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文档简介
长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年四川财经职业学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.为求方程x5-1=0的虚根,可以把原方程变形为(x-1)(x2+ax+1)(x2+bx+1)=0,由此可得原方程的一个虚根为______.答案:由题可知(x-1)(x2+ax+1)(x2+bx+1)=(x-1)[x4+(a+b)x3+(2+ab)x2+(a+b)x+1]比较系数可得a+b=1ab+2=1,∴a=1+52,b=1-52∴原方程的一个虚根为-1-5±10-25i4,-1+5±10+25i4中的一个故为:-1-5+10-25i4.2.阅读下面的程序框图,该程序运行后输出的结果为______.答案:循环前,S=0,A=1,第1次判断后循环,S=1,A=2,第2次判断并循环,S=3,A=3,第3次判断并循环,S=6,A=4,第4次判断并循环,S=10,A=5,第5次判断并循环,S=15,A=6,第6次判断并退出循环,输出S=15.故为:15.3.设P1(4,-3),P2(-2,6),且P在P1P2的延长线上,使||=2||,则点P的坐标
()
A.(-8,15)
B.(0,3)
C.(-,)
D.(1,)答案:A4.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)
A.(不等式选做题)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是______.
B.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是______.
C.(几何证明选做题)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF=CF=22,BE=1,BF=2,若CE与圆相切,则线段CE的长为______.答案:A.∵|x-5|+|x+3|≥10,∴当x≥5时,x-5+x+3≥10,∴x≥6;当x≤-3时,有5-x+(-x-3)≥10,∴x≤-4;当-4<x<5时,有5-x+x+3≥8,不成立;故不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是{x|x≤-4或x≥6};B.由ρ=-2sinθ得:ρ2=-2ρsinθ,即x2+y2=-2y,∴x2+(y+1)2=1,∴该圆的圆心的直角坐标为(-1,0),∴其极坐标是(1,3π2);C.∵DF=CF=22,BE=1,BF=2,依题意,由相交线定理得:AF•FB=DF•FC,∴AF×2=22×22,∴AF=4;又∵CE与圆相切,∴|CE|2=|EB|•|EA|=1×(1+2+4)=7,∴|CE|=7.故为:A.{x|x≤-4或x≥6};B.(1,3π2);C.7.5.P是△ABC所在平面上的一点,且满足,若△ABC的面积为1,则△PAB的面积为()
A.
B.
C.
D.答案:B6.若函数,则下列结论正确的是(
)A.,在上是增函数B.,在上是减函数C.,是偶函数D.,是奇函数答案:C解析:对于时有是一个偶函数7.已知:空间四边形ABCD,AB=AC,DB=DC,求证:BC⊥AD.答案:取BC的中点为E,∵AB=AC,∴AE⊥BC.∵DB=DC,∴DE⊥BC.这样,BC就和平面ADE内的两条相交直线AE、DE垂直,∴BC⊥面ADE,∴BC⊥AD.8.方程4x-3×2x+2=0的根的个数是(
)
A.0
B.1
C.2
D.3答案:C9.若直线l过抛物线y=ax2(a>0)的焦点,并且与y轴垂直,若l被抛物线截得的线段长为4,则a=______.答案:抛物线方程整理得x2=1ay,焦点(0,14a)l被抛物线截得的线段长即为通径长1a,故1a=4,a=14;故为14.10.下列命题错误的是(
)A.命题“若,则中至少有一个为零”的否定是:“若,则都不为零”。B.对于命题,使得;则是,均有。C.命题“若,则方程有实根”的逆否命题为:“若方程无实根,则”。D.“”是“”的充分不必要条件。答案:A解析:命题的否定是只否定结论,∴选A.11.设a、b为单位向量,它们的夹角为90°,那么|a+3b|等于______.答案:∵a,b它们的夹角为90°∴a?b=0∴(a+3b)2=a2+6a?b+9b2=10∴|a+3b|=10故为1012.已知向量=(1,2),=(2,x),且=-1,则x的值等于()
A.
B.
C.
D.答案:D13.如图,若直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则k1,k2,k3三个数从小到大的顺序依次是______.答案:由函数的图象可知直线l1,l2,l3的斜率满足k1<0<k3<k2所以k1,k2,k3三个数从小到大的顺序依次是k1,k3,k2故为:k1,k3,k2.14.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为()
A.0.9
B.0.5
C.0.6
D.0.8答案:D15.若纯虚数z满足(2-i)z=4-bi,(i是虚数单位,b是实数),则b=()
A.-2
B.2
C.-8
D.8答案:C16.已知三个向量a,b,c不共面,并且p=a+b-c,q=2a-3b-5c,r=-7a+18b+22c,向量p,q,r是否共面?答案:解:实数λ,μ,使p=λq+μr,则a+b-c=(2λ-7μ)a+(-3λ+18μ)b+(-5λ+22μ)c∵a,b,c不共面,∴∴即存在实数,,使p=λq+μr,故向量p、q、r共面.17.______称为向量;常用
______表示,记为
______,又可用小写字线表示为
______.答案:既有大小,又有方向的量叫做向量;表示方法:①常用有带箭头的线段来表示,记为有向线段AB,②又可用小写字线表示为:a,b,c…,故为:既有大小,又有方向的量;有带箭头的线段,有向线段AB,a,b,c….18.对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本,若每个零件被抽取的概率为0.25,则N等于()A.150B.200C.120D.100答案:∵每个零件被抽取的概率都相等,∴30N=0.25,∴N=120.故选C.19.集合{x∈N*|
12
x
∈Z}中含有的元素个数为()
A.4
B.6
C.8
D.12答案:B20.参数方程x=3cosθy=4sinθ,(θ为参数)化为普通方程是______.答案:由参数方程x=3cosθy=4sinθ,得cosθ=13xsinθ=14y∵cos2θ+sin2θ=1,∴(13x)2+(14y)2=1,化简得x29+y216=1,即为椭圆的普通方程故为:x29+y216=121.已知函数f(x)=|log2x-1|+|log2x-2|,解不等式f(x)>4.答案:f(x)=|log2x-1|+|log2x-2|,取绝对值得:f(x)=3-2log2x,0<x<21,2≤x≤42log2x-3,x>4所以f(x)>4等价于:0<x≤23-2log2x>4或x≥42log2x-3>4,解得:0<x<22或x>82.22.若x,y∈R,x>0,y>0,且x+2y=1,则xy的最大值为______.答案:∵x,y∈R,x>0,y>0,且x+2y=1,∴1=x+2y≥2x?2y,∴22×xy≤1,∴xy≤
