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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年浙江特殊教育职业学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.规定运算.abcd.=ad-bc,则.1i-i2.=______.答案:根据题目的新规定知,.1i-i2.=1×2-(-i)i=2+i2=2-1=1.故为:1.2.在茎叶图中,样本的中位数为______,众数为______.答案:由茎叶图可知样本数据共有6,出现在中间两位位的数据是20,24,所以样本的中位数是(20+24)÷2=22由茎叶图可知样本数据中出现最多的是12,样本的众数是12为:22,123.给出下列四个命题,其中正确的一个是()
A.在线性回归模型中,相关指数R2=0.80,说明预报变量对解释变量的贡献率是80%
B.在独立性检验时,两个变量的2×2列联表中对角线上数据的乘积相差越大,说明这两个变量没有关系成立的可能性就越大
C.相关指数R2用来刻画回归效果,R2越小,则残差平方和越大,模型的拟合效果越好
D.线性相关系数r的绝对值越接近于1,表明两个随机变量线性相关性越强答案:D4.在甲、乙两个盒子里分别装有标号为1、2、3、4的四个小球,现从甲、乙两个盒子里各取出1个小球,每个小球被取出的可能性相等.
(1)求取出的两个小球上标号为相邻整数的概率;
(2)求取出的两个小球上标号之和能被3整除的概率;
(3)求取出的两个小球上标号之和大于5整除的概率.答案:甲、乙两个盒子里各取出1个小球计为(X,Y)则基本事件共有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)总数为16种.(1)其中取出的两个小球上标号为相邻整数的基本事件有:(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)共6种故取出的两个小球上标号为相邻整数的概率P=38;(2)其中取出的两个小球上标号之和能被3整除的基本事件有:(1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)共5种故取出的两个小球上标号之和能被3整除的概率为516;(3)其中取出的两个小球上标号之和大于5的基本事件有:(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)共6种故取出的两个小球上标号之和大于5的概率P=385.若|x-4|+|x+5|>a对于x∈R均成立,则a的取值范围为______.答案:∵|x-4|+|x+5|=|4-x|+|x+5|≥|4-x+x+5|=9,故|x-4|+|x+5|的最小值为9.再由题意可得,当a<9时,不等式对x∈R均成立.故为(-∞,9).6.已知a,b
,c满足a+2c=b,且a⊥c,|a|=1,|c|=2,则|b|=______.答案:根据题意,a⊥c?a?c=0,则|b|2=(a+2c)2=a2+4c2=17,则|b|=17;故为17.7.下列说法不正确的是()A.圆柱侧面展开图是一个矩形B.圆锥的过轴的截面是等腰三角形C.直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D.圆台平行于底面的截面是圆面答案:圆柱的侧面展开图是一个矩形,A正确,因为母线长相等,得到圆锥的轴截面是一个等腰三角形,B正确,圆台平行于底面的截面是圆面,D正确,故选C.8.给出一个程序框图,输出的结果为s=132,则判断框中应填()
A.i≥11
B.i≥10
C.i≤11
D.i≤12
答案:A9.点P(1,2,2)到原点的距离是()
A.9
B.3
C.1
D.5答案:B10.对于数25,规定第1次操作为23+53=133,第2次操作为13+33+33=55,如此反复操作,则第2012次操作后得到的数是
()A.25B.250C.55D.133答案:第1次操作为23+53=133,第2次操作为13+33+33=55,第3次操作为53+53=250,第4次操作为23+53+03=133∴操作结果,以3为周期,循环出现∵2012=3×670+2∴第2012次操作后得到的数与第2次操作后得到的数相同∴第2012次操作后得到的数是55故选C.11.为如图所示的四块区域涂色,要求相邻区域不能同色,现有3种不同颜色可供选择,则共有______种不同涂色方案(要求用具体数字作答).答案:由题意,首先给左上方一个涂色,有三种结果,再给最左下边的上面的涂色,有两种结果,右上方,如果与左下边的同色,则右方的涂色,有两种结果,右上方,如果与左下边的不同色,则右方的涂色,有1种结果,∴根据分步计数原理得到共有3×2×(2+1)=18种结果,故为18.12.若复数z=(m2-1)+(m+1)i为纯虚数,则实数m的值等于______.答案:复数z=(m2-1)+(m+1)i当z是纯虚数时,必有:m2-1=0且m+1≠0解得,m=1.故为1.13.①点P在△ABC所在的平面内,且②点P为△ABC内的一点,且使得取得最小值;③点P是△ABC所在平面内一点,且,上述三个点P中,是△ABC的重心的有()
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个答案:D14.已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,圆心为C,点P的极坐标为(4,π3),则|CP|=______.答案:圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,圆的方程为:x2+y2=4x,圆心为C(2,0),点P的极坐标为(4,π3),所以P的直角坐标(2,23),所以|CP|=(2-2)2+(23-0)2=23.故为:23.15.平面α的一个法向量为v1=(1,2,1),平面β的一个法向量为为v2=(-2,-4,10),则平面α与平面β()A.平行B.垂直C.相交D.不确定答案:∵平面α的一个法向量为v1=(1,2,1),平面β的一个法向量为v2=(-2,-4,10),∵v1•v2=1×(-2)+2×(-4)+1×10=0∴v1⊥v2,∴平面α⊥平面β故选B16.(几何证明选讲选做题)如图,梯形,,是对角线和的交点,,则
。
答案:1:6解析:,
,,∵,,而∴。17.要证明,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是()
A.综合法
B.分析法
C.反证法
D.归纳法答案:B18.已知a=(3λ,6,λ+6),b=(λ+1,3,2λ)为两平行平面的法向量,则λ=______.答案:∵a=(3λ,6,λ+6),b=(λ+1,3,2λ)为两平行平面的法向量,∴a∥b.∴存在实数k,使得a=kb,∴3λ=k(λ+1)6=3kλ+6=2λk,解得k=2λ=2,故为219.下面的结构图,总经理的直接下属是()
A.总工程师和专家办公室
B.开发部
C.总工程师、专家办公室和开发部
D.总工程师、专家办公室和所有七个部答案:C20.将两个数a=8,b=17交换,使a=17,b=8,下面语句正确一组是()
A.
