2023年渤海石油职业学院高职单招（数学）试题库含答案解析

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年渤海石油职业学院高职单招（数学）试题库含答案解析（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第1卷一.综合题(共50题)1.已知椭圆(a＞b＞0)的焦点分别为F1，F2，b=4，离心率e=过F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（）

A．10

B．12

C．16

D．20答案：D2.函数f(x)=x+1x的定义域是______．答案：要使原函数有意义，则x≥0x≠0，所以x＞0．所以原函数的定义域为（0，+∞）．故为（0，+∞）．3.质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4，将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上．

（1）求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积不能被4整除的概率；

（2）设ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求ξ的分歧布列及期望Eξ．答案：（1）不能被4整除的有两种情形；①4个数均为奇数，概率为P1=(12)4=116②4个数中有3个奇数，另一个为2，概率为P2=C34(12)3?14=18这两种情况是互斥的，故所求的概率为P=116+18=316（2）ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，由题意知ξ的可能取值是0，1，2，3，4，根据符合二项分布，得到P(ξ=k)=Ck4(12)4（k=0，1，2，3，4），ξ的分布列为∵ξ服从二项分布B(4，12)，∴Eξ=4×12=2．4.甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）A．944B．2544C．3544D．3744答案：白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：58．抓出白球，抓入白球，概率是38×511=1588，故所求事件的概率为58+1588=3544，故选C．5.写出1×2×3×4×5×6的一个算法．答案：按照逐一相乘的程序进行第一步：计算1×2，得到2；第二步：将第一步的运算结果2与3相乘，得到6；第三步：将第二步的运算结果6与4相乘，得到24；第四步：将第三步的运算结果24与5相乘，得到120；第五步：将第四的运算结果120与6相乘，得到720；第六步：输出结果．6.袋中有5个小球（3白2黑），现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是（）

A．

B．

C．

D．答案：C7.已知圆锥的母线长与底面半径长之比为3：1，一个正方体有四个顶点在圆锥的底面内，另外的四个顶点在圆锥的侧面上（如图），则圆锥与正方体的表面积之比为（

）

A．π：1

B．3π：1

C．3π：2

D．3π：4

答案：D8.△OAB中，OA=a，OB=b，OP=p，若p=t(a|a|+b|b|)，t∈R，则点P一定在（）A．∠AOB平分线所在直线上B．线段AB中垂线上C．AB边所在直线上D．AB边的中线上答案：∵△OAB中，OA=a，OB=b，OP=p，p=t(a|a|+b|b|)，t∈R，∵a|a|

和b|b|

是△OAB中边OA、OB上的单位向量，∴（a|a|+b|b|

）在∠AOB平分线线上，∴t（a|a|+b|b|

）在∠AOB平分线线上，∴则点P一定在∠AOB平分线线上，故选A．9.已知f（x）=2x，g（x）=3x．

（1）当x为何值时，f（x）=g（x）？

（2）当x为何值时，f（x）＞1？f（x）=1？f（x）＜1？

（3）当x为何值时，g（x）＞3？g（x）=3？g（x）＜3？答案：（1）作出函数f（x），g（x）的图象，如图所示．∵f（x），g（x）的图象都过点（0，1），且这两个图象只有一个公共点，∴当x=0时，f（x）=g（x）=1．（2）由图可知，当x＞0时，f（x）＞1；当x=0时，f（x）=1；当x＜0时，f（x）＜1．（3）由图可知：当x＞1时，g（x）＞3；当x=1时，g（x）=3；当x＜1时，g（x）＜3．10.若2x+3y=1，求4x2+9y2的最小值，并求出最小值点．答案：由柯西不等式（4x2+9y2）（12+12）≥（2x+3y）2=1，∴4x2+9y2≥12．当且仅当2x?1=3y?1，即2x=3y时取等号．由2x=3y2x+3y=1得x=14y=16∴4x2+9y2的最小值为12，最小值点为（14，16）．11.在极坐标系中，过点p(3，)且垂直于极轴的直线方程为（）

A．Pcosθ=

B．Psinθ=

C．P=cosθ

D．P=sinθ答案：A12.

若向量

=（3，2），=（0，-1），=（-1，2），则向量2-的坐标坐标是（

）

A．（3，-4）

B．（-3，4）

C．（3，4）

D．（-3，-4）答案：D13.已知函数f(x)=2x，x≥01，

x＜0，若f（1-a2）＞f（2a），则实数a的取值范围是______．答案：函数f(x)=2x，x≥01，

x＜0，x＜0时是常函数，x≥0时是增函数，由f（1-a2）＞f（2a），所以2a＜1-a21-a2＞0，解得：-1＜a＜2-1，故为：-1＜a＜2-1．14.圆的极坐标方程为ρ=2cos（θ+π3），则该圆的圆心的极坐标是______．答案：∵ρ=2cos（θ+π3），展开得ρ=cosθ-3sinθ，∴ρ2=ρcosθ-3ρsinθ，∴x2+y2=x-3y，∴(x-12)2+(y+32)2=1．∴圆心(12，-32)．∴ρ=(12)2+(-32)2=1，tanθ=-3212=-3，∴θ=-π3．故圆心的极坐标是(1，-π3)．故为(1，-π3)．15.直线x=2-12ty=-1+12t（t为参数）被圆x2+y2=4截得的弦长为______．答案：∵直线x=2-12ty=-1+12t（t为参数）∴直线的普通方程为x+y-1=0圆心到直线的距离为d=12=22，l=24-(22)2=14，故为：14．16.已知x，y的取值如下表所示：

