数学建模课程培训(一)

数学建模中的物理什么是数学模型数学模型是用数学符号、公式、图表等刻画现实对象数量规律的数学表达式、图形或算法；数学模型实际上就是对于现实问题中的某一特定对象，为了某个特定目的，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构；一种理想化、抽象化的方法，是用数学解决实际问题的典型方法；它或者能解释特定现象的现实性态，或者能预测对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制；数学模型的概念玩具、飞机、火箭模型……~实物模型~物理模型~符号模型我们常见的模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机……地图、电路图、分子结构图……数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的‘问题’模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具数学建模的一般步骤模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用数学建模的一般步骤历年全国研究生数学建模竞赛中与物理相关的建模题2005年A题：高速公路的行驶速度估计和最佳策略2006年C题：维修线性流量阀时的内筒设计2008年A题：汶川地震唐家山堰塞湖泄洪问题2010年B题：与封堵溃口有关的重物落水后运动过程的数学建模划艇比赛的成绩赛艇2000米成绩t(分)种类1234

平均单人7.167.257.287.17

7.21双人6.876.926.956.77

6.88四人6.336.426.486.13

6.32八人5.875.925.825.735.84艇长l

艇宽b(米)(米)

l/b7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)

浆手数n

16.313.618.114.7对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。问题准备调查赛艇的尺寸和重量l/b,w0/n

基本不变问题分析前进阻力~浸没部分与水的摩擦力前进动力~浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆功率

赛艇速度赛艇速度前进动力前进阻力浆手数量艇重浸没面积

对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定

运用合适的物理定律建立模型模型假设1）艇形状相同(l/b为常数),w0与n成正比2）v是常数，阻力f与sv2成正比符号：艇速v,浸没面积

s,浸没体积A,空艇重w0,阻力f,浆手数n,浆手功率

p,浆手体重

w,艇重W艇的静态特性艇的动态特性3）w相同，p不变，p与w成正比浆手的特征模型建立f

sv2p

wv

(n/s)1/3s1/2

A1/3A

W(=w0+nw)

ns

n2/3v

n1/9比赛成绩

t

n

–1/9npfv模型检验n

t17.2126.8846.3285.84最小二乘法利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型

t

n

–1/9进行检验tn12487.216.886.325.84••••与模型巧合！质点运动学理论的应用炮兵在进行射击演习时必须考虑建立安全区的问题，而炮兵在实际作战中，为充分发挥炮弹的威慑力，就必须避免将敌人的重要目标置于安全区内。因此当一门大炮的技术参数确定后，首先要划定安全区。确定炮弹射击安全区yxvxvyα所有曲线都与一条曲线l相切，由曲线l，x轴和y轴围成平面图像绕y轴旋转一圈构成一个旋转体分析问题炮弹左右移动的张角有限，设最大张角为ω曲线l称为安全线，安全线上任一点有且仅有一条弹道轨线与之相切安全线为弹道轨线族的包络线，设弹道轨线组为安全线上的任一点必有弹道轨线族中的某条曲线与之相切，所以安全线上的点P(x,y)是参数α的函数安全线的斜率为弹道曲线在P点的斜率为建立模型建立模型建立模型当时，炮弹飞行高度不超过炮弹射程为不忽略阻力的情况下，安全区又是怎么确定的？2d墙室内T1室外T2dd墙l室内T1室外T2问题双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失假设热量传播只有传导，没有对流T1,T2不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数建模热传导定律Q1Q2Q~单位时间单位面积传导的热量T~温差,d~材料厚度,k~热传导系数双层玻璃窗的功效dd墙l室内T1室外T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta~内层玻璃的外侧温度Tb~外层玻璃的内侧温度k1~玻璃的热传导系数k2~空气的热传导系数建模记单层玻璃窗传导的热量Q22d墙室内T1室外T2Q2双层与单层窗传导的热量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32对Q1比Q2的减少量作最保守的估计，取k1/k2=16建模hQ1/Q24200.060.030.026模型应用取h=l/d