流体力学相似原理和量纲分析

由于流体流动十分复杂，至今对一些工程中的复杂流动问题，仍不能完全依靠理论分析来求得解答。因此，实验常常是流动研究中最基本的手段，而实验的理论基础则是相似原理，实验资料的数据分析则要应用因次（量纲）分析。第五章 相似原理和量纲分析飞机模型—风洞—飞机的气动特性—飞机舰船模型—水池—舰船的阻力特性—舰船推进器模型—水洞—动力特性—推进器锅炉的水模型实验—炉内气动特性……§5.1

流动的力学相似§5.2动力相似准则§5.3流动相似条件§5.4近似的模型试验§5.5量纲分析法

为使模型流动能表现出原型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出原型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即两个流动的对应时刻对应点上同名物理量具有各自的比例关系。具体来说，两相似流动应几何相似、运动相似、动力相似。

本章主要介绍流体力学中的相似原理，模型实验方法以及量纲分析法。

解决流体力学问题的方法数学分析

实验研究

模型实验以相似原理为基础

表征流动过程的物理量

描述几何形状的如长度、面积、体积等

描述运动状态的如速度、加速度、体积流量等

描述动力特征的如质量力、表面力、动量等

按性质分几何相似运动相似动力相似流动相似应满足的条件§5.1流动的力学相似定义：模型和原型的全部对应线形长度的比值为一定常数。一、几何相似（空间相似）

长度比例尺面积比例尺体积比例尺带“

！”的表示模型的有关物理量

不带“

！”的表示原型的有关物理量

或者说模型与原形的流场所有对应点上、对应时刻的流速方向相同而流速大小的比例相等。二、运动相似（时间相似）

速度比例尺加速度比例尺时间比例尺定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应点流速（加速度）的方向一致，大小的比例相等，即它们的速度（加速度场）相似。体积流量比例尺运动粘度比例尺角速度比例尺

模型与原型的流场所有对应点作用在流体微团上的各种力彼此方向相同，而它们大小的比例相等。三、动力相似（时间相似）

力的比例尺——总压力——切向力——重力——惯性力四、三者间的关系

动力相似是决定运动相似的主导因素。

几何相似、运动相似和动力相似是模型流场和原型流场相似的重要特征。

几何相似是流动力学相似的前提条件。

运动相似是几何相似和动力相似的表现。五、基本比例尺、其它动力学比例尺

长度比例尺速度比例尺密度比例尺常选取ρ、l、v的比例尺为为基本比例尺

用基本比例尺表示的其它动力学比例尺：力的比例尺力矩（功、能）比例尺压强（应力）比例尺功率比例尺动力粘度比例尺§5.2动力相似准则一、牛顿相似准则——牛顿数

模型与原型的流场动力相似，它们的牛顿数必定相等。二、各单项力相似准则

模型与原型的流场动力相似，则作用在流场上的各种性质的力（如重力、粘滞力、总压力、弹性力、表面力等）都要服从牛顿相似准则，即各单项力作用下的相似准则）。重力相似准则粘滞力相似准则表面力相似准则非定常性相似准则弹性力相似准则压力相似准则1.重力相似准则在重力作用下相似的流动，其重力场相似。代入

Fr——弗劳德数，是惯性力与重力的比值。重力场中：则：当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数必定相等，反之亦然。这就是重力相似准则（弗劳德准则）。

2.粘滞力相似准则在粘滞力作用下相似的流动，其粘滞力场相似。代入

Re——雷诺数，惯性力与粘滞力的比值。当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，反之亦然。这就是粘性力相似准则（雷诺准则）。

模型与原型用同一种流体时，故：3.压力相似准则在压力作用下相似的流动，其压力场相似。代入

Eu——欧拉数，总压力与重力的比值。4.弹性力相似准则对于可压缩流的模型试验，由压缩引起的弹性力场相似。代入

Ca——柯西数，惯性力与弹性力的比值。弹性力相似准则（气体）

Ma——马赫数，惯性力与弹性力的比值。对于气体满足（c为声速），5.非定常性相似准则

对于非定常流动的模型试验，模型与原型的流动随时间的变化必相似。代入

Sr——

斯特劳哈尔数，当地惯性力与迁移惯性力的比值。6.表面力相似准则在表面张力作用下相似的流动，其表面张力分布相似。代入

We——韦伯数，惯性力与张力的比值。§5.3流动相似条件一、流动相似条件保证流动相似的必要和充分条件。1.相似的流动都属于同一类的流动，应为相同的微分方程所描述。2.单值条件相似。几何条件3.由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等。边界条件（进口、出口的速度分布等）物性条件（密度、粘度等）初始条件（初瞬时速度分布等）二、流动相似条件解决了模型实验中必须解决的下列问题的问题：1.应根据单值条件相似和相似准则数相等的原则去设计模型，选择模型中的流动介质。3.按相似准则数整理的试验结果，可推广应用到原型及其他相似流动中去。2.试验过程中应测定相似准则数包含的一切物理量，并整理成相似准则数。图5-4

