第1章 概率论的基本概念

第一章随机事件与概率1.1随机事件及其运算1.2概率的定义及其确定方法1.3概率的性质1.4条件概率1.5独立性1.1随机事件及其运算现实世界中的客观现象确定性现象（条件完全决定结果）非确定性现象（条件不能完全决定结果）随机现象（不确定性、统计规律性）随机试验种瓜得瓜，种豆得豆世界上没有两片完全相同的叶子多次重复抛一枚硬币，正面朝上的次数约占一半.在大量重复试验或观察中所呈现出来的固有规律性称为统计规律性.随机试验E

(randomtest)的特点：

（1）试验可以在相同的条件下重复进行；

（2）试验的所有可能结果可知，且不止一个；

（3）每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但试验之前不能断定到底会出现哪一个.随机现象：随机试验所描述的现象.概率论与数理统计主要从数量角度研究随机现象的规律

(也注意研究不能重复的随机现象，如失业、经济增长速度等.)

例1.1.1

将一枚硬币先后掷两次，令(1,0)=“第一次正面朝上，第二次反面朝上”则样本空间为：={(0,0),

(0,1),

(1,0),

(1,1)}

.若令i=“正面朝上的次数为i”则样本空间为：={0,1,

2}

.样本点是今后抽样的最基本单元，认识随机现象的前提是要先列出它的样本空间.样本空间

(samplespace)：随机试验的一切可能结果组成的集合.记为或S.可能结果又称为样本点，常用符号表示.注意：样本空间和划分的标准有关.

例1.1.2

一天内进入某商场的人数的样本空间为={0,1,

2,

…}.例1.1.3

电视机寿命的样本空间为={t|t0}.

在以后的数学处理上，我们往往把有限个或可列个样本点的情况归为一类，称为离散样本空间；而将不可列无限个样本点的情况归为另一类，称为连续样本空间.

随机事件

(randomevent)

随机试验的某些子集称为随机事件，简称事件.它在随机试验中可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性.注意事项(1)在概率论中常用一个长方形来

表示概率空间，用椭圆或者其它的

几何图形来表示事件.这类图形被称

为维恩(Venn)图，又叫文氏图.●1●2A常用符号(1)大写的英文字母：A,B,C.

(2)大写的英文字母加下标：A1,A2,A3,…

.

(2)由中的单个元素组成的子集称为基本事件，常用表示.

①

样本空间的最大子集称为必然事件，常用表示；

②

样本空间的最小子集称为不可能事件，常用表示.(3)判定一个事件是否发生的标准是看它所包含的样本点是否出现.事件发生当且仅当该事件包含的某个样本点出现.可能结果——样本点——基本事件

例1.1.4

掷一枚骰子的样本空间为={1,

2,

…,

6}={i|1

i6}.则A=“出现偶数点”={2,

4,

6}.

例1.1.5

检测灯泡寿命的试验中，如果规定寿命超过1500小时为合格，则={t|t0}事件A=“合格品”={t|t>1500}.

例1.1.6

向平面OXY内随机投点，则={(x,y)

|x,yR}事件A=“落在单位圆内”={(x,y)

|x2+y2<1}.

随机事件间的关系与运算关系运算包含相等互不相容并交差补AB如果属于A的样本点一定属于B，则称A包含于B，或B包含A.记作AB.概率论表述：事件A发生必然导致事件B发生.如果AB，且AB，那么A=B.即A=B

AB,B

A.概率论表述：事件A,B相等意味着它们是同一个集合.如果事件A,B没有相同的样本点，则称互不相容.记作A∩B=

.概率论表述：事件A,B不可能同时发生.AB由事件A与事件B中所有的样本点组成的新事件.记作A∪B.AB概率论表述：事件A,B中至少有一个发生.由事件A与事件B中所共有的样本点组成的新事件.记作A∩B.概率论表述：事件A,B同时发生.AB由在事件A中而不在事件B中的样本点组成的新事件.记作A-B.AB概率论表述：事件A发生，而事件B发生.由在中而不在事件A中的样本点组成的新事件，也叫A的对立.记作

.A概率论表述：事件A不发生.事件A和不能都不发生，也不能都发生，只能恰好发生其中一个.互不相容与对立区别（1）事件A与事件B对立AB=,A∪B=.（2）事件A与事件B互不相容

AB=.

