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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年甘肃有色冶金职业技术学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.两平行直线x+3y-4=0与2x+6y-9=0的距离是
______.答案:由直线x+3y-4=0取一点A,令y=0得到x=4,即A(4,0),则两平行直线的距离等于A到直线2x+6y-9=0的距离d=|8-9|22+62=1210=1020.故为:10202.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算K2=7.069,则所得到的统计学结论是:有()的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”.
P(k2≥k0)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
A.0.1%
B.1%
C.99%
D.99.9%答案:C3.已知三点A(1,2),B(2,-1),C(2,2),E,F为线段BC的三等分点,则AE•AF=______.答案:∵A(1,2),B(2,-1),C(2,2),∴AB=(1,-3),BC=(0,3),AE=AB+13BC=(1,-2),AF=AB+23BC=(1,-1),∴AE•AF=1×1+(-2)×(-1)=3.故为:34.在程序语言中,下列符号分别表示什么运算*;\;∧;SQR;ABS?答案:“*”表示乘法运算;“\”表示除法运算;“∧”表示乘方运算;“SQR()”表示求算术平方根运算;“ABS()”表示求绝对值运算.5.已知方程(1+k)x2-(1-k)y2=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围为(
)
A.-1<k<1
B.k>1
C.k<-1
D.k>1或k<-1答案:A6.过点A(0,2),且与抛物线C:y2=6x只有一个公共点的直线l有()条.A.1B.2C.3D.4答案:∵点A(0,2)在抛物线y2=6x的外部,∴与抛物线C:y2=6x只有一个公共点的直线l有三条,有两条直线与抛物线相切,有一条直线与抛物线的对称轴平行,故选C.7.一位运动员投掷铅球的成绩是14m,当铅球运行的水平距离是6m时,达到最大高度4m.若铅球运行的路线是抛物线,则铅球出手时距地面的高度是()
A.2.25m
B.2.15m
C.1.85m
D.1.75m
答案:D8.已知集合A={0,1,2},集合B={x|x=2a,a∈A},则A∩B=()A.{0}B.{2}C.{0,2}D.{1,4}答案:B={0,2,4},∴A∩B={0,2},故选C9.一圆形纸片的圆心为点O,点Q是圆内异于O点的一定点,点A是圆周上一点.把纸片折叠使点A与Q重合,然后展平纸片,折痕与OA交于P点.当点A运动时点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案:如图所示,由题意可知:折痕l为线段AQ的垂直平分线,∴|AP|=|PQ|,而|OP|+|PA|=|OA|=R,∴|PO|+|PQ|=R定值>|OQ|.∴当点A运动时点P的轨迹是以点O,D为焦点,长轴长为R的椭圆.故选B.10.已知复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数,则实数m=______.答案:当m2-5m+6=0m2-3m≠0时,即m=2或m=3m≠0且m≠3⇒m=2时复数z为纯虚数.故为:2.11.平面上动点M到定点F(3,0)的距离比M到直线l:x+1=0的距离大2,则动点M满足的方程()
A.x2=6y
B.x2=12y
C.y2=6x
D.y2=12x答案:D12.已知双曲线x2-y22=1,经过点M(1,1)能否作一条直线l,使直线l与双曲线交于A、B,且M是线段AB的中点,若存在这样的直线l,求出它的方程;若不存在,说明理由.答案:设过点M(1,1)的直线方程为y=k(x-1)+1或x=1(1)当k存在时有y=k(x-1)+1x2
-y22=1得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0
(1)当直线与双曲线相交于两个不同点,则必有△=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0,k<32
又方程(1)的两个不同的根是两交点A、B的横坐标∴x1+x2=2(k-k2)2-k2
又M(1,1)为线段AB的中点∴x1+x22=1
即k-k22-k2=1
k=2
∴k=2,使2-k2≠0但使△<0因此当k=2时,方程(1)无实数解故过点m(1,1)与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在.(2)当x=1时,直线经过点M但不满足条件,综上,符合条件的直线l不存在13.编程序,求和s=1!+2!+3!+…+20!答案:s=0n=1t=1WHILE
n<=20s=s+tn=n+1t=t*nWENDPRINT
sEND14.若一次函数y=mx+b在(-∞,+∞)上是增函数,则有()A.b>0B.b<0C.m>0D.m<0答案:∵一次函数y=mx+b在(-∞,+∞)上是增函数,∴一次项系数m>0,故选C.15.一个箱子中装有质量均匀的10个白球和9个黑球,一次摸出5个球,在已知它们的颜色相同的情况下,该颜色是白色的概率是______.答案:10个白球中取5个白球有C105种9个黑球中取5个黑球有C95种∴一次摸出5个球,它们的颜色相同的有C105+C95种∴一次摸出5个球,在已知它们的颜色相同的情况下,该颜色是白色的概率=C510C510+C59=23故为:2316.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()A.a=(0,0),b=(1,-2)B.a=(1,-2),b=(2,-4)C.a=(3,5),b=(6,10)D.a=(2,-3),b=(6,9)答案:可以作为基底的向量需要是不共线的向量,A中一个向量是零向量,两个向量共线,不合要求B中两个向量是a=12b,两个向量共线,C项中的两个向量也共线,故选D.17.在极坐标系中,已知点P(2,),则过点P且平行于极轴的直线的方程是()
A.ρsinθ=1
B.ρsinθ=
C.ρcosθ=1
D.ρcosθ=答案:A18.若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则tanaπ6=______.答案:将(a,9)代入到y=3x中,得3a=9,解得a=2.∴tanaπ6=tanπ3=3故为:319.如图,AC、BC分别是直角三角形ABC的两条直角边,且AC=3,BC=4,以AC为直径作圆与斜边AB交于D,则BD=______.答案:连CD,在Rt△ABC中,因为AC、BC的长分别为3cm、4cm,所以AB=5cm,∵AC为直径,∴∠ADC=90°,∵∠B公共角,可得Rt△BDC∽Rt△BCA,∴BD=165,故为:16520.直线kx-y=k-1与直线ky=x+2k的交点在第二象限内,则k的取值范围是
