江苏专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形47解三角形的综合应用课件理

§4.7解三角形的综合应用基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线

叫仰角，目标视线在水平视线

叫俯角(如图①).知识梳理上方下方2.方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等.3.方位角指从

方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).正北知识拓展1.三角形的面积公式2.坡度(又称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(

)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0，].(

)(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.(

)(4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是[0，).(

)××√√考点自测1.(教材改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为______m.答案解析又∵B＝30°，2.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h，15nmile/h，则下午2时两船之间的距离是_____nmile.答案解析70设两船之间的距离为d，则d2＝502＋302－2×50×30×cos120°＝4900，∴d＝70，即两船相距70nmile.3.(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10nmile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝_____nmile.答案解析如图，在△ABC中，AB＝10，A＝60°，B＝75°，4.如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝_____.答案解析5.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20km/h；水的流向是正东，流速是20km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东_____，速度的大小为______km/h.60°如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos120°＝1200，故OC＝20，∠COY＝30°＋30°＝60°.答案解析题型分类深度剖析题型一求距离、高度问题例1

(1)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD是60m，则河流的宽度BC＝___________m.答案解析如图，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60m，在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，(2)如图，A，B是海平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的射影，则山高CD＝___________m.答案解析在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°.∵CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，求距离、高度问题应注意(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念.(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.思维升华跟踪训练1(1)一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为______km.答案解析如图，由题意，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，∴B＝45°，AC＝60km，(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则树的高度为___________m.答案解析在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，题型二求角度问题例2甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船.问用多少小时追上乙船，并求sinθ的值.(结果保留根号，无需求近似值)解答设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，那么在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理，128t2－60t－27＝0，所以AC＝21(海里)，BC＝15(海里)，又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角，所以θ＝45°－∠BAC，sinθ＝sin(45°－∠BAC)＝sin45°cos∠BAC－cos45°sin∠BAC解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.思维升华跟踪训练2(1)(2016·苏州模拟)如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为_____.答案解析在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)题型三三角形与三角函数的综合问题例3

(2016·扬州调研)在斜三角形ABC中，tanA＋tanB＋tanAtanB＝1.(1)求C的值；解答方法一因为tanA＋tanB＋tanAtanB＝1，即tanA＋tanB＝1－tanAtanB，因为在斜三角形ABC中，1－tanAtanB≠0，即tan(180°－C)＝1，即tanC＝－1，因为0°<C<180°，所以C＝135°.方法二由tanA＋tanB＋tanAtanB＝1，化简得sinAcosB＋sinBcosA＋sinAsinB＝cosAcosB，即sin(A＋B)＝cos(A＋B)，所以sinC＝－cosC，因为斜三角形ABC，所以C＝135°.(2)若A＝15°，AB＝

，求△ABC的周长.解答在△ABC中，A＝15°，C＝135°，则B＝180°－A－C＝30°.故BC＝2sin15°＝2sin(45°－30°)CA＝2sin30°＝1.三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题.思维升华跟踪训练3(2016·南京学情调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＝bcosA.(1)求

的值；解答方法一由acosB＝bcosA，即sin(A－B)＝0.结合正弦定理得sinAcosB＝sinBcosA，方法二由acosB＝bcosA，因为A，B∈(0，π)，所以A－B∈(－π，π)，解答典例(14分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.

函数思想在解三角形中的应用思想与方法系列10思想方法指导规范解答已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决.返回解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，

[1分]即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.[7分](2)设小艇与轮船在B处相遇.则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，∵0<v≤30，此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20. [13分]故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时. [14分]返回课时作业12345678910111213141.(2017·苏北四市联考)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是________海里.答案解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，2.在高出海平面200m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为____________m.答案解析过点A作AH⊥BC于点H，由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200m，12345678910111213143.江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距______m.答案解析如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，在△MON中，由余弦定理得，12345678910111213144.(2016·南京模拟)如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为______.答案解析45°1234567891011121314又CD＝50(m)，所以在△ACD中，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.12345678910111213145.如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________.答案解析在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.12345678910111213146.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒，升旗手应以____(米/秒)的速度匀速升旗.答案解析0.61234567891011121314在△BCD中，12345678910111213147.如图，CD是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A，B，并测得四边形ABCD中，∠ABC＝

，∠BAD＝π，AB＝BC＝400米，AD＝250米，则应开凿的隧道CD的长为________米.答案解析3501234567891011121314∴在△CAD中，由余弦定理，得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos∠CAD∴CD＝350米.12345678910111213148.如图，一艘船上午9∶30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8nmile.此船的航速是______nmile/h.答案解析32设航速为vnmile/h，∠BSA＝45°，12345678910111213149.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.答案解析1234567891011121314如图，连结OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos60°＝17500，解得OC＝50.1234567891011121314*10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________.答案解析123456789101112131411.要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度.解答1234567891011121314中如图，设电视塔AB高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，在△BDC中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，解得x＝40，所以电视塔高为40m.1234567891011121314(1)求a和sinC的值；解答得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.由a2＝b2＋c2－2bccosA，可得a＝8.1234567891011121314解答1234567891011121314*13.在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.解