例1.1.7

设A,B,C是某个随机现象的三个事件，则（1）事件“A与B发生，C不发生”：（2）事件“A,B,C中至少有一个发生”：（3）事件“A,B,C中至少有两个发生”：（4）事件“A,B,C中恰好有两个发生”：（5）事件“A,B,C都发生”：（6）事件“A,B,C都不发生”：（7）事件“A,B,C不都发生”：事件的运算性质（1）否定律：（2）幂等律：A∩A=A,A∪A=A；（3）交换律：A∩B=B∩A,A∪B=B∪A；（4）结合律：A∩(B∩C)

=(A∩B)∩C,

A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；（5）分配律：A∩(B∪C)

=(A∩B)∪(A∩C),

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)；（6）对偶律(德摩根Demorgan公式)：对于多个事件及可列个事件场合有作业1.2概率的定义及其确定方法排列数公式和组合数公式(1)排列数特别地，①r=n时，②重复排列数

nr.(2)组合数特别地，重复组合数定义1.2.1

从n个不同元素中任取r(r≤n)个，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出r个元素的一个排列.所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出r个元素的排列数.(Arrangement

＆Permutation)定义1.2.2

从n个不同元素中任取r(r≤n)个并成一组，叫做从n个不同元素中取出r个元素的一个组合.所有组合的个数叫做从n个不同元素中取出r个元素的组合数.(Combination

)

可以视a为女生人数，b为男生人数，a+b为班级总人数，而n为选出的人数.定义1.2.3

在n次独立重复的试验中，事件A出现的次数为m，则称m为事件A发生的频数，称为事件A出现的频率.

频率的基本性质：(1)0fn(A)1;(2)fn()=1;(3)如果AiAj=(1i<jk)，则fn(A1∪A2∪

…∪Ak)

=fn(A1)

+fn(A2)

+…+fn(Ak).

频率的大小表示事件发生的频繁程度.频率大，事件发生就频繁，这意味着事件在一次试验中发生的可能性就大，反之亦然.人们长期的实践表明：随着试验重复次数n的增加，频率fn(A)会稳定在某一常数a附近，我们称这个常数为频率的稳定值.这个稳定值就是我们所说的(统计)概率.注意：定义1.2.4（公理化定义）设为随机试验E的样本空间，如果实值集函数P(·)满足下列条件(1)非负性P(A)0;

(2)正则性

P()=1;(3)可列可加性若AiAj=(i,j1,ij)，则P(A1∪A2∪…∪An∪…)

=P(A1)

+P(A2)

+…+P(An)

+…那么称P(A)为事件A出现的概率.概率P(A)表征了事件A在一次试验中发生的可能性大小.确定概率的常用方法有：（1）频率方法(统计方法)（2）古典方法（3）几何方法（4）公理化方法（5）主观方法古典概率

定义1.2.5

如果试验满足下面两个特征，则称其为古典概型(或有限等可能概型)：（1）有限性：样本点的个数有限；（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相同.

定义1.2.6

设古典概型有n个样本点，事件A含有其中的m个,则称为事件A的古典概率.(1)古典概率的假想世界是不存在的.对于那些极其罕见的，但并非不可能发生的事情，古典概率不予考虑.如硬币落地后恰好站立，一次课堂讨论时突然着火等.(2)古典概率还假定周围世界对事件的干扰是均等的.而在实际生活中无次序的、靠不住的因素是经常存在的.

此公式由法国数学家Laplace于1812年给出，当时作为概率的一般定义，事实上它只适合古典概型.例1.2.1(抽样模型)

一批产品共有N个，其中M个不合格品，N-M个合格品，从中抽取n个，令Am=“取出的n个产品中含有m个不合格品”求(1)无放回时，P(Am)；(2)有放回时，P(Am).解(1)无放回时(2)有放回时

例1.2.2（抽签模型）袋中有a支红签，b支白签，它们除颜色外无差别，现有a+b个人无放回地去抽签，求第k个人抽到红签的概率.