x0134y2.24.34.86.7从散点图分析，y与x线性相关，且y^=0.95x+a，以此预测当x=2时，y=______．答案：∵从所给的数据可以得到.x=0+1+3+44=2，.y=2.2+4.3+4.8+6.74=4.5∴这组数据的样本中心点是（2，4.5）∴4.5=0.95×2+a，∴a=2.6∴线性回归方程是y=0.95x+2.6，∴预测当x=2时，y=0.95×2+2.6=4.5故为：4.517.下面对算法描述正确的一项是：（）A．算法只能用自然语言来描述B．算法只能用图形方式来表示C．同一问题可以有不同的算法D．同一问题的算法不同，结果必然不同答案：算法的特点：有穷性，确定性，顺序性与正确性，不唯一性，普遍性算法可以用自然语言、图形语言，程序语言来表示，故A、B不对同一问题可以用不同的算法来描述，但结果一定相同，故D不对．C对．故应选C．18.若圆O1方程为（x+1）2+（y+1）2=4，圆O2方程为（x-3）2+（y-2）2=1，则方程（x+1）2+（y+1）2-4=（x-3）2+（y-2）2-1表示的轨迹是（）

A．经过两点O1，O2的直线

B．线段O1O2的中垂线

C．两圆公共弦所在的直线

D．一条直线且该直线上的点到两圆的切线长相等答案：D19.如图，花园中间是喷水池，喷水池周围的A、B、C、D区域种植草皮，要求相邻的区域种不同颜色的草皮，现有4种不同颜色的草皮可供选用，则共有______种不同的种植方法（以数字作答）．答案：若AD相同，有4×（3+3×2）种种植方法，若AD不同，有4×3×（2+2×1）种种植方法∴共有4×（3+3×2）+4×3×（2+2×1）=36+48=84种不同方法．故为84．20.已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程．答案：∵P（2，3）在已知直线上，2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0．∴2（a1-a2）+3（b1-b2）=0，即b1-b2a1-a2=-23．∴所求直线方程为y-b1=-23（x-a1）．∴2x+3y-（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0．21.

已知向量

=(4，3)，=(1，2)，若向量

+k

与

-

垂直，则k的值为（

）A．

233B．7C．-

115D．-

233答案：考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．22.用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个是钝角”时，第一步是：“假设______．答案：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至多有一个是钝角”的否定为：“三角形的内角中至少有两个钝角”，故为“三角形的内角中至少有两个钝角”．23.如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（）A．F=0，G≠0，E≠0B．E=0，F=0，G≠0C．G=0，F=0，E≠0D．G=0，E=0，F≠0答案：圆与x轴相切于原点，则圆心在y轴上，G=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，F=0，E≠0．故选C．24.有一个容量为80的样本，数据的最大值是140，最小值是51，组距为10，则可以分为（

）

A．10组

B．9组

C．8组

D．7组答案：B25.某细胞在培养过程中，每15分钟分裂一次（由1个细胞分裂成2个），则经过两个小时后，1个这样的细胞可以分裂成______个．答案：由于每15分钟分裂一次，则两个小时共分裂8次．一个这样的细胞经过一次分裂后，由1个分裂成2个；经过2次分裂后，由1个分裂成22个；…经过8次分裂后，由1个分裂成28个．∴1个这样的细胞经过两个小时后，共分裂成28个，即256个．故为：25626.已知向量，满足：||=3，||=5，且=λ，则实数λ=（）

A．

B．

C．±

D．±答案：C27.已知圆M的方程为：（x+3）2+y2=100及定点N（3，0），动点P在圆M上运动，线段PN的垂直平分线交圆M的半径MP于Q点，设点Q的轨迹为曲线C，则曲线C的方程是______．答案：连接QN，如图由已知，得|QN|=|QP|，所以|QM|+|QN|=|QM|+|QN|=|MP|=10又|MN|=6，10＞6，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是M，N为焦点，以10为长轴长的椭圆，所以2a=10，2c=6，所以b=4，所以，点Q的轨迹方程为：x225+y216=1故为：x225+y216=128.命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是（）A．若a+b不是偶数，则a，b都不是奇数B．若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数C．若a+b是偶数，则a，b都是奇数D．若a+b是偶数，则a，b不都是奇数答案：“a，b都是奇数”的否定是“a，b不都是奇数”，“a+b是偶数”的否定是“a+b不是偶数”，故命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数”．故选B．29.四面体ABCD中，设M是CD的中点，则化简的结果是（）

A．

B．

C．

D．答案：A30.已知函数f(x)=x21+x2，那么f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)=______．答案：∵f(x)=x21+x2，∴f（1x）=11+x2∴f（x）+f（1x）=1∴f（2）+f（12）=1，f（3）+f（13）=1，f（4）+f（14）=1，f（1）=12∴f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)=72故为：7231.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）

A．直线

B．椭圆

C．抛物线

D．双曲线答案：D32.已知向量p=a|a|+2b|b|，其中a、b均为非零向量，则|p|的取值范围是

______．答案：∵|a|a||=1，|2b|b||=2

∴p2=|p|2=1+4+4a|a|?b|b|?cos＜a|a|，2b|b|＞=5+4?cos＜a|a|，2b|b|＞∈[1，9]，开方可得

|p|的取值范围[1，3]，故为[1，3]．33.平面向量的夹角为，则等于（

）

A.