油池模型

【例5-1】如图5-4所示，为防止当通过油池底部的管道向外输油时，因池内油深太小，形成油面的旋涡将空气吸入输油管。需要通过模型实验确定油面开始出现旋涡的最小油深。已知输油管内径d=250mm，油的流量qv=0.14m3/s，运动粘度。倘若选取的长度比例尺，为了保证流动相似，模型输出管的内径、模型内液体的流量和运动粘度应等于多少？在模型上测得，油池的最小油深应等于多少？【例5-2】密度和动力粘度相等的两种液体从几何相似的喷嘴中喷出。一种液体的表面张力为0.04409N/m，出口流束直径为7.5cm，流速为12.5m/s，在离喷嘴10m处破裂成雾滴；另一液体的表面张力为0.07348N/m。如果二流动相似，另一液体的出口流束直径、流速、破裂成雾滴的距离应多大？§5.4近似的模型试验

在设计模型和组织模型试验时，在与流动过程有关的定性准则中只考虑那些对流动过程起主导作用的定性准则，而忽略那些对过程影响较小的定性准则，以达到模型流动与圆形流动的近似相似。什么是模型实验？

通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物理现象。实际发生的现象被称为原型现象，模型实验的侧重点是再现流动现象的物理本质；只有保证模型实验和原型中流动现象的物理本质相同，模型实验才是有价值的。为什么要进行近似模型实验？

当定性准则数为两个或多于两个时候，模型中流体运动粘度的选择要受模型尺寸选择的制约，通常很难同时达到要求，定性准则数目越多，模型设计越难，甚至无法进行。所以，为解决这一矛盾，在工程中常常采用近似的模型实验方法。

只考虑那些对流动过程起主导作用的定性准则，而忽略那些对过程影响较小的定性准则，

在工程实际中的模型试验，好多只能满足部分相似准则，即称之为局部相似。如对于粘性不可压缩定常流动的问题，可以不考虑自由面的作用力及重力的作用，只考虑粘性的影响，则定性准则只考虑雷诺数Re，因而模型尺寸和介质的选择就自由了。

简化模型实验方法中流动相似的条件，除局部相似之外，还可采用自模化特性和稳定性。

自模化的概念实质是自身模拟的概念。比如在某系统中，有两个数与其它量比起来都很大，则可认为这两个数自模拟了。又比如，在圆管流动中，当Re≤2320时，管内流动的速度分布都是一轴对称的旋转抛物面。当Re>400000管内流动状态为紊流状态，其速度分布基本不随Re变化而变化，故在这一模拟区域内，不必考虑模型的Re与原型的Re相等否，只要与原型所处同一模化区即可。§5.5量纲分析法一、物理方程量纲一致性原则量纲：物理量单位的种类，用符号dim表示。基本量纲：长度（L）、时间（T）、质量（M）、温度（）导出量纲：速度dimv=LT-1、加速度dima=LT-2

、密度dim=ML-3

力dimF=MLT-2

、压强dimp=ML-1T-2表面张力dim=MT-2

、体积模量dimK=ML-1T-2动力粘度dim=ML-1T-1

、运动粘度dim=L2T-1比热容dimcp=dimcV=L2T-2

-1

气体常数dimR=L2T-2

-11.物理方程量纲一致性原则

自然界中一切物理过程都可以用物理方程式来表示。任何一个物理方程中各项的量纲必定相同，用量纲表示的物理方程必定是齐次性的。方程两端具有相同量纲量纲式中各基本量纲指数均为零-----无量纲量。2.准则方程式无量纲的物理方程，是用相似准则数表示的物理方程。二、瑞利法

瑞利法是用定性物理量x1、x2、….、xn的某种幂次之积的函数来表示被决定的物理量y。k为无量纲系数，由试验确定。a1、a2、….、an为待定指数，根据量纲一致性原则求出。[例1]

已知管流的特征流速Vc与流体的密度ρ、动力粘度μ和管径d有关，试用瑞利量纲分析法建立Vc的公式结构。[解]式中k为无量纲常数。将各物理量的量纲代入指数方程，则得相应的量纲方程假定根据量纲齐次性原理，有解上述三元一次方程组得：故得：其中常数k需由实验确定。瑞利法一般用于影响流动的参数个数不超过3时较为方便。

三角堰

三、定理（泊金汉定理）

如果一个物理过程涉及到n个物理量和m个基本量纲，则这个物理过程可以由n个物理量组成的n-m个无量纲量（相似准则数i）的函数关系来描述。定理适用于：变量多于4个的复杂问题分析。应用定理的步骤（5步）：①确定影响此物理现象的各个物理量:

②从n个物理量中选取m个基本物理量作为m个基本量纲的代表。m一般为3，应使其分别具有质量量纲、时间量纲（运动因次）、长度量纲，如ρ、v、d③从三个基本物理量以外的物理量中，每次轮取一个，连同三个基本物理量组合成一个无量纲的项，一共写出n－3个项。即:④据因次齐次性求各项的指数ai，bi，ci⑤写出描述物理现象的无因次关系式

至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。由上式可知p/v2与其余三个无量纲数有关，那么令这就是达西公式，为沿程阻力系数，表示了等直圆管中流动流体的压降与沿程阻力系数、管长、速度水头成正比，与管