解法一假定这a+b支签都不相同，不妨设它们为R1,R2,…,Ra;W1,W2,…,Wb,令A=“第k个人抽到红签”，则按签的编号分位解法二假定a支红签完全相同，b支白签完全相同.令A=“第k个人抽到红签”，则解法三

令A=“第k个人抽到红签”，则按签的颜色分类这个例子告诉我们:（1）对于古典概型可用不同的等可能基本事件组来描述；（求分子和求分母时标准要一样.）（2）每人抽到红签的概率与抽签的次序无关，所以，进行分组的时候采用抽签或抓阄的方法是公平的.问题：如果签的数量非常大，这种方法还公平吗？

例1.2.3（盒子模型）设有n个球，每个球都等可能地被放到m不同的盒子中的任一个，每个盒子所放球数不限，试求（1）指定的n(nm)个盒子各有一球的概率P1；（2）恰好有n(nm)个盒子各有一球的概P2.

解

(1)

(2)

例1.2.4（生日问题）某班级有n个人，问该班至少有两个人的生日在同一天的概率是多少？

解令A=“至少有两个人的生日在同一天”，且假定一年按365天计算，把365天当作365个盒子，于是“n个人的生日都不相同”相当于“把n个完全相同的小球随机分配到365个盒子中，恰有n个盒子各有一球”.于是请咱们班长帮忙找出咱班生日相同的同学，也请大家思考“如何能最快的找出这些同学？”例1.2.5（占位问题）将n个完全相同的球随机地分配到m(mn)个不同的盒子中去，求不出现空盒的概率.

解假设已经将n个球分配到各盒子中，把这m(mn)个盒子排成一排把每个小球和每个盒子内壁看作一个位置在这n+m个位置里随意选出m-1个放上内壁，则形成m个盒子，并且这n个球都被分配到盒子中.所以，每一种选取盒子内壁位置的方法就对应着一种往盒子中放小球的方法，方法的个数为令A=“不出现空盒”，则

例1.2.6（取数问题）从1,2,…,9中有放回地取出五个数，求事件A=“5个数字的总和为10”的概率.解令xi=“第i次取到的数字”(i=1,2,…,5;1xi9)

则A=“x1+x2+x3+x4+x5=10”设xi=“第i个盒子中球的个数”(i=1,2,…,5)，则A=“把10个小球随机投向这5个盒中，不出现空盒”于是

例1.2.7（对称性问题）甲、乙两人掷一枚均匀硬币，其中甲掷n次，乙掷n-1次，求下述事件的概率.A=“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数”

解设甲正=“甲掷出正面的次数”甲反=“甲掷出反面的次数”乙正=“乙掷出正面的次数”乙反=“乙掷出反面的次数”则A=

甲正>乙正，且甲反>乙反=甲正乙正由对称性知P(甲正>乙正)=

P(甲反>乙反)，故P(A)=

0.5.几何概型

定义1.2.7

如果试验满足下面两个特征，则称其为几何概型(或无限等可能概型)：（1）样本点有无限多个，且可以用一个有度量的几何区域来表示；（2）每个样本点发生的可能性相同.

定义1.2.8

设几何概型的样本空间为,则称为事件A的几何概率.

简单地说，每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，而与区域的形状和位置无关，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.例1.2.8（等车问题）公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的时刻是等可能的，求乘客等候不超过3分钟的概率.解设A=“乘客等候不超过3分钟”，乘客提前到达汽车站的时间为x分钟.则={x|0x5}A={x|0x3}.所以特别地，P(“乘客等候时间刚好为3分钟”)=0这表明：不可能事件的概率为0，但概率为0的事件不一定是不可能事件.几何概型的解题步骤（1）根据问题选取合适的参数(尽量少)；（2）写出样本空间和所求事件A的集合形式；（3）建立适当的坐标系；（4）在坐标系上找出样本空间和所求事件A对应的几何区域，根据几何概率公式求解.例1.2.9（约会问题）甲乙两人约定周末12点到13点之间在人民公园门口见面，先到者等待20分钟后离去，假定他俩在12点到13点之间到达约定地点的时刻是任意的，求他们能相见的概率.解设A=“他们能相见”，两人到达约定地点的时刻分别为12点零x,y小时.则={(x,y)