B.
C.
D.
答案:B21.已知随机变量X的分布列为:P(X=k)=,k=1,2,…,则P(2<X≤4)等于()
A.
B.
C.
D.答案:A22.参数方程x=cosαy=1+sinα(α为参数)化成普通方程为
______.答案:∵x=cosαy=1+sinα(α为参数)∴x2+(y-1)2=cos2α+sin2α=1.即:参数方程x=cosαy=1+sinα(α为参数)化成普通方程为:x2+(y-1)2=1.故为:x2+(y-1)2=1.23.已知点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线x=4t2y=4t(t为参数)上,则|PF|的长为______.答案:∵抛物线x=4t2y=4t(t为参数)上,∴y2=4x,∵点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线x=4t2y=4t(t为参数)上,∴m2=4×3=12,∴P(3,23)∵F(1,0),∴|PF|=22+(23)2=4,故为4.24.已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过点A(2,3),则过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程为______.答案:∵A(2,3)是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点,∴2a1+3b1+1=0,且2a2+3b2+1=0,即两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的坐标都适合方程2x+3y+1=0,∴两点(a1,b1)和(a2,b2)都在同一条直线2x+3y+1=0上,故点(a1,b1)和(a2,b2)所确定的直线方程是2x+3y+1=0,故为:2x+3y+1=0.25.求证1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=13n(n+1)(n+2).答案:证明:①当n=1时,左边=2,右边=13×1×2×3=2,等式成立;②假设当n=k时,等式成立,即1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)=13k(k+1)(k+2)则当n=k+1时,左边=13k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(13k+1)=13(k+1)(k+2)(k+3)即n=k+1时,等式也成立.所以1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=13n(n+1)(n+2)对任意正整数都成立.26.随机变量ξ服从二项分布ξ~B(n,p),且Eξ=300,Dξ=200,则p等于()
A.
B.0
C.1
D.答案:D27.若m∈{-2,-1,1,2},n∈{-2,-1,1,2,3},则方程x2m+y2n=1表示的是双曲线的概率为______.答案:由题意,方程x2m+y2n=1表示双曲线时,mn<0,m>0,n<0时,有2×2=4种,m<0,n>0时,有2×3=6种∵m,n的取值共有4×5=20种∴方程x2m+y2n=1表示的是双曲线的概率为4+620=12故为:1228.参数方程(0<θ<2π)表示()
A.双曲线的一支,这支过点(1,)
B.抛物线的一部分,这部分过(1,)
C.双曲线的一支,这支过点(-1,)
D.抛物线的一部分,这部分过(-1,)答案:B29.点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的正投影,则|OB|等于()
A.
B.
C.
D.答案:B30.如图所示的圆盘由八个全等的扇形构成,指针绕中心旋转,可能随机停止,则指针停止在阴影部分的概率为()A.12B.14C.16D.18答案:如图:转动转盘被均匀分成8部分,阴影部分占1份,则指针停止在阴影部分的概率是P=18.故选D.31.已知正方形ABCD的边长为a,则|AC+AD|等于______.答案:∵正方形ABCD的边长为a,∴AC=2a,AC与AD的夹角为45°|AC+AD|2=|AC
|2+2AC?AD+|AD|2=2a2+2×2a×a×22+a2=5a2∴|AC+AD|=5a故为:5a32.8的值为()
A.2
B.4
C.6
D.8答案:B33.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是()
A.内切
B.相交
C.外切
D.外离答案:B34.设i为虚数单位,若=b+i(a,b∈R),则a,b的值为()
A.a=0,b=1
B.a=1,b=0
C.a=1,b=1
D.a=,b=-1答案:B35.若随机变量X的概率分布如下表,则表中a的值为()
X
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.3
a
A.1
B.0.8
C.0.3
D.0.2答案:D36.设非零向量、、满足||=||=||,+=,则<,>=()
A.150°
B.120°
C.60°
D.30°答案:B37.如图⊙0的直径AD=2,四边形ABCD内接于⊙0,直线MN切⊙0于点B,∠MBA=30°,则AB的长为______.答案:连BD,则∠MBA=∠ADB=30°,在直角三角形ABD中sin30°=ABAD,∴AB=12×2=1故为:138.假设两圆互相外切,求证:用连心线做直径的圆,必与前两圆的外公切线相切.答案:证明:设⊙O1及⊙O2为互相外切的两个圆,其一外公切线为A1A2,切点为A1及A2令点O为连心线O1O2的中点,过O作OA⊥A1A2,由直角梯形的中位线性质得:OA=12(O1A1+O2A2)=12O1O2,∴以O1O2为直径,即以O为圆心,OA为半径的圆必与直线A1A2相切,同理可证,此圆必切于⊙O1及⊙O2的另一条外公切线.39.根据一组数据判断是否线性相关时,应选用()
A.散点图
B.茎叶图
C.频率分布直方图
D.频率分布折线图答案:A40.在极坐标系中,曲线ρ=2cosθ所表示图形的面积为______.答案:将原极坐标方程为p=2cosθ,化成:p2=2ρcosθ,其直角坐标方程为:∴x2+y2=2x,是一个半径为1的圆,其面积为π.故填:π.41.如图:在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若则下列向量中与相等的向量是()
A.
