流体力学第4章中文版课件

第四章：

积分形式的基本定律2023/2/51Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws本章主要内容4.1引言4.2三个基本定律4.3系统向控制体的转换4.4质量守恒4.5能量方程4.6动量方程4.7本章总结2023/2/52Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws本章教学目的推导一个方程，该方程能够将系统中的三个基本定律转换为可以应用于控制体的形式将质量守恒方程、能量方程和牛顿第二定律应用于工程实际。给出大量的基本定律应用于控制体的算例，以帮助学生能够正确地求解流体流动问题。2023/2/53Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.1引言工程师所感兴趣的物理量经常可以表达成积分形式。例如：体积流速是速度在一个面积上的积分；传热量是热流量在一个面积上的积分；力是应力在一个面积上的积分；质量是密度在一个体积上的积分；动能是V2/2

在一个体积中对每一个质量微元的积分。在本章中，将给出感兴趣的积分量，并推导出联系这些积分量的方程。2023/2/54Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws当然，有许多感兴趣的量不是积分量，这些量包括：绕流一个物体的流动的分离点；气流中某一位置处的污染物浓度；建筑物表面的压强和速度分布。——对于这些问题的研究，则需要描述流动的微分形式的方程。4.1引言2023/2/55Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws系统：

固定的流体质点的集合。4.2三个基本定律

在工程流体力学中，感兴趣的主要积分量包含在三个基本定律中：质量守恒、热力学第一定律和牛顿第二定律。1.以系统的形式表示基本定律2023/2/56Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws一个系统的质量保持恒定。(1)质量守恒

对一个系统的传热速率减去该系统对外作功的速率，等于该系统能量变化的速率。(2)热力学第一定律比能e包括单位质量的动能、势能和内能。4.2三个基本定律2023/2/57Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws

施加在一个系统上的合力，等于该系统的动量变化速率。(3)牛顿第二定律(动量方程)4.2三个基本定律2023/2/58Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(1)定义2.一般形式的基本定律Nsys:代表广义量(系统的质量、动量或能量)。:代表强度量，即系统单位质量流体所具有的量。对于质量守恒定律来说：=1对于热力学第一定律来说：=e对于牛顿第二定律来说：=V4.2三个基本定律2023/2/59Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws质量守恒定律：(2)一般形式的基本定律热力学第一定律：牛顿第二定律：4.2三个基本定律2023/2/510Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.3系统向控制体的转换控制体：

流场中的一个空间区域，在该区域内流体可以流进也可以流出。1.控制体说明：

一个控制体不必是固定的，可以变形(例如一个气球)。而我们一般只研究固定的控制体。2023/2/511Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws

既然对控制体的研究比对系统的研究更加便利，因此需要找到一个转换公式，该公式能够将系统的导出量用控制体的量进行表示。

这样的话，基本定律就可以直接应用到控制体中。2.系统向控制体的转换(1)控制面及通量控制面：

完全封闭控制体的表面。4.3系统向控制体的转换2023/2/512Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws通量：

通量是指通过一个面积的广义量的速率。微元面积的法向单位矢量，经常指向控制体外。如果是流入通量话，该表达式为负值；表达式为正值说明通量流出控制体。如果净通量为正的话，说明流出的通量大于流入的通量。4.3系统向控制体的转换2023/2/513Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(2)系统向控制体的转换4.3系统向控制体的转换2023/2/514Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.3系统向控制体的转换2023/2/515Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.3系统向控制体的转换2023/2/516Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.3系统向控制体的转换第一项积分代表了控制体中的广义量的变化速率。第二项积分代表了通过控制面的广义量的通量。用控制体的量表达系统的导出量。2023/2/517Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.3系统向控制体的转换(1)定常流动3.系统向控制体转换的简化假设只有一个面积A1