______.答案:联立两直线方程得kx-y=k-1①ky=x+2k②,由②得y=x+2kk③,把③代入①得:kx-x+2kk=k-1,当k+1≠0即k≠-1时,解得x=kk-1,把x=kk-1代入③得到y=2k-1k-1,所以交点坐标为(kk-1,2k-1k-1)因为直线kx-y=k-1与直线ky=x+2k的交点在第二象限内,得kk-1<02k-1k-1>
0解得0<k<1,k>1或k<12,所以不等式组的解集为0<k<12则k的取值范围是0<k<12故为:0<k<1221.若数列{an}是等差数列,对于bn=1n(a1+a2+…+an),则数列{bn}也是等差数列.类比上述性质,若数列{cn}是各项都为正数的等比数列,对于dn>0,则dn=______时,数列{dn}也是等比数列.答案:在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时,我们一般的思路有:由加法类比推理为乘法,由减法类比推理为除法,由算术平均数类比推理为几何平均数等,故我们可以由数列{cn}是等差数列,则对于bn=1n(a1+a2+…+an),则数列{bn}也是等差数列.类比推断:若数列{cn}是各项均为正数的等比数列,则当dn=nC1C2C3Cn时,数列{dn}也是等比数列.故为:nC1C2C3Cn22.用反证法证明命题:“三角形的内角至多有一个钝角”,正确的假设是()
A.三角形的内角至少有一个钝角
B.三角形的内角至少有两个钝角
C.三角形的内角没有一个钝角
D.三角形的内角没有一个钝角或至少有两个钝角答案:B23.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12答案:抛物线y2=8x的准线为x=-2,∵点P到y轴的距离是4,∴到准线的距离是4+2=6,根据抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6故选B24.已知三角形ABC的一个顶点A(2,3),AB边上的高所在的直线方程为x-2y+3=0,角B的平分线所在的直线方程为x+y-4=0,求此三角形三边所在的直线方程.答案:由题意可得AB边的斜率为-2,由点斜式求得AB边所在的直线方程为y-3=-2(x-2),即2x+y-7=0.由2x+y-7=0x+y-4=0
求得x=3y=1,故点B的坐标为(3,1).设点A关于角B的平分线所在的直线方程为x+y-4=0的对称点为M(a,b),则M在BC边所在的直线上.则由b-3a-2=-1a+22+b+32-4=0
求得a=1b=2,故点M(1,2),由两点式求得BC的方程为y-12-1=x-31-3,即x+2y-5=0.再由x-2y+3=0x+2y-5=0求得点C的坐标为(2,52),由此可得得AC的方程为x=2.25.下列函数图象中,正确的是()
A.
B.
C.
D.
答案:C26.在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n次测量分别得到a1,a2,…,an,共n个数据.我们规定所测量的“量佳近似值”a是这样一个量:与其他近似值比较,a与各数据的差的平方和最小.依此规定,从a1,a2,…,an推出的a=______.答案:∵所测量的“量佳近似值”a是与其他近似值比较,a与各数据的差的平方和最小.根据均值不等式求平方和的最小值知这些数的底数要尽可能的接近,∴a是所有数字的平均数,∴a=a1+a2+…+ann,故为:a1+a2+…+ann27.设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验,当p=______时,成功次数的标准差的值最大,其最大值为______.答案:由独立重复试验的方差公式可以得到Dξ=npq≤n(p+q2)2=n4,等号在p=q=12时成立,∴Dξ=100×12×12=25,σξ=25=5.故为:12;528.将n2个正整数1,2,3,…,n2填入n×n方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形就叫做n阶幻方.记f(n)为n阶幻方对角线的和,如右表就是一个3阶幻方,可知f(3)=15,则f(4)=()
816357492A.32B.33C.34D.35答案:由等差数列得前n项和公式可得,所有数之和S=1+2+3+…+42=16?(1+16)2=136,所以,f(4)=1364=34,故选C.29.若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y2=2x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为()A.(0,0)B.(12,1)C.(1,2)D.(2,2)答案:由题意得F(12,0),准线方程为x=-12,设点M到准线的距离为d=|PM|,则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|,故当P、A、M三点共线时,|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=3-(-12)=72.把y=2代入抛物线y2=2x得x=2,故点M的坐标是(2,2),故选D.30.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190L,假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm,求它的深度.答案:由于台体的体积V=13(S+SS′+S′)h,则h=3VS+SS′+S′=3×1900003600+2400+1600=75cm.故它的深度为75cm.31.下列各个对应中,从A到B构成映射的是()A.
B.
C.
D.
答案:按照映射的定义,A中的任何一个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.而在选项A和选项B中,前一个集合中的元素2在后一个集合中没有元素与之对应,故不符合映射的定义.选项C中,前一个集合中的元素1在后一集合中有2个元素和它对应,也不符合映射的定义,只有选项D满足映射的定义,故选D.32.已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为______.答案:∵a+2b+3c=6,∴根据柯西不等式,得(a+2b+3c)2=(1×a+1×2b+1×3c)2≤(12+12+12)[a2+(2b)2+(3c)2]化简得62≤3(a2+4b2+9c2),即36≤3(a2+4b2+9c2)∴a2+4b2+9c2≥12,当且仅当a:2b:3c=1:1:1时,即a=2,b=1,c=23时等号成立由此可得:当且仅当a=2,b=1,c=23时,a2+4b2+9c2的最小值为12故为:1233.已知圆C:x2+y2-4x-5=0.
