2023年大同师范高等专科学校高职单招（数学）试题库含答案解析

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年大同师范高等专科学校高职单招（数学）试题库含答案解析（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第1卷一.综合题(共50题)1.设U={三角形}，M={直角三角形}，N={等腰三角形}，则M∩N=______．答案：∵M={直角三角形}，N={等腰三角形}，∴M∩N={直角三角形且等腰三角形}={等腰直角三角形}故为{等腰直角三角形}2.已知e1

，

e2是夹角为60°的两个单位向量，且向量a=e1+2e2，则|a|=______．答案：由题意可得e21=1，e22=1，e1?e2=12，所以a2=(e1+2e2)2=1+2+4=7，所以|a|=7，故为：73.山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据（单位：kg）．

施化肥量x15202530354045棉花产量y330345365405445450455（1）画出散点图；

（2）判断是否具有相关关系．答案：（1）根据已知表格中的数据可得施化肥量x和产量y的散点图如下所示：（2）根据（1）中散点图可知，各组数据对应点大致分布在一个条形区域内（一条直线附近）故施化肥量x和产量y具有线性相关关系．4.已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=(12)x；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）═______．答案：∵2+log23＜4，∴f（2+log23）=f（3+log23）=f（log224）=(12)log224=124故应填1245.已知

|x|＜a，|y|＜a．求证：|xy|＜a．答案：证明：∵0＜|x|＜a，0＜|y|＜a∴由不等式的性质，可得|xy|＜a6.直线和圆交于两点，则的中点

坐标为（

）A．B．C．D．答案：D解析：，得，中点为7.在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5，0)，e1=(2，1)、e2=(2，-1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若OP=ae1+be2（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是______．答案：因为e1=(2，1)、e2=(2，-1)是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为y=±12x，又c=5，∴a=2，b=1双曲线方程为x24-y2=1，OP=ae1+be2=（2a+2b，a-b），∴(2a+2b)24-(a-b)2=1，化简得4ab=1．故为4ab=1．8.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）

A．10种

B．20种

C．25种

D．32种答案：D9.已知圆锥的母线长为5，底面周长为6π，则圆锥的体积是______．答案：圆锥的底面周长为6π，所以圆锥的底面半径为3；圆锥的高为4所以圆锥的体积为13×π32×4=12π故为12π．10.如图，一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的可能图形为（

）

A.①③

B.②④

C.①②③

D.②③④答案：C11.已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为,某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验,每次试验种一粒种子,假定某次试验种子发芽,则称该次试验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次试验是失败的.

(1)第一个小组做了三次试验,求至少两次试验成功的概率;

(2)第二个小组进行试验,到成功了4次为止,求在第四次成功之前共有三次失败,且恰有两次连续失败的概率.答案：（1）（2）解析：(1)第一个小组做了三次试验,至少两次试验成功的概率是P(A)=·+=.(2)第二个小组在第4次成功前,共进行了6次试验,其中三次成功三次失败,且恰有两次连续失败,其中各种可能的情况种数为=12.因此所求的概率为P(B)=12×·=.12.在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的14，且样本容量是160，则中间一组的频数为（）A．32B．0.2C．40D．0.25答案：设间一个长方形的面积S则其他十个小长方形面积的和为4S，所以频率分布直方图的总面积为5S所以中间一组的频率为S5S=0.2所以中间一组的频数为160×0.2=32故选A13.下面的结论正确的是（）A．一个程序的算法步骤是可逆的B．一个算法可以无止境地运算下去的C．完成一件事情的算法有且只有一种D．设计算法要本着简单方便的原则答案：算法需每一步都按顺序进行，并且结果唯一，不能保证可逆，故A不正确；一个算法必须在有限步内完成，不然就不是问题的解了，故B不正确；一般情况下，完成一件事情的算法不止一个，但是存在一个比较好的，故C不正确；设计算法要尽量运算简单，节约时间，故D正确，故选D．14.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且|NF|=32|MN|，则∠NMF=（）A．π6B．π4C．π3D．5π12答案：设N到准线的距离等于d，由抛物线的定义可得d=|NF|，

由题意得cos∠NMF=d|MN|=|NF||MN|=32，∴∠NMF=π6，故选A．15.附加题选做题B．（矩阵与变换）

设矩阵A=m00n，若矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为10，属于特征值2的一个特征向量为01，求实数m，n的值．答案：由题意得m00n10=110，m00n01=201，…6分化简得m=10?n=00?m=0n=2所以m=1n=2.…10分16.已知=1-ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m+ni=（

）

A．1+2i

B．1-2i

C．2+i

D．2-i答案：C17.设b是a的相反向量，则下列说法错误的是（）

A．a与b的长度必相等

B．a与b的模一定相等

C．a与b一定不相等

D．a是b的相反向量答案：C18.设a，b∈R，ab≠0，则直线ax-y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的大致图形是（）

A．

B．

C．

D．

答案：B19.不等式的解集是（

）

A．

B．

C．

D．答案：D20.某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为23，科目B每次考试成绩合格的概率均为12．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．