，通过该面积流体进入控制体；只有一个面积A2

，通过该面积流体流出控制体；同时假设速度矢量垂直于进出面积，则有：2023/2/518Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws在工程中很多情况下，每一个流通平面上的物理量均匀分布的假设是可以接受的。这样，方程可以简化为：如果在控制体中有几个流体流通面积，则有：对于入口截面，该项为负；对于出口截面，该项为正。4.3系统向控制体的转换2023/2/519Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(2)非定常流动

对于一个非定常流动来说，假设流动参数在整个控制体内是均匀的，并且在一个入口和一个出口处流动参数也是均匀的，则系统向控制体转换的公式可以表达成：4.3系统向控制体的转换2023/2/520Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.4质量守恒1.连续性方程连续性方程：2023/2/521Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(1)对于定常流动：(2)带有一个入口和一个出口的定常均匀流：(3)对于密度是常数、流动定常或非定常的均匀流：4.4质量守恒2023/2/522Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(4)对于定常流动，假设速度在入口和出口处的分布是不均匀的，而在进出口截面上密度是均匀的，则有：4.4质量守恒2023/2/523Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws2.质量流量和体积流速质量流量(质量流动速率)：速度的垂直分量体积流速(体积流动速率):质量流量经常用在可压缩流动中。体积流动速率一般用在不可压缩流动中。对于质量流量来说，假设进出口处的流体密度均匀，且流速垂直于进出口面积。4.4质量守恒2023/2/524Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例题1

求解：

水以3m/s的均匀速度流入一个喷嘴，该喷嘴将管道直径从10cm减小到2cm。计算水离开喷嘴的速度及体积流速。

由于假设流体的密度是常数且速度分布均匀，因此可应用简化的连续性方程：4.4质量守恒2023/2/525Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例题2：

求解：

水流进流出一个装置。计算在这个装置中水的质量的变化率(dm/dt)。4.4质量守恒2023/2/526Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例题3：求解：

一个均匀的流动通过一个圆柱。已知在图示的圆柱下游位置处，对称的速度分布可以近似地表示为：

这里

u(y)的单位是m/s，y

的单位为米。确定通过表面AB1米厚度的质量流量。=1.23kg/m3.

选择控制体。由于对称，没有质量流量通过CD。

假设为定常流动：4.4质量守恒2023/2/527Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.4质量守恒

令

H=1m：2023/2/528Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例题4：

以0.6m3/s的速度向一个气球充水使其膨胀。计算当R=0.5m时，气球半径的增长速率。求解：

气球半径的增长速率dR/dt

与气球内的水在垂直于气球壁面方向上的扩张速度相等：

选择半径为0.5m的球作为固定的控制体，则有：4.4质量守恒2023/2/529Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws

假设A1<<A2:4.4质量守恒2023/2/530Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例题5：

如果水通过一个0.10m2

截面的管子以0.5m/s的速度流入一个开口的容器，以0.2m3/s的体积流速流出该容器，确定在该容器中水面的上升速率。已知该容器的截面为0.5m直径的圆面。求解：(1)

选择一个控制体，该控制体的顶面在水面以上。4.4质量守恒2023/2/531Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.4质量守恒2023/2/532Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws求解：(2)

选择一个控制体，该控制体的顶面在水面以下。

在控制体顶面处的流体速度等于顶面的升高速度：4.4质量守恒2023/2/533Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.5能量方程系统中的能量方程可以表示为：比能：比动能比势能比内能Q代表由于温差通过控制面的能量传递速率。功率项2023/2/534Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws1.功率项4.5能量方程由于控制面上的压强所产生的功率。定义为流动功。旋转的轴所产生的功率，例如泵、涡轮等。2023/2/535Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws2.一般的能量方程(1)一般的能量方程一般的能量方程4.5能量方程2023/2/536Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(2)能量损失

在许多流体流动中，有用形式的能量(动能和势能)和流动功被转换为无用能(内能)。如果假设控制体的温度保持不变，则内能不变，因此能量损失就等于通过控制面的热交换量。能量损失：

