第1章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)

第1章矢量与张量

2023年2月5日张量的两种表达形式分量形式实体形式代数形式计算式几何形式

定义式概念的内涵和外延（定量）怎样计算？主要内容矢量及其代数运算斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量曲线坐标系及坐标转换关系并矢与并矢式张量的基本概念张量的代数运算张量的矢积矢量及其代数运算矢量和矢量的模

、

、、、矢量的加法:平行四边形法则

平行四边形法则矢量及其代数运算直线坐标系与矢径

笛卡尔坐标系：直角直线

费马坐标系：斜角直线：矢径矢径

确定了基矢量：、、矢量可表示为：

笛卡尔坐标系矢量及其代数运算矢量的乘法

矢量的内积

定义式（实体形式，几何表达）：

(可交换性)计算式（分量形式，代数表达）：

物理意义：计算功(功率)可交换性：运算次序的无关性对称性不变性(许瓦兹不等式)矢量及其代数运算矢量的乘法

矢量的外积

定义式（实体形式，几何表达）

：

(反交换性)

计算式（分量形式，代数表达）

：

计算

时换行。

物理意义：计算面积矢量及其代数运算矢量的乘法

三个矢量、、之间的运算

如何计算？

观察右图，可知

正交于

、

构成的平面，而

正交于，因此，

一定在、

构成的平面数形结合矢量及其代数运算矢量的乘法

矢量的混合积

物理意义：计算体积群论的轮换次序不变性

顺时针轮换

斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量从直角直线坐标系到斜角直线坐标系(平面内)

费马坐标系

笛卡尔坐标系斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量平面内斜角直线坐标系和矢径矢径

确定了基矢量：、其中、不一定是单位矢量。矢量可表示为：

费马坐标系斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量平面内斜角直线坐标系的协变基矢量和逆变基矢量费马坐标系：协变基矢量：哑指标Einstein求和约定基于简化的思想，引入逆变基矢量存在对偶关系：斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量平面内斜角直线坐标系下矢量的协变分量与逆变分量称为矢量P的逆变分量称为矢量P的协变分量斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量三维空间中的斜角直线坐标系由可定义协变基矢量为g是正实数（右手系）斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量定义逆变基矢量，满足对偶条件：问题：已知，如何求？※根据几何图形直接确定由对偶条件可知，与、均正交，因此正交于与所确定的平面；其模的大小等于斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量问题：已知，如何求？※

由协变基矢量求逆变基矢量由于正交于与，则必定平行于，可设，利用下式：可计算出：转化为矩阵乘法是什么？斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量问题：已知，如何求？※

由协变基矢量求逆变基矢量将在标架下分解：进而可得到统一代数式：将上式等号左右两端均点乘，得到：张量分析的起点斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量可证明：称为度量张量的协变分量称为度量张量的逆变分量因此，得到：协变基矢量在逆变基矢量下分解逆变基矢量在协变基矢量下分解斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量可知与均为对称矩阵，协变分量的行列式为：写成矩阵形式，得到：由对偶关系可知逆变分量的行列式为：因此可得到：Euclid几何的1、勾股定理两大基本定理：2、三角形内角和定理二次微分形式Euclid几何的基础斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量度量的重要性——刻画两点间距离笛卡尔坐标系中，有斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量张量分析中的第一大基本关系：指标升降关系矢量可在协变基矢量和逆变基矢量下进行分解：的协变分量可利用度量张量的逆变分量升指标的逆变分量可利用度量张量的协变分量降指标斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量张量分析中的第一大基本关系：指标升降关系基矢量的协（逆）变分量可利用度量张量的逆（协）变分量升（降）指标：利用指标升降关系表示斜角直线坐标系中两个矢量的点积：曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸自然基矢量概念：直角坐标的启示立即得到：曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸自然基矢量概念：向一般曲线坐标系的推广立即得到：重要启示：决定空间点的位置和矢径！曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸※平面极坐标系矢径：平面极坐标系曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸※三维球坐标系三维球坐标系曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸※三维球坐标系☆正交曲线坐标系与Lamé常数定义正交坐标系中Lamé常数Ai(i=1,2,3):Ai的物理意义是坐标xi有单位增量时弧长的增量，有