（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；

（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ．答案：设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2．（Ⅰ）不需要补考就获得证书的事件为A1?B1，注意到A1与B1相互独立，根据相互独立事件同时发生的概率可得P(A1?B1)=P(A1)×P(B1)=23×12=13．即该考生不需要补考就获得证书的概率为13．（Ⅱ）由已知得，ξ=2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，根据相互独立事件同时发生的概率可得P(ξ=2)=P(A1?B1)+P(.A1?.A2)=23×12+13×13=13+19=49．P(ξ=3)=P(A1?.B1?B2)+P(A1?.B1?.B2)+P(.A1?A2?B2)=23×12×12+23×12×12+13×23×12=16+16+19=49，P(ξ=4)=P(.A1?A2?.B2?B2)+P(.A1?A2?.B1?.B2)=13×23×12×12+13×23×12×12=118+118=19，∴Eξ=2×49+3×49+4×19=83．即该考生参加考试次数的数学期望为83．21.用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作，当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作。已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90，分别求系统N1、N2正常工作的概率.

答案：0.792解析：解：分别记三个元件A、B、C能正常工作为事件A、B、C，由题意，这三个事件相互独立，系统N1正常工作的概率为P（A·B·C）=P（A）·P（B）·P（C）=0.8´0.9´0.9=0.648系统N2中，记事件D为B、C至少有一个正常工作，则P（D）=1–P（）="1–"P（）·P（）=1–（1–0.9）´（1–0.9）=0.99系统N2正常工作的概率为P（A·D）=P（A）·P（D）=0.8´0.99=0.792。22.己知△ABC的外心、重心、垂心分别为O，G，H，若，则λ=（）

A．3

B．2

C．

D．答案：A23.集合A={一条边长为2，一个角为30°的等腰三角形}，其中的元素个数为（）A．2B．3C．4D．无数个答案：由题意，两腰为2，底角为30°；两腰为2，顶角为30°；底边为2，底角为30°；底边为2，顶角为30°．∴共4个元素，故选C．24.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是（

）答案：B25.在平面几何中，四边形的分类关系可用以下框图描述：

则在①中应填入______；在②中应填入______．答案：由题意知①对应的四边形是一个有一组邻边相等的平行四边形，∴这里是一个菱形，②处的图形是一个有一条腰和底边垂直的梯形，∴②处是一个直角梯形，故为：菱形；直角梯形．26.已知100件产品中有5件次品，从中任意取出3件产品，设A表示事件“3件产品全不是次品”，B表示事件“3件产品全是次品”，C表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是（）

A．B与C互斥

B．A与C互斥

C．任意两个事件均互斥

D．任意两个事件均不互斥答案：B27.已知|a|=8，e是单位向量，当它们之间的夹角为π3时，a在e方向上的投影为（）A．43B．4C．42D．8+23答案：由两个向量数量积的几何意义可知：a在e方向上的投影即：a?e=|a||e|cosπ3=8×1×12=4故选B28.直线2x+y-3=0与直线3x+9y+1=0的夹角是（）

A．

B．arctan2

C．

D．答案：C29.如图表示空间直角坐标系的直观图中，正确的个数为（）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个答案：C30.从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）

A．至少有一个黒球与都是红球

B．至少有一个黒球与都是黒球

C．至少有一个黒球与至少有1个红球

D．恰有1个黒球与恰有2个黒球答案：D31.已知点M（1，2），N（1，1），则直线MN的倾斜角是（）A．90°B．45°C．135°D．不存在答案：∵点M（1，2），N（1，1），则直线MN的斜率不存在，故直线MN的倾斜角是90°，故选A．32.在数列{an}中，a1=1，an+1=2an2+an（n∈N+），

（1）求a1，a2，a3并猜想数列{an}的通项公式；

（2）证明上述猜想．答案：（1）a1=1．a2=2a12+a1=22+1=23．a3=2a22+a2=2×232+23=12（2）猜想an=2n+1．证明：当n=1时显然成立．假设当n=k（k≥1）时成立，即ak=2k+1则当n=k+1时，ak+1=2ak2+ak=2×2k+12+2k+1=42k+4=2(k+1)+1所以an=2n+1．33.圆ρ=5cosθ-5sinθ的圆心的极坐标是（）

A．（-5，-）

B．（-5，）

C．（5，）

D．（-5，）答案：A34.已知向量a=(-2，1)，b=(-3，-1)，若单位向量c满足c⊥(a+b)，则c=______．答案：设c=(x，y)，∵向量a=(-2，1)，b=(-3，-1)，单位向量c满足c⊥(a+b)，∴c•a+c•b=0，∴-2x+y-3x-y=0，解得x=0，∴c=(0，y)，∵c是单位向量，∴0+y2=1，∴y=±1．故c=(0，1)，或c=(0，-1)．故为：（0，1）或（0，-1）．35.已知x∈{1，2，x2}，则实数x=______．答案：∵x∈{1，2，x2}，分情况讨论可得：①x=1此时集合为{1，2，1}不合题意②x=2此时集合为{1，2，4}合题意③x=x2解得x=0或x=1当x=0时集合为{1，2，0}合题意故为0或2．36.直线y=2的倾斜角和斜率分别是（）A．90°，斜率不存在B．90°，斜率为0C．180°，斜率为0D．0°，斜率为0答案：由题意，直线y=2的倾斜角是0°，斜率为0故选D．37.3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有（）