不可用形式的能的总和。4.5能量方程2023/2/537Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws一般的能量方程：4.5能量方程2023/2/538Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws说明：能量损失的分析计算是非常困难的，特别是当流动为湍流时更是如此。一般来说，能量损失的预测可以通过经验公式进行。对于泵或涡轮机械来说，能量损失可以用效率来表示。例如，如果一个泵的效率为80%，能量损失将是给泵输入能量的20%。能量损失主要归结于两个主要作用：流体的粘度会引起内摩擦，从而导致内能的增加(温升)或热交换。流场几何形状的改变会导致流动的分离，而流动的分离会造成有用能量耗散。4.5能量方程2023/2/539Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws3.定常均匀流考虑一个定常流的情况：有一个入口和一个出口，并假设在入口和出口处，速度分布均匀。则能量方程简化为：(1)简化的能量方程下标1和2分别代表入口和出口的量。4.5能量方程2023/2/540Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws质量流量:定义

hL:这种形式的能量方程在许多情况下非常有用。用损失系数K表示的hL4.5能量方程2023/2/541Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(2)头速度头：静压头：压头：总压头：头损失：所有这些量都具有长度量纲4.5能量方程2023/2/542Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(3)关于能量方程应用的说明如果能量损失可以忽略且没有轴功，则有：说明：

当2=1

时，能量方程简化为与伯努利方程相同的形式。但必须明确，伯努利方程是应用在一条流线上的动量方程，而上述方程则是一个应用在流动的两个截面上的能量方程。4.5能量方程2023/2/543Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws如果在流动系统中有泵和涡轮存在，能量项(Ws/mg)取决于泵和涡轮。对于不可压缩流动来说，能量方程可以有如下形式：泵头涡轮头4.5能量方程2023/2/544Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(4)由涡轮产生的功率及泵所需要的功率

由效率为T的涡轮产生的功率可简化表示为：

效率为P的泵所需要的功率可简化表示为：4.5能量方程2023/2/545Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.定常非均匀流

如果速度分布是非均匀的，可以通过引入动能修正系数来计及速度不均匀性的影响。动能修正系数定义为：

引入动能修正系数后，能量方程将简化为：

对于管内的抛物形速度分布：=2.0

对于大多数内部的湍流流动：1.054.5能量方程2023/2/546Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例题6：

求解：

泵将0.2m3/s的水的压强从200kPa升高到600kPa。如果泵的效率为85%，该泵需要多少电功率？已知出口截面高于入口截面20cm。假设出口面积与入口面积相等。

能量损失可以用效率表示。4.5能量方程2023/2/547Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例题7：求解：

水从一个水库通过一个直径2.5ft的管路流向一个涡轮发电机组，然后排向一个低于水库水面100ft的河中。如果体积流速为90ft3/sec，涡轮发电机的效率为88%，计算输出功率。假设管路的损失系数为

K=2。(1):选择控制体从水库水面1到河流水面2。(2):采用表压计算，因此

p1=p2=0；

坐标原点放置在最低截面处，因此

z2=0；

速度

V1和

V2

足够小可以忽略；Hp=0.4.5能量方程2023/2/548Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(3):4.5能量方程2023/2/549Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例题8：求解：

图示的文丘里管流量计中，管径从10cm缩小到最小5cm。计算体积流速和质量流量，假设为理想条件。(1):选择控制体(2):无能量损失，且为均匀流。4.5能量方程2023/2/550Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(3):4.5能量方程2023/2/551Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例题9：

求解：

一个管内流动的速度分布为V(r)=Vmax(1-r2/r02)，这里r0

为管道的半径。确定动能修正系数。(1):计算平均速度4.5能量方程2023/2/552Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(2):确定动能修正系数管内层流和平行板间层流时速度为抛物形分布，此时Re数必须非常小。4.5能量方程2023/2/553Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.6动量方程1.一般的动量方程动量方程：

