高中数学北师大版3第二章概率 同课异构

学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．设随机变量X～B(40，p)，且EX＝16，则p等于()A． B．C． D．【解析】∵EX＝16，∴40p＝16，∴p＝.故选D.【答案】D2．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为()【导学号：62690042】A． B．1C． D．2【解析】抛掷骰子所得点数ξ的分布列为ξ123456Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)所以Eξ＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,6)＋5×eq\f(1,6)＋6×eq\f(1,6)＝.【答案】C3．设ξ的分布列为ξ1234Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,3)又设η＝2ξ＋5，则Eη等于()\f(7,6) \f(17,6)\f(17,3) \f(32,3)【解析】Eξ＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,3)＝eq\f(17,6)，所以Eη＝E(2ξ＋5)＝2Eξ＋5＝2×eq\f(17,6)＋5＝eq\f(32,3).【答案】D4．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是eq\f(1,3)，遇到红灯时停留的时间都是2min，这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的期望为()\f(1,3) B．1\f(4,3) \f(8,3)【解析】遇到红灯的次数X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，∴EX＝eq\f(4,3).∴EY＝E(2X)＝2×eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).【答案】D5．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(1,4)，k＝1,2,3,4，则EX的值为()A． B．C． D．2【解析】EX＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,4)＋4×eq\f(1,4)＝【答案】A二、填空题6．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为和，设发现目标的雷达的台数为X，则EX＝________.【解析】X可能的取值为0,1,2，P(X＝0)＝(1－×(1－＝，P(X＝1)＝×(1－＋×(1－＝，P(X＝2)＝×＝，所以EX＝1×＋2×＝.【答案】7．(2023·邯郸月考)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．【解析】随机变量X的取值为0,1,2,4，P(X＝0)＝eq\f(3,4)，P(X＝1)＝eq\f(1,9)，P(X＝2)＝eq\f(1,9)，P(X＝4)＝eq\f(1,36)，因此EX＝eq\f(4,9).【答案】eq\f(4,9)8.如图2­5­2，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值EX＝________.图2­5­2【解析】依题意得X的取值可能为0,1,2,3，且P(X＝0)＝eq\f(33,125)＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝eq\f(9×6,125)＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝eq\f(3×12,125)＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝eq\f(8,125).故EX＝0×eq\f(27,125)＋1×eq\f(54,125)＋2×eq\f(36,125)＋3×eq\f(8,125)＝eq\f(6,5).【答案】eq\f(6,5)三、解答题9．某俱乐部共有客户3000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%.问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？【解】设来领奖的人数ξ＝k(k＝0,1，…，3000)，∴P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,3000)k(1－3000－k，则ξ～B(3000,，那么Eξ＝3000×＝120(人)>100(人)．∴俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请．10．(2023·重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．【解】(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)C\o\al(1,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,4).(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).综上知，X的分布列为X012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)故EX＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5)(个)．能力提升]1．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经一段时间考察，X，Y的分布列分别是：X0123PY0123P0据此判定()A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好C．甲与乙质量相同 D．无法判定【解析】EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝，EY＝0×＋1×＋2×＋3×0＝.由于EY>EX，故甲比乙质量好．【答案】A2．某船队若出海后天气好，可获得5000元；若出海后天气坏，将损失2000元；若不出海也要损失1000元．根据预测知天气好的概率为，则出海的期望效益是()A．2000元 B．2200元C．2400元 D．2600元【解析】出海的期望效益Eξ＝5000×＋(1－×(－2000)＝3000－800＝2200(元)．【答案】B3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为eq\f(2,3)，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝eq\f(1,12)，则随机变量X的数学期望EX＝________.【导学号：62690043】【解析】∵P(X＝0)＝eq\f(1,12)＝(1－p)2×eq\f(1,3)，∴p＝eq\f(1,2).随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X＝0)＝eq\f(1,12)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋2×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,3)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(5,12)，P(X＝3)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,6)，因此EX＝1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(5,12)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,3).【答案】eq\f(5,3)4．(2023·山东高考)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX.【解】(1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为Ceq\o\al(3,9)＝84，随机变量X的取值为：0，－1,1，因此，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,9))＝eq\f(2,3)，P(