A．43种

B．4×3×2种

C．34种

D．1×2×3种答案：C38.若直线l与直线2x+5y-1=0垂直，则直线l的方向向量为______．答案：直线l与直线2x+5y-1=0垂直，所以直线l：5x-2y+k=0，所以直线l的方向向量为：（2，5）．故为：（2，5）39.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁答案：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．故获奖的歌手是丙故先C40.若直线x+y=m与圆x=mcosφy=msinφ（φ为参数，m＞0）相切，则m为

______．答案：圆x=mcosφy=msinφ的圆心为（0，0），半径为m∵直线x+y=m与圆相切，∴d=r即|m|2=m，解得m=2故为：241.从装有5只红球和5只白球的袋中任意取出3只球，有如下几对事件：

①“取出两只红球和一只白球”与“取出一只红球和两只白球”；

②“取出两只红球和一只白球”与“取出3只红球”；

③“取出3只红球”与“取出的3只球中至少有一只白球”；

④“取出3只红球”与“取出3只白球”．

其中是对立事件的有______（只填序号）．答案：对于①“取出两只红球和一只白球”与“取出一只红球和两只白球”，由于它们不能同时发生，故是互斥事件．但由于它们的并事件不是必然事件，故它们不是对立事件．对于②“取出两只红球和一只白球”与“取出3只红球”，由于它们不能同时发生，故是互斥事件．但由于它们的并事件不是必然事件，故它们不是对立事件．对于③“取出3只红球”与“取出的3只球中至少有一只白球”，它们不可能同时发生，而且它们的并事件是必然事件，故它们是对立事件．④“取出3只红球”与“取出3只白球”．由于它们不能同时发生，故是互斥事件．但由于它们的并事件不是必然事件，故它们不是对立事件．故为③．42.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（）

A．若k2的观测值为k=6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病

B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病

C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误

D．以上三种说法都不正确答案：D43.化简5（2a-2b）+4（2b-2a）=______．答案：5（2a-2b）+4（2b-2a）=10a-10b+8b-8a=2a-2b故为：2a-2b44.设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若＜a，n＞=，则l与α所成的角为（）

A．

B．

C．

D．答案：C45.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）

A．26

B．24

C．20

D．19

答案：D46.已知a＞0，b＞0，直线l与x轴、y轴分别交于A（a，0），B（0，b），且过点（1，2），O为原点．求△OAB面积的最小值．答案：∵a＞0，b＞0，直线l与x轴、y轴分别交于A（a，0），B（0，b），∴直线l的方程为xa+yb=1，又直线l过点（1，2），∴1a+2b=1，由基本不等式得1≥22ab，∴ab≥8，△OAB面积为：12ab≥12×8=4，当且仅当1a=2b=12，即a=2且b=4时，等号成立．故△OAB面积的最小值是4．47.在平面几何里，我们知道，正三角形的外接圆和内切圆的半径之比是2：1。拓展到空间，研究正四面体（四个面均为全等的正三角形的四面体）的外接球和内切球的半径关系，可以得出的正确结论是：正四面体的外接球和内切球的半径之比是（

）。答案：3：148.设集合A={0，1，3}，B={1，3，4}，则A∩B=______．答案：∵集合A={0，1，3}，B={1，3，4}，A∩B={1，3}．故为：{1，3}．49.设与都是直线Ax+By+C=0（AB≠0）的方向向量，则下列关于与的叙述正确的是（）

A．=

B．与同向

C．∥

D．与有相同的位置向量答案：C50.把方程化为以参数的参数方程是（

）A．B．C．D．答案：D解析：，取非零实数，而A，B，C中的的范围有各自的限制第2卷一.综合题(共50题)1.已知△ABC的顶点坐标分别为A（2，3），B（-1，0），C（2，0），则△ABC的周长是（）

A．2

B．6+

C．3+2

D．6+3答案：D2.已知G是△ABC的重心，O是平面ABC外的一点，若λOG=OA+OB+OC，则λ=______．答案：如图，正方体中，OA+OB+OC=OD=3OG，∴λ=3．故为3．3.如图，梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，AB为直径，DO平分∠ADC，则∠DAO的度数是

______．答案：∵DO平分∠ADC，∴∠CDO=∠ODA；∵OD=OA，∴∠A=∠ADO=12∠ADC；∵AB∥CD，∴∠A+∠ADC=3∠A=180°，即∠A=∠ADO=60°．故为：60°4.以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程是（）

A．

B．

C．

D．答案：C5.已知a=20.5，，，则a，b，c的大小关系是（）

A．a＞c＞b

B．a＞b＞c

C．c＞b＞a

D．c＞a＞b答案：B6.甲、乙、丙、丁四名射击选手在选拨赛中所得的平均环数，其方差S2如下表所示，则选送参加决赛的最佳人选是（）

甲

乙

丙

丁

8

9

9

8

S2

5.7

6.2

5.7

6.4

A．甲

B．乙

C．丙

D．丁答案：C7.已知直线l：ax+by=1（ab＞0）经过点P（1，4），则l在两坐标轴上的截距之和的最小值是______．答案：∵直线l：ax+by=1（ab＞0）经过点P（1，4），∴a+4b=1，故a、b都是正数．故直线l：ax+by=1，此直线在x、y轴上的截距分别为1a、1b，则l在两坐标轴上的截距之和为1a+1b=a+4ba+a+4bb=5+4ba+ab≥5+24ba?ab=9，当且仅当4ba=ab时，取等号，故为9．8.已知随机变量ξ服从正态分布N（1，δ2）（δ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为（

