小学思维数学讲义：概率-带详解

概率教学目“统计与概率主研究现实生中的数据和客观世界中的随机现,兼有应用性和趣味性，其内容及延伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容．能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题．运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．理解和运用概率性质进行概率的运算．知识要一、概率的古典定义如果一个试验满足两条：⑴试验有有限个基本结果；⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件，的概率定义为：P

，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m表事件包含的试验基本结果数．小学数中所涉及的概率都属于古典概率．其中的和n需我们用枚举、加乘原理、排列组合等法求出．二、对立事件对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事如果事件和B对立事互斥事件A或B之一发生的概率等于事件发的概率与事件B发生的概率之和，为1即：

．三、相互独立事件事件是发生对件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件．如果事件和B独立事件，那么A和B都生的概率等于事件A发生的概率与事件发的概率之积，即：例题精模块一、概率的意义【1】气台报本市明降概是．对信，列说中确是．①市天有的地降．②本明将的间水③天定雨④明天水可性较．【考点】概率的意义【度1星【题型】填空【关键词】希望杯，决赛【解析】降水概指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．的概率也不是指肯定下雨，的率才是肯定下雨的概率是说明有比较大的可能性下雨．【答案】④【2】约与姆硬，翰两，汤掷次约掷次……，这样轮掷去若翰续次得结相，记1分否记分．汤连两掷的果至有1次币的面上则分，否记分谁记10分谁赢的能较（请1汤或翰【考点】概率的意义【度2星【题型】填空【关键词】走美杯，年，决赛，第7题【解析】连续两次硬币可能出的情况有（正，正正）四种情况。约翰扔的话，两种情况记1分，两种情况记0分汤扔的话三种情况记分一种情况记0分所以汤姆赢得的可能性大。【答案】汤姆【3】在个塘随捕100条，给作标后回塘中过段间又次机捞200尾发其有条是作标的如两捕之鱼数没增或减，么请估这池中共鱼少？【考点】概率的意义【度2星【题型】解答【解析200尾中25条被标记过，没所以池中鱼被标记的概率的实验得出值为50.125，所以池塘中的鱼被标记的概率可以看作是0，池塘中鱼的数量约为10.125尾．【答案】800【4】一小木的个上别有数2、3、、、、，小、亮人意桌上放个块规：小扔，果上一写是数1分．小扔，果上一写是数得分．人次______得高可性较．【考点】概率的意义【度2星【题型】填空【解析因为2、、5、67、中奇数有个偶数只有个所以木向上一面写着奇数的可能性较大，即小亮得分高的可能性较大．【答案】小亮得分高的可能性较大【5】一骰六面的字别0，1，，3，，，现来这骰，每掷出点依次和当点超就止再了这掷最可出现总数＿＿.【考点】概率的意义【度4星【题型】填空【解析掷总点数在8至间时，再掷一次，总点数才有可能超过（多是总点数时再掷一次点是3的能性比总点数超过13的能性大总点数在至1之时掷次，总点数是1的能性不比总点数是，，16，可能性小．例如，总点数是时再掷一次，出现0可能性相同，所以总点数1的可能性相同，总数是13可能性不比总数点数分别是14，，16的能性小，综上所述，总点数是的能性最大．【答案】总点数是3的能性最大．【6】从红门的站学，路路两公汽车乘它都每10分开一．红车后只看路9路马就上，有观发：车过去后3钟来车而9路车去后7分钟来1路车小乘_____路车的能较．【考点】概率的意义【度4星【题型】填空【解析首某一时刻开来路车，从此时起，分析乘坐汽车如下表所示：分钟车号

23456781012131617181999911111111显然由上表可知每10分乘坐1路车的几率均为车的可能性较大．

3乘坐车的几率均为因此小红乘坐1路【答案】路车的可能性较大模块二、计数求概率【7】图示球在部它从部轨落球到部从至的率次．2【考点】计数求概率【度3星【题型】填空【解析每一个岔口球入边的机会是均等的此故从左至右落到底部的概率依次为、．

3、、、【答案】左至右落到底部的概率依次为

1、、、、．48416【8】一肇车撞后离场警察现调取，击只记车是由2、35、、9五数组，把们排顺忘了警在查程，如在脑输一由五个字成车号那输的牌正是事辆牌的可性_．【考点】计数求概率【度3星【题型】填空【解析警在调查过程中，在电脑上输入第一个数字可能2、3、5、、9中的任何一个，有种能，第二位数字有4种能，…，第五位数字有种能，所以一共有5可能，则输入正确车牌号的可能性是