(1)过点(5,1)作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C的弦AB的中点P(3,1),求AB所在直线方程.答案:由C:x2+y2-4x-5=0得圆的标准方程为(x-2)2+y2=9-----------(2分)(1)显然x=5为圆的切线.------------------------(4分)另一方面,设过(5,1)的圆的切线方程为y-1=k(x-5),即kx-y+1-5k=0;所以d=|2k-5k+1|k2+1=3,解得k=-43于是切线方程为4x+3y-23=0和x=5.------------------------(7分)(2)设所求直线与圆交于A,B两点,其坐标分别为(x1,y1)B(x2,y2)则有(x1-2)2+y21=9(x2-2)2+y22=9两式作差得(x1+x2-4)(x2-x1)+(y2+y1)(y2-y1)=0--------------(10分)因为圆C的弦AB的中点P(3,1),所以(x2+x1)=6,(y2+y1)=2
所以y2-y1x2-x1=-1,故所求直线方程为
x+y-4=0-----------------(14分)34.某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需时间,采取了两种抽样调查的方式:第一种由学生会的同学随机对24名同学进行调查;第二种由教务处对年级的240名学生编号,由001到240,请学号最后一位为3的同学参加调查,则这两种抽样方式依次为()A.分层抽样,简单随机抽样B.简单随机抽样,分层抽样C.分层抽样,系统抽样D.简单随机抽样,系统抽样答案:学生会的同学随机对24名同学进行调查,是简单随机抽样,对年级的240名学生编号,由001到240,请学号最后一位为3的同学参加调查,是系统抽样,故选D35.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若CA=a,CB=b,CC1=c,则A1B=()A.a+b-cB.a-b+cC.-a+b+cD.-a+b-c答案:A1B=A1A+AB=-CC1+CB-CA=-c+b-a故选D.36.若正四面体ABCD的棱长为1,M是AB的中点,则MC
•MD
=______.答案:在正四面体中,因为M是AB的中点,所以CM=12(CA+CB),DM=12(DA+DB),所以CM⋅DM=12(CA+CB)⋅12(DA+DB)=14(CA⋅DA+CB⋅DA+CA⋅DB+CB⋅DB)=14(1×1×cos60∘+0+0+1×1×cos60∘)=14×1=14.所以MC
•MD
=CM⋅DM=14.故为:
1
4
.37.若点M是△ABC的重心,则下列向量中与AB共线的是______.(填写序号)
(1)AB+BC+AC
(2)AM+MB+BC
(3)AM+BM+CM
(4)3AM+AC.答案:对于(1)AB+BC+AC=2AC不与AB共线对于(2)AM+MB+BC=AB+BC=AC不与AB对于(3)AM+BM+CM=13(AB+AC)+13(BA+BC)+13(CA+CB)=0与AB对于(4)3AM+AC=AB+AC+AC不与AB故为:(3)38.根据下列条件,求圆的方程:
(1)过点A(1,1),B(-1,3)且面积最小;
(2)圆心在直线2x-y-7=0上且与y轴交于点A(0,-4),B(0,-2).答案:(1)过A、B两点且面积最小的圆就是以线段AB为直径的圆,∴圆心坐标为(0,2),半径r=12|AB|=12(-1+1)2+(1-3)2=12×8=2,∴所求圆的方程为x2+(y-2)2=2;(2)由圆与y轴交于点A(0,-4),B(0,-2)可知,圆心在直线y=-3上,由2x-y-7=0y=-3,解得x=2y=-3,∴圆心坐标为(2,-3),半径r=5,∴所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.39.(几何证明选讲选做题)如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,直线MN切
⊙O于D,∠MDA=45°,则∠DCB=______.答案:连接BD,∵AB为⊙O的直径,直线MN切⊙O于D,∠MDA=45°,∴∠ABD=45°,∠ADB=90°,∴∠DCB=∠ABD+∠ADB=45°+90°=135°.故为:135°.40.不等式≥0的解集为[-2,3∪[7,+∞,则a-b+c的值是(
)A.2B.-2C.8D.6答案:B解析:∵-a、b的值为-2,7中的一个,x≠c
c=3∴a-b=-(b-a)=-(-2+7)=-5a-b+c=-5+3=-2
选B评析:考察考生对不等式解集的结构特征的理解,关注不等式中等号与不等号的关系。41.从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,其中奇数的个数为()
A.432
B.288
C.216
D.108答案:C42.直线3x+5y-1=0与4x+3y-5=0的交点是()
A.(-2,1)
B.(-3,2)
C.(2,-1)
D.(3,-2)答案:C43.某公司的管理机构设置是:设总经理一个,副总经理两个,直接对总经理负责,下设有6个部门,其中副总经理A管理生产部、安全部和质量部,副总经理B管理销售部、财务部和保卫部.请根据以上信息补充该公司的人事结构图,其中①、②处应分别填()
A.保卫部,安全部
B.安全部,保卫部
C.质检中心,保卫部
D.安全部,质检中心
答案:B44.方程x(x2+y2-1)=0和x2-(x2+y2-1)2=0表示的图形是()
A.都是两个点
B.一条直线和一个圆
C.前者为两个点,后者是一条直线和一个圆
D.前者是一条直线和一个圆,后者是两个圆答案:D45.已知A(1,2),B(-3,b)两点的距离等于42,则b=______.答案:∵A(1,2),B(-3,b)∴|AB|=(-3-1)2+(b-2)2=42,解之得b=6或-2故为:6或-246.在区间[-1,1]上任取两个数s和t,则关于x的方程x2+sx+t=0的两根都是正数的概率是[
]A.
B.
C.
D.答案:A47.椭圆x29+y216=1上一动点P到两焦点距离之和为()A.10B.8C.6D.不确定答案:根据椭圆的定义,可知动点P到两焦点距离之和为2a=8,故选B.48.某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则
即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;
(Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率.
(注:本小题结果可用分数表示)答案:(1)该选手进入第四轮才被淘汰的概率.(Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率.解析:(Ⅰ)记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为,则,,,,该选手进入第四轮才被淘汰的概率.(Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率.49.在极坐标系中,曲线ρ=4sinθ和ρcosθ=1相交于点A、B,则|AB|=______.答案:将其化为直角坐标方程为x2+y2-4y=0,和x=1,代入得:y2-4y+1=0,则|AB|=|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y1=(4)2-4=23.故为:23.50.构成多面体的面最少是(
)
A.三个
B.四个
C.五个
D.六个答案:B第2卷一.综合题(共50题)1.设两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=______.答案:∵两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),故两圆圆心在第一象限的角平分线上,设圆心的坐标为(a,a),则有|a|=(a-4)2-(a-1)2,∴a=5+22,或a=5-22,故圆心为(5+22,5+22
)
和(5-22,5-22
),故两圆心的距离|C1C2|=2[(5+22)-(5-22)]=8,故为:82.P是以F1,F2为焦点的椭圆上一点,过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线,垂足为M,则点M的轨迹是()
A.椭圆
B.圆
C.双曲线
D.双曲线的一支答案:B3.等边三角形ABC中,P在线段AB上,且AP=λAB,若CP•AB=PA•PB,则实数λ的值是______.答案:设等边三角形ABC的边长为1.则|AP|=λ|AB|=λ,|PB|=1-λ.(0<λ<1)CP•AB=(CA+AP)•AB=CA•AB+
AP•AB=PA•PB,所以1×1×cos120°+λ×1×cos0°=λ×(1-λ)cos180°.化简-12+λ=-λ(1-λ),整理λ2-2λ+12=0,解得λ=2-22(λ=2+22>1舍去)故为:2-224.直线y=33x绕原点逆时针方向旋转30°后,所得直线与圆(x-2)2+y2=3的交点个数是______.答案:∵直线y=33x的斜率为33,∴此直线的倾斜角为30°,∴此直线绕原点逆时针方向旋转30°后倾斜角为60°,∴此直线旋转后的方程为y=3x,由圆(x-2)2+y2=3,得到圆心坐标为(2,0),半径r=3,∵圆心到直线y=3x的距离d=232=3=r,∴该直线与圆相切,则直线与圆(x-2)2+y2=3的交点个数是1.故为:15.曲线x=sin2ty=sint(t为参数)的普通方程为______.答案:因为曲线x=sin2ty=sint(t为参数)∴sint=y,代入x=sin2t,可得x=y2,其中-1≤y≤1.故为:x=y2,(-1≤y≤1).6.下列各组几何体中是多面体的一组是(
)
A.三棱柱、四棱台、球、圆锥
B.三棱柱、四棱台、正方体、圆台
C.三棱柱、四棱台、正方体、六棱锥
D.圆锥、圆台、球、半球答案:C7.将1,2,3,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法数为()
A.6种
B.12种
C.18种
D.24种
答案:A8.点P(1,3,5)关于平面xoz对称的点是Q,则向量=()
A.(2,0,10)
B.(0,-6,0)
C.(0,6,0)
D.(-2,0,-10)答案:B9.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,CD=2.E,F分别为AD,BC上点,且EF=3,EF∥AB,则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为______.答案:∵E,F分别为AD,BC上点,且EF=3,EF∥AB,∴EF是梯形的中位线,设两个梯形的高是h,∴梯形ABFE的面积是(4+3)h2=7h2,梯形EFCD的面积(2+3)h2=5h2∴梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为7h25h2=75,故为:7:510.方程组的解集是[
]A.