）

A．

B．

C．

D．答案：D9.设a，b，λ都为正数，且a≠b，对于函数y=x2（x＞0）图象上两点A（a，a2），B（b，b2）．

（1）若AC=λCB，则点C的坐标是______；

（2）过点C作x轴的垂线，交函数y=x2（x＞0）的图象于D点，由点C在点D的上方可得不等式：______．答案：（1）设点C（x，y），因为点A（a，a2），B（b，b2），AC=λCB，则（x-a，y-a2）=λ（b-x，b2-y），所以：x=a+λb1+λ，y=a2+λb21+λ（2）因为点C在点D的上方，则y＞yD，所以a2+λb21+λ＞(a+λb1+λ)210.已知在△ABC和点M满足

MA+MB+MC=0，若存在实数m使得AB+AC=mAM成立，则m=______．答案：由点M满足MA+MB+MC=0，知点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则AM=23AD=23×

12×(AB+AC)=13(AB+AC)∴AB+AC=3AM∴m=3故为：311.某厂一批产品的合格率是98%，检验单位从中有放回地随机抽取10件，则计算抽出的10件产品中正品数的方差是______．答案：用X表示抽得的正品数，由于是有放回地随机抽取，所以X服从二项分布B（10，0.98），所以方差D（X）=10×0.98×0.02=0.196故为：0.196．12.如图，曲线C1、C2、C3分别是函数y=ax、y=bx、y=cx的图象，则（）

A．a＜b＜c

B．a＜c＜B

C．c＜b＜a

D．b＜c＜a

答案：C13.在△ABC中，已知向量=(cos18°，cos72°)，=(2cos63°，2cos27°)，则△ABC的面积等于（）

A．

B．

C．

D．

答案：A14.（上海卷理3文8）动点P到点F（2，0）的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则P的轨迹方程为______．答案：由抛物线的定义知点P的轨迹是以F为焦点的抛物线，其开口方向向右，且p2=2，解得p=4，所以其方程为y2=8x．故为y2=8x15.已知x，y之间的一组数据：x1.081.121.191.28y2.252.372.402.55y与x之间的线性性回归方y=bx+a必过定点______．答案：回归直线方程一定过样本的中心点（.x，.y），.x=1.08+1.12+1.19+1.284=1.1675，

.y=2.25+2.37+2.40+2.554=2.3925，∴样本中心点是（1.1675，2.3925），故为（1.1675，2.3925）．16.已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|=（）

A．

B．

C．

D．4答案：C17.已知A（2，1，1），B（1，1，2），C（2，0，1），则下列说法中正确的是（）A．A，B，C三点可以构成直角三角形B．A，B，C三点可以构成锐角三角形C．A，B，C三点可以构成钝角三角形D．A，B，C三点不能构成任何三角形答案：∵|AB|=2，|BC|=3，|AC|=1，∴|BC|2=|AC|2+|AB|2，∴A，B，C三点可以构成直角三角形，故选A．18.已知集合P={（x，y）|y=m}，Q={（x，y）|y=ax+1，a＞0，a≠1}，如果P∩Q有且只有一个元素，那么实数m的取值范围是

______．答案：如果P∩Q有且只有一个元素，即函数y=m与y=ax+1（a＞0，且a≠1）图象只有一个公共点．∵y=ax+1＞1，∴m＞1．∴m的取值范围是（1，+∞）．故：（1，+∞）19.如果输入2，那么执行图中算法的结果是（）A．输出2B．输出3C．输出4D．程序出错，输不出任何结果答案：第一步：输入n=2第二步：n=2+1=3第三步：n=3+1=4第四步：输出4故为C．20.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：x=22t+1y=22t，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．答案：曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x2+y2-4x=0，即（x-2）2+y2=4直线l的参数方程x=22t+1y=22t，化为普通方程为x-y-1=0，曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为12=22所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长24-12=14．21.已知空间四边形ABCD的对角线为AC、BD，设G是CD的中点，则+（+）等于（）

A．

B．

C．

D．

答案：C22.在输入语句中，若同时输入多个变量，则变量之间的分隔符号是（）

A．逗号

B．空格

C．分号

D．顿号答案：A23.化简：AB+CD+BC=______．答案：如图：AB+CD+BC=AB+BC+CD=AC+CD=AD．故为：AD．24.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AB=6，AE=245，求BD和BC的长．答案：（1）证明：连接OC∵AC平分∠EAB∴∠EAC=∠BAC又在圆中OA=OC∴∠AC0=∠BAC∴∠EAC=∠ACO∴OC∥AE（内错角相等，两直线平行）则由AE⊥DC知OC⊥DC即DE是⊙O的切线．（2）∵∠D=∠D，∠E=∠OCD=90°∴△DCO∽△DEA∴BD=2∵Rt△EAC∽Rt△CAB．∴AC2=1445由勾股定理得BC=655．25.已知a=4，b=1，焦点在x轴上的椭圆方程是（