122=24,所以xy≤18.当且仅当x=2yx+2y=1时,即x=12,y=14时,取等号.故为:18.23.在直角坐标系xoy
中,已知曲线C1:x=t+1y=1-2t(t为参数)与曲线C2:x=asinθy=3cosθ(θ为参数,a>0
)
有一个公共点在X轴上,则a等于______.答案:曲线C1:x=t+1y=1-2t(t为参数)化为普通方程:2x+y-3=0,令y=0,可得x=32曲线C2:x=asinθy=3cosθ(θ为参数,a>0
)化为普通方程:x2a2+y29=1∵两曲线有一个公共点在x轴上,∴94a2=1∴a=32故为:3224.若P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B的关系是()
A.互斥事件
B.对立事件
C.不是互斥事件
D.前者都不对答案:D25.直线L1:ax+3y+1=0,L2:2x+(a+1)y+1=0,若L1∥L2,则a的值为(
)
A.-3
B.2
C.-3或2
D.3或-2答案:A26.下列函数中,定义域为(0,+∞)的是()A.y=1xB.y=xC.y=1x2D.y=12x答案:由于函数y=1x的定义域为(0,+∞),函数y=x的定义域为[0,+∞),函数y=1x2的定义域为{x|x≠0},函数y=12x的定义域为R,故只有A中的函数满足定义域为(0,+∞),故选A.27.已知集合{2x,x+y}={7,4},则整数x=______,y=______.答案:∵{2x,x+y}={7,4},∴2x=4x+y=7或2x=7x+y=4解得x=2y=5或x=3.5y=0.5不是整数,舍去故为:2,528.若直线y=x+b与圆x2+y2=2相切,则b的值为(
)
A.±4
B.±2
C.±
D.±2
答案:B29.如图,在长方体OAEB-O1A1E1B1中,OA=3,OB=4,OO1=2,点P在棱AA1上,且AP=2PA1,点S在棱BB1上,且SB1=2BS,点Q、R分别是O1B1、AE的中点,求证:PQ∥RS.答案:证明:如图,建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0,2),A1(3,0,2),B1(0,4,2),E(3,4,0),∵AP=2PA1,∴AP=2PA1=23AA1,即AP=23(0,0,2)=(0,0,43),∴P(3,0,43)同理可得,Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,23),∴PQ=(-3,2,23)=RS,∴PQ∥RS,∵R∉PQ,∴PQ∥RS30.将直线y=x绕原点逆时针旋转60°,所得直线的方程为()
A.y=-x
B.
C.y=-3x
D.答案:A31.已知点P1的球坐标是P1(4,,),P2的柱坐标是P2(2,,1),则|P1P2|=()
A.
B.
C.
D.4答案:A32.由9个正数组成的矩阵
中,每行中的三个数成等差数列,且a11+a12+a13,a21+a22+a23,a31+a32+a33成等比数列,给出下列判断:①第2列a12,a22,a32必成等比数列;②第1列a11,a21,a31不一定成等比数列;③a12+a32≥a21+a23;④若9个数之和等于9,则a22≥1.其中正确的个数有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个答案:B33.平面ABCD中,点A坐标为(0,1,1),点B坐标为(1,2,1),点C坐标为(-1,0,-1).若向量a=(-2,y,z),且a为平面ABC的法向量,则yz=()A.2B.0C.1D.-1答案:AB=(1,1,0),AC=(-1,-1,-2),与平面ABC垂直的向量应与上面的向量的数量积为零,向量a=(-2,y,z),且a为平面ABC的法向量,则a⊥AB且a⊥AC,即a•AB=0,且a•AC=0,即-2+y+0=0且2-y-2z=0,即y=2z=0,∴则yz=20=1,故选C.34.己知△ABC的外心、重心、垂心分别为O,G,H,若,则λ=()
A.3
B.2
C.
D.答案:A35.已知O是空间任意一点,A、B、C、D四点满足任三点均不共线,但四点共面,且=2x+3y+4z,则2x+3y+4z=(
)答案:﹣136.已知抛物线的参数方程为(t为参数),其中p>0,焦点为F,准线为l,过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则p=(
)。答案:237.欲对某商场作一简要审计,通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销售总额.现采用如下方法:从某本50张的发票存根中随机抽一张,如15号,然后按序往后将65号,115号,165号,…发票上的销售额组成一个调查样本.这种抽取样本的方法是()A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.其它方式的抽样答案:∵总体的个体比较多,抽样时某本50张的发票存根中随机抽一张,如15号,这是系统抽样中的分组,然后按序往后将65号,115号,165号,…发票上的销售额组成一个调查样本.故选B.38.在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N+).(Ⅰ)求a2,a3,a4,并猜想数列{an}的通项公式(不必证明);(Ⅱ)证明:当λ≠0时,数列{an}不是等比数列;(Ⅲ)当λ=1时,试比较an与n2+1的大小,证明你的结论.答案:(Ⅰ)∵a1=2,∴a2=λa1+λ2+2(2-λ)=λ2+4,同理可得,a3=2λ3+8,a4=3λ4+16,猜想an=(n-1)λn+2n.(Ⅱ)假设数列{an}是等比数列,则a1,a2,a3也成等比数列,∴a22=a1•a3⇒(λ2+4)2=2(2λ3+8)⇒λ4-4λ3+8λ2=0,∵λ≠0,∴λ2-4λ+8=0,即(λ-2)2+4=0,但(λ-2)2+4>0,矛盾,∴数列{an}不是等比数列.(Ⅲ)∵λ=1,∴an=(n+1)+2n,∴an-(n2+1)=2n-(n2-n+2),∵当n=1,2,3时,2n=n2-n+2,∴an=n2+1.当n≥4时,猜想2n>n2-n+2,证明如下:当n=4时,显然2k>k2-4+2假设当n=k≥4时,猜想成立,即2k>k2-k+2,则当n=k+1时,2k+1=2•2k>2(k2-k+2),∵2(k2-k+2)-[(k+1)20-(k+1)+2]=(k-1)(k-2)>0∴2k+1>2(k2-k+2)>(k+1)2-(k+1)+2,∴当n≥4时,猜想2n>n2-n+2成立,∴当n≥4时,an>n2+1.39.下列各组向量中不平行的是()A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0)C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)D.g=(-2,3,5),h=(16,24,40)答案:选项A中,b=-2a⇒a∥b;选项B中有:d=-3c⇒d∥c,选项C中零向量与任意向量平行,选项D,事实上不存在任何一个实数λ,使得g=λh,即:(16,24,40)=λ(16,24,40).故应选:D40.已知圆的极坐标方程ρ=2cosθ,直线的极坐标方程为ρcosθ-2ρsinθ+7=0,则圆心到直线距离为