B．3

C．7

D．79答案：A34.如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A．π4B．5π4C．πD．3π2答案：此几何体是一个底面直径为1，高为1的圆柱底面周长是2π×12=π故侧面积为1×π=π故选C35.如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）A．AB．BC．CD．D答案：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，下部相反，对应的点关于x轴对称．所以点A表示复数z的共轭复数的点是B．故选B．36.求证：答案：证明见解析解析：证明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。37.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥AB，PO过AC的中点M，求证：PC是⊙O的切线．答案：证明：连接OC，∵PA⊥AB，∴∠PA0=90°．（1分）∵PO过AC的中点M，OA=OC，∴PO平分∠AOC．∴∠AOP=∠COP．（3分）∴在△PAO与△PCO中有OA=OC，∠AOP=∠COP，PO=PO．∴△PAO≌△PCO．（6分）∴∠PCO=∠PA0=90°．即PC是⊙O的切线．（7分）38.在输入语句中，若同时输入多个变量，则变量之间的分隔符号是（）

A．逗号

B．空格

C．分号

D．顿号答案：A39.设函数f（x）=（2a-1）x+b是R上的减函数，则a的范围为______．答案：∵f（x）=（2a-1）x+b是R上的减函数，∴2a-1＜0，解得a＜12．故为：a＜12．40.已知向量，，则“=λ，λ∈R”成立的必要不充分条件是（）

A.+=

B.与方向相同

C.⊥

D.∥答案：D41.已知F1（-8，3），F2（2，3），动点P满足PF1-PF2=10，则点P的轨迹是______．答案：由于两点间的距离|F1F2|=10，所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应是一条射线．故为一条射线．42.圆（x+3）2+（y-1）2=25上的点到原点的最大距离是（）

A．5-

B．5+

C

D．10答案：B43.直线y=1与直线y=3x+3的夹角为______答案：l1与l2表示的图象为（如下图所示）y=1与x轴平行，y=3x+3与x轴倾斜角为60°，所以y=1与y=3x+3的夹角为60°．故为60°44.已知正数x，y，且x+4y=1，则xy的最大值为（）

A.

B.

C.

D.答案：C45.抛物线y=4x2的焦点坐标为（）

A．（1，0）

B．(0，)

C．（0，1）

D．(，0)答案：B46.已知椭圆的焦点为F1，F2，A在椭圆上，B在F1A的延长线上，且|AB|=|AF2|，则B点的轨迹形状为（）

A．椭圆

B．双曲线

C．圆

D．两条平行线答案：C47.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：x=22t+1y=22t，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．答案：曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x2+y2-4x=0，即（x-2）2+y2=4直线l的参数方程x=22t+1y=22t，化为普通方程为x-y-1=0，曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为12=22所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长24-12=14．48.(本题满分12分)

已知:

求证:答案：.证明:…………2分由于=………………5分…………①………………6分由于………②……………8分同理:…………③……………10分①+②+③得:即原不等式成立………………12分解析：同答案49.设P点在x轴上，Q点在y轴上，PQ的中点是M（-1，2），则|PQ|等于______．答案：设P（a，0），Q（0，b），∵PQ的中点是M（-1，2），∴由中点坐标公式得a+02=-10+b2=2，解之得a=-2b=4，因此可得P（-2，0），Q（0，4），∴|PQ|=(-2-0)2+(0-4)2=25．故为：2550.2010年广州亚运会乒乓球男单决赛中，马龙与王皓在前三局的比分分别是9：11、11：8、11：7，已知马琳与王皓的水平相当，比赛实行“七局四胜”制，即先赢四局者胜，求（1）王皓获胜的概率；

（2）比赛打满七局的概率．（3）记比赛结束时的比赛局数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．答案：（1）在马龙先前三局赢两局的情况下，王皓取胜有两种情况．第一种是王皓连胜三局；第二种是在第四到第六局，王皓赢了两局，第七局王皓赢．在第一种情况下王皓取胜的概率为(12)3=18；在第二种情况下王皓取胜的概率为为C23(12)3×12=316，王皓获胜的概率18+316=516；（3分）（2）比赛打满七局有两种结果：马龙胜或王皓胜．记“比赛打满七局，马龙胜”为事件A，则P（A）=C13(12)3×12=316；记“比赛打满七局，王皓胜”为事件B，则P（B）=C23(12)3×12=316；因为事件A、B互斥，所以比赛打满七局的概率为P（A）+P（B）=38．（7分）（3）比赛结束时，比赛的局数为5，6，7，则打完五局马龙获胜的概率为12×12=14；打完六局马琳获胜的概率为C12(12)2×12=14，王皓取胜的概率为(12)3=18；比赛打满七局，马龙获胜的概率为C13(12)3×12=316，王皓取胜的概率为为C23(12)3×12=316；所以ξ的分布列为ξ567P（ξ）143838Eξ=5×14+6×38+7×38=498．（12分）第2卷一.综合题(共50题)1.若函数f（2x+1）=x2-2x，则f（3）=______．答案：解法一：（换元法求解析式）令t=2x+1，则x=t-12则f（t）=(t-12)2-2t-12=14t2-32t+54∴f(x)=14x2-32x+54∴f（3）=-1解法二：（凑配法求解析式）∵f（2x+1）=x2-2x=14(2x+1)2-32(2x+1)+54∴f(x)=14x2-32x+54∴f（3）=-1解法三：（凑配法求解析式）∵f（2x+1）=x2-2x令2x+1=3则x=1此时x2-2x=-1∴f（3）=-1故为：-12.设a=(x，y，3)，b=(3，3，5)，且a⊥b，则x+y=（）A．1B．-1C．-5D．5答案：∵a=(x，y，3)，b=(3，3，5)，且a⊥b，∴a•b=3x+3y+15=0，∴x+y=-5，故选