）

A．

B．

C．

D．答案：C26.已知焦点在x轴上的双曲线渐近线方程是y=±4x，则该双曲线的离心率是（）

A．

B．

C．

D．答案：A27.给定两个长度为1且互相垂直的平面向量OA和OB，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动．若OC=2xOA+yOB，其中x，y∈R，则x+y的最大值是______．答案：由题意|OC|=1，即4x2+y2=1，令x=12cosθ，y=sinθ则x+y=12cosθ+sinθ=(12)2+1sin（θ+φ）≤52故x+y的最大值是52故为：5228.若一元二次方程ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根，则有

A．a＜0

B．a＞0

C．a＜-1

D．a＞1答案：A29.已知△ABC的顶点坐标为A（3，4），B（-2，-1），C（4，5），D在BC上，且S△ABC=3S△ABD，则AD的长为______．答案：D在BC上，且S△ABC=3S△ABD，∴D点为BC边上的三等分点则D点分线段BC所成的比为12则易求出D点坐标为：x=-2+12×41+12y=-1+12×51+12∴x=0y=1故AD=32故为：3230.椭圆x=5cosαy=3sinα（α是参数）的一个焦点到相应准线的距离为______．答案：椭圆x=5cosαy=3sinα（α是参数）的标准方程为：x225+y29=1，它的右焦点（4，0），右准线方程为：x=254．一个焦点到相应准线的距离为：254-4=94．故为：94．31.已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3，ρ=4cosθ(ρ≥0，0≤θ＜π2)，则曲线C1与C2交点的极坐标为______．答案：我们通过联立解方程组ρcosθ=3ρ=4cosθ(ρ≥0，0≤θ＜π2)解得ρ=23θ=π6，即两曲线的交点为(23，π6)．故填：(23，π6)．32.若直线y=x+b与圆x2+y2=2相切，则b的值为（

）

A．±4

B．±2

C．±

D．±2

答案：B33.方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（）

A．0＜a≤1

B．a＜1

C．a≤1

D．0＜a≤1或a＜0答案：C34.给出命题：

①线性回归分析就是由样本点去寻找一条贴近这些点的直线；

②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；

③通过回归方程=bx+a及其回归系数b可以估计和预测变量的取值和变化趋势；

④线性相关关系就是两个变量间的函数关系．其中正确的命题是（

）

A．①②

B．①④

C．①②③

D．①②③④答案：D35.已知某离散型随机变量ξ的数学期望Eξ=76，ξ的分布列如下，则a=______．

答案：∵Eξ=76=0×a+1×13+2×16+3b∴b=16，∵P（ξ=0）+P（ξ=1）+P（ξ=2）+P（ξ=3）=1∴a+13+16+16=1∴a=13．故为：1336.（x+1）4的展开式中x2的系数为（）A．4B．6C．10D．20答案：（x+1）4的展开式的通项为Tr+1=C4rxr令r=2得T3=C42x2=6x∴展开式中x2的系数为6故选项为B37.若数列{an}（n∈N+）为等差数列，则数列bn=a1+a2+a3+…+ann(n∈N+)也为等差数列，类比上述性质，相应地，若数列{cn}是等比数列且cn＞0（n∈N+），则有数列dn=______（n∈N+）也是等比数列．答案：从商类比开方，从和类比到积，可得如下结论：nC1C2C3Cn故为：nC1C2C3Cn38.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB+AD=λAO，则λ=______．答案：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴AB+AD=AC，又O为AC的中点，∴AC=2AO，∴AB+AD=2AO，∵AB+AD=λAO，∴λ=2．故为：2．39.直线y=2x与直线x+y=3的交点坐标是

______．答案：联立两直线方程得y=2xx+y=3，解得x=1y=2所以直线y=2x与直线x+y=3的交点坐标是（1，2）故为（1，2）．40.不等式x+x3≥0的解集是（

）。答案：{x|x≥0}41.直线L1：x-y=0与直线L2：x+y-10=0的交点坐标是（）

A．（5，5）

B．（5，-5）

C．（-1，1）

D．（1，1）答案：A42.抛掷甲、乙两骰子，记事件A：“甲骰子的点数为奇数”；事件B：“乙骰子的点数为偶数”，则P（B|A）的值等于（）

A．

B．

C．

D．答案：B43.如图所示，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点.求AB与平面BDF所成角的正弦值.答案：AB与平面BDF所成角的正弦值为.解析：以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2），F（1，0，1）.∴=（0，2，1），=（1，-2，0）.设平面BDF的一个法向量为n=（2，a，b），∵n⊥，n⊥，∴即解得a=1，b=-2.∴n=（2，1，-2）.设AB与平面BDF所成的角为，则法向量n与的夹角为-，∴cos（-）===,即sin=,故AB与平面BDF所成角的正弦值为.44.过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F1构成的△ABF2的周长为（）