B.
C.
D.
答案:A42.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为2,那么
这个几何体的体积为()A.13B.23C.43D.2答案:根据三视图,可知该几何体是三棱锥,右图为该三棱锥的直观图,三棱锥的底面是一个腰长是2的等腰直角三角形,∴底面的面积是12×2×2=2垂直于底面的侧棱长是2,即高为2,∴三棱锥的体积是13×2×2=43故选C.43.以下程序输入2,3,4运行后,输出的结果是()
INPUT
a,b,c
a=b
b=c
c=a
a,b,c.
A.234
B.324
C.343
D.342答案:C44.以双曲线x24-y216=1的右焦点为圆心,且被其渐近线截得的弦长为6的圆的方程为______.答案:双曲线x24-y216=1的右焦点为F(25,0),一条渐近线为2x+y=0.∴所求圆的圆心为(25,0).∵所求圆被渐近线2x+y=0截得的弦长为6,∴圆心为(25,0)到渐近线2x+y=0的距离d=455=4,圆半径r=9+16=5,∴所求圆的方程是(x-25)2+y2=25.故为(x-25)2+y2=25.45.想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关,应该检验()
A.H0:男性喜欢参加体育活动
B.H0:女性不喜欢参加体育活动
C.H0:喜欢参加体育活动与性别有关
D.H0:喜欢参加体育活动与性别无关答案:D46.若向量a=(2,-3,3)是直线l的方向向量,向量b=(1,0,0)是平面α的法向量,则直线l与平面α所成角的大小为______.答案:设直线l与平面α所成角为θ,则sinθ=|cos<a,b>|=|a•b||a|
|b|=222+(-3)2+(3)2×1=12,∵θ∈[0,π2],∴θ=π6,即直线l与平面α所成角的大小为π6.故为π6.47.正方体的表面积与其外接球表面积的比为()A.3:πB.2:πC.1:2πD.1:3π答案:设正方体的棱长为a,不妨设a=1,正方体外接球的半径为R,则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小可知:2R=3a,即R=3a2=32?1=32;所以外接球的表面积为:S球=4πR2=3π.则正方体的表面积与其外接球表面积的比为:6:3π=2:π.故选B.48.已知直线l的参数方程为x=12ty=22+32t(t为参数),若以直角坐标系xOy的O点为极点,Ox方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos(θ-π4)
(1)求直线l的倾斜角;
(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,求|AB|.答案:(1)直线参数方程可以化x=tcos60°y=22+tsin60°,根据直线参数方程的意义,这条经过点(0,22),倾斜角为60°的直线.(2)l的直角坐标方程为y=3x+22,ρ=2cos(θ-π4)的直角坐标方程为(x-22)2+(y-22)2=1,所以圆心(22,22)到直线l的距离d=64,∴|AB|=102.49.下面对算法描述正确的一项是:()A.算法只能用自然语言来描述B.算法只能用图形方式来表示C.同一问题可以有不同的算法D.同一问题的算法不同,结果必然不同答案:算法的特点:有穷性,确定性,顺序性与正确性,不唯一性,普遍性算法可以用自然语言、图形语言,程序语言来表示,故A、B不对同一问题可以用不同的算法来描述,但结果一定相同,故D不对.C对.故应选C.50.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为()
A.1
B.2
C.
D.3答案:C第2卷一.综合题(共50题)1.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△MPF的面积为()
A.6
B.8
C.10
D.15答案:C2.若a=0.30.2,b=20.4,c=0.30.3,则a,b,c三个数的大小关系是:______(用符号“>”连接这三个字母)答案:∵1=0.30>0.30.2>0.30.3,又∵20.4>20=1,∴b>a>c.故为:b>a>c.3.如图,从圆O外一点P引两条直线分别交圆O于点A,B,C,D,且PA=AB,PC=5,CD=9,则AB的长等于______.答案:∵PAB和PBC是圆O的两条割线∴PA?PB=PC?PD又∵PA=AB,PC=5,CD=9,∴2AB2=5×(5+9)∴AB=35故为:354.为了评价某个电视栏目的改革效果,在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查,经过计算K2≈0.99,根据这一数据分析,下列说法正确的是()
A.有99%的人认为该栏目优秀
B.有99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系
C.有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系
D.没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系答案:D5.根据下面的要求,求满足1+2+3+…+n>500的最小的自然数n.