|0x,y1}A={(x,y)

|0x,y1;|x-y|<1/3}所以例1.2.10（布丰(Buffon)投针问题）平面上画有间隔为d的等距平行线，向该平面任意投掷一枚长为l(l<d)的针,求针与任一平行线相交的概率.解设A=“针与某一平行线相交”，针的中点到最近一条平行线的距离为x，针与该平行线的夹角为.则={(x,)

|0xd/2,0}A={(x,)

|0xd/2,0;0x(lsin)/2}={(x,)

|0;0x(lsin)/2}所以本题的答案与有关，因此历史上有很多学者利用它来计算的近似值.只要设计一个随机试验，使得一个事件的概率与某未知数有关，然后通过重复试验，以频率近似概率，即可求得未知数的近似解.一般来说,试验次数越多，求得的近似解就越精确.由于计算机的出现，人们可以利用计算机来大量重复地模拟所设计的随机试验，使得这种方法得到迅速的发展和应用.人们称这种方法为随机模拟法，又叫蒙特卡洛(MonteDarlo)法.定义1.2.11（主观概率）统计界的贝叶斯学派认为一个事件的概率是人们根据经验对其发生的可能性所给出的个人信念.譬如（1）一个外科医生根据自己多年的临床经验和一个患者的病情，认为“此手术成功”的可能性为90%.（2）一个老师根据自己多年的教学经验和一个学生的学习情况，认为“该学生能考上大学”的可能性为95%.主观概率的说明（1）主观概率和主观臆造有着本质的区别，前者要求当事人对所考察的事件有个透彻的了解和丰富的经验，能对历史信息和当时信息进行仔细分析，是值得相信的.从某种意义上说，这些丰富的经验不加以利用也是一种浪费.（2）用主观方法得出的随机事件发生的可能性大小是对该事件概率的一种推断和估计，虽然其精确性有待实践的检验和修正，但结论在统计意义上是有价值的.课后思考题（1）平面上画有间隔为d的等距平行线，向该平面任意投掷一枚直径为l(l<d)的硬币,求该硬币与任一平行线相交的概率.（2）平面上画有间隔为d的等距平行线，向该平面任意投掷一个三边长分别为a,b,c(max{a,b,c}<d)的三角形,求该三角形与任一平行线相交的概率.ddabbc（3）(Bertrand奇论)在单位圆内任作一弦，试求弦长大于的概率.（自行查询三种解法，并分析为何结果不一样）作业(1)P()=0.(2)若AiAj=(1i<jn)，则P(A1∪A2∪…∪An)

=P(A1)

+P(A2)

+…+P(An).(3)对任意事件A，有

特别地，若AB，则P(A-B)=P(A)-P(B).(4)对任意事件A,B，有①P(A∪B)

=P(A)

+P(B)-P(AB);②P(A-B)

=P(A)-P(AB)1.3概率的性质证明

1=P()=P(∪

∪∪…)=P

()+P()

+P()

+

…P()+P()

+

…=0P()=0证明

因为AiAj=(1i<jn)，所以P(A1∪A2∪…∪An)

=P(A1∪A2∪…∪An∪

∪∪…)

=P(A1)

+P(A2)

+…+P(An)+P(

)

+P(

)

+…=P(A1)

+P(A2)

+…+P(An)A证明

1=P()证明

因为AB

，所以P(A)=P((A-B)∪B)=P(B)+P(A-B)P(A-B)=P(A)-P(B)BA证明

P(A∪B)

=P((A-B)∪AB∪(B-A)

)

=P(A-B)+P(AB)+P(B-A)

=P(A)-P(AB)+P(AB)+P(B)-P(AB)

=P(A)+P(B)-P(AB)BA证明

P(A)

=P((A-B)∪AB)

=P(A-B)+P(AB)

P(A-B)

=P(A)-P(AB)

P(A)P(B)（5）对任意的n个事件A1,A2,

…,

An，有证明

①当n=2时，显然有②假定n=m时，有那么n=m+1时，有综上所述，命题得证.