C．3.已知a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则的最小值为(

)A．3B．6C．9D．12答案：C解析：本题考查均值不等式等知识。将1代入中，得，当且仅当，又，故时不等式取，选C。4.设直线的参数方程是x=2+12ty=3+32t，那么它的斜截式方程是______．答案：∵直线的参数方程为x=2+12ty=3+32t（t为参数），消去参数化为普通方程可得y-3=3（x-2），那么它的斜截式方程是y=3x+3-23．故为：y=3x+3-23．5.某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．

（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；

（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．答案：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2．依题意，得P(ξ=0)=C34C36=15，P(ξ=1)=C24C12C36=35，P(ξ=2)=C14C22C36=15．∴ξ的分布列为ξ012P153515∴Eξ=0×15+1×35+2×15=1．（2）设“男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中”为事件C，“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B从4个男生、2个女生中选3人，男生甲被选中的种数为n（A）=C52=10，男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为n（AB）=C41=4，∴P(C)=n(AB)n(A)=C14C25=410=25故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25．6.下列图形中不一定是平面图形的是（）

A．三角形

B．四边相等的四边形

C．梯形

D．平行四边形答案：B7.证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．答案：证明见解析：建立如图所示的直角坐标系．设，，其中，．则直线的方程为，直线的方程为．设底边上任意一点为，则到的距离；到的距离；到的距离．因为，所以，结论成立．8.已知{x1，x2，x3，…，xn}的平均数是2，则3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的平均数=_______．答案：∵x1，x2，x3，…，xn的平均数是2即（x1+x2+x3+…+xn）÷n=2∴3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的平均数为（3x1+2+3x2+2+…+3xn+2）÷n=[3（x1+x2+x3+…+xn）+2n]÷n=3×2+2=8故为：89.某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为23，科目B每次考试成绩合格的概率均为12．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．

（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；

（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ．答案：设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2．（Ⅰ）不需要补考就获得证书的事件为A1?B1，注意到A1与B1相互独立，根据相互独立事件同时发生的概率可得P(A1?B1)=P(A1)×P(B1)=23×12=13．即该考生不需要补考就获得证书的概率为13．（Ⅱ）由已知得，ξ=2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，根据相互独立事件同时发生的概率可得P(ξ=2)=P(A1?B1)+P(.A1?.A2)=23×12+13×13=13+19=49．P(ξ=3)=P(A1?.B1?B2)+P(A1?.B1?.B2)+P(.A1?A2?B2)=23×12×12+23×12×12+13×23×12=16+16+19=49，P(ξ=4)=P(.A1?A2?.B2?B2)+P(.A1?A2?.B1?.B2)=13×23×12×12+13×23×12×12=118+118=19，∴Eξ=2×49+3×49+4×19=83．即该考生参加考试次数的数学期望为83．10.在甲、乙两个盒子里分别装有标号为1、2、3、4的四个小球，现从甲、乙两个盒子里各取出1个小球，每个小球被取出的可能性相等．

（1）求取出的两个小球上标号为相邻整数的概率；

（2）求取出的两个小球上标号之和能被3整除的概率；

（3）求取出的两个小球上标号之和大于5整除的概率．答案：甲、乙两个盒子里各取出1个小球计为（X，Y）则基本事件共有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）总数为16种．（1）其中取出的两个小球上标号为相邻整数的基本事件有：（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）共6种故取出的两个小球上标号为相邻整数的概率P=38；（2）其中取出的两个小球上标号之和能被3整除的基本事件有：（1，2），（2，1），（2，4），（3，3），（4，2）共5种故取出的两个小球上标号之和能被3整除的概率为516；（3）其中取出的两个小球上标号之和大于5的基本事件有：（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）共6种故取出的两个小球上标号之和大于5的概率P=3811.设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则用“＞”表示a，b，c的大小关系式是______．答案：∵0＜0.32＜1，log20.3＜0，20.3＞1∴0.32＜20.3＜log20.3故为：a＞b＞c12.已知a=(1-t，1-t，t)，b=(2，t，t)，则|b-a|的最小值是______．答案：∵a=(1-t，1-t，t)，b=(2，t，t)，∴向量b-a=（1+t，2t-1，0）可得向量b-a的模|b-a|=(1+t)2+

(2t-1)2+02=5t2-2t+2∵5t2-2t+2=5（t-15）2+95∴当且仅当t=15时，5t2-2t+2的最小值为95所以当t=15时，|b-a|的最小值是95=355故为：35513.如图所示，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点.求AB与平面BDF所成角的正弦值.答案：AB与平面BDF所成角的正弦值为.解析：以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2），F（1，0，1）.∴=（0，2，1），=（1，-2，0）.设平面BDF的一个法向量为n=（2，a，b），∵n⊥，n⊥，∴即解得a=1，b=-2.∴n=（2，1，-2）.设AB与平面BDF所成的角为，则法向量n与的夹角为-，∴cos（-）===,即sin=,故AB与平面BDF所成角的正弦值为.14.下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=x2，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=x2xC．f（x）=lnx2，g（x）=2lnxD．f（x）=logaax（0＜a≠1），g（x）=3x3答案：同一函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系，A中的2个函数的值域不同，B中的2个函数的定义域不同，C中的2个函数的对应关系不同，只有D的2个函数的定义域、值域、对应关系完全相同，故选D．15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（ρ＞0，0≤θ＜π2）中，曲线ρ=2sinθ与ρ=2cosθ的交点的极坐标为______．答案：两式ρ=2sinθ与ρ=2cosθ相除得tanθ=1，∵0≤θ＜π2，∴θ=π4，∴ρ=2sinπ4=2，故交点的极坐标为（2，π4）．故为：（2，π4）．16.空间中，若向量=（5，9，m），=（1，-1，2），=（2，5，1）共面，则m=（）