(1)画出执行该问题的程序框图;
(2)以下是解决该问题的一个程序,但有几处错误,请找出错误并予以更正.
i=1S=1n=0DO
S<=500
S=S+i
i=i+1
n=n+1WENDPRINT
n+1END.答案:(1)程序框图如左图所示.或者,如右图所示:(2)①DO应改为WHILE;
②PRINT
n+1
应改为PRINT
n;
③S=1应改为S=0.6.若两圆x2+y2=m和x2+y2+6x-8y-11=0有公共点,则实数m的取值范围是(
)
A.(-∞,1)
B.(121,+∞)
C.[1,121]
D.(1,121)答案:C7.平行线3x-4y-8=0与6x-8y+3=0的距离为______.答案:6x-8y+3=0可化为3x-4y+32=0,故所求距离为|-8-32|32+(-4)2=1910,故为:19108.直线y=k(x-2)+3必过定点,该定点的坐标为()
A.(3,2)
B.(2,3)
C.(2,-3)
D.(-2,3)答案:B9.已知a,b是非零向量,且a,b夹角为π3,则向量p=a丨a丨+b丨b丨的模为______.答案:∵|a|a||=|a||a|=1=|b|b||,a?b=|a|
|b|cosπ3=12|a|
|b|∴p2=|(a|a|+b|b|)2=1+1+2?a|a|?b|b|=2+2×12=3,∴|p|=3.故为3.10.若直线l经过原点和点A(-2,-2),则它的斜率为()
A.-1
B.1
C.1或-1
D.0答案:B11.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是______.答案:设M(0,y,0)由12+y2+4=1+(y+3)2+1可得y=-1故M(0,-1,0)故为:(0,-1,0).12.如图是2010年青年歌手大奖赛中,七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0~9中的
一个),去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1,a2,则一定有()A.a1>a2B.a2>a1C.a1=a2D.a1,a2的大小与m的值有关答案:由题意知去掉一个最高分和一个最低分以后,两组数据都有五个数据,代入数据可以求得甲和乙的平均分a1=1+4+5×35+80=84,a2=4×3+6+75+80=85,∴a2>a1故选B13.试求288和123的最大公约数是
答案:3解析:,,,.∴和的最大公约数14.______称为向量的长度(或称为模),记作
______,______称为零向量,记作
______,______称为单位向量.答案:向量AB所在线段AB的长度,即向量AB的大小,称为向量AB的长度(或成为模),记作|AB|;长度为零的向量称为零向量,记作0;长度等于1个单位的向量称为单位向量.故为:向量AB所在线段AB的长度,即向量AB的大小,|AB|;长度为零的向量,0;长度等于1个单位的向量.15.已知直线经过点,倾斜角,设与圆相交与两点,求点到两点的距离之积。答案:2解析:把直线代入得,则点到两点的距离之积为16.对于回归方程y=4.75x+2.57,当x=28时,y
的估计值是______.答案:∵回归方程y=4.75x+2.57,∴当x=28时,y的估计值是4.75×28+2.57=135.57.故为:135.57.17.mx+ny=1(mn≠0)与两坐标轴围成的三角形面积为______.答案:由mx+ny=1(mn≠0),得x1m+y1n=1,所以mx+ny=1(mn≠0)在两坐标轴上的截距分别为1m,1n.则mx+ny=1(mn≠0)与两坐标轴围成的三角形面积为12|mn|.故为12|mn|.18.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合S={1,3,5},T={3,6},则CU(S∪T)等于()A.φB.{2,4,7,8}C.{1,3,5,6}D.{2,4,6,8}答案:∵S∪T={1,3,5,6},∴CU(S∪T)={2,4,7,8}.故选B.19.抛物线y2=4px(p>0)的准线与x轴交于M点,过点M作直线l交抛物线于A、B两点.
(1)若线段AB的垂直平分线交x轴于N(x0,0),求证:x0>3p;
(2)若直线l的斜率依次为p,p2,p3,…,线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N1,N2,N3,…,当0<p<1时,求1|N1N2|+1|N2N3|+…+1|N10N11|的值.答案:(1)证明:设直线l方程为y=k(x+p),代入y2=4px.得k2x2+(2k2p-4p)x+k2p2=0.△=4(k2p-2p)2-4k2•k2p2>0,得0<k2<1.令A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=-2k2p-4pk2,y1+y2=k(x1+x2+2p)=4pk,AB中点坐标为(2P-k2Pk2,2pk).AB垂直平分线为y-2pk=-1k(x-2P-k2Pk2).令y=0,得x0=k2P+2Pk2=p+2Pk2.由上可知0<k2<1,∴x0>p+2p=3p.∴x0>3p.(2)∵l的斜率依次为p,p2,p3,时,AB中垂线与x轴交点依次为N1,N2,N3,(0<p<1).∴点Nn的坐标为(p+2p2n-1,0).|NnNn+1|=|(p+2p2n-1)-(p+2p2n+1)|=2(1-p2)p2n+1,1|NnNn+1|=p2n+12(1-p2),所求的值为12(1-p2)[p3+p4++p21]=p3(1-p19)2(1-p)2(1+p).20.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足PF1-PF2=10,则点P的轨迹是______.答案:由于两点间的距离|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应是一条射线.故为一条射线.21.正十边形的一个内角是多少度?答案:由多边形内角和公式180°(n-2),∴每一个内角的度数是180°(n-2)n当n=10时.得到一个内角为180°(10-2)10=144°22.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是______.答案:由三视图可知该几何体为是一平放的直三棱柱,底面是边长为2的正三角形,棱柱的侧棱为3,也为高.V=Sh=34×22
×3=33故为:33.23.一圆形纸片的圆心为O,点Q是圆内异于O点的一个定点,点A是圆周上一动点,把纸片折叠使得点A与点Q重合,然后抹平纸片,折痕CD与OA交于点P,当点A运动时,点P的轨迹为()
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆答案:A24.点(1,2)到原点的距离为()
A.1
B.5
C.