______.答案:由ρ=2cosθ⇒ρ2=2ρcosθ⇒x2+y2-2x=0⇒(x-1)2+y2=1,ρcosθ-2ρsinθ+7=0⇒x-2y+7=0,∴圆心到直线距离为:d=1-2×0+712+22=855.故为:855.41.如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D.AD=2,AC=25,则AB=______.答案:∵AB是直径,∴△ABC是直角三角形,∵C在直径AB上的射影为D,∴CD⊥AB,∴AC2=AD?AB,∴AB=AC2AD=202=10,故为:1042.设函数f(x)定义如下表,数列{xn}满足x0=5,且对任意自然数均有xn+1=f(xn),则x2004的值为()
A.1B.2C.4D.5答案:由于函数f(x)定义如下表:故数列{xn}满足:5,2,1,4,5,2,1,…是一个周期性变化的数列,周期为:4.∴x2004=x0=5.故选D.43.与函数y=x相等的函数是()A.f(x)=(x)2B.f(x)=x2xC.f(x)=x2D.f(x)=3x3答案:对于A,f(x)=x(x≥0),不符合;对于B,f(x)=x(x≠0),不符合;对于C,f(x)=|x|(x∈R),不符合;对于D,f(x)=x(x∈R),符合;故选D.44.在数列{an}中,a1=1,an+1=2a
n2+an(n∈N*),
(1)计算a2,a3,a4
(2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明.答案:(1):a2=2a
12+a1=23,a3=2a
22+a2=24,a4=2a
32+a3=25,(2):猜想an=2n+1下面用数学归纳法证明这个猜想.①当n=1时,a1=1,命题成立.②假设n=k时命题成立,即ak=2k+1当n=k+1时ak+1=2a
k2+ak=2×2k+12+2k+1(把假设作为条件代入)=42(k+1)+2=2(k+1)+1由①②知命题对一切n∈N*均成立.45.若a2+b2=c2,求证:a,b,c不可能都是奇数.答案:证明:假设a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数,得a2+b2为偶数,而c2为奇数,即a2+b2≠c2,这与a2+b2=c2相矛盾,所以假设不成立,故原命题成立.46.下列说法中正确的是()A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真B.“a>b”与“a+c>b+c”不等价C.“a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0,则a2+b2≠0”D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真答案:A、逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系,故A错误;B、由不等式的性质可知,“a>b”与“a+c>b+c”等价,故B错误;C、“a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b不全为0,则a2+b2≠0”,故C错误;D、否命题和逆命题是互为逆否命题,有着一致的真假性,故D正确;故选D47.位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向向左或向右,并且向左移动的概率为,向右移动的概率为,则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是()
A.
B.
C.
D.答案:D48.在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,若AC′=xAB+2yBC-3zC′C,则x+y+z等于______.答案:根据向量的加法法则可得,AC′=AC+CC′=AB+BC+CC′∵AC′=xAB+2yBC-3zC′C∴x=1,2y=1,-3z=1∴x=1,y=12,z=-13∴x+y+z=1+12-13=76故为:7649.假设两圆互相外切,求证:用连心线做直径的圆,必与前两圆的外公切线相切.答案:证明:设⊙O1及⊙O2为互相外切的两个圆,其一外公切线为A1A2,切点为A1及A2令点O为连心线O1O2的中点,过O作OA⊥A1A2,由直角梯形的中位线性质得:OA=12(O1A1+O2A2)=12O1O2,∴以O1O2为直径,即以O为圆心,OA为半径的圆必与直线A1A2相切,同理可证,此圆必切于⊙O1及⊙O2的另一条外公切线.50.一组数据12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50的中位数是()
A.31
B.36
C.35
D.34答案:B第2卷一.综合题(共50题)1.命题“若A∩B=A,则A∪B=B”的逆否命题是()A.若A∪B=B,则A∩B=AB.若A∩B≠A,则A∪B≠BC.若A∪B≠B,则A∩B≠AD.若A∪B≠B,则A∩B=A答案:∵“A∩B=A”的否定是“A∩B≠A”,∴命题“若A∩B=A,则A∪B=B”的逆否命题是“若A∪B≠B,则A∩B≠A”.故选C.2.过点(-3,-1),且与直线x-2y=0平行的直线方程为______.答案:直线l经过点(-3,-1),且与直线x-2y=0平行,直线的斜率为12所以直线l的方程为:y+1=12(x+3)即x-2y+1=0.故为:x-2y+1=0.3.如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P.若PB=1,PD=3,则BCAD的值为______.答案:因为A,B,C,D四点共圆,所以∠DAB=∠PCB,∠CDA=∠PBC,因为∠P为公共角,所以△PBC∽△PAD,所以BCAD=PBPD=13.故为:13.4.已知随机变量X~B(n,0.8),D(X)=1.6,则n的值是()
A.8
B.10
C.12
D.14答案:B5.定义:若函数f(x)对于其定义域内的某一数x0,有f(x0)=x0,则称x0是f(x)的一个不动点。
已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)。
(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;
(2)若对任意的实数b,函数f(x)恒有两个不动点,求a的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若y=f(x)图象上两个点A、B的横坐标是函数f(x)的不动点,且A、B的中点C在函数g(x)=-x+的图象上,求b的最小值。
(参考公式:A(x1,y1),B(x2,y2)的中点坐标为)