A．2

B．2

C．4

D．8答案：C45.（难线性运算、坐标运算）已知0＜x＜1，0＜y＜1，求M=x2+y2+x2+(1-y)2+(1-x)2+y2+(1-x)2+(1-y)2的最小值．答案：设A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），P（x，y），则M=|PA|+|PD|+|PB|+|PC|=(|PA|+|PC|)+(|PB|+|PD|)=(|AP|+|PC|)+(|BP|+|PD|)≥|AP+PC|+|BP+PD|=|AC|+|BD|．而AC=(1，1)，BD=(-1，1)，得|AC|+|BD|=2+2=22．∴M≥22，当AP与PC同向，BP与PD同向时取等号，设PC=λAP，PD=μBP，则1-x=λx，1-y=λy，-x=μx-μ，1-y=μy，解得λ=μ=1，x=y=12．所以，当x=y=12时，M的最小值为22．46.设U={三角形}，M={直角三角形}，N={等腰三角形}，则M∩N=______．答案：∵M={直角三角形}，N={等腰三角形}，∴M∩N={直角三角形且等腰三角形}={等腰直角三角形}故为{等腰直角三角形}47.某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意的连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．答案：依题意，随机变量ξ～B（2，5%）．所以，P（ξ=0）=C20（95%）2=0.9025，P（ξ=1）=C21（5%）（95%）=0.095P（ξ=2）=C22（5%）2=0.0025因此，次品数ξ的概率分布是：48.（选做题）参数方程中当t为参数时，化为普通方程为（

）。答案：x2-y2=149.安排6名演员的演出顺序时，要求演员甲不第一个出场，也不最后一个出场，则不同的安排方法种数是（）

A．120

B．240

C．480

D．720答案：C50.用“辗转相除法”求得和的最大公约数是（

）A．B．C．D．答案：D解析：是和的最大公约数，也就是和的最大公约数第3卷一.综合题(共50题)1.圆C1x2+y2-4y-5=0与圆C2x2+y2-2x-2y+1=0位置关系是（）

A．内含

B．内切

C．相交

D．外切答案：A2.若双曲线与椭圆x216+y225=1有相同的焦点，与双曲线x22-y2=1有相同渐近线，求双曲线方程．答案：依题意可设所求的双曲线的方程为y2-x22=λ(λ＞0)…（3分）即y2λ-x22λ=1…（5分）又∵双曲线与椭圆x216+y225=1有相同的焦点∴λ+2λ=25-16=9…（9分）解得λ=3…（11分）∴双曲线的方程为y23-x26=1…（13分）3.直线x=1和函数y=f（x）的图象的公共点的个数为______．答案：由函数定义知当函数在x=1处有定义时，直线x=1和函数y=f（x）的图象的公共点的个数为1，若函数在x=1处有无定义时，直线x=1和函数y=f（x）的图象的公共点的个数为0故线x=1和函数y=f（x）的图象的公共点的个数为0或1故为0或14.设集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，则集合A∪B=（）A．{1，3，1，2，4，5}B．{1}C．{1，2，3，4，5}D．{2，3，4，5}答案：∵集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，∴集合A∪B={1，2，3，4，5}．故选C．5.曲线y=log2x在M=0110作用下变换的结果是曲线方程______．答案：设P（x，y）是曲线y=log2x上的任一点，P1（x′，y′）是P（x，y）在矩阵M=0110对应变换作用下新曲线上的对应点，则x′y′=0110xy=yx（3分）即x′=yy′=x，所以x=y′y=x′，（6分）将x=y′y=x′代入曲线y=log2x，得x′=log2y′，（8分）即y′=2x′曲线y=log2x在M=0110作用下变换的结果是曲线方程y=2x故为：y=2x6.点A（-，1）关于y轴的对称点A′的坐标为（

）

A．(-，-1)

B．(，-1)

C．(-，1)

D．(，1)答案：D7.函数y=ax2+a与（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）

A．

B．

C．

D．

答案：D8.用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，则假设的内容是（）

A．三角形中有两个内角是钝角

B．三角形中有三个内角是钝角

C．三角形中至少有两个内角是钝角

D．三角形中没有一个内角是钝角答案：C9.已知二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的增广矩阵是1-11113，则此方程组的解是______．答案：由题意，方程组

x-

y=1x+y=3解之得x=2y=1故为x=2y=110.（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（）A．6B．7C．8D．9答案：二项式展开式的通项为Tr+1=3rCnrxr∴展开式中x5与x6的系数分别是35Cn5，36Cn6∴35Cn5=36Cn6解得n=7故选B11.不等式log32x-log3x2-3＞0的解集为（）

A．（，27）

B．（-∞，-1）∪（27，+∞）

C．（-∞，）∪（27，+∞）

D．（0，）∪（27，+∞）答案：D12.一位母亲记录了她的儿子3～9岁的身高数据，并由此建立身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93，用这个模型预测她的儿子10岁时的身高，则正确的叙述是（）A．身高一定是145.83

cmB．身高在145.83

cm以上C．身高在145.83

cm左右D．身高在145.83

cm以下答案：∵身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93．∴可以预报孩子10岁时的身高是y=7.19x+73.93．=7.19×10+73.93=145.83则她儿子10岁时的身高在145.83cm左右．故选C．13.求过点A（2，3）且被两直线3x+4y-7=0，3x+4y+8=0截得线段为32的直线方程．答案：设所求直线l的斜率为k，∵|MN|=32，又在Rt△MNB中，|MB|=3，∴∠MNB=45°，即2条直线的夹角为45°，∴|

k-(-34)1+k(-34)|=tan45°=1，解得k=17，或k=-7，所求直线的方程为y-3=17（x-2），或y-3=-7（x-2），即x-7y+19=0，或7x+y-17=0．14.圆锥的侧面展开图是一个半径长为4的半圆，则此圆锥的底面半径为

