱等电热设备就是利用电流的热效应来产生足够的热量；白炽灯则是通过使钨丝发热到白炽状态而发光。但电流的热效应在很多情况下也是有害的，例如电动机、变压器等在运行中会使通电导线温度升高，加速绝缘材料的老化变质，导致漏电，甚至烧毁设备等等，所以应想方设法把产生的热量及时散发出来，以延长设备的使用寿命。为了使电器元件和电器设备能长期安全工作，一般规定一个最高工作温度。其工作温度取决于热量，而热量是由电流、电压或电功率决定的。因而在使用电器时，要首先了解电器设备铭牌上标出的各种额定值，使运行中的实际值不超过额定值。当通过电器设备的电流或所加的电压超过额定值时，可能会造成电气设备的损坏，反之，当通过电器设备的电流或所加的电压比额定值小很多时，会使电气设备工作不正常(如电压过低，使电灯亮度不够)，不能充分利用电器设备的工作能力。例2.12有一功率为2000W的电炉。问：10分钟产生的热量是多少?解：Q＝IUt＝Pt＝2000x10x60＝1.2x106J任务2.4电位的计算在电路分析中经常用到电位这一物理量。有时根据电路中某些点电位的高低直接来分析电路的工作状态。在电路中任选一点(如图2.30所示O点)为参考点，则某点(如A点)到参考点的电压就叫做这一点的电位(相对于参考点)。用符号UA表示。可知UA＝UAO。图2.30电位的计算自己动手：在下列两种情况下，测量图2.31所示电路中UA0和UBO

的电压（每人一块安全电压线路板，一块万用表，已知：l.U=6V，此时小灯泡亮；2.U=一6V，此时小灯泡不亮。）图2.31自己动手测量结果：l.U=6V灯亮时：UAO=6V，UB0=5.7V。2.U=一6V灯不亮时：UAO=一6V，UBO=0V。如果Uo=0V，则可以认为：只有当二极管正极电位UA大于二极管负极的电位UB时，电路中才有电流通过，灯泡亮；反之，电路中没有电流通过，灯不亮。因此，根据电路中A点和B点电位大小就可以判断二极管电路中有无电流。利用电路中一些点的电位来分析电路的工作情况，在电子电路中是十分有用的。电路中各点电位是相对的物理量，若不选定参考点，就无法确定各点的电位值。上述测量中，以O点为参考点，则A点和B点的电位分别为UA=6V，UB=5.7V。这里，参考点O的电位Uo=0V，因此参考点又称为零电位点。零电位点可以任意选定，但一经选定其他各点电位的计算即以该点为准。如果换一个参考点，则各点电位也就不同，即电位随参考点的选择而变化。因此在电路中不指定参考点而谈论各点的电位是没有意义的。在工程中常选大地作为参考点，电子线路常取公共点或机壳作为电位的参考点，参考点电位为零伏。电位虽然是指某一点而言，但实际上是两点之间的电压，只不过这第二点是已规定了的，是指参考点。如上述测量中，UA实际上是指A点和O点之间的电压。因此会计算电路中任意两点的电压，也就会计算电路中任一点的电位。要计算电路中某点的电位，就是从该点出发，沿着任意选定的一条路径到零电位点，则该点的电位就等于这条路径上全部电压的代数和。具体方法和步骤用下面的例题来说明。例2.13在图2.30中，已知R1=10Ω、R2=5Ω、R3=3Ω、R4=2Ω；Us1=13V、Us2=6V；I1=0.8A、I2=1A、I3=0.2A。求：A、B、C各点的电位。解：各支路电流参考方向和电源电压参考极性如图2.30所示。1.选取O点为参考点，即Uo=0V。2.C点的电位：可选定C→Us1→O这条最简单的路径，由于只经过电源Us1，显然UC=Us1=13V。3.B点的电位：选取路径B→R2→O，得

UB=I2R2=1×5=5V4.A点的电位：选取路径A→Us2→R4→O，得UA=Us2－I3R4=6－0.2×2=5.6V注意：参考点选定以后，电路中各点电位就有了确定的值，但该电位值与计算时所选择的路径无关。因此，例2.13中A、B、C三点电位也可以经过其他路径计算，结果完全相同。例如A点电位可通过三条不同的路径来求出：

UA=Us2－I3R4=I3R3＋I2R2=I3R3－I1R1

＋Us1=5.6V从例2.13中还可以看出，电路中两点电压就等于该两端点的电压之差，如UCB=UC－UB=UC0－UB0=13－5=8V从上述分析也可以看出，电路中两点电压