答案:解:(1)f(x)=x2-x-3,由x2-x-3=0,解得x=3或x=-1,所以所求的不动点为-1或3。(2)令ax2+(b+1)x+b+1=x,则ax2+bx+b-1=0,①由题意,方程①恒由两个不等实根,所以△=b2-4a(b-1)>0,即b2-4ab+4a>0对任意的b∈R恒成立,则△′=16a2-16a<0,故0(3)依题意,设,则AB中点C的坐标为,又AB的中点在直线上,∴,∴,又x1,x2是方程①的两个根,∴,∴,,∴,∴当时,bmin=-1。</a<1。6.如图,已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,则BD=______cm.答案:∵易知AB=32+42=5,又由切割线定理得BC2=BD?AB,∴42=BD?5∴BD=165.故为:1657.已知△ABC是边长为2a的正三角形,那么它的斜二侧所画直观图△A′B′C′的面积为()
A.a2
B.a2
C.a2
D.a2答案:C8.某车间工人已加工一种轴100件,为了了解这种轴的直径,要从中抽出10件在同一条件下测量(轴的直径要求为(20±0.5)mm),如何采用简单随机抽样方法抽取上述样本?答案:本题是一个简单抽样,∵100件轴的直径的全体是总体,将其中的100个个体编号00,01,02,…,99,利用随机数表来抽取样本的10个号码,可以从表中的第20行第3列的数开始,往右读数,得到10个号码如下:16,93,32,43,50,27,89,87,19,20将上述号码的轴在同一条件下测量直径.9.一位运动员投掷铅球的成绩是14m,当铅球运行的水平距离是6m时,达到最大高度4m.若铅球运行的路线是抛物线,则铅球出手时距地面的高度是()
A.2.25m
B.2.15m
C.1.85m
D.1.75m
答案:D10.在空间直角坐标系中,已知两点P1(-1,3,5),P2(2,4,-3),则|P1P2|=()
A.
B.3
C.
D.答案:A11.在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N+).(Ⅰ)求a2,a3,a4,并猜想数列{an}的通项公式(不必证明);(Ⅱ)证明:当λ≠0时,数列{an}不是等比数列;(Ⅲ)当λ=1时,试比较an与n2+1的大小,证明你的结论.答案:(Ⅰ)∵a1=2,∴a2=λa1+λ2+2(2-λ)=λ2+4,同理可得,a3=2λ3+8,a4=3λ4+16,猜想an=(n-1)λn+2n.(Ⅱ)假设数列{an}是等比数列,则a1,a2,a3也成等比数列,∴a22=a1•a3⇒(λ2+4)2=2(2λ3+8)⇒λ4-4λ3+8λ2=0,∵λ≠0,∴λ2-4λ+8=0,即(λ-2)2+4=0,但(λ-2)2+4>0,矛盾,∴数列{an}不是等比数列.(Ⅲ)∵λ=1,∴an=(n+1)+2n,∴an-(n2+1)=2n-(n2-n+2),∵当n=1,2,3时,2n=n2-n+2,∴an=n2+1.当n≥4时,猜想2n>n2-n+2,证明如下:当n=4时,显然2k>k2-4+2假设当n=k≥4时,猜想成立,即2k>k2-k+2,则当n=k+1时,2k+1=2•2k>2(k2-k+2),∵2(k2-k+2)-[(k+1)20-(k+1)+2]=(k-1)(k-2)>0∴2k+1>2(k2-k+2)>(k+1)2-(k+1)+2,∴当n≥4时,猜想2n>n2-n+2成立,∴当n≥4时,an>n2+1.12.执行程序框图,如果输入的n是5,则输出的p是()
A.1
B.2
C.3
D.5
答案:D13.已知A、B、C三点共线,A分的比为λ=-,A,B的纵坐标分别为2,5,则点C的纵坐标为()
A.-10
B.6
C.8
D.10答案:D14.(1)已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;
(2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1,以下结论正确的是()
A.(1)的假设错误,(2)的假设正确
B.(1)与(2)的假设都正确
C.(1)的假设正确,(2)的假设错误
D.(1)与(2)的假设都错误答案:A15.2010年广州亚运会乒乓球男单决赛中,马龙与王皓在前三局的比分分别是9:11、11:8、11:7,已知马琳与王皓的水平相当,比赛实行“七局四胜”制,即先赢四局者胜,求(1)王皓获胜的概率;
(2)比赛打满七局的概率.(3)记比赛结束时的比赛局数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.答案:(1)在马龙先前三局赢两局的情况下,王皓取胜有两种情况.第一种是王皓连胜三局;第二种是在第四到第六局,王皓赢了两局,第七局王皓赢.在第一种情况下王皓取胜的概率为(12)3=18;在第二种情况下王皓取胜的概率为为C23(12)3×12=316,王皓获胜的概率18+316=516;(3分)(2)比赛打满七局有两种结果:马龙胜或王皓胜.记“比赛打满七局,马龙胜”为事件A,则P(A)=C13(12)3×12=316;记“比赛打满七局,王皓胜”为事件B,则P(B)=C23(12)3×12=316;因为事件A、B互斥,所以比赛打满七局的概率为P(A)+P(B)=38.(7分)(3)比赛结束时,比赛的局数为5,6,7,则打完五局马龙获胜的概率为12×12=14;打完六局马琳获胜的概率为C12(12)2×12=14,王皓取胜的概率为(12)3=18;比赛打满七局,马龙获胜的概率为C13(12)3×12=316,王皓取胜的概率为为C23(12)3×12=316;所以ξ的分布列为ξ567P(ξ)143838Eξ=5×14+6×38+7×38=498.(12分)16.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形,且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1,h2,h,则h1:h2:h3=()
A.:1:1
B.:2:2
C.:2:
D.:2:答案:B17.某房间有四个门,甲要各进、出这个房间一次,不同的走法有多少种?()
A.12
B.7
C.16
D.64答案:C18.对于5年可成材的树木,从栽种到5年成材的木材年生长率为18%,以后木材的年生长率为10%.树木成材后,既可以出售树木,重栽新树苗;也可以让其继续生长.问:哪一种方案可获得较大的木材量?(注:只需考虑10年的情形)(参考数据:lg2=0.3010,lg1.1=0.0414)答案:由题意,第一种得到的木材为(1+18%)5×2第二种得到的木材为(1+18%)5×(1+10%)5第一种除以第二种的结果为2(1+10%)5=21.61>1所以第一种方案可获得较大的木材量.19.若随机变量X的概率分布如下表,则表中a的值为()
X
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.3
a
A.1
B.0.8
C.0.3
D.0.2答案:D20.用反证法证明命题:“三角形的内角至多有一个钝角”,正确的假设是()
A.三角形的内角至少有一个钝角
B.三角形的内角至少有两个钝角
C.三角形的内角没有一个钝角
D.三角形的内角没有一个钝角或至少有两个钝角答案:B21.已知方程x2-6x+a=0的两个不等实根均大于2,则实数a的取值范围为()
A.[4,9)
B.(4,9]
C.(4,9)
D.(8,9)答案:D22.若函数f(x)=loga(x+b)的图象如图,其中a,b为常数.则函数g(x)=ax+b的大致图象是(
)