B.{x,y|x=3且y=-7}
C.{3,-7}
D.{(x,y)|x=3且y=-7}答案:D11.直线l过点(-3,1),且它的一个方向向量n=(2,-3),则直线l的方程为______.答案:设直线l的另一个方向向量为a=(1,k),其中k是直线的斜率可得n=(2,-3)与a=(1,k)互相平行∴12=k-3⇒k=-32所以直线l的点斜式方程为:y-1=-32(x+3)化成一般式:3x+2y+7=0故为:3x+2y+7=012.如图,F是定直线l外的一个定点,C是l上的动点,有下列结论:若以C为圆心,CF为半径的圆与l相交于A、B两点,过A、B分别作l的垂线与圆C过F的切线相交于点P和点Q,则必在以F为焦点,l为准线的同一条抛物线上.
(Ⅰ)建立适当的坐标系,求出该抛物线的方程;
(Ⅱ)对以上结论的反向思考可以得到另一个命题:“若过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于P、Q两点,则以PQ为直径的圆一定与抛物线的准线l相切”请问:此命题是正确?试证明你的判断;
(Ⅲ)请选择椭圆或双曲线之一类比(Ⅱ)写出相应的命题并证明其真假.(只选择一种曲线解答即可,若两种都选,则以第一选择为平分依据)答案:(Ⅰ)过F作l的垂线交l于K,以KF的中点为原点,KF所在直线为x轴建立平面直角坐标系如图1,并设|KF|=p,则可得该抛物线的方程为
y2=2px(p>0);(Ⅱ)该命题为真命题,证明如下:如图2,设PQ中点为M,P、Q、M在抛物线准线l上的射影分别为A、B、D,∵PQ是抛物线过焦点F的弦,∴|PF|=|PA|,|QF|=|QB|,又|MD|是梯形APQB的中位线,∴|MD=12(|PA|+|QB|)=12(|PF|+|QF|)=|PQ|2.∵M是以PQ为直径的圆的圆心,∴圆M与l相切.(Ⅲ)选择椭圆类比(Ⅱ)所写出的命题为:“过椭圆一焦点F的直线与椭圆交于P、Q两点,则以PQ为直径的圆与椭圆相应的准线l相离”.此命题为真命题,证明如下:证明:设PQ中点为M,椭圆的离心率为e,则0<e<1,P、Q、M在相应准线l上的射影分别为A、B、D,∵|PF|PA=e,∴|PA|=|PF|e,同理得|QB|=|QF|e.∵MD是梯形APQB的中位线,∴|MD|=|PA|+|QB|2=12(|PF|e+|QF|e)=|PQ|2e>|PQ|2,∴圆M与准线l相离.选择双曲线类比(Ⅱ)所写出的命题为:“过双曲线一焦点F的直线与双曲线交于P、Q两点,则以PQ为直径的圆与双曲线相应的准线l相交”.此命题为真命题,证明如下:证明:设PQ中点为M,椭圆的离心率为e,则e>1,P、Q、M在相应准线l上的射影分别为A、B、D,∵|PF|PA=e,∴|PA|=|PF|e,同理得|QB|=|QF|e.∵MD是梯形APQB的中位线,∴|MD|=|PA|+|QB|2=12(|PF|e+|QF|e)=|PQ|2e<|PQ|2,∴圆M与准线l相交.13.设F1,F2是双曲线x29-y216=1的两个焦点,点P在双曲线上,且∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积.答案:双曲线x29-y216=1的a=3,c=5,不妨设PF1>PF2,则PF1-PF2=2a=6F1F22=PF12+PF22,而F1F2=2c=10得PF12+PF22=(PF1-PF2)2+2PF1•PF2=100∴PF1•PF2=32∴S=12PF1•PF2=16△F1PF2的面积16.14.已知点A(1,2),直线l1:x=1+3ty=2-4t(t为参数)与直线l2:2x-4y=5相交于点B,则A、B两点之间的距离|AB|=______.答案:将x=1+3t,y=2-4t代入2x-4y=5,得t=12,所以两直线的交点坐标为(52,0)所以|AB|=(1-52)2+(2-0)2
=52.故为:5215.一个盒子装有10个红、白两色同一型号的乒乓球,已知红色乒乓球有3个,若从盒子里随机取出3个乒乓球,则其中含有红色乒乓球个数的数学期望是______.答案:由题设知含有红色乒乓球个数ξ的可能取值是0,1,2,3,P(ξ=0)=C37C310=724,P(ξ=1)=C27C13C310=2140,P(ξ=2)=C17C23C310=740,P(ξ=3)=C33C310=1120.∴Eξ=0×724+1×
2140+2×740+3×1120=910.故为:910.16.如图,过点P作⊙O的割线PAB与切线PE,E为切点,连接AE、BE,∠APE的平分线分别与AE、BE相交于点C、D,若∠AEB=30°,则∠PCE=______.答案:如图,PE是圆的切线,∴∠PEB=∠PAC,∵AE是∠APE的平分线,∴∠EPC=∠APC,根据三角形的外角与内角关系有:∠EDC=∠PEB+∠EPC;∠ECD=∠PAC+∠APC,∴∠EDC=∠ECD,∴△EDC为等腰三角形,又∠AEB=30°,∴∠EDC=∠ECD=75°,即∠PCE=75°,故为:75°.17.“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P),某奇数(S)是9的倍数(M),故此奇数(S)是3的倍数(P)”,上述推理是()
A.小前提错
B.结论错
C.正确的
D.大前提错答案:C18.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则a、b、c按从小到大的顺序排列为
______.答案:由指数函数y=0.8x知,∵0.7<0.9,∴0.80.9<0.80.7<1,即b<a,又c=1.20.8>1,∴b<a<c.b<a<c19.若A=1324,B=-123-3,则3A-B=______.答案:∵A=1324,B=-123-3,则3A-B=31324--123-3=39612--123-3=47315.故为:47315.20.(1)已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;
(2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1,以下结论正确的是()
A.(1)的假设错误,(2)的假设正确
B.(1)与(2)的假设都正确
C.(1)的假设正确,(2)的假设错误
D.(1)与(2)的假设都错误答案:A21.已知向量,,,则(
)A.B.C.5D.25答案:C解析:将平方即可求得C.22.不等式的解集是
(
)A.B.C.D.答案:B解析:当时,不等式成立;当时,不等式可化为,解得综上,原不等式解集为故选B23.如图,△ABC中,D,E,F分别是边BC,AB,CA的中点,在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段中所表示的向量中,