例1.3.136只灯泡中有4只13W，其余都是28W，现在从中任取3只，求至少取到一只13W的概率.

解设A=“取到的3只中至少取到一只13W”，则

例1.3.2

口袋中有编号为1,2,…,n的n个球，从中有放回地任取m次，求取出的m个球中最大号码为k的概率.

解设Ak=“取出的m个球中最大号码为k”，Bk=“取出的m个球中最大号码不超过k”(k=1,…,n).则上例中，假如n=6,m=3，可以算得这表明:掷三枚骰子，最大点数k是6的概率为0.4213且P(k3)=0.0046+0.0324+0.0880=0.1250即：掷三枚骰子，最大点数不超过3的概率为0.125.

例1.3.3

在12000的整数中随机取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？

解设A=“取到的整数能被6整除”，B=“取到的整数能被8整除”.因为333<2000/6<334,2000/8=250,83<2000/24<84.所以

例1.3.4已知P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A∪B)=0.6求

解因为P(A)=0.4,P(B)=0.3

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6所以P(AB)=0.4+0.3-0.6=0.1于是无论是条件还是所求结论，先把“并、补、差、条件”符号利用基本公式转换掉，使得最后只有“交”运算.

例1.3.5（配对问题）在一个有n个人参加的晚会上每个人带了一件礼物，且假定各人带的礼物都不相同.晚会期间各人从放在一起的n件礼物中随机抽取一件，问至少有一个人抽到自己礼物的概率.

解设

Ai=“第i个人抽到自己的礼物”(i=1,2,…,n).则P(“至少有一个人抽到自己的礼物”)是否n越大上述概率越小？

作业

1.4条件概率所谓条件概率是指在某事件A发生的条件下，另一事件B发生的概率.记作：P(B|A).

例1.4.1

考察有两个小孩的家庭，其样本空间为={bb,bg,gb,gg}其中bg代表大的是男孩、小的是女孩.已知此家庭有一个女孩，求另一个也是女孩的概率.

解令A=“该家有一个女孩”，B=“该家另一个是女孩”则将A包含的范围视为新的样本空间定义1.4.1

设A,B是样本空间中的两个事件，且P(A)>0，则称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.条件概率的基本性质(1)非负性P(B|A)0;

(2)正则性

P(|A)=1;(3)可列可加性若AiAj=(i,j1,ij)，则

例1.4.2

设某种动物由出生起活20岁以上的概率为80%，活25岁以上的概率为40%.如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活25岁以上的概率？

解设A=“这个动物能活20岁以上”，B=“这个动物能活25岁以上”，则P(A)=0.8,P(AB)=P(B)=0.4所以解法二

P(B|A)=0.5年龄20岁25岁80%40%既然条件概率符合上述三条基本性质，故一般概率的性质公式也适用于条件概率.如条件概率还有三个非常实用的公式：乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式.例1.4.3

若，试证证明P(甲考上大学|乙考上大学)>P(甲考上大学|乙没考上大学)P(乙考上大学|甲考上大学)>P(乙考上大学|甲没考上大学)

期望自家孩子将来考上好大学的家长，倾向于自己的孩子和学习成绩优秀的同学做朋友。一、乘法公式(Multiplicationformula)

（1）若P(B)>0，则P(AB)=P(B)P(A|B).（2）若P(A1A2

…

An-1

)>0，则P(A1A2

…

An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)

…

P(An

|A1A2

…

An-1

).

（1）因为P(B)>0，所以证明（2）因为P(A1)P(A1A2)…P(A1A2

An-1

)>0，所以

例1.4.4

某人欲从甲地到丙地，途经乙地.在甲地每天有30个人买票去丙地，但只有20张去丙地的票；已知在甲地没有买到票的乘客中有70%选择去乙地买票，乙地每天有200张去丙地的票，有300人要买票到丙地去.问乘客在甲地没有买到票，到乙地也没有买到票的概率.