在一个惯性系中，施加在一个系统上的合力等于该系统的动量的变化率：2023/2/554Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws说明：当应用动量方程时，F代表了施加在控制体上的所有的力。这些力包括：外界施加在控制面上的表面力；由于重力场和磁场产生的体积力。动量方程经常用来确定由于流动所产生的力。例如，通过动量方程可以计算在一个管路系统中支持一个弯管所需的力。4.6动量方程在动量方程中，采用表压比较方便。这样，作用在管道外部的压强为零。2023/2/555Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws2.定常均匀流如果一个装置具有入口和出口，在入口和出口处速度分布均匀，并且如果流动定常，则有：流动的出口/入口数如果只有一个入口和一个出口，则有：4.6动量方程2023/2/556Chapter4:TheintegralformsofthefundamentallawsScaleequation:4.6动量方程2023/2/557Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例如：喷嘴流动：在一个矩形水道内的自由表面流动：F1

和F2

为压力4.6动量方程2023/2/558Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例题10：求解：

水通过一个水平弯管流入大气。体积流速为0.3ft3/sec。计算在图示中的每一个支持该弯管的杆上的力。忽略流体的体积力和粘性作用以及作用在杆上的剪切力。(1):选择包围弯管的控制体。(2):忽略截面1和2间的能量损失，由能量方程可得：4.6动量方程2023/2/559Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.6动量方程2023/2/560Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.6动量方程(3):应用动量方程：2023/2/561Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例题11：求解：

当一个在宽度为w的开口矩形水道中的水流速度较大时，水流有可能在一个较短的距离内从深度y1跳越到深度y2，这种现象称为水跃。假设流动为水平的均匀流动，试用y1和V1表达

y2。(1):将控制体入口和出口选在水跃上游和下游足够远的位置，因此控制体入口和出口处的流线可以认为与水道壁平行，且压强为水的静压强。4.6动量方程2023/2/562Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.6动量方程(2):应用动量方程：2023/2/563Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例题12：

考虑一个空气绕流圆柱的对称流。控制体不包括圆柱，如图所示。圆柱下游的速度分布可近似为抛物线分布。确定施加在圆柱上的每单位长度上的曳力(拖拉力)。流体密度取

=1.23kg/m3。4.6动量方程2023/2/564Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.6动量方程求解：(1):应用连续性方程：2023/2/565Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.6动量方程(2):应用动量方程：2023/2/566Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例题13：

用V1和面积比给出在一个突然扩张管道中的压头损失的表达式。假设在出入口速度均匀分布，并且在管道突然扩张处的压强为

p1。求解：(1):选择控制体(2):应用动量方程：4.6动量方程2023/2/567Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.6动量方程(3):应用能量方程：(4):应用连续性方程：2023/2/568Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws3.应用于导流片的动量方程在许多涡轮机械中，例如涡轮机、泵以及压缩机等，都涉及到动量方程在导流片中的应用。这类问题可以分为两种：流体的喷射被固定的导流片偏转；流体的喷射被运动的导流片偏转。对于这两种问题，假设：流体喷射外部的压强处处恒定，因此当流体流过导流片时，流体中的压强保持恒定；忽略由于流体与导流片间的相互作用所产生的摩擦阻力；体积力，即控制体的重量很小，予以忽略。4.6动量方程2023/2/569Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(1)固定的导流片假设压强恒定4.6动量方程2023/2/570Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(2)运动导流片(考虑一个单一导流片)在这个运动系中：在固结于固定喷嘴上的参考系中，流动是非定常的。4.6动量方程在固结于导流片上的参考系中，流动是定常的。

当流体相对于导流片流动时，流体的相对速度保持恒定；由于压强不变，因此流速也不变。2023/2/571Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例题14：

一个导流片将水流偏转30°角。在图示的位置处需要施加多大的支持力？已知

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