A．2

B．3

C．4

D．5答案：C17.为了了解某社区居民是否准备收看奥运会开幕式，某记者分别从社区的60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的160，240，X人中，采用分层抽样的方法共抽出了30人进行调查，若60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x为（）

A．90

B．120

C．180

D．200答案：D18.已知点A（5，0）和⊙B：（x+5）2+y2=36，P是⊙B上的动点，直线BP与线段AP的垂直平分线交于点Q．

（1）证明点Q的轨迹是双曲线，并求出轨迹方程．

（2）若(BQ+BA)•QA=0，求点Q的坐标．答案：（1）∵点Q在线段AP的垂直平分线上，∴|QP|=|QA|，∴||BQ|-|PQ||=||BQ|-|AQ||=6．∴点Q的轨迹是以A、B为焦点的双曲线．（4′）其轨迹方程是x29-y216=1．（7′）（2）以A、B、Q为三个顶点作平行四边形ABQC，则BQ+BA=BC∵(BQ+BA)•QA=0，∴BC•QC=0，∴平行四边形ABQC是菱形，∴|BA|=|BQ|．（8′）∴点Q在圆（x+5）2+y2=100上．解方程组(x+5)2+y2=100x29-y216=1．（10′）得Q(-395，±485)或Q(215，±865)．（12′）19.已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A(72，4)，则|PA|+|PM|的最小值是（）A．5B．92C．4D．AD答案：依题意可知焦点F（12，0），准线x=-12，延长PM交准线于H点．则|PF|=|PH||PM|=|PH|-12=|PA|-12|PM|+|PA|=|PF|+|PA|-12，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可．由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，①设直线FA与抛物线交于P0点，可计算得P0（3，94），另一交点（-13，118）舍去．当P重合于P0时，|PF|+|PA|可取得最小值，可得|FA|=194．则所求为|PM|+|PA|=194-14=92．故选B．20.某种肥皂原零售价每块2元，凡购买2块以上（包括2块），商场推出两种优惠销售办法。第一种：一块肥皂按原价，其余按原价的七折销售；第二种：全部按原价的八折销售。你在购买相同数量肥皂的情况下，要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多，最少需要买（

）块肥皂。

A.5

B.2

C.3

D.4答案：D21.已知圆的极坐标方程为：ρ2-42ρcos(θ-π4)+6=0．

（1）将极坐标方程化为普通方程；

（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．答案：（1）ρ2-42ρcos(θ-π4)+6=0

即

ρ2-42（22ρcosθ+22ρsinθ

），即x2+y2-4x-4y+6=0．（2）圆的参数方程为x=

2

+2cosαy=

2

+2sinα，∴x+y=4+2（sinα+cosα）=4+2sin（α+π4）．由于-1≤sin（α+π4）≤1，∴2≤x+y≤6，故x+y的最大值为6，最小值等于2．22.在同一个坐标系中画出函数y=ax，y=sinax的部分图象，其中a＞0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是（）

A．

B．

C．

D．

答案：D23.已知x+2y+3z=1，则x2+y2+z2取最小值时，x+y+z的值为______．答案：由柯西不等式可知：（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32）故x2+y2+z2≥114，当且仅当x1=y2=z3取等号，此时y=2x，z=3x，x+2y+3z=14x=1，∴x=114，y=214，x=314，x+y+z=614=37．故为：37．24.如图，I表示南北方向的公路，A地在公路的正东2km处，B地在A地北偏东60°方向2km处，河流沿岸PQ（曲线）上任一点到公路l和到A地距离相等，现要在河岸PQ上选一处M建一座码头，向A，B两地转运货物，经测算从M到A，B修建公路的费用均为a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（单位万元）（）

A.（2+）a

B．5a

C.2（+1）a

D．6a

答案：B25.抛物线y2=8x的焦点坐标是______答案：抛物线y2=8x，所以p=4，所以焦点（2，0），故为（2，0）．．26.已知随机变量X满足D（X）=2，则D（3X+2）=（）

A．2

B．8

C．18

D．20答案：C27.由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体木块有（）

A．6块

B．7块

C．8块

D．9块答案：B28.从四个公司按分层抽样的方法抽取职工参加知识竞赛，其中甲公司共有职工96人．若从甲、乙、丙、丁四个公司抽取的职工人数分别为12，21，25，43，则这四个公司的总人数为（）

A．101

B．808

C．1212

D．2012答案：B29.已知点B是点A（2，-3，5）关于平面xOy的对称点，则|AB|=（）

A．10

B．

C．

D．38答案：A30.频率分布直方图的重心是（）

A．众数

B．中位数

C．标准差

D．平均数答案：D31.到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是（）

A．椭圆

B．AB所在直线

C．线段AB

D．无轨迹答案：C32.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（）

A．k2+1

B．（k+1）2

C．

D．（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2答案：D33.用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）