______．答案：设圆锥的底面半径为R，则由题意得，2πR=π×4，即R=2，故为：2．15.设a=log32，b=log23，c=，则（）

A．c＜b＜a

B．a＜c＜b

C．c＜a＜b

D．b＜c＜a答案：C16.如图，F是定直线l外的一个定点，C是l上的动点，有下列结论：若以C为圆心，CF为半径的圆与l相交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与圆C过F的切线相交于点P和点Q，则必在以F为焦点，l为准线的同一条抛物线上．

（Ⅰ）建立适当的坐标系，求出该抛物线的方程；

（Ⅱ）对以上结论的反向思考可以得到另一个命题：“若过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于P、Q两点，则以PQ为直径的圆一定与抛物线的准线l相切”请问：此命题是正确？试证明你的判断；

（Ⅲ）请选择椭圆或双曲线之一类比（Ⅱ）写出相应的命题并证明其真假．（只选择一种曲线解答即可，若两种都选，则以第一选择为平分依据）答案：（Ⅰ）过F作l的垂线交l于K，以KF的中点为原点，KF所在直线为x轴建立平面直角坐标系如图1，并设|KF|=p，则可得该抛物线的方程为

y2=2px（p＞0）；（Ⅱ）该命题为真命题，证明如下：如图2，设PQ中点为M，P、Q、M在抛物线准线l上的射影分别为A、B、D，∵PQ是抛物线过焦点F的弦，∴|PF|=|PA|，|QF|=|QB|，又|MD|是梯形APQB的中位线，∴|MD=12(|PA|+|QB|)=12(|PF|+|QF|)=|PQ|2．∵M是以PQ为直径的圆的圆心，∴圆M与l相切．（Ⅲ）选择椭圆类比（Ⅱ）所写出的命题为：“过椭圆一焦点F的直线与椭圆交于P、Q两点，则以PQ为直径的圆与椭圆相应的准线l相离”．此命题为真命题，证明如下：证明：设PQ中点为M，椭圆的离心率为e，则0＜e＜1，P、Q、M在相应准线l上的射影分别为A、B、D，∵|PF|PA=e，∴|PA|=|PF|e，同理得|QB|=|QF|e．∵MD是梯形APQB的中位线，∴|MD|=|PA|+|QB|2=12(|PF|e+|QF|e)=|PQ|2e＞|PQ|2，∴圆M与准线l相离．选择双曲线类比（Ⅱ）所写出的命题为：“过双曲线一焦点F的直线与双曲线交于P、Q两点，则以PQ为直径的圆与双曲线相应的准线l相交”．此命题为真命题，证明如下：证明：设PQ中点为M，椭圆的离心率为e，则e＞1，P、Q、M在相应准线l上的射影分别为A、B、D，∵|PF|PA=e，∴|PA|=|PF|e，同理得|QB|=|QF|e．∵MD是梯形APQB的中位线，∴|MD|=|PA|+|QB|2=12(|PF|e+|QF|e)=|PQ|2e＜|PQ|2，∴圆M与准线l相交．17.若a＜b＜c，x＜y＜z，则下列各式中值最大的一个是（）

A．ax+cy+bz

B．bx+ay+cz

C．bx+cy+az

D．ax+by+cz答案：D18.若向量a=（-1，2），b=（-4，3），则a在b方向上的投影为（）A．2B．22C．23D．10答案：设a与

b的夹角为θ，则cosθ=a•b|a|•|b|=4+65×5=25，∴则a在b方向上的投影为|a|•cosθ=5×25=2，故选A．19.已知平面向量.a，b的夹角为60°，.a=（3，1），|b|=1，则|.a+2b|=______．答案：∵平面向量.a，b的夹角为60°，.a=（3，1），∴|.a|=2.b2

再由|b|=1，可得.a?b=2×1cos60°=1，∴|.a+2b|=(.a+2b)2=a2+4a?b+4b2=23，故为23．20.若直线3x+4y+m=0与曲线x=1+cosθy=-2+sinθ（θ为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是

______．答案：∵曲线x=1+cosθy=-2+sinθ（θ为参数）的普通方程是（x-1）2+（y+2）2=1则圆心（1，-2）到直线3x+4y+m=0的距离d=|3•1+4(-2)+m|32+42=|m-5|5，令|m-5|5＞1，得m＞10或m＜0．故为：m＞10或m＜0．21.已知a=(2，-1，1)，b=(-1，4，-2)，c=(λ，5，1)，若向量a，b，c共面，则λ=______．答案：∵a、b、c三向量共面，∴c=xa+yb，x，y∈R，∴（λ，5，1）=（2x，-x，x）+（-y，4y，-2y）=（2x-y，-x+4y，x-2y），∴2x-y=λ，-x+4y=5，x-2y=1，解得x=7，y=3，λ=11；故为；