D.2答案:C25.已知函数y=f(n),满足f(1)=2,且f(n+1)=3f(n),n∈N+,则
f(3)的值为______.答案:∵f(1)=2,且f(n+1)=3f(n),n∈N+,∴f(2)=3f(1)=6,f(3)=f(2+1)=3f(2)=18,故为18.26.与直线2x+y+1=0的距离为的直线的方程是()
A.2x+y=0
B.2x+y-2=0
C.2x+y=0或2x+y-2=0
D.2x+y=0或2x+y+2=0答案:D27.设点P(+,1)(t>0),则||(O为坐标原点)的最小值是()
A.
B.
C.5
D.3答案:A28.如图,点O是正六边形ABCDEF的中心,则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点,与始点不同的另一点为终点的所有向量中,除向量外,与向量共线的向量共有()
A.2个
B.3个
C.6个
D.9个
答案:D29.若对n个向量a1,a2,…,an,存在n个不全为零的实数k1,k2…,kn,使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立,则称向量a1,a2,…,an为“线性相关”.依此规定,请你求出一组实数k1,k2,k3的值,它能说明a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)“线性相关”.k1,k2,k3的值分别是______(写出一组即可).答案:设a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)“线性相关”.则存在实数,k1,k2,k3,使k1a1+k2a2+k3a3=0∵a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)∴k1+k2+2k3=0,且-k2+2k3=0令k3=1,则k2=2,k1=-4故为:-4,2,130.经过点M(1,1)且在两轴上截距相等的直线是______.答案:①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时,设该直线的方程为x+y=a,把(1,1)代入所设的方程得:a=2,则所求直线的方程为x+y=2;②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时,设该直线的方程为y=kx,把(1,1)代入所求的方程得:k=1,则所求直线的方程为y=x.综上,所求直线的方程为:x+y=2或y=x.故为:x+y=2或y=x31.某学校为了调查高三年级的200名文科学生完成课后作业所需时间,采取了两种抽样调查的方式:第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查;第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号,从001到200,抽取学号最后一位为2的同学进行调查,则这两种抽样的方法依次为()A.分层抽样,简单随机抽样B.简单随机抽样,分层抽样C.分层抽样,系统抽样D.简单随机抽样,系统抽样答案:第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查;这是一种简单随机抽样,第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号,从001到200,抽取学号最后一位为2的同学进行调查,对于个体比较多的总体,采用系统抽样,故选D.32.利用斜二测画法能得到的()
①三角形的直观图是三角形;
②平行四边形的直观图是平行四边形;
③正方形的直观图是正方形;
④菱形的直观图是菱形.
A.①②
B.①
C.③④
D.①②③④答案:A33.一圆锥侧面展开图为半圆,平面α与圆锥的轴成45°角,则平面α与该圆锥侧面相交的交线为()A.圆B.抛物线C.双曲线D.椭圆答案:设圆锥的母线长为R,底面半径为r,则:πR=2πr,∴R=2r,∴母线与高的夹角的正弦值=rR=12,∴母线与高的夹角是30°.由于平面α与圆锥的轴成45°>30°;则平面α与该圆锥侧面相交的交线为椭圆.故选D.34.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点数分别为X、Y,则log2XY=1的概率为()A.16B.536C.112D.12答案:∵log2XY=1∴Y=2X,满足条件的X、Y有3对而骰子朝上的点数X、Y共有36对∴概率为336=112故选C.35.若A是圆x2+y2=16上的一个动点,过点A向y轴作垂线,垂足为B,则线段AB中点C的轨迹方程为()
A.x2+2y2=16
B.x2+4y2=16
C.2x2+y2=16
D.4x2+y2=16答案:D36.在极坐标系中,点(2,π6)到直线ρsinθ=2的距离等于______.答案:在极坐标系中,点(2
,
π6)化为直角坐标为(3,1),直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2,(3,1),到y=2的距离1,即为点(2
,
π6)到直线ρsinθ=2的距离1,故为:1.37.圆心在x轴上,且过两点A(1,4),B(3,2)的圆的方程为______.答案:设圆心坐标为(m,0),半径为r,则圆的方程为(x-m)2+y2=r2,∵圆经过两点A(1,4)、B(3,2)∴(1-m)2+42=r2(3-m)2+22=r2解得:m=-1,r2=20∴圆的方程为(x+1)2+y2=20故为:(x+1)2+y2=2038.函数y=x2x4+9(x≠0)的最大值为______,此时x的值为______.答案:y=x2x4+9=1x2+9x2≤129=16,当且仅当x2=9x2,即x=±3时取等号.故为:16,
±339.下列说法正确的是()
A.向量
与向量是共线向量,则A、B、C、D必在同一直线上
B.向量与平行,则与的方向相同或相反
C.向量的长度与向量的长度相等
D.单位向量都相等答案:C40.如果方程x2+(m-1)x+m2-2=0的两个实根一个小于1,另一个大于1,那么实数m的取值范围是()
A.