(1)与向量FE共线的有
______.
(2)与向量DF的模相等的有
______.
(3)与向量ED相等的有
______.答案:(1)∵EF是△ABC的中位线,∴EF∥BC且EF=12BC,则与向量FE共线的向量是BC、BD、DC、CB、DB、CD;(2))∵DF是△ABC的中位线,∴DF∥AC且DF=12AC,则与向量DF的模相等的有CE,EA,EC,AF;(3)∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥AB且DE=12AB,则与向量ED相等的有AF,FB.24.已知离心率为63的椭圆C:x2a
2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(3,1).
(1)求椭圆C的方程;
(2)过左焦点F1且不与x轴垂直的直线l交椭圆C于M、N两点,若OM•ON=463tan∠MON(O为坐标原点),求直线l的方程.答案:(1)依题意,离心率为63的椭圆C:x2a
2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(3,1).∴3a
2+1b2=1,且e2=c2a2=a2-b2a2=23解得:a2=6,b2=2故椭圆方程为x26+y22=1…(4分)(2)椭圆的左焦点为F1(-2,0),则直线l的方程可设为y=k(x+2)代入椭圆方程得:(3k2+1)x2+12k2x+12k2-6=0设M(x1,y1),N(x2,y2),∴x1+x2=-12k23k2+1,x1•x2=12k2-63k2+1…(6分)由OM•ON=463tan∠MON得:|OM|•|ON|sin∠MON=436,∴S△OMN=236…(9分)又|MN|=1+k2|x1-x2|=26(1+k2)3k2+1,原点O到l的距离d=|2k|1+k2,则S△OMN=12|MN|d=6(1+k2)3k2+1•|2k|1+k2=236解得k=±33∴l的方程是y=±33(x+2)…(13分)(用其他方法解答参照给分)25.直线kx-y+1=3k,当k变动时,所有直线都通过定点[
]
A.(3,1)
B.(0,1)
C.(0,0)
D.(2,1)答案:A26.命题“所以奇数的立方是奇数”的否定是()
A.所有奇数的立方不是奇数
B.不存在一个奇数,它的立方不是奇数
C.存在一个奇数,它的立方不是奇数
D.不存在一个奇数,它的立方是奇数答案:C27.如果e1,e2是平面a内所有向量的一组基底,那么()A.若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0B.空间任一向量可以表示为a=λ1e1+λ2e2,这里λ1,λ2∈RC.对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在平面a内D.对平面a中的任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对答案:∵由基底的定义可知,e1和e2是平面上不共线的两个向量,∴实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0,不是空间任一向量都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,而是平面a中的任一向量a,可以表示为a=λ1e1+λ2e2的形式,此时实数λ1,λ2有且只有一对,而对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2一定在平面a内,故选A.28.点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的正投影,则|OB|等于()
A.
B.
C.
D.答案:B29.下列四个散点图中,使用线性回归模型拟合效果最好的是()
A.
B.
C.
D.
答案:D30.将图形F按=(,)(其中)平移,就是将图形F()A.向x轴正方向平移个单位,同时向y轴正方向平移个单位.B.向x轴负方向平移个单位,同时向y轴正方向平移个单位.C.向x轴负方向平移个单位,同时向y轴负方向平移个单位.D.向x轴正方向平移个单位,同时向y轴负方向平移个单位.答案:A解析:根据图形容易得出结论.31.数集{1,x,2x}中的元素x应满足的条件是______.答案:根据集合中元素的互异性可得1≠x,x≠2x,1≠2x∴x≠1且x≠12且x≠0.故为:x≠1且x≠12且x≠0.32.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB+AD=λAO,则λ=______.答案:∵四边形ABCD为平行四边形,对角线AC与BD交于点O,∴AB+AD=AC,又O为AC的中点,∴AC=2AO,∴AB+AD=2AO,∵AB+AD=λAO,∴λ=2.故为:2.33.双曲线的渐进线方程是3x±4y=0,则双曲线的离心率等于______.答案:由题意可得,当焦点在x轴上时,ba=34,∴ca=a2+b2a=a2+(3a4)2a=54.当焦点在y轴上时,ab=34,∴ca=a2+b2a=a2+(4a3)2a=53,故为:53
或54.34.命题“存在x0∈R,使x02+1<0”的否定是______.答案:∵命题“存在x0∈R,使x02+1<0”是一个特称命题∴命题“存在x0∈R,使x02+1<0”的否定是“对任意x0∈R,使x02+1≥0”故为:对任意x0∈R,使x02+1≥035.函数f(x)=ex(e为自然对数的底数)对任意实数x、y,都有()
A.f(x+y)=f(x)f(y)
B.f(x+y)=f(x)+f(y)
C.f(xy)=f(x)f(y)
D.f(xy)=f(x)+f(y)答案:A36.△ABC中,若有一个内角不小于120°,求证:最长边与最短边之比不小于3.答案:设最大角为∠A,最小角为∠C,则最大边为a,最小边为c因为A≥120°,所以B+C≤60°,且C≤B,所以2C≤B+C≤60°,C≤30°.所以ac=sinAsinC=sin(B+C)sinC≥sin2CsinC=2cosC≥3.37.为了了解学校学生的身体发育情况,抽查了该校100名高中男生的体重情况,根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示,根据此图,估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为()
A.300B.350C.420D.450答案:∵由图得,∴70.5公斤以上的人数的频率为:(0.04+0.035+0.016)×2=0.181,∴70.5公斤以上的人数为2000×0.181=362,故选B38.若把A、B、C、D、E、F、G七人排成一排,则A、B必须相邻,且C、D不能相邻的概率是______(结果用数值表示).答案:把AB看成一个整体,CD不能相邻,就用插空法,则有A22A44A25种方法把A、B、C、D、E、F、G七人排成一排,随便排的种数A77所以概率为A22A44A25A77=421故为:421.39.已知双曲线x2-y22=1,经过点M(1,1)能否作一条直线l,使直线l与双曲线交于A、B,且M是线段AB的中点,若存在这样的直线l,求出它的方程;若不存在,说明理由.答案:设过点M(1,1)的直线方程为y=k(x-1)+1或x=1(1)当k存在时有y=k(x-1)+1x2
-y22=1得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0
(1)当直线与双曲线相交于两个不同点,则必有△=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0,k<32
又方程(1)的两个不同的根是两交点A、B的横坐标∴x1+x2=2(k-k2)2-k2
又M(1,1)为线段AB的中点∴x1+x22=1
即k-k22-k2=1
k=2
∴k=2,使2-k2≠0但使△<0因此当k=2时,方程(1)无实数解故过点m(1,1)与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在.(2)当x=1时,直线经过点M但不满足条件,综上,符合条件的直线l不存在40.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,=(
)
A.