答案:D解析:试题分析:解:由函数f(x)=loga(x+b)的图象为减函数可知0<a<1,f(x)=loga(x+b)的图象由f(x)=logax向左平移可知0<b<1,故函数g(x)=ax+b的大致图象是D故选D.23.观察下列各式:1=0+1,2+3+4=1+8,5+6+7+8+9=8+27,…,猜想第5个等式应为______.答案:由题意,(i)等式左边为一段连续自然数之和,且最后一个和数恰为各等式序号的立方,最前一个和数恰为等式序号减1平方加1;(ii)等式右边均为两数立方和,且也与等式序号具有明显的相关性.故猜想第5个等式应为17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125故为:17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+12524.已知参数方程x=1+cosθy=sinθ,(参数θ∈[0,2π]),则该曲线上的点与定点A(-1,-1)的距离的最小值是
______.答案:∵参数方程x=1+cosθy=sinθ∴圆的方程为(x-1)2+y2=1∴定点A(-1,-1)到圆心的距离为5∴与定点A(-1,-1)的距离的最小值是d-r=5-1故为5-125.已知单位向量a,b的夹角为,那么|a+2b|=()
A.2
B.
C.2
D.4答案:B26.设a=20.3,b=0.32,c=log20.3,则用“>”表示a,b,c的大小关系式是______.答案:∵0<0.32<1,log20.3<0,20.3>1∴0.32<20.3<log20.3故为:a>b>c27.已知顶点在坐标原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为15,求此抛物线方程.答案:由题意可设抛物线的方程y2=2px(p≠0),直线与抛物线交与A(x1,y1),B(x2,y2)联立方程y2=2pxy=2x+1可得,4x2+(4-2p)x+1=0则x1+x2=12p-1,x1x2=14,y1-y2=2(x1-x2)AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2=5[(x1+x2)2-4x1x2
]=5(12p-1)2-5=15解得p=6或p=-2∴抛物线的方程为y2=12x或y2=-4x28.若三角形的内切圆半径为r,三边的长分别为a,b,c,则三角形的面积S=12r(a+b+c),根据类比思想,若四面体的内切球半径为R,四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,则此四面体的体积V=______.答案:设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.故为:13R(S1+S2+S3+S4).29.如图,△ABC中,D,E,F分别是边BC,AB,CA的中点,在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段中所表示的向量中,
(1)与向量FE共线的有
______.
(2)与向量DF的模相等的有
______.
(3)与向量ED相等的有
______.答案:(1)∵EF是△ABC的中位线,∴EF∥BC且EF=12BC,则与向量FE共线的向量是BC、BD、DC、CB、DB、CD;(2))∵DF是△ABC的中位线,∴DF∥AC且DF=12AC,则与向量DF的模相等的有CE,EA,EC,AF;(3)∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥AB且DE=12AB,则与向量ED相等的有AF,FB.30.已知向量表示“向东航行1km”,向量表示“向南航行1km”,则向量表示()
A向东南航行km
B.向东南航行2km
C.向东北航行km
D.向东北航行2km答案:A31.在极坐标中,由三条曲线θ=0,θ=,ρcosθ+ρsinθ=1围成的图形的面积是()
A.
B.
C.
D.答案:A32.直线y=kx+1与椭圆x29+y24=1的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定答案:∵直线y=kx+1过定点(0,1),把(0,1)代入椭圆方程的左端有0+14<1,即(0,1)在椭圆内部,∴直线y=kx+1与椭圆x29+y24=1必相交,
因此可排除B、C、D;
故选A.33.已知抛物线y2=4x上两定点A、B分别在对称轴两侧,F为焦点,且|AF|=2,|BF|=5,在抛物线的AOB一段上求一点P,使S△ABP最大,并求面积最大值.答案:不妨设点A在第一象限,B点在第四象限.如图.抛物线的焦点F(1,0),点A在第一象限,设A(x1,y1),y1>0,由|FA|=2得x1+1=2,x1=1,代入y2=4x中得y1=2,所以A(1,2),…(2分);同理B(4,-4),…(4分)由A(1,2),B(4,-4)得|AB|=(1-4)2+(2+4)2=35…(6分)直线AB的方程为y-2-4-2=x-14-1,化简得2x+y-4=0.…(8分)再设在抛物线AOB这段曲线上任一点P(x0,y0),且0≤x0≤4,-4≤y0≤2.则点P到直线AB的距离d=|2x0+y0-4|1+4=|2×y0
24+y0-4|5=|12(y0+1)2-92|5
…(9分)所以当y0=-1时,d取最大值9510,…(10分)所以△PAB的面积最大值为S=12×35×9510=274
…(11分)此时P点坐标为(14,-1).…(12分).34.P在⊙O外,PC切⊙O于C,PAB交⊙O于A、B,则()
A.∠PCB=∠B
B.∠PAC=∠P
C.∠PCA=∠B
D.∠PAC=∠BCA答案:C35.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ在(0,2)内取值的概率为0.6,则ξ在(0,1)内取值的概率为()
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4答案:C36.如图,一个正方体内接于一个球,过球心作一个截面,则截面的可能图形为(
)
A.①③
B.②④
C.①②③
D.②③④答案:C37.若直线y=x+b与圆x2+y2=2相切,则b的值为(
)
A.±4
B.±2
C.±
D.±2
答案:B38.某科目考试有30道题每小题有三个选项,每题2分,另有20道题,每题有四个选项每题3分,每题只有一个答案,某人随机去选答案,则平均能得______分.答案:由题意,30道题每小题有三个选项,每题2分,每题只有一个,某人随机去选,则可得2×30×13=20分;20道题,每题有四个选项每题3分,每题只有一个,某人随机去选,则可得3×20×14=15分故平均能得35分故为:35分.39.已知直线l的斜率为k=-1,经过点M0(2,-1),点M在直线上,以M0M的数量t为参数,则直线l的参数方程为______.答案:∵直线l经过点M0(2,-1),斜率为k=-1,倾斜角为3π4,∴直线l的参数方程为x=2+tcos3π4y=-1+tsin3π4
(t为参数);即为x=2-22ty=-1+22t(t为参数).故为:x=2-22ty=-1+22t(t为参数).40.某校为提高教学质量进行教改实验,设有试验班和对照班.经过两个月的教学试验,进行了一次检测,试验班与对照班成绩统计如下的2×2列联表所示(单位:人),则其中m=______,n=______.