B.(-2,0)
C.(-2,1)
D.(0,1)答案:C41.下列关于算法的说法不正确的是()A.算法必须在有限步操作之后停止.B.求解某一类问题的算法是唯一的.C.算法的每一步必须是明确的.D.算法执行后一定产生确定的结果.答案:因为算法具有有穷性、确定性和可输出性.由算法的特性可知,A是指的有穷性;C是确定性;D是可输出性.而解决某一类问题的算法不一定唯一,例如求排序问题算法就不唯一,所以,给出的说法不正确的是B.故选B.42.某校有老师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本;已知从女学生中抽取的人数为80人,则n=______.答案:∵某校有老师200人,男学生1
200人,女学生1
000人.∴学校共有200+1200+1000人由题意知801000=n200+1200+1000,∴n=192.故为:19243.如果方程(1+i)x2-2(a+i)x+5-3i=0(a∈R)有实数解,求a的值.答案:设方程的实根为x0,则方程(1+i)x2-2(a+i)x+5-3i=0可化为(x20-2ax0+5)+(x20-2x0-3)i=0由复数相等的充要条件可得x20-2ax0+5=0①x20-2x0-3=0
②由②得x0=3或-1,代入①得a=73或-3∴a=73或-344.设a,b,λ都为正数,且a≠b,对于函数y=x2(x>0)图象上两点A(a,a2),B(b,b2).
(1)若AC=λCB,则点C的坐标是______;
(2)过点C作x轴的垂线,交函数y=x2(x>0)的图象于D点,由点C在点D的上方可得不等式:______.答案:(1)设点C(x,y),因为点A(a,a2),B(b,b2),AC=λCB,则(x-a,y-a2)=λ(b-x,b2-y),所以:x=a+λb1+λ,y=a2+λb21+λ(2)因为点C在点D的上方,则y>yD,所以a2+λb21+λ>(a+λb1+λ)245.某超市推出如下优惠方案:
(1)一次性购物不超过100元不享受优惠;
(2)一次性购物超过100元但不超过300元的一律九折;
(3)一次性购物超过300元的一律八折,有人两次购物分别付款80元,252元.
如果他一次性购买与上两次相同的商品,则应付款______.答案:该人一次性购物付款80元,据条件(1)、(2)知他没有享受优惠,故实际购物款为80元;另一次购物付款252元,有两种可能,其一购物超过300元按八折计,则实际购物款为2520.8=315元.其二购物超过100元但不超过300元按九折计算,则实际购物款为2520.9=280元.故该人两次购物总价值为395元或360元,若一次性购买这些商品应付款316元或288元.故为316元或288元.46.将某班的60名学生编号为:01,02,…,60,采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本,且随机抽得的一个号码为04,则剩下的四个号码依次是______.答案:用系统抽样抽出的5个学生的号码从小到大成等差数列,随机抽得的一个号码为04则剩下的四个号码依次是16、28、40、52.故为:16、28、40、5247.山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验,得到如下表所示的一组数据(单位:kg).
施化肥量x15202530354045棉花产量y330345365405445450455(1)画出散点图;
(2)判断是否具有相关关系.答案:(1)根据已知表格中的数据可得施化肥量x和产量y的散点图如下所示:(2)根据(1)中散点图可知,各组数据对应点大致分布在一个条形区域内(一条直线附近)故施化肥量x和产量y具有线性相关关系.48.如图,在⊙O中,AB是弦,AC是⊙O的切线,A是切点,过
B作BD⊥AC于D,BD交⊙O于E点,若AE平分∠BAD,则∠BAD=()
A.30°
B.45°
C.50°
D.60°
答案:D49.直线(t为参数)的倾斜角是()
A.20°
B.70°
C.45°
D.135°答案:D50.已知矩阵A=b-2-7a的逆矩阵是B=a273,则a+b=______.答案:根据矩阵A=b-2-7a的逆矩阵是B=a273,得a273b-2-7a=1001,∴ab-14=1-2a+2a=07b-21=0-14+3a=1,解得a=5b=3∴a+b=8.故为:8.第3卷一.综合题(共50题)1.全称命题“任意x∈Z,2x+1是整数”的逆命题是()
A.若2x+1是整数,则x∈Z
B.若2x+1是奇数,则x∈Z
C.若2x+1是偶数,则x∈Z
D.若2x+1能被3整除,则x∈Z
E.若2x+1是整数,则x∈Z答案:A2.甲、乙、丙、丁四名射击选手在选拨赛中所得的平均环数,其方差S2如下表所示,则选送参加决赛的最佳人选是()
甲
乙
丙
丁
8
9
9
8
S2
5.7
6.2
5.7
6.4
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁答案:C3.点P,设△ABC的面积是△PBC的面积的m倍,那么m=()
A.1
B.
C.4
D.2答案:B4.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且|NF|=32|MN|,则∠NMF=()A.π6B.π4C.π3D.5π12答案:设N到准线的距离等于d,由抛物线的定义可得d=|NF|,
由题意得cos∠NMF=d|MN|=|NF||MN|=32,∴∠NMF=π6,故选A.5.如图:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2,E,F分别是线段AB,BC上的点,且EB=FB=1.