A．假设a、b、c都是偶数

B．假设a、b、c都不是偶数

C．假设a、b、c至多有一个偶数

D．假设a、b、c至多有两个偶数答案：B34.已知x，y的取值如下表：

x0134y2.24.34.86.7从散点图分析，y与x线性相关，则回归方程为.y=bx+a必过点______．答案：.X=0+1+3+44=2，.Y=2.2+4.3+4.8+6.74=92，故样本中心点的坐标为（2，92）．故为：（2，92）．35.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）

A．至少有1个白球；都是白球

B．至少有1个白球；至少有1个红球

C．恰有1个白球；恰有2个白球

D．至少有一个白球；都是红球答案：C36.一平面截球面产生的截面形状是______；它截圆柱面所产生的截面形状是______．答案：根据球的几何特征，一平面截球面产生的截面形状是圆；当平面与圆柱的底面平行时，截圆柱面所产生的截面形状为圆；当平面与圆柱的底面不平行时，截圆柱面所产生的截面形状为椭圆；故为：圆，圆或椭圆37.设复数z=cosθ+sinθi，0≤θ≤π，则|z+1|的最大值为______．答案：复数z=cosθ+sinθi，0≤θ≤π，则|z+1|=|cosθ+1+isinθ|=(1+cosθ)2+sin2θ=2+2cosθ≤2．故为：2．38.①学校为了了解高一学生的情况，从每班抽2人进行座谈；②一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90～100分，12人低于90分．现在从中抽取12人了解有关情况；③运动会服务人员为参加400m决赛的6名同学安排跑道．就这三件事，合适的抽样方法为（）A．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样答案：①是从较多的一个总体中抽取样本，且总体之间没有差异，故用系统抽样，②是从不同分数的总体中抽取样本，总体之间的差异比较大，故用分层抽样，③是六名运动员选跑道，用简单随机抽样，故选D．39.直线的参数方程为，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a,b)之间的距离是（

）

A．|t1|

B．2|t1|

C．

D．答案：C40.如图，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°．

（Ⅰ）求DP与CC′所成角的大小；

（Ⅱ）求DP与平面AA′D′D所成角的大小．答案：方法一：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz．则DA=(1，0，0)，CC′=(0，0，1)．连接BD，B'D'．在平面BB'D'D中，延长DP交B'D'于H．设DH=(m，m，1)(m＞0)，由已知＜DH，DA＞=60°，由DA•DH=|DA||DH|cos＜DA，DH＞可得2m=2m2+1．解得m=22，所以DH=(22，22，1)．（4分）（Ⅰ）因为cos＜DH，CC′＞=22×0+22×0+1×11×2=22，所以＜DH，CC′＞=45°．即DP与CC'所成的角为45°．（8分）（Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是DC=(0，1，0)．因为cos＜DH，DC＞=22×0+22×1+1×01×2=12，所以＜DH，DC＞=60°．可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°．（12分）方法二：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz．则DA=(1，0，0)，CC′=(0，0，1)，BD′=(-1，-1，1)．设P（x，y，z）则BP=λBD′，∴（x-1，y-1，z）=（-λ，-λ，λ）∴x=1-λy=1-λz=λ，则DP=(1-λ，1-λ，λ)，由已知，＜DP，DA＞=60°，∴λ2-4λ+2=0，解得λ=2-2，∴DP=(2-1，2-1，2-2)（4分）（Ⅰ）因为cos＜DP，CC′＞=2-22(2-1)=22，所以＜DP，CC′＞=45°．即DP与CC'所成的角为45°．（8分）（Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是DC=(0，1，0)．因为cos＜DP，DC＞=2-12(2-1)=12，所以＜DP，DC＞=60°．可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°．（12分）41.有一农场种植一种水稻在同一块稻田中连续8年的年平均产量如下：（单位：kg）

450

430

460

440

450

440

470

460；

则其方差为（）

A．120

B．80

C．15

D．150答案：D42.（几何证明选讲选做题）如图4，A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA=2，C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，则CD=______．答案：如图所示：作出直径AE，∵OA=2，C为OA的中点，∴OC=CA=1，CE=3．∵OB⊥OA，∴BC=22+12=5．由相交弦定理得BC?CD=EC?CA，∴CD=EC?CABC=3×15=355．故为355．43.mx+ny=1（mn≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为______．答案：由mx+ny=1（mn≠0），得x1m+y1n=1，所以mx+ny=1（mn≠0）在两坐标轴上的截距分别为1m，1n．则mx+ny=1（mn≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为12|mn|．故为12|mn|．44.已知集合A={（x，y）|y=x2，x∈R}，B={（x，y）|y=x，x∈R}，则集合A∩B中的元素个数为(

)

A．0个

B．1个

C．2个

D．无穷多个答案：C45.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米．当水面升高1米后，水面宽度是______米．答案：由题意，建立如图所示的坐标系，抛物线的开口向下，设抛物线的标准方程为x2=-2py（p＞0）∵顶点距水面2米时，量得水面宽8米∴点（4，-2）在抛物线上，代入方程得，p=4∴x2=-8y当水面升高1米后，y=-1代入方程得：x=±22∴水面宽度是42米故为：4246.（x+1）4的展开式中x2的系数为（）A．4B．6C．10D．20答案：（x+1）4的展开式的通项为Tr+1=C4rxr令r=2得T3=C42x2=6x∴展开式中x2的系数为6故选项为B47.若不等式（﹣1）na＜2+对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是