80及80分以下80分以上合计试验班321850对照班12m50合计4456n答案:由题意,18+m=56,50+50=n,∴m=38.n=100,故为38,010.41.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()A.a=(0,0),b=(1,-2)B.a=(1,-2),b=(2,-4)C.a=(3,5),b=(6,10)D.a=(2,-3),b=(6,9)答案:可以作为基底的向量需要是不共线的向量,A中一个向量是零向量,两个向量共线,不合要求B中两个向量是a=12b,两个向量共线,C项中的两个向量也共线,故选D.42.正多面体只有______种,分别为______.答案:正多面体只有5种,分别为正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.故为:5,正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.43.(文)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x26+y22=1的右焦点重合,则实数p的值是______.答案:∵x26+y22=1
中a2=6,b2=2,∴c2=4,c=2∴右焦点坐标为(2,0)∵抛物线y2=2px的焦点与椭圆x26+y22=1的右焦点重合∴抛物线y2=2px中p=4故为444.如图,圆与圆内切于点,其半径分别为与,圆的弦交圆于点(不在上),求证:为定值。
答案:见解析解析:考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质,容易题。证明:由弦切角定理可得45.若圆x2+y2=9上每个点的横坐标不变,纵坐标缩短为原来的,则所得到的曲线的方程是()
A.
B.
C.
D.答案:C46.已知向量,,若与共线,则的值为
A
B
C
D
答案:D解析:,,由,得47.在极坐标系中,极点到直线ρcosθ=2的距离为______.答案:直线ρcosθ=2即x=2,极点的直角坐标为(0,0),故极点到直线ρcosθ=2的距离为2,故为2.48.为了检测某种产品的直径(单位mm),抽取了一个容量为100的样本,其频率分布表(不完整)如下:
分组频数累计频数频率[10.75,10.85)660.06[10.85,10.95)1590.09[10.95,11.05)30150.15[11.05,11.15)48180.18[11.15,11.25)
(Ⅰ)完成频率分布表;
(Ⅱ)画出频率分布直方图;
(Ⅲ)据上述图表,估计产品直径落在[10.95,11.35)范围内的可能性是百分之几?答案:解(Ⅰ)分组频数累计频数频率[10.75,10.85)660.06[10.85,10.95)1590.09[10.95,11.05)30150.15[11.05,11.15)48180.18[11.15,11.25)72240.24[11.25,11.35)84120.12[11.35,11.45)9280.08[11.45,11.55)9860.06[11.55,11.65)10020.02(Ⅲ)0.15+0.18+0.24+0.12=0.69=69%,所以产品直径落在[10.95,11.35)范围内的可能性为69%.49.函数f(x)=8xx2+2(x>0)()A.当x=2时,取得最小值83B.当x=2时,取得最大值83C.当x=2时,取得最小值22D.当x=2时,取得最大值22答案:f(x)=8xx2+2=8x+2x≤822(x>0)=22当且仅当x=2x即x=2时,取得最大值22故选D.50.根据如图的框图,写出打印的第五个数是______.答案:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是:输出N<35时,打印A值.程序在运行过程中各变量的情况如下表示:
是否继续循环
A
N循环前
1
1
第一圈
2×1+1=3
2
是第二圈
2×3+1=7
3
是第三圈
2×7+1=15
4
是第四圈
2×15+1=31
5
是…所以这个打印的第五个数是31.故为:31第3卷一.综合题(共50题)1.已知点P为y轴上的动点,点M为x轴上的动点,点F(1,0)为定点,且满足PN+12NM=0,PM•PF=0.
(Ⅰ)求动点N的轨迹E的方程;
(Ⅱ)过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于两点A,B,试判断在x轴上是否存在点C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立,请说明理由.答案:(Ⅰ)设N(x,y),则由PN+12NM=0,得P为MN的中点.∴P(0,y2),M(-x,0).∴PM=(-x,-y2),PF=(1,-y2).∴PM•PF=-x+y24=0,即y2=4x.∴动点N的轨迹E的方程y2=4x.(Ⅱ)设直线l的方程为y=k(x-1),由y=k(x-1)y2=4x,消去x得y2-4ky-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则
y1+y2=4k,y1y2=-4.假设存在点C(m,0)满足条件,则CA=(x1-m,y1),CB=(x2-m,y2),∴CA•CB=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2=(y1y24)2-m(y12+y224)+m2-4=-m4[(y1+y2)2-2y1y2]+m2-3=m2-m(4k2+2)-3.∵△=(4k2+2)2+12>0,∴关于m的方程m2-m(4k2+2)-3=0有解.∴假设成立,即在x轴上存在点C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立.2.双曲线(n>1)的两焦点为F1、、F2,P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,则△P
F1F2的面积为()
A.