B.4
C.
D.-4答案:D41.将一枚骰子连续抛掷600次,请你估计掷出的点数大于2的大约是______次.答案:一颗骰子是均匀的,当抛这颗骰子时,出现的6个点数是等可能的,将一枚骰子连续抛掷600次,估计每一个嗲回溯出现的次数是100,∴掷出的点数大于2的大约有400次,故为:400.42.A、B为球面上相异两点,则通过A、B两点可作球的大圆有()A.一个B.无穷多个C.零个D.一个或无穷多个答案:如果A,B两点为球面上的两极点(即球直径的两端点)则通过A、B两点可作球的无数个大圆如果A,B两点不是球面上的两极点(即球直径的两端点)则通过A、B两点可作球的一个大圆故选:D43.两平行直线x+3y-4=0与2x+6y-9=0的距离是
______.答案:由直线x+3y-4=0取一点A,令y=0得到x=4,即A(4,0),则两平行直线的距离等于A到直线2x+6y-9=0的距离d=|8-9|22+62=1210=1020.故为:102044.若关于x的一元二次实系数方程x2+px+q=0有一个根为1+i(i是虚数单位),则p+q的值是()
A.-1
B.0
C.2
D.-2答案:B45.分析如图的程序:若输入38,运行右边的程序后,得到的结果是
______.答案:根据程序语句,其意义为:输入一个x,使得9<x<100a=x\10
为去十位数b=xMOD10
去余数,即取个位数x=10*b+a
重新组合数字,用原来二位数的十位当个位,个位当十位否则说明输入有误故当输入38时输出83故为:8346.设平面α内两个向量的坐标分别为(1,2,1)、(-1,1,2),则下列向量中是平面的法向量的是()
A.(-1,-2,5)
B.(-1,1,-1)
C.(1,1,1)
D.(1,-1,-1)答案:B47.铁路托运行李,从甲地到乙地,按规定每张客票托运行李不超过50kg时,每千克0.2元,超过50kg时,超过部分按每千克0.25元计算,画出计算行李价格的算法框图.答案:程序框图:48.从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,这个两位数大于40的概率()A.15B.25C.35D.45答案:由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,共有A52=20种结果,满足条件的事件可以列举出有,41,41,43,45,54,53,52,51共有8个,根据古典概型概率公式得到P=820=25,故选B.49.已知函数f(x)=(12)x,a,b∈R*,A=f(a+b2),B=f(ab),C=f(2aba+b),则A、B、C的大小关系为______.答案:∵a+b2≥ab,2aba+b=21a+1b≤221ab=ab,∴a+b2≥ab≥2aba+b>0又
f(x)=(12)x在R上是减函数,∴f(a+b2)≤f(ab)
≤f(2aba+b)即A≤B≤C故为:A≤B≤C.50.在语句PRINT
3,3+2的结果是()
A.3,3+2
B.3,5
C.3,5
D.3,2+3答案:B第3卷一.综合题(共50题)1.如图是为求1~1000的所有偶数的和而设计的一个程序空白框图,将空白处补上.
①______.②______.答案:本程序的作用是求1~1000的所有偶数的和而设计的一个程序,由于第一次执行循环时的循环变量S初值为0,循环变量S=S+i,计数变量i为2,步长为2,故空白处:①S=S+i,②i=i+2.故为:①S=S+i,②i=i+2.2.若矩阵满足下列条件:①每行中的四个数所构成的集合均为{1,2,3,4};②四列中有且只有两列的上下两数是相同的.则这样的不同矩阵的个数为()
A.24
B.48
C.144
D.288答案:C3.已知:a={2,-3,1},b={2,0,-2},c={-1,-2,0},r=2a-3b+c,
则r的坐标为______.答案:∵a=(2,-3,1),b=(2,0,-2),c=(-1,-2,0)∴r=2a-
3b+c=2(2,-3,1)-3(2,0,-2)+(-1,-2,0)=(4,-6,2)-(6,0,-6)+(-1,-2,0)=(-3,-8,8)故为:(-3,-8,8)4.在某电视歌曲大奖赛中,最有六位选手争夺一个特别奖,观众A,B,C,D猜测如下:A说:获奖的不是1号就是2号;A说:获奖的不可能是3号;C说:4号、5号、6号都不可能获奖;D说:获奖的是4号、5号、6号中的一个.比赛结果表明,四个人中恰好有一个人猜对,则猜对者一定是观众
获特别奖的是
号选手.答案:C,3.解析:推理如下:因为只有一人猜对,而C与D互相否定,故C、D中一人猜对。假设D对,则推出B也对,与题设矛盾,故D猜错,所以猜对者一定是C;于是B一定猜错,故获奖者是3号选手(此时A错).5.函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2,则a的值为()A.32B.2C.12或32D.12答案:当a>1时,函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间[1,2]上是增函数,由题意可得a2-a=a2,∴a=32.当1>a>0时,函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间[1,2]上是减函数,由题意可得a-a2=a2,解得
a=12.综上,a的值为12或32故选C.6.设两个正态分布N(μ1,σ12)(σ1>0)和N(μ2,σ22)(σ2>0)的密度曲线如图所示,则有()
A.μ1<μ2,σ1<σ2
B.μ1<μ2,σ1>σ2
C.μ1>μ2,σ1<σ2
D.μ1>μ2,σ1>σ2
答案:A7.如图,弯曲的河流是近似的抛物线C,公路l恰好是C的准线,C上的点O到l的距离最近,且为0.4千米,城镇P位于点O的北偏东30°处,|OP|=10千米,现要在河岸边的某处修建一座码头,并修建两条公路,一条连接城镇,一条垂直连接公路l,以便建立水陆交通网.