注:()式只对正交曲线坐标系成立，可作为求正交系中度量张量的一种方法。曲线坐标系的坐标变换新、老坐标之间的变换和逆变换：新、老基矢量之间的变换（注：重中之重）：两边同取增量：→→曲线坐标系的坐标变换新、老坐标之间的变换和逆变换：→→再由：→→曲线坐标系的坐标变换新、老坐标之间的变换和逆变换：请自己证明：曲线坐标系的坐标变换二者之间的关系：→→→曲线坐标系的坐标变换对比两大关系：指标升降关系：坐标变换关系：曲线坐标系的坐标变换张量分析中的第二大基本关系：坐标变换关系※基矢量的坐标变换：基矢量本质上是曲线的切线矢量。由所有切线构成的切空间很重要！——陈省身非线性变换，一定存在Jacobi矩阵或逆矩阵(Jacobi矩阵)(Jacobi逆矩阵)——协变转换系数——逆变转换系数曲线坐标系的坐标变换张量分析中的第二大基本关系：坐标变换关系※矢量分量的坐标变换：与的性质：曲线坐标系的坐标变换回顾第一大基本关系：指标升降关系曲线坐标系的坐标变换张量分析中的第二大基本关系：坐标变换关系※度量张量分量的坐标变换：小注：对于矢径r，只有在直角和斜角直线坐标系下才可写作，而在大多数曲线坐标系下不成立。并矢与并矢式☆并矢，又称张量积，形式为两个矢量a与b并写在一起，写作ab，一般来说，ab≠

ba。☆并矢是从抽象的角度提出的，在许多物理和力学问题中都需要用到并矢。例如：应力张量

在直角坐标系下写成分量形式：，式中的

即是并矢。☆并矢还包括多于两个矢量的并矢，称为多并矢，如abc，abcd等。并矢与并矢式★并矢的初等代数运算规律※结合律：※分配律：※求和：并矢与并矢式★缩并缩并，即并矢中两个矢量进行点积。每缩并一次，并矢的阶数降低两阶。例如并矢ab和cd之间的缩并：顺序缩并邻近优先缩并*弹性力学中的本构方程，就是张量之间的缩并。本构是客观的直角坐标系下分量形式张量的基本概念张量T一组有序数，满足坐标变换和指标升降下的不变性。*零阶张量即为标量，一阶张量即为矢量，二者均满足坐标变换下的不变性。其中，张量的基本概念张量T一组有序数，满足坐标变换和指标升降下的不变性。看指标升降的一个例子：空间维数张量的基本概念度量张量G*度量张量G的缩并缩并后得到：张量的代数运算※张量的相等若张量T与S在同一个坐标系中的逆变（或协变，或混变）分量一一相等，即：则此两个张量的其它一切分量均一一相等：且任意坐标系中的一切分量均一一相等：张量的代数运算※张量的相等张量T与S相等的实体写法为：※张量的加法若将两个张量T与S在同一个坐标系中的逆变（或协变，或混变）分量一一相加，则得到一组数，它们是新张量U的逆变（或协变，或混变）分量：实体写法为：张量的代数运算※张量的乘法*标量与张量相乘分量形式实体形式*张量与张量并乘分量形式实体形式*张量的缩并许多张量的不变量是由缩并而得到的！第一主不变量张量的代数运算※张量的乘法*张量的缩并例如四阶张量对j、k缩并得到：二阶张量的缩并：空间维数缩并缩并张量的代数运算※张量的点积张量的点积是指两个张量T与S先并乘后缩并的运算例如四阶张量T与三阶张量S的点积：并乘得到七阶张量：缩并一次得到五阶张量：张量的代数运算※张量的双点积张量的双点积是指两个张量T与S先并乘后再进行两次缩并的运算例如四阶张量T与三阶张量S的两种双点积：并联式串联式张量的代数运算※张量的转置四阶张量T对第1，2指标的转置张量为：对第1，3指标的转置张量为：一般来说张量的转置调换指标，变换形式只调前后，不调上下张量的代数运算※张量的对称化与反对称化若四阶张量满足则称张量T对其1，2指标是对称张量，用

来表示其转置张量，则。若四阶张量满足则称张量T对其1，2指标是反对称张量，用

来表示其转置张量，则。张量的代数运算※张量的对称化与反对称化可立即得出反对称张量的对角分量均为零（同为协变或逆变指标）对称化运算反对称化运算对称结构加任意载荷，均可分为对称和反对称。两种运算对任意张量均成立对称反对称张量的代数运算※张量的商法则（判断是否为张量）若张量，已知为张量，则必为张量。具体例子请见《张量分析》中33~35页。张量的矢积※置换符号与行列式的展开式置换符号，又称Ricci符号，是把有序变换群表达到最简单的排列（置换）符号。对于二阶张量而言，其混变分量与矩阵代数、行列式运算相关。转下页顺序排列张量的矢积※置换符号与行列式的展开式顺序排列逆序排列利用置换符号可写成进一步可写成置换张量的分量注：和都不是标量，但是是置换张量的分量张量的矢积※置换张量（Eddington张量）与

～δ等式对于三维空间中正交标准化基，有对于任意曲线坐标系，有定义为置换张量，即Eddington张量的协变分量与逆变分量。张量的矢积※置换张量（Eddington张量）与

～δ等式基矢量的外积矢量的外积张量的矢积※置换张量（Eddington张量）与

～δ等式基矢量的混合积矢量的混合积三个矢量的三重外积