(1)求二面角C-DE-C1的大小;
(2)求异面直线EC1与FD1所成角的大小;
(3)求异面直线EC1与FD1之间的距离.答案:(1)以A为原点AB,AD,AA1分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系,则有D(0,3,0),D1(0,3,2),E(3,0,0),F(4,1,0),C1(4,3,2).(1分)于是DE=(3,-3,0),EC1=(1,3,2),FD1=(-4,2,2)(3分)设向量n=(x,y,z)与平面C1DE垂直,则有n⊥DEn⊥EC1⇒3x-3y=0x+3y+2z=0⇒x=y=-12z.∴n=(-z2,-z2,z)=z2(-1,-1,2),其中z>0.取n0=(-1,-1,2),则n0是一个与平面C1DE垂直的向量,(5分)∵向量AA1=(0,0,2)与平面CDE垂直,∴n0与AA1所成的角θ为二面角C-DE-C1的平面角.(6分)∴cosθ=n0•AA1|n0||AA1|=-1×0-1×0+2×21+1+4×0+0+4=63.(7分)故二面角C-DE-C1的大小为arccos63.(8分)(2)设EC1与FD1所成角为β,(1分)则cosβ=EC1•FD1|EC1||FD1|=1×(-4)+3×2+2×21+1+4×0+0+4=2114(10分)故异面直线EC1与FD1所成角的大小为arccos2114(11分)(3)设m=(x,y,z)m⊥EC1m⊥FD1⇒m=(17,-57,1)又取D1C1=(4,0,0)$}}\overm}=(\frac{1}{7},-\frac{5}{7},1)$$}}\overC}_1}=(4,0,0)$(13分)设所求距离为d,则d=|m⋅D1C1||m|=4315$}}\overC}}_1}|}}{|\vecm|}=\frac{{4\sqrt{3}}}{15}$(14分).6.扇形周长为10,则扇形面积的最大值是()A.52B.254C.252D.102答案:设半径为r,弧长为l,则周长为2r+l=10,面积为s=12lr,因为10=2r+l≥22rl,所以rl≤252,所以s≤254故选B7.如图,AB是圆O的直径,CD是圆O的弦,AB与CD交于E点,且AE:EB=3:1、CE:ED=1:1,CD=83,则直径AB的长为______.答案:由CE:ED=1:1,CD=83,∴CE=ED=43由相交弦定理可得AE?EB=CE?ED及AE:EB=3:1∴3EB2=43?43=48解得EB=4,AE=12∴AB=AE+EB=16故为:168.P为△ABC内一点,且PA+3PB+7PC=0,则△PAC与△ABC面积的比为______.答案:(如图)分别延长
PB、PC
至
B1、C1,使
PB1=3PB,PC1=7PC,则由已知可得:PA+PB1+PC1=0,故点P是三角形
AB1C1
的重心,设三角形
AB1C1
的面积为
3S,则S△APC1=S△APB1=S△PB1C1=S,而S△APC=17S△APC1=S7,S△ABP=13S△APB1=S3,S△PBC=13×17S△PB1C1=S21,所以△PAC与△ABC面积的比为:S7S7+S3+S21=311,故为:3119.数据:1,1,3,3的众数和中位数分别是()
A.1或3,2
B.3,2
C.1或3,1或3
D.3,3答案:A10.在对吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是()
A.若随机变量K2的观测值k>6.635,我们有99%的把握说明吸烟与患肺病有关,则若某人吸烟,那么他有99%的可能患有肺病
B.若由随机变量求出有99%的把握说吸烟与患肺病有关,则在100个吸烟者中必有99个人患有肺病
C.若由随机变量求出有95%的把握说吸烟与患肺病有关,那么有5%的可能性使得推断错误
D.以上说法均不正确答案:D11.已知sint+cost=1,设s=cost+isint,求f(s)=1+s+s2+…sn.答案:sint+cost=1∴(sint+cost)2=1+2sint?cost=1∴2sint?cost=sin2t=0则cost=0,sint=1或cost=1,sint=0,当cost=0,sint=1时,s=cost+isint=i则f(s)=1+s+s2+…sn=1+i,n=4k+1i,n=4k+20,n=4k+31,n=4(k+1)(k∈N+)当cost=1,sint=0时,s=cost+isint=1则f(s)=1+s+s2+…sn=n+112.设集合A={x|},则A∩B等于(
)
A.
B.
C.
D.答案:B13.在极坐标系下,圆C:ρ2+4ρsinθ+3=0的圆心坐标为()
A.(2,0)
B.
C.(2,π)
D.答案:D14.若已知中心在坐标原点的椭圆过点(1,233),且它的一条准线方程为x=3,则该椭圆的方程为______.答案:设椭圆的方程是x2a2+y2b2=1,由题设,中心在坐标原点的椭圆过点(1,233),且它的一条准线方程为x=3,∴1a2+43b2=1,a2c=3,又a2=c2+b2三式联立可以解得a=3,b=2,c=1或a=7,b=143,c=73故该椭圆的方程为x23+y22=1或x27+y2149=1故应填x23+y22=1或x27+y2149=115.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:
广告费用x(万元)
2
3
4
5
销售额y(万元)
27
39
48
54
根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()
A.65.5万元
B.66.2万元
C.67.7万元
D.72.0万元答案:A16.已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点,且,则下列命题中正确命题的个数为(
)
①;
②
③;
④
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:C17.四面体ABCD中,设M是CD的中点,则化简的结果是()
A.
B.
C.