(1)建立适当的坐标系,求抛物线C的方程;
(2)为了降低修路成本,必须使修建的两条公路总长最小,请给出修建方案(作出图形,在图中标出此时码头Q的位置),并求公路总长的最小值(精确到0.001千米)答案:(1)过点O作准线的垂线,垂足为A,以OA所在直线为x轴,OA的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系…(2分)由题意得,p2=0.4…(4分)所以,抛物线C:y2=1.6x…(6分)(2)设抛物线C的焦点为F由题意得,P(5,53)…(8分)根据抛物线的定义知,公路总长=|QF|+|QP|≥|PF|≈9.806…(12分)当Q为线段PF与抛物线C的交点时,公路总长最小,最小值为9.806千米…(16分)8.已知△ABC,D为AB边上一点,若AD=2DB,CD=13CA+λCB,则λ=
.答案:∵AD=2DB,CD=13CA+λCB,CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(
CB-CA)=13CA+23CB,∴λ=23,故为:23.9.某处有供水龙头5个,调查表明每个水龙头被打开的可能性为,随机变量ξ表示同时被打开的水龙头的个数,则P(ξ=3)为A.0.0081B.0.0729C.0.0525D.0.0092答案:A解析:本题考查n次独立重复试验中,恰好发生k次的概率.对5个水龙头的处理可视为做5次试验,每次试验有2种可能结果:打开或未打开,相应的概率为0.1或1-0.1="0.9."根据题意ξ~B(5,0.1),从而P(ξ=3)=(0.1)3(0.9)2=0.0081.10.已知抛物线的参数方程为(t为参数),其中p>0,焦点为F,准线为l,过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则p=(
)。答案:211.设向量a=(32,sinθ),b=(cosθ,13),其中θ∈(0,π2),若a∥b,则θ=______.答案:若a∥b,则sinθcosθ=12,即2sinθcosθ=1,∴sin2θ=1,又θ∈(0,π2),∴θ=π4.故为:π4.12.(1)把二进制数化为十进制数;(2)把化为二进制数.答案:(1)45,(2)解析:(1)先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式,再按照十进制的运算规则计算出结果;(2)根据二进制数“满二进一”的原则,可以用连续去除或所得商,然后取余数.(1)(2),,,,.所以..这种算法叫做除2余法,还可以用下面的除法算式表示;把上式中各步所得的余数从下到上排列,得到【名师指引】直接插入排序和冒泡排序是两种常用的排序方法,通过该例,我们对比可以发现,直接插入排序比冒泡排序更有效一些,执行的操作步骤更少一些..13.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点是F2(2,0),且b=3a.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设经过焦点F2的直线l的一个法向量为(m,1),当直线l与双曲线C的右支相交于A,B不同的两点时,求实数m的取值范围;并证明AB中点M在曲线3(x-1)2-y2=3上.
(3)设(2)中直线l与双曲线C的右支相交于A,B两点,问是否存在实数m,使得∠AOB为锐角?若存在,请求出m的范围;若不存在,请说明理由.答案:(1)c=2c2=a2+b2∴4=a2+3a2∴a2=1,b2=3,∴双曲线为x2-y23=1.(2)l:m(x-2)+y=0由y=-mx+2mx2-y23=1得(3-m2)x2+4m2x-4m2-3=0由△>0得4m4+(3-m2)(4m2+3)>012m2+9-3m2>0即m2+1>0恒成立又x1+x2>0x1•x2>04m2m2-3>04m2+3m2-3>0∴m2>3∴m∈(-∞,-3)∪(3,+∞)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x22=2m2m2-3y1+y22=-2m3m2-3+2m=-6mm2-3∴AB中点M(2m2m2-3,-6mm2-3)∵3(2m2m2-3-1)2-36m2(m2-3)2=3×(m2+3)2(m2-3)2-36m2(m2-3)2=3•m4+6m2+9-12m2(m2-3)2=3∴M在曲线3(x-1)2-y2=3上.(3)A(x1,y1),B(x2,y2),设存在实数m,使∠AOB为锐角,则OA•OB>0∴x1x2+y1y2>0因为y1y2=(-mx1+2m)(-mx2+2m)=m2x1x2-2m2(x1+x2)+4m2∴(1+m2)x1x2-2m2(x1+x2)+4m2>0∴(1+m2)(4m2+3)-8m4+4m2(m2-3)>0即7m2+3-12m2>0∴m2<35,与m2>3矛盾∴不存在14.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球,某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形,如图所示,则()A.以上四个图形都是正确的B.只有(2)(4)是正确的C.只有(4)是错误的D.只有(1)(2)是正确的答案:(1)当平行于三棱锥一底面,过球心的截面如(1)图所示;(2)过三棱锥的一条棱和圆心所得截面如(2)图所示;(3)过三棱锥的一个顶点(不过棱)和球心所得截面如(3)图所示;(4)棱长都相等的正三棱锥和球心不可能在同一个面上,所以(4)是错误的.故选C.15.已知x,y的取值如下表所示:
x3711y102024从散点图分析,y与x线性相关,且y=74x+a,则a=______.答案:∵线性回归方程为y=74x+a,,又∵线性回归方程过样本中心点,.x=3+7+113=7,.y=10+20+243=18,∴回归方程过点(7,18)∴18=74×7+a,∴a=234.故为:234.16.若k∈R,则“k>3”是“方程表示双曲线”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件答案:A17.如图,圆与圆内切于点,其半径分别为与,圆的弦交圆于点(不在上),求证:为定值。
答案:见解析解析:考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质,容易题。证明:由弦切角定理可得18.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设H0:“这种血清不能起到预防感冒的作用”,利用2×2列联表计算得Χ2≈3.918,经查对临界值表知P(Χ2≥3.841)≈0.05.则下列结论中,正确结论的序号是______
(1)有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”
(2)若某人未使用该血清,那么他在一年中有95%的可能性得感冒
(3)这种血清预防感冒的有效率为95%
(4)这种血清预防感冒的有效率为5%答案:查对临界值表知P(Χ2≥3.841)≈0.05,故有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”950/0仅是指“血清与预防感冒”可信程度,但也有“在100个使用血清的人中一个患感冒的人也没有”的可能.故为:(1).19.若P=+,Q=+(a≥0),则P,Q的大小关系是()
A.P>Q