[

]A．[﹣2，）

B．（﹣2，）

C．[﹣3，）

D．（﹣3，）答案：A48.在某次数学考试中，考生的成绩X～N（90，100），则考试成绩X位于区间（80，90）上的概率为______．答案：∵考生的成绩X～N（90，100），∴正弦曲线关于x=90对称，根据3?原则知P（80＜x＜100）=0.6829，∴考试成绩X位于区间（80，90）上的概率为0.3413，故为：0.341349.设抛物线x2=12y的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，若点P恰为线段AB的中点，则|AF|+|BF|=______．答案：过点A，B，P分别作抛物线准线y=-3的垂线，垂足为C，D，Q，据抛物线定义，得|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|PQ|=8．故为850.已知向量i=（1，0），j=（0，1）．若向量i+λj与λi+j垂直，则实数λ=______．答案：由题意可得，i+λj=（1，λ），λi+j=（λ，1）∵i+λj与λi+j垂直(i+λj)?(λi+j)=2λ=0∴λ=0故为：0第3卷一.综合题(共50题)1.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1与C2的参数方程分别为x=ty=t（t为参数）和x=2cosθy=2sinθ（θ为参数），则曲线C1与C2的交点坐标为______．答案：在平面直角坐标系xOy中，曲线C1与C2的普通方程分别为y2=x，x2+y2=2．解方程组y2=xx2

+y2=2

可得x=1y=1，故曲线C1与C2的交点坐标为（1，1），故为（1，1）．2.当a≠0时，y=ax+b和y=bax的图象只可能是（）

A．

B．

C．

D．

答案：A3.已知x，y的取值如下表：

x0134y2.24.34.86.7从散点图分析，y与x线性相关，则回归方程为.y=bx+a必过点______．答案：.X=0+1+3+44=2，.Y=2.2+4.3+4.8+6.74=92，故样本中心点的坐标为（2，92）．故为：（2，92）．4.设a＞2，给定数列{xn}，其中x1=a，xn+1=x2n2(xn-1)(n=1，2…)求证：

（1）xn＞2，且xn+1xn＜1(n=1，2…)；

（2）如果a≤3，那么xn≤2+12n-1(n=1，2…)．答案：证明：（1）①当n=1时，∵x2=x122(x1-1)=x1+(2-x1)x12(x1-1)，x2=x122(x1-1)=4(x1-1)+x12

-4x1+42(x1-1)=2+(x1-2)22(x1-1)，x1=a＞2，∴2＜x2＜x1．结论成立．②假设n=k时，结论成立，即2＜xk+1＜xk（k∈N+），则xk+2=xk+122(xk+1-1)=xk+1+(2-xk+1)xk+12(xk+1-1)＞xk+1，xk+2=xk+122(xk+1-1)=2+(xk+1-2)22(xk+1-1)＞2．∴2＜xk+2＜xk+1，综上所述，由①②知2＜xn+1＜xn．∴xn＞2且xn+1xn＜1．（2）由条件x1=a≤3知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k（k≥1）时成立当n=k+1时，由条件及xk＞2知xk+1≤1+12k⇔x2k≤2(xk-1)(2+12k)⇔x2k-2(2+12k)xk+2(2+12k)≤0⇔(xk-2)[xk-(2+12k-1)]≤0，再由xk＞2及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式xk+1≤2+12k也成立，从而不等式xn≤2+12n-1对所有的正整数n成立5.已知一次函数y=（2k-4）x-1在R上是减函数，则k的取值范围是（）A．k＞2B．k≥2C．k＜2D．k≤2答案：因为函数y=（2k-4）x-1为R上是减函数⇔该一次函数的一次项的系数为负⇔2k-4＜0⇒k＜2．故为：C6.已知两条直线y=ax-2和y=（a+2）x+1互相垂直，则a等于（

）

A．2

B．1

C．0

D．-1答案：D7.设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为______．答案：∵15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，∴查得次品数的数学期望为150×100015000=10．故为10．8.求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．答案：已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴OM=ON=OP=OQ=12AB，∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．9.已知双曲线x2-y22=1，经过点M（1，1）能否作一条直线l，使直线l与双曲线交于A、B，且M是线段AB的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，说明理由．答案：设过点M（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1（1）当k存在时有y=k(x-1)+1x2

-y22=1得（2-k2）x2+（2k2-2k）x-k2+2k-3=0

（1）当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有△=（2k2-2k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）＞0，k＜32

又方程（1）的两个不同的根是两交点A、B的横坐标∴x1+x2=2(k-k2)2-k2

又M（1，1）为线段AB的中点∴x1+x22=1

即k-k22-k2=1

k=2

∴k=2，使2-k2≠0但使△＜0因此当k=2时，方程（1）无实数解故过点m（1，1）与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在．（2）当x=1时，直线经过点M但不满足条件，综上，符合条件的直线l不存在10.平面向量a与b的夹角为60°，a=（2，0），|b|=1

则|a+2b|=______．答案：∵平面向量a与b的夹角为60°，a=（2，0），|b|=1

∴|a+2b|=(a+2b)2=a2+4×a?b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=23．故为：23．11.下列给出的输入语句、输出语句和赋值语句

（1）输出语句INPUT

a；b；c

（2）输入语句INPUT

x=3

（3）赋值语句3=B

（4）赋值语句A=B=2

则其中正确的个数是（）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个答案：A12.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆x2+y2=16内的概率是______．答案：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，共有6×6=36种结果，而满足条件的事件是点P落在圆x2+y2=16内，列举出落在圆内的情况：（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2），共有8种结果，根据古典概型概率公式得到P=836=29，故为：2913.一个凸多面体的各个面都是四边形，它的顶点数是16，则它的面数为（）