B.1
C.2
D.4答案:B3.下面对算法描述正确的一项是:()A.算法只能用自然语言来描述B.算法只能用图形方式来表示C.同一问题可以有不同的算法D.同一问题的算法不同,结果必然不同答案:算法的特点:有穷性,确定性,顺序性与正确性,不唯一性,普遍性算法可以用自然语言、图形语言,程序语言来表示,故A、B不对同一问题可以用不同的算法来描述,但结果一定相同,故D不对.C对.故应选C.4.对于实数x、y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为______.答案:∵|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+2|(y-2)+1|≤|x-1|+2|y-2|+2,再由|x-1|≤1,|y-2|≤1可得|x-1|+2|y-2|+2≤1+2+2=5,故|x-2y+1|的最大值为5,故为5.5.(选做题)方程ρ=cosθ与(t为参数)分别表示何种曲线(
)。答案:圆,双曲线6.设x,y∈R,且满足x2+y2=1,求x+y的最大值为()
A.
B.
C.2
D.1答案:A7.给出的下列几个命题:
①向量共面,则它们所在的直线共面;
②零向量的方向是任意的;
③若则存在唯一的实数λ,使
其中真命题的个数为()
A.0
B.1
C.2
D.3答案:B8.若f(x)=x2,则对任意实数x1,x2,下列不等式总成立的是(
)
A.f()≤
B.f()<
C.f()≥
D.f()>答案:A9.因为样本是总体的一部分,是由某些个体所组成的,尽管对总体具有一定的代表性,但并不等于总体,为什么不把所有个体考查一遍,使样本就是总体?答案:如果样本就是总体,抽样调查就变成普查了,尽管这样确实反映了实际情况,但不是统计的基本思想,其操作性、可行性、人力、物力等方面,都会有制约因素存在,何况有些调查是破坏性的,如考查一批玻璃的抗碎能力,灯泡的使用寿命等,普查就全破坏了.10.若对n个向量a1,a2,…,an,存在n个不全为零的实数k1,k2…,kn,使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立,则称向量a1,a2,…,an为“线性相关”.依此规定,请你求出一组实数k1,k2,k3的值,它能说明a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)“线性相关”.k1,k2,k3的值分别是______(写出一组即可).答案:设a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)“线性相关”.则存在实数,k1,k2,k3,使k1a1+k2a2+k3a3=0∵a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)∴k1+k2+2k3=0,且-k2+2k3=0令k3=1,则k2=2,k1=-4故为:-4,2,111.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则a、b、c按从小到大的顺序排列为
______.答案:由指数函数y=0.8x知,∵0.7<0.9,∴0.80.9<0.80.7<1,即b<a,又c=1.20.8>1,∴b<a<c.b<a<c12.如图,椭圆C2x2a2+
y2b2=1的焦点为F1,F2,|A1B1|=7,S□B1A1B2A2=2S□B1F1B2F2.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设n为过原点的直线,l是与n垂直相交与点P,与椭圆相交于A,B两点的直线|op|=1,是否存在上述直线l使OA•OB=0成立?若存在,求出直线l的方程;并说出;若不存在,请说明理由.答案:(Ⅰ)由题意可知a2+b2=7,∵S□B1A1B2A2=2S□B1F1B2F2,∴a=2c.解得a2=4,b2=3,c2=1.∴椭圆C的方程为x24+y33=1.(Ⅱ)设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),假设使OA•OB=0成立的直线l存在.(i)当l不垂直于x轴时,设l的方程为y=kx+m,由l与n垂直相交于P点,且|OP|=1得|m|1+
k2=1,即m2=k2+1,由OA•OB=0得x1x2+y1y2=0,将y=kx+m代入椭圆得(3+4k2)x2+8kmx+(4m2-12)=0,x1+x2=-8km3+4k2,①,x1x2=4m2-123+4k2,②0=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2把①②代入上式并化简得(1+k2)(4m2-12)-8k2m2+m2(3+4k2)=0,③将m2=1+k2代入③并化简得-5(k2+1)=0矛盾.即此时直线l不存在.(ii)当l垂直于x轴时,满足|OP|=1的直线l的方程为x=1或x=-1,由A、B两点的坐标为(1,32),(1,-32)或(-1,32),(-1,-32).当x=1时,OA•OB=(1,32)•
(1,-32)=-54≠0.当x=-1时,OA•OB=(-1,32)•
(-1,-32)=-54≠0.∴此时直线l也不存在.综上所述,使OA•OB=0成立的直线l不成立.13.若a,b∈R,求证:≤+.答案:证明略解析:证明
当|a+b|=0时,不等式显然成立.当|a+b|≠0时,由0<|a+b|≤|a|+|b|≥,所以=≤=≤+.14.若数列{an}是等差数列,对于bn=1n(a1+a2+…+an),则数列{bn}也是等差数列.类比上述性质,若数列{cn}是各项都为正数的等比数列,对于dn>0,则dn=______时,数列{dn}也是等比数列.答案:在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时,我们一般的思路有:由加法类比推理为乘法,由减法类比推理为除法,由算术平均数类比推理为几何平均数等,故我们可以由数列{cn}是等差数列,则对于bn=1n(a1+a2+…+an),则数列{bn}也是等差数列.类比推断:若数列{cn}是各项均为正数的等比数列,则当dn=nC1C2C3Cn时,数列{dn}也是等比数列.故为:nC1C2C3Cn15.若x,y∈R,x>0,y>0,且x+2y=1,则xy的最大值为______.答案:∵x,y∈R,x>0,y>0,且x+2y=1,∴1=x+2y≥2x?2y,∴22×xy≤1,∴xy≤
122=24,所以xy≤18.当且仅当x=2yx+2y=1时,即x=12,y=14时,取等号.故为:18.16.一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒,一学生到达该路口时,见到红灯的概率是()A.25B.58C.115D.35答案:由题意知本题是一个那可能事件的概率,试验发生包含的事件是总的时间长度为30+5+40=75秒,设红灯为事件A,满足条件的事件是红灯的时间为30秒,根据等可能事件的概率得到出现红灯的概率P(A)=构成事件A的时间长度总的时间长度=3075=25.故选A.17.图是正方体平面展开图,在这个正方体中
①BM与ED垂直;
②DM与BN垂直.
③CN与BM成60°角;④CN与BE是异面直线.