B.P=Q
C.P<Q
D.由a的取值确定答案:C20.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,中间的数字表示得分的十位数,下列对乙运动员的判断错误的是()A.乙运动员得分的中位数是28B.乙运动员得分的众数为31C.乙运动员的场均得分高于甲运动员D.乙运动员的最低得分为0分答案:根据题意,可得甲的得分数据:8,14,16,13,23,26,28,30,30,39可得甲得分的平均数是22.7乙的得分数据:12,15,25,24,21,31,36,31,37,44可得乙得分的平均数是27.6,31出现了两次,可得乙得分的众数是1将乙得分数据按从小到大的顺序排列,位于中间的两个数是25和31,故中位数是12(25+31)=28由以上的数据,可得:乙运动员得分的中位数是28,A项是正确的;乙运动员得分的众数为31,B项是正确的;乙运动员的场均得分高于甲运动员,C各项是正确的.而D项因为乙运动员的得分没有0分,故D项错误故选:D21.若三角形的内切圆半径为r,三边的长分别为a,b,c,则三角形的面积S=12r(a+b+c),根据类比思想,若四面体的内切球半径为R,四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,则此四面体的体积V=______.答案:设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.故为:13R(S1+S2+S3+S4).22.已知向量p=a|a|+2b|b|,其中a、b均为非零向量,则|p|的取值范围是
______.答案:∵|a|a||=1,|2b|b||=2
∴p2=|p|2=1+4+4a|a|?b|b|?cos<a|a|,2b|b|>=5+4?cos<a|a|,2b|b|>∈[1,9],开方可得
|p|的取值范围[1,3],故为[1,3].23.已知函数f(x)=x2+2,x≥13x,x<1,则f(f(0))=()A.4B.3C.9D.11答案:因为f(0)=30=1,所以f[f(0)]═f(1)=1+2=3.故选B.24.设O为坐标原点,F为抛物线的焦点,A是抛物线上一点,若·=,则点A的坐标是
(
)A.B.C.D.答案:B解析:略25.如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出S的值为254,则判断框①中应填入的条件是()A.n≤5B.n≤6C.n≤7D.n≤8答案:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是输出满足条件S=2+22+23+…+2n=126时S的值∵2+22+23+…+27=254,故最后一次进行循环时n的值为7,故判断框中的条件应为n≤7.故选C.26.下列有关相关指数R2的说法正确的有()
A.R2的值越大,说明残差平方和越小
B.R2越接近1,表示回归效果越差
C.R2的值越小,说明残差平方和越小
D.如果某数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析,一般选择R2小的模型作为这组数据的模型答案:A27.不等式|3x-2|>4的解集是______.答案:由|3x-2|>4可得
3x-2>4
或3x-2<-4,∴x>2或x<-23.故为:(-∞,-23)∪(2,+∞).28.已知某一随机变量ξ的分布列如下,且Eξ=6.3,则a的值为()
ξ
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A.5
B.6
C.7
D.8答案:C29.管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记,然后放回池塘,将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后,再捕上50条,发现其中带标记的鱼有2条.根据以上收据可以估计该池塘有______条鱼.答案:设该池塘中有x条鱼,由题设条件建立方程:30x=250,解得x=750.故为:750.30.如图,花园中间是喷水池,喷水池周围的A、B、C、D区域种植草皮,要求相邻的区域种不同颜色的草皮,现有4种不同颜色的草皮可供选用,则共有______种不同的种植方法(以数字作答).答案:若AD相同,有4×(3+3×2)种种植方法,若AD不同,有4×3×(2+2×1)种种植方法∴共有4×(3+3×2)+4×3×(2+2×1)=36+48=84种不同方法.故为84.31.已知曲线C的方程是x2+y2+6ax-8ay=0,那么下列各点中不在曲线C上的是()
A.(0,0)
B.(2a,4a)
C.(3a,3a)
D.(-3a,-a)答案:B32.函数f(x)=log2(3x+1)的值域为()
A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)答案:根据对数函数的定义可知,真数3x+1>0恒成立,解得x∈R.因此,该函数的定义域为R,原函数f(x)=log2(3x+1)是由对数函数y=log2t和t=3x+1复合的复合函数.由复合函数的单调性定义(同増异减)知道,原函数在定义域R上是单调递增的.根据指数函数的性质可知,3x>0,所以,3x+1>1,所以f(x)=log2(3x+1)>log21=0,故选A.解析:试题分析33.盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个.若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率等于______.答案:从中随机取出2个球,每个球被取到的可能性相同,是古典概型从中随机取出2个球,所有的取法共有C52=10所取出的2个球颜色不同,所有的取法有C31?C21=6由古典概型概率公式知P=610=35故为3534.若集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},则A∪B=______.答案:因为集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},所以A∪B={x|3≤x<7}∪{x|2<x<10}={x|2<x<10},故为:{x|2<x<10}.35.在空间直角坐标系O-xyz中,点P(4,3,7)关于坐标平面yOz的对称点的坐标为______.答案:设所求对称点为P'(x,y,z)∵关于坐标平面yOz的对称的两个点,它们的纵坐标、竖坐标相等,而横坐标互为相反数,∴x=-4,y=3,z=7即P关于坐标平面yOz的对称点的坐标为P'(-4,3,7)故为:(-4,3,7)36.已知函数f(x)=2x,x≥01,
x<0,若f(1-a2)>f(2a),则实数a的取值范围是______.答案:函数f(x)=2x,x≥01,
x<0,x<0时是常函数,x≥0时是增函数,由f(1-a2)>f(2a),所以2a<1-a21-a2>0,解得:-1<a<2-1,故为:-1<a<2-1.37.用“斜二测画法”作正三角形ABC的水平放置的直观图△A′B′C′,则△A′B′C′与△ABC的面积之比为______.答案:设正三角形的标出为:1,正三角形的高为:32,所以正三角形的面积为:34;按照“斜二测画法”画法,△A′B′C′的面积是:12×1×34
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