A．14

B．7

C．15

D．不能确定答案：A14.如图程序输出的结果是（）

a=3，

b=4，

a=b，

b=a，

PRINTa，b

END

A．3，4

B．4，4

C．3，3

D．4，3答案：B15.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC=λAE+μAF，其中λ、μ∈R，则λ+μ=______．答案：解析：设AB=a，AD=b，那么AE=12a+b，AF=a+12b，又∵AC=a+b，∴AC=23（AE+AF），即λ=μ=23，∴λ+μ=43．故为：43．16.已知a，b，c是三条直线，且a∥b，a与c的夹角为θ，那么b与c夹角是______．答案：∵a∥b，∴b与c夹角等于a与c的夹角又∵a与c的夹角为θ∴b与c夹角也为θ故为：θ17.系数矩阵为.2132.，解为xy=12的一个线性方程组是______．答案：可设线性方程组为2132xy=mn，由于方程组的解是xy=12，∴mn=47，∴所求方程组为2x+y=43x+2y=7，故为：2x+y=43x+2y=7．18.两条平行直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0之间的距离为（

）

A．

B．

C．7

D．答案：D19.设随机变量X～B（10，0.8），则D（2X+1）等于（）

A．1.6

B．3.2

C．6.4

D．12.8答案：C20.若矩阵A=是表示我校2011届学生高二上学期的期中成绩矩阵，A中元素aij（i=1，2，3，4；j=1，2，3，4，5，6）的含义如下：i=1表示语文成绩，i=2表示数学成绩，i=3表示英语成绩，i=4表示语数外三门总分成绩j=k，k∈N*表示第50k名分数．若经过一定量的努力，各科能前进的名次是一样的．现小明的各科排名均在250左右，他想尽量提高三门总分分数，那么他应把努力方向主要放在哪一门学科上（）

A．语文

B．数学

C．外语

D．都一样答案：B21.以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值为（）

A.

B．

C．2

D．2

答案：D22.圆ρ=5cosθ-5sinθ的圆心的极坐标是（）

A．（-5，-）

B．（-5，）

C．（5，）

D．（-5，）答案：A23.设直线的参数方程是x=2+12ty=3+32t，那么它的斜截式方程是______．答案：∵直线的参数方程为x=2+12ty=3+32t（t为参数），消去参数化为普通方程可得y-3=3（x-2），那么它的斜截式方程是y=3x+3-23．故为：y=3x+3-23．24.老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学和进行作业检查，这种抽样方法是（）

A．随机抽样

B．分层抽样

C．系统抽样

D．以上都是答案：C25.曲线xy=1的参数方程不可能是（）

A．

B．

C.

D．答案：B26.在平面直角坐标系下，曲线C1：x=2t+2ay=-t（t为参数），曲线C2：x2+（y-2）2=4．若曲线C1、C2有公共点，则实数a的取值范围

______．答案：∵曲线C1：x=2t+2ay=-t（t为参数），∴x+2y-2a=0，∵曲线C2：x2+（y-2）2=4，圆心为（0，2），∵曲线C1、C2有公共点，∴圆心到直线x+2y-2a=0距离小于等于2，∴|4-2a|5≤2，解得，2-5≤a≤2+5，故为2-5≤a≤2+5．27.已知平面α的法向量是（2，3，-1），平面β的法向量是（4，λ，-2），若α∥β，则λ的值是（）

A．-

B．-6

C．6

D．答案：C28.比较大小：a=0.20.5，b=0.50.2，则（）

A．0＜a＜b＜1

B．0＜b＜a＜1

C．1＜a＜b

D．1＜b＜a答案：A29.直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点，O为抛物线的顶点，若OA⊥OB．证明：直线l过定点．答案：证明：设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（I）当直线l有存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0．（2分）联立方程得：y=kx+by2=2x消去y得k2x2+（2kb-2）x+b2=0由题意：x1x2=b2k2，&

y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=2bk（5分）又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，（7分）即b2k2+2bk=0，解得b=0（舍去）或b=-2k（9分）故直线l的方程为：y=kx-2k=k（x-2），故直线过定点（2，0）（11分）（II）当直线l不存在斜率时，设它的方程为x=m，显然m＞0联立方程得：x=my2=2x解得y=±2m，即y1y2=-2m又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，即m2-2m=0，解得m=0（舍去）或m=2可知直线l方程为：x=2，故直线过定点（2，0）综合（1）（2）可知，满足条件的直线过定点（2，0）．30.平面α外一点P到平面α内的四边形的四条边的距离都相等，且P在α内的射影在四边形内部，则四边形是（）

A．梯形

B．圆外切四边形

C．圆内接四边

D．任意四边形答案：B31.设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为310，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为12，则事件A发生的概率为______．答案：根据题意，得∵P（A|B）=P(AB)P(B)，P（AB）=310，P（A|B）=12∴12=310P(B)，解得P（B）=31012=35故为：3532.已知点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，3）则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为______．答案：AB=(-1，2，0)，AC=(-1，0，3)．设平面ABC的法向量为n=(x，y，z)，则n•AB=-x+2y=0n•AC=-x+3z=0，令x=2，则y=1，z=23．∴n=(2，1，23)．取平面xoy的法向量m=(0，0，1)．则cos＜m，n＞=m•n|m|