解设A=“在甲地没有买到票”，B=“从甲地去乙地去”，C=“乙地没有买到票”，则P(ABC)=P(A)

P(B|A)

P(C|AB)

甲乙丙30/20300/20070%二、全概率公式(Completeprobabilityformula)

若事件A1,A2,…,An满足：

(1)A1∪A2∪…∪An=;

(2)AiAj=(ij,1i,jn);

(3)P(Ai)>0

(1in);则对任意的事件B，有特别地，若P(A)>0，则的划分的完备事件组

证明因为(1)A1∪A2∪…∪An=;(2)AiAj=(ij,1i,jn);

(3)P(Ai)>0

(1in);所以例1.4.5

设某仓库有一批产品，已知其中甲乙丙三个工厂生产的产品依次占50%、30%、20%，且甲乙丙厂的次品率分别为1/10,1/15,1/20，现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率？

解设A1,A2,A3分别表示事件“取得的产品分别由甲、乙、丙厂生产”，B=“取得正品”，则

利用全概率公式时，所求问题通常可以分前后两步，若把前一步的每一种可能情况设为一个事件，则它们构成一个完备事件组.前(取)：A1,A2,A3后(判)：B,敏感性问题的调查

例1.4.7（敏感性问题的调查）学生阅读黄色书刊和观看黄色影像会严重影像学生身心健康的发展.但这些都是避着老师和家长进行属个人行为.现在要设计一个调查方案，从调查数据中估计出学生阅读黄色书刊和观看黄色影像的比率p.根据之前我们做的调查获知:有效问卷

n张；回答“是”的

k张.而且（1）每人生日在7月1日之前的概率为0.5.（2）罐中红球的比率0.6.问题一：你的生日是否在7月1日之前？●问题二：你是否看过黄色书刊或影像？●是否于是，由全概率公式知P(是)=P(黑球)P(是|黑球)+P(红球)P(是|红球)即三、贝叶斯公式(Bayesianformula)若事件A1,A2,…,An是的一个完备事件组，则对任意的事件B，有

如果所求问题可以分前后两步，把前一步的每一种可能情况设为一个事件，则它们构成一个完备事件组.假如求后一步某事件的概率用全概率公式；若求后一步某事件发生的条件下前一步某事件的概率用贝叶斯公式.后验概率先验概率

例1.4.8

某地区居民的肝癌发病率为0.0004现用甲胎蛋白法进行普查.医学研究表明，化验结果是存有错误的.已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性(有病)而没有患肝癌的人其化验结果99%呈阴性(无病).现在某人的检验结果呈阳性，问他真患肝癌的概率是多少？解设A=

“被检验的居民患肝癌”；B=

“检验结果呈阳性”则于是前(居民)：

A(患肝癌),(不患肝癌)后(化验)：B(阳性),(阴性)进一步降低错检的概率是提高检验精度的关键.在实际中由于技术、操作或经济等等原因，降低错检的概率又是很困难的.所以，实际当中常常采用复查的方法来减少错误率.或者用一些简单易行的方法先进行初查，排除大量明显不是肝癌的人.作业

1.5独立性

独立性是概率论中的一个重要概念，利用独立性可以简化概率的计算.

定义1.5.1

如果事件A,B满足P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B相互独立，简称A,B独立，否则称A,B不独立或相依.

两事件相互独立是指：一个事件的发生与否不影响另一个事件是否发生.

性质1.5.1

若事件A,B相互独立，则

证明因为事件A,B相互独立，所以于是同理可证

定义1.5.2

如果事件A,B,C满足P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)则称A,B,C两两独立.若还有P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称A,B,C相互独立.

例1.5.1

设A,B,C相互独立，试证A∪B与C相互独立.证明因为A,B,C相互独立，所以

定义1.5.3

设事件A1,A2,…,An满足：对任意的1i<j<kn，有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak)

…