11．22.铁路托运行李，从甲地到乙地，按规定每张客票托运行李不超过50kg时，每千克0.2元，超过50kg时，超过部分按每千克0.25元计算，画出计算行李价格的算法框图．答案：程序框图：23.设复数z的实部是

12，且|z|=1，则z=______．答案：设复数z的虚部等于b，b∈z，由复数z的实部是12，且|z|=1，可得14+b2=1，∴b=±32，故z=12±32i．故为：12±32i．24.曲线x=t+1ty=12(t+1t)（t为参数）的直角坐标方程是______．答案：∵曲线C的参数方程x=t+1ty=12(t+1t)（t为参数）x=t+1t≥2，可得x的限制范围是x≥2，再根据x2=t+1t+2，∴t+1t=x2-2，可得直角坐标方程是：x2=2（y+1），（x≥2），故为：x2=2（y+1），（x≥2）．25.已知点A（-1，-2），B（2，3），若直线l：x+y-c=0与线段AB有公共点，则直线l在y轴上的截距的取值范围是（）

A．[-3，5]

B．[-5，3]

C．[3，5]

D．[-5，-3]答案：A26.4位学生与2位教师并坐合影留念，针对下列各种坐法，试问：各有多少种不同的坐法？（用数字作答）

（1）教师必须坐在中间；

（2）教师不能坐在两端，但要坐在一起；

（3）教师不能坐在两端，且不能相邻．答案：（1）先排4位学生，有A44种坐法，2位教师坐在中间，可以交换位置，有A22种坐法，则共有A22A44=48种坐法；（2）先排4位学生，有A44种坐法，2位教师坐在一起，将其看成一个整体，可以交换位置，有2种坐法，将这个“整体”插在4个学生的空位中，又由教师不能坐在两端，则有3个空位可选，则共有2A44A31=144种坐法；（3）先排4位学生，有A44种坐法，教师不能相邻，将其依次插在4个学生的空位中，又由教师不能坐在两端，则有3个空位可选，有A32种坐法，则共有A44A32=144种坐法．．27.如图，以1×3方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？

答案：模为1的向量；模为2的向量；模为3的向量；模为2的向量；模为5的向量；模为10的向量共有6个模，进而分析方向，正方形的边对应的向量共有四个方向，边长为1的正方形的对角线对应的向量共四个方向；1×2的矩形的对角线对应的向量共四个方向；1×3的矩形对角线对应的向量共有四个方向共有16个方向28.与双曲线x2-y24=1有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为______．答案：设双曲线方程为x2-y24=λ∵过点（2，2），∴λ=3∴所求双曲线方程为x23-y212=1故为x23-y212=129.已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，则的值（）

A．3

B．

C．2

D．答案：B30.某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．

若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？答案：设买x张游泳卡，总开支为y元，则每批去x名同学，共需去48×8x=384x批，总开支又分为：①买卡所需费用240x；②包车所需费用384x×40．∴y=240x+384x×40（0＜x≤48，x∈Z）．因此，y=240（x+64x）≥240×2x?64x=3840当且仅当x=64x时，即x=8时取等号．∴当x=8时，总开支y的最大值为3840元，此时每人最少应交384048=80（元）．答：若使每个同学游8次，每人最少应交80元钱．31.已知集合M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N．求a、b的值．答案：由M=N及集合中元素的互异性，得a=2ab=b2

①或a=b2b=2a

②解①得：a=0b=1或a=0b=0，解②得：a=14b=12，当a=0b=0时，违背了集合中元素的互异性，所以舍去，故a、b的值为a=0b=1或a=14b=12．32.如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°．且|OA|=1，|OB|=1，|OC|=23，若|OC|=λOA+μOB(λ，μ∈R)，求λ+μ的值．答案：如图，OC=OD+OE=λOA+μOB，在△OCD中，∠OD=30°，∠OCD=∠COB=90°，可求|OD|=4，同理可求|OE|=2，∴λ=4，μ=2，∴λ+μ=6．33.已知随机变量x服从二项分布x～B（6，），则P（x=2）=（）

A．

B．

C．

D．答案：D34.{，，}=是空间向量的一个基底，设=+，=+，=+，给出下列向量组：①{，，}，②{，}，③{，，}，④{，，}，其中可以作为空间向量基底的向量组有（）组．

A．1

B．2

C．3

D．4答案：C35.如图为某公司的组织结构图，则后勤部的直接领导是______．

答案：有已知中某公司的组织结构图，可得专家办公室直接领导：财务部，后勤部和编辑部三个部门，故后勤部的直接领导是专家办公室．故为：专家办公室．36.与

向量

=(2，-1，2)共线且满足方程=-18的向量为（）

A．不存在

B．-2

C．（-4，2，-4）

D．（4，-2，4）答案：D37.已知函数f1（x）=x2，f2（x）=2x，f3（x）=log2x，f4（x）=sinx．当x1＞x2＞π时，使f(x1)+f(x2)2＜f(x1+x22)恒成立的函数是（）A．f1（x）=x2B．f2（x）=2xC．f3（x）=log2xD．f4（x）=sinx答案：由题意，当x1＞x2＞π时，使f(x1)+f(x2)2＜f(x1+x22)恒成立，图象呈上凸趋势由于f1（x）=x2，f2（x）=2x，f4（x）=sinx在