以上四个命题中,正确命题的序号是______.答案:由已知中正方体的平面展开图,我们可以得到正方体的直观图如下图所示:由正方体的几何特征可得:①BM与ED垂直,正确;
②DM与BN垂直,正确;③CN与BM成60°角,正确;④CN与BE平行,故CN与BE是异面直线,错误;故为:①②③18.在参数方程所表示的曲线上有B、C两点,它们对应的参数值分别为t1、t2,则线段BC的中点M对应的参数值是()
A.
B.
C.
D.答案:B19.已知焦点在x轴上的双曲线渐近线方程是y=±4x,则该双曲线的离心率是()
A.
B.
C.
D.答案:A20.如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积为()A.π4B.5π4C.πD.3π2答案:此几何体是一个底面直径为1,高为1的圆柱底面周长是2π×12=π故侧面积为1×π=π故选C21.直线3x+4y-7=0与直线6x+8y+3=0之间的距离是()
A.
B.2
C.
D.答案:C22.解不等式|2x-1|<|x|+1.答案:根据题意,对x分3种情况讨论:①当x<0时,原不等式可化为-2x+1<-x+1,解得x>0,又x<0,则x不存在,此时,不等式的解集为∅.②当0≤x<12时,原不等式可化为-2x+1<x+1,解得x>0,又0≤x<12,此时其解集为{x|0<x<12}.③当x≥12
时,原不等式可化为2x-1<x+1,解得12≤x<2,又由x≥12,此时其解集为{x|12≤x<2},∅∪{x|0<x<12
}∪{x|12≤x<2
}={x|0<x<2};综上,原不等式的解集为{x|0<x<2}.23.如图为△ABC和一圆的重迭情形,此圆与直线BC相切于C点,且与AC交于另一点D.若∠A=70°,∠B=60°,则的度数为何()
A.50°
B.60°
C.100°
D.120°
答案:C24.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M是棱AB的中点,点P是平面ABCD上的一动点,且点P到直线A1D1的距离两倍的平方比到点M的距离的平方大4,则点P的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案:在平面ABCD上,以AD为x轴,以AB为y轴建立平面直角坐标系,则M(,12,0),设P(x,y)则|MP|2=y2+(x-12)2点P到直线A1D1的距离为x2+1由题意得4(x2+1)=
y2+(x-12)2+4即3(x+12)2-y2=74选C25.椭圆x=5cosαy=3sinα(α是参数)的一个焦点到相应准线的距离为______.答案:椭圆x=5cosαy=3sinα(α是参数)的标准方程为:x225+y29=1,它的右焦点(4,0),右准线方程为:x=254.一个焦点到相应准线的距离为:254-4=94.故为:94.26.已知双曲线的两条准线将两焦点间的线段三等分,则双曲线的离心率是______.答案:由题意可得2c×13=2a2c,∴3a2=c2,∴e=ca=3,故为:3.27.已知P:2+2=5,Q:3>2,则下列判断错误的是()A.“P或Q”为真,“非Q”为假B.“P且Q”为假,“非P”为真C.“P且Q”为假,“非P”为假D.“P且Q”为假,“P或Q”为真答案:∵P:2+2=5,假;Q:3>2,真;∴“非P”为真,“非Q”为假,∴“P或Q”为真,“P且Q”为假,∴A,B,D均正确;C错误.故选C.28.如图所示,在Rt△ABC内有一内接正方形,它的一条边在斜边BC上,设AB=a,∠ABC=θ
(1)求△ABC的面积f(θ)与正方形面积g(θ);
(2)当θ变化时,求f(θ)g(θ)的最小值.答案:(1)由题得:AC=atanθ∴f(θ)=12a2tanθ(0<θ<π2)
设正方形的边长为x,则BG=xsinθ,由几何关系知:∠AGD=θ∴AG=xcosθ
由BG+AG=a?xsinθ+xcosθ=a?x=asinθ1+sinθcosθ∴g(θ)=a2sin2θ(1+sinθcosθ)2(0<θ<π2)(2)f(θ)g(θ)=(1+sinθcoθ)22sinθcosθ=1+1sin2θ+sin2θ4
令:t=sin2θ∵0<θ<π2∴t∈(0,1]∴y=1+1t+t4=1+14(t+t4)∵函数y=1+14(t+t4)在(0,1]递减∴ymin=94(当且仅当t=1即θ=π4时成立)∴当θ=π4时,f(θ)g(θ)的最小值为94.29.过点P(3,0)作一直线,它夹在两条直线l1:2x-y-3=0,l2:x+y+3=0之间的线段恰被点P平分,该直线的方程是()
A.4x-y-6=0
B.3x+2y-7=0
C.5x-y-15=0
D.5x+y-15=0答案:C30.将一个总体分为A、B、C三层,其个体数之比为5:3:2,若用分层抽样的方法抽取容量为180的样本,则应从C中抽取样本的个数为______个.答案:由分层抽样的定义可得应从B中抽取的个体数为180×25+3+2=36,故为:36.31.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD中点,若PA=a,PB=b,PC=c,则BE=______.答案:BE=12(BP+BD)=-12PB
+12(BA+BC)=-12PB+12BA+12BC=-12PB+12(PA-PB)+12(PC-PB)=-32PB+12PA+
12PC=12a-32b+12c.故为:12a-32b+12c.32.已知向量,,则“,λ∈R”成立的必要不充分条件是()
A.
B与方向相同
C.
D.答案:D33.若x~B(3,13),则P(x=1)=______.答案:∵x~B(3,13),∴P(x=1)=C13(13)(1-13)2=49.故为:49.34.为了了解某地母亲身高x与女儿身高y的相关关系,随机测得10对母女的身高如下表所示:
母亲身高x(cm)159160160163159154159158159157女儿身高y(cm)158159160161161155162157162156计算x与y的相关系数r=0.71,通过查表得r的临界值r0.05=______,从而有______的把握认为x与y之间具有线性相关关系,因而求回归直线方程是有意义的.通过计算得到回归直线方程为y=35.2+0.78x,当母亲身高每增加1cm时,女儿身高______,当母亲的身高为161cm时,估计女儿的身高为______cm.答案:查对临界值表,由临界值r0.05=0.632,可得有95%的把握认为x与Y之间具有线性相关关系,回归直线方程为y=35.2+0.78x,因此,当母亲身高每增加1cm时,女儿身高0.78,当x=161cm时,y=35.2+0.78x=35.2+0.78×161
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