．【答案】

【9】别后次子点之为6的概为少点数积的率多【考点】计数求概率【度3星【题型】解答【解析根乘法原理，先后两次掷骰子出现的两个点数一共有36．将点数为的况全部枚举出来有：点数之积为6的况为：两个数相加和为6的组一共是36组所以点数之和为的率是1点数之积为概率为．9【答案））

；【】甲、两学各0这0个数中机选两数（能同，求⑴两个字差超2概，两数的差超的概．【考点】计数求概率【度3星【题型】解答【解析⑴个数相同（差为0的情况有0种两个数差为有种，两个数的差为的况有2种，11所以两个数的差不超过的率有．⑵个数的差为的况有种两个数的差为8的况有2种两个数的差为的情况有2种所以两个数字的差超过6的率有两个数字的差不超过的率

22.31212【答案）

）【】工厂量测门某一次1件产进抽检，果这1件产中两产是品那质人随抽件产这件品好是品的率多？两产中一是次的率多？两产中有品概为少【考点】计数求概率【度3星【题型】解答【解析从1产品中选择2件共有C45种况所以这两件产品恰好都是次品的概率为．两件产品中有一件次品的情况有C种情况，所以两件产品中有一件次品的概率为2

两件产品中都不是次品的概率有28种况，所以两件产品都不是次品的概率为816【答案）））4545

【】一个有生25人男生27人,意抽两同,恰好是生概是分几【考点】计数求概率【度3星【题型】解答25【解析从名女生中任意抽出两个人300种不同的方法．30050从全体学生中任意抽出两个人有1326不同的方法．计算概率：．221【答案】

【】从名生选4人加识赛其甲选的率为少【考点】计数求概率【度3星【题型】解答【解析法：从6名生中选人不组有种其中，人包甲的不同组合相当于在名生中选人以一共有种2所以甲被选择上的概率为．3法二：显然这6个入选的概率是均等的．11即每个人作为一号选手入选的概率为，作为二号入选的概率为，为三号入选的概率为，66作为四号入选的概率为，于个“来说，他以头号、二号、三号、四号入选的情况是互斥事件，所以他被入选的概率为．【答案】

【】一块子表显时与，用小时时，如午点半1点都示．如果一（24小时中随一个刻手，少到个字1的概是_．【考点】计数求概率【度3星【题型】填空【关键词】学而思杯6年级1试第8题【解析一当中，手表上显示的时刻一共1种其中冒号之前不出现1的况有2、4、、、、、八种，冒号之后不出现1的况有所以不出现的况有45种．43434所以至少看到一个数“的情况有720种所以至少看到一个数“的概率为

1种．2【答案】

【】从立体八顶中选顶，能出它能成少三形这三形有少直三形随取个点这个构直三形可性多？【考点】计数求概率【度3星【题型】解答【解析从个点中任取3个顶点都能成三角形，所以应该有如果三角形的三个顶点中任两个都不在正方体的一条棱上，则该三角形不是直角三角形，共有个不是直角三角形．所以直角三角形共有5648个．构成直角三角形的可能性有

．【答案）56）48）

【】一个准五星如图由个点接成从1个随选3个点则三点同条线的率多，这个能成角的率多？果选个点，这个恰构平四形概为少【考点】计数求概率【度4星【题型】解答【解析个中任意取3个的情况为种其中涉及到条直线，每条直线上各有个，其中任意点共线，所以取这点不能够成三511角形，这样的概率是4所以3点成三角形的概率为1．1206610个中取个的情形为10

210种个点中平行四边形有个所构1成平行四边形的概率为．51【答案）））6【】如图个点布边为厘米方（邻与之的离为1厘，这9个中取个则三点成角的率多？这个构面为平厘的角的概率多？成积1平厘的角的概为少构面为平厘的概为多？成积2平厘的角的率多少53939【考点】计数求概率【度4星【题型】解答【解析从9个中任取3个点一共有C种况三个点共线一共有3种况．所以三个点能够成三角形的概率1．21个点中能构成面积为的角形一共有32种况．32所以三个点能够成面积为平厘米的三角形的概率为．8421个点中能够成面积为平厘米的三角形的情况有种情况．8所以三个点能够成面积为平厘米的三角形的概率为．21个点中能够成面积为平厘米的三角形的情况有种况．41所以三个点能够成面积为平厘米的三角形的概率为．84个点中能够成面积为平方厘米的三角形的情况有8情况．所以三个点能够成面积为2平方厘米的三角形的概率为