D.答案:A18.已知函数f(x)=ax,(a>0,a≠1)的图象经过点P(12,12),则常数a的值为()A.2B.4C.12D.14答案:∵函数f(x)=ax,(a>0,a≠1)的图象经过点P(12,12),∴a12=12,?a=14.故选D.19.若a<b<c,x<y<z,则下列各式中值最大的一个是()
A.ax+cy+bz
B.bx+ay+cz
C.bx+cy+az
D.ax+by+cz答案:D20.抛物线顶点在坐标原点,以y轴为对称轴,过焦点且与y轴垂直的弦长为16,则抛物线方程为______.答案:∵过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍.∴所求抛物线方程为x2=±16y.故为:x2=±16y.21.求证:定义在实数集上的单调减函数y=f(x)的图象与x轴至多只有一个公共点.答案:证明:假设函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点…(2分)设交点的横坐标分别为x1,x2,且x1<x2.因为函数y=f(x)在实数集上单调递减所以f(x1)>f(x2),…(6分)这与f(x1)=f(x2)=0矛盾.所以假设不成立.
…(12分)故原命题成立.…(14分)22.隋机变量X~B(6,),则P(X=3)=()
A.
B.
C.
D.答案:C23.已知正方形ABCD的边长为1,=,=,=,则的模等于(
)
A.0
B.2+
C.
D.2答案:D24.若2x+3y=1,求4x2+9y2的最小值,并求出最小值点.答案:由柯西不等式(4x2+9y2)(12+12)≥(2x+3y)2=1,∴4x2+9y2≥12.当且仅当2x?1=3y?1,即2x=3y时取等号.由2x=3y2x+3y=1得x=14y=16∴4x2+9y2的最小值为12,最小值点为(14,16).25.(1)在数轴上求一点的坐标,使它到点A(9)与到点B(-15)的距离相等;
(2)在数轴上求一点的坐标,使它到点A(3)的距离是它到点B(-9)的距离的2倍.答案:(1)设该点为M(x),根据题意,得A、M两点间的距离为d(A,M)=|x-9|,B、M两点间的距离为d(M,B)=|-15-x|,结合题意,可得|x-9|=|-15-x|,∴x-9=15+x或x-9=-15-x,解之得x=-3,得M的坐标为-3故所求点的坐标为-3.(2)设该点为N(x'),则A、N两点间的距离为d(A,N)=|x'-3|,B、N两点间的距离为d(N,B)=|-9-x'|,根据题意有|x'-3|=2|9+x'|,∴x'-3=18+2x'或x'-3=-18-2x',解之得x'=-21,或x'=-5.故所求点的坐标是-21或-5.26.抛掷两颗骰子,所得点数之和为ξ,那么ξ=4表示的随机试验结果是()
A.一颗是3点,一颗是1点
B.两颗都是2点
C.两颗都是4点
D.一颗是3点,一颗是1点或两颗都是2点答案:D27.设,则之间的大小关系是
.答案:b>a>c解析:略28.设O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,A是抛物线上的一点,FA与x轴正向的夹角为60°,则|OA|为______.答案:过A作AD⊥x轴于D,令FD=m,则FA=2m,p+m=2m,m=p.∴OA=(p2+p)2+(3p)2=212p.故为:212p29.如图,已知⊙O的直径AB=5,C为圆周上一点,BC=4,过点C作⊙O的切线l,过点A作l的垂线AD,垂足为D,则CD=______.
答案:如图,连接OC,由题意DC是切线可得出OC⊥DC,再过过A作AE⊥OC于E,故有四边形AECD是矩形,可得AE=CD又⊙O的直径AB=5,C为圆周上一点,BC=4,∴AC=3故S△AOC=12S△ABC=12×12×4×3=3又OC=52,故12×52×AE=3解得AE=125所以CD=125故为:125.30.若a=0.30.2,b=20.4,c=0.30.3,则a,b,c三个数的大小关系是:______(用符号“>”连接这三个字母)答案:∵1=0.30>0.30.2>0.30.3,又∵20.4>20=1,∴b>a>c.故为:b>a>c.31.椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,两顶点分别是(3,0),(0,2),则此椭圆的方程是______.答案:依题意,此椭圆方程为标准方程,且焦点在x轴上,设为x2a2+y2b2=1∵椭圆的两顶点分别是(3,0),(0,2),∴a=3,b=2∵∴此椭圆的标准方程为:x29+y22=1.故为:x29+y22=1.32.已知圆M的方程为:(x+3)2+y2=100及定点N(3,0),动点P在圆M上运动,线段PN的垂直平分线交圆M的半径MP于Q点,设点Q的轨迹为曲线C,则曲线C的方程是______.答案:连接QN,如图由已知,得|QN|=|QP|,所以|QM|+|QN|=|QM|+|QN|=|MP|=10又|MN|=6,10>6,根据椭圆的定义,点Q的轨迹是M,N为焦点,以10为长轴长的椭圆,所以2a=10,2c=6,所以b=4,所以,点Q的轨迹方程为:x225+y216=1故为:x225+y216=133.过点P(0,-2)的双曲线C的一个焦点与抛物线x2=-16y的焦点相同,则双曲线C的标准方程是()
A.
B.
C.
D.答案:C34.下列在曲线上的点是()
A.
B.
C.
D.答案:D35.“a>1”是“1a<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:由1a<1得:当a>0时,有1<a,即a>1;当a<0时,不等式恒成立.所以1a<1?a>1或a<0从而a>1是1a<1的充分不必要条件.故应选:A36.电视机的使用寿命显像管开关的次数有关.某品牌电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.96,开关了15000次后还能继续使用的概率是0.80,
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