2．21812【答案）））））2121【】甲、乙、、四互传，甲始第次球每人到后都机其人选一人球出那第次球好回手的率多少【考点】计数求概率【度4星【题型】解答【解析对一个接到球的人来说，下一次传球的方向有可能，所以四次传球的总路线有34

81种能，每一种之间是互斥的等概率事.而恰好传回到甲的情况，以第一步乙为有如下种况甲丁甲

甲丁甲甲所以第4次回甲的概率为

7．27【答案】

模块三、对立事件与相互独立事件61225212252【】一张桌有个位，A、、、D人机到个位，与B相而的率【考点】对立事件与相互独立事件【度3星【型】解答【解析四入座的不同情况有424种．、B相邻的不同情况首先固定的位有种安B的位有种安排D的位有2种，一共有种所以A相而座的率为1率为1．

，那么、B不邻而座的概【答案】

【】某小六级个班每班有名生，要六级个班随抽2个，加电视的场乐动活中次奖动将抽4名幸运众那六级生宝为运众概为少【考点】对立事件与相互独立事件【度3星【型】解答C51【解析小所在班级被抽中参加娱乐活动的概率为5，果小宝参加了娱乐活动么小宝成为C36111幸运观众的概率为，以小宝成为幸运观众的概率为.60【答案】

【】从装个球个黑球口中意出球全白的率【考点】对立事件与相互独立事件【度3星【型】解答【解析法：5个任意取出两个有C种况，互相之间都是互斥事件，且出现概率均等，而两个球都是白球有C3

情况，全是白球的概率为．法二：将摸出两个球视作两次行为，摸出第一个球是白球的概率为，摸出一个白球的概率1，以两次摸出两个白球的概率为25

议讲完独立事件再讲这一法）【答案】

【】、B、C、、、F人签选表公人共作六外一一的签其只有枚着中”，人照母序先抽签抽不回谁到中”字，被选代，那这人抽的率别多？【考点】对立事件与相互独立事件【度3星【型】解答【解析抽的概率为，抽到的概率为，果没中那么B有的率抽中，如果A抽，那51么抽的概率为，所以中的概率为64511同理，抽中的概率为，D中的概率为，56544215211抽中的概率为，F抽的概率为.435326由此可见六人抽中的概率相等，与抽签的先后顺序无.【答案】六个人抽中的概率相同为

【固如例中个抽都回任一人果中则后的不抽，么个抽的7率多？【考点】对立事件与相互独立事件【度3星【型】解答111511151111【解析抽的概率依次为：、、、、、，66666666在这种情况下先抽者，抽中的概率大．55111111【答案】抽中的概率依次为：、、、、、，666666666666在这种情况下先抽者，抽中的概率大．【】在某的试，、乙丙人秀互影）概为.5，0.4，考结束，容出几人秀【考点】对立事件与相互独立事件【度3星【型】解答【解析注他们的优秀率是互不影响的．三人都优秀的概率是0.50.40.04，只有甲乙两人优秀的概率为0.5

0.40.16只有甲丙二人优秀的概率0.5，只有乙丙二人优秀的概率0.04，所以有两人优秀的概率为0.060.26，一人优秀的概率0.5一人优秀的概率一人优秀的概率所以只有一人优秀的概率为00.060.46全都不优秀的概率为最容易出现只有一人优秀的情况．【答案】1个优秀【固在次考中甲乙人秀互影）概为，0.4，试束，有优的率多？【考点】对立事件与相互独立事件【度3星【型】解答【解析只乙优秀的概率为0.4【答案】【】某射在步外箭恰射靶的率，果射在百之连三，箭部射靶的率多？一射靶的率多？两射中心概为少【考点】对立事件与相互独立事件【度3星【型】解答【解析⑴部射中靶心的概率为0.40.064．⑵一箭射中，其他两箭射空的概率为.4第二箭射中，其他两箭射空的概率为第三箭射中，其他两箭射空的概率为有一箭射中的概率为0.1440.432.⑶一箭射空，其他两箭射中的概率为0.09