2023年吉林交通职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年吉林交通职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第1卷一.综合题(共50题)1.在同一平面直角坐标系中，直线变成直线的伸缩变换是（）A．B．C．D．答案：A解析：解：设直线上任意一点（x′，y′），变换前的坐标为（x，y），则根据直线变成直线则伸缩变换是，选A2.抽样方法有（）A．随机抽样、系统抽样和分层抽样B．随机数法、抽签法和分层抽样法C．简单随机抽样、分层抽样和系统抽样D．系统抽样、分层抽样和随机数法答案：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而抽签法和随机数法，只是简单随机抽样的两种不同抽取方法故选C3.以双曲线x24-y216=1的右焦点为圆心，且被其渐近线截得的弦长为6的圆的方程为______．答案：双曲线x24-y216=1的右焦点为F（25，0），一条渐近线为2x+y=0．∴所求圆的圆心为（25，0）．∵所求圆被渐近线2x+y=0截得的弦长为6，∴圆心为（25，0）到渐近线2x+y=0的距离d=455=4，圆半径r=9+16=5，∴所求圆的方程是(x-25)2+y2=25．故为(x-25)2+y2=25．4.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，m⊥β，则α⊥β，反过来则不一定所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．5.我们称正整数n为“好数”，如果n的二进制表示中1的个数多于0的个数．如6=（110）：为好数，1984=（11111000000）；不为好数，则：

（1）二进制表示中恰有5位数码的好数共有______个；

（2）不超过2012的好数共有______个．答案：（1）二进制表示中恰有5位数码的二进制数分别为：10000，10001，10010，10011，10100，10101，10110，10111，11000，11001，11010，11011，11100，11101，11110，11111，共十六个数，再结合好数的定义，得到其中好数有11个；（2）整数2012的二进制数为：11111011100，它是一个十一位的二进制数．其中一位的二进制数是：1，共有C11个；其中二位的二进制数是：11，共有C22个；

其中三位的二进制数是：101，110，111，共有C12+C22个；

其中四位的二进制数是：1011，1101，1110，1111，共有C23+C33个；

其中五位的二进制数是：10011，10101，10110，11001，11010，11100，10111，11011，11101，11110，11111，共有C24+C34+C44个；

以此类推，其中十位的二进制数是：共有C49+C59+C69+C79+C89+C99个；其中十一位的小于2012二进制数是：共有24+4个；一共不超过2012的好数共有1164个．故1065个6.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）

A．a，b，c中至少有两个偶数

B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

C．a，b，c都是奇数

D．a，b，c都是偶数答案：B7.已知函数y=f（x）是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则f（x）=0的所有实数根之和为______．答案：∵函数y=f（x）是偶函数∴其图象关于y轴对称∴其图象与x轴有四个交点也关于y轴对称∴方程f（x）=0的所有实根之和为0故为：08.若命题P（n）对n=k成立，则它对n=k+2也成立，又已知命题P（2）成立，则下列结论正确的是（）

A．P（n）对所有自然数n都成立

B．P（n）对所有正偶数n成立

C．P（n）对所有正奇数n都成立

D．P（n）对所有大于1的自然数n成立答案：B9.给出下列问题：

（1）求面积为1的正三角形的周长；

（2）求键盘所输入的三个数的算术平均数；

（3）求键盘所输入两个数的最小数；

（4）求函数f(x)=2xx2(x≥3)(x＜3)当自变量取相应值时的函数值．

其中不需要用条件语句描述的算法的问题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：（1）求面积为1的正三角形的周长用顺序结构即可，故不需要用条件语句描述；（2）求键盘所输入的三个数的算术平均数用顺序结构即可解决问题，不需要用条件语句描述；（3）求键盘所输入两个数的最小数，由于要作出判断，找出最小数，故本问题的解决要用到条件语句描述；（4）求函数f(x)=2xx2(x≥3)(x＜3)当自变量取相应值时的函数值，由于此函数是一个分段函数，所以要用条件结构选择相应的函数解析式，需要用条件语句描述．综上，（3）（4）两个问题要用到条件语句描述，（1），（2）不需要用条件语句描述故选B10.若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定形式是真命题，则（）

A．p真q真

B．p真q假

C．p假q真

D．p假q假答案：D11.假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第2列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的4颗种子的编号______，______，______，______．

（下面摘取了随机数表第7行至第9行）

84

42

17

53

31

57

24

55

06

88

77

04

74

47

67

21

76

33

50

25

83

92

12

06

76

63

01

63

78

59

16

95

55

67

19

98

10

50

71

75

12

86

73

58

07

44

39

52

38

79

33

21

12

34

29

78

64

56

07

82

52

42

07

44

38

15

51

00

13

42

99

66

02

79

54．答案：第8行第2列的数3开始向右读第一个小于850的数字是301，第二个数字是637，也符合题意，第三个数字是859，大于850，舍去，第四个数字是169，符合题意，第五个数字是555，符合题意，故为：301，637，169，55512.若关于x的方程x2-2ax+2+a=0有两个不相等的实根，求分别满足下列条件的a的取值范围．

(1)方程两根都大于1；

(2)方程一根大于1，另一根小于1。答案：解：设f(x)=x2-2ax+2+a，(1)∵两根都大于1，∴，解得：2＜a＜3；(2)∵方程一根大于1，一根小于1，∴f(1)＜0，∴a＞3。13.一个完整的程序框图至少应该包含______．答案：完整程序框图必须有起止框，用来表示程序的开始和结束，还要包括处理框，用来处理程序的执行．故为：起止框、处理框．14.设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为（）

A．±

B．±2

C．±2

D．±4答案：B15.圆C1x2+y2-4y-5=0与圆C2x2+y2-2x-2y+1=0位置关系是（）

A．内含

B．内切

C．相交

D．外切答案：A16.如图所示，圆的内接△ABC的∠C的平分线CD延长后交圆于点E，连接BE，已知BD=3，CE=7，BC=5，则线段BE=（）

A．

B．

C．

D．4

答案：B17.设双曲线C：x2a2-y2=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．

（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：

（II）设直线l与y轴的交点为P，且PA=512PB．求a的值．答案：（I）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组x2a2-y2=1x+y=1.有两个不同的实数解．消去y并整理得（1-a2）x2+2a2x-2a2=0．①所以1-a2≠0.4a4+8a2(1-a2)＞0.解得0＜a＜2且a≠1．双曲线的离心率e=1+a2a=1a2+1．∵0＜a＜2且a≠1，∴e＞62且e≠2即离心率e的取值范围为(62，2)∪(2，+∞)．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，1）∵PA=512PB，∴(x1，y1-1)=512(x2，y2-1)．由此得x1=512x2．由于x1和x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以1712x2=-2a21-a2．x1•x2=512x22=-2a21-a2．消去x2，得-2a21-a2=28960由a＞0，所以a=1713．18.若数据x1，x2，…，xn的方差为3，数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的标准差为23，则实数a的值为______．答案：数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差是数据x1，x2，…，xn的方差的a2倍；则数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差为3a2，标准差为3a2=23解得a=±2故为：±219.已知a=（a1，a2），b=（b1，b2），丨a丨=5，丨b丨=6，a•b=30，则a1+a2b1+b2=______．答案：因为丨a丨=5，丨b丨=6，a•b=30，又a⋅b=|a|⋅|b|cos＜a，b＞=30，即cos＜a，b＞=1，所以a，b同向共线．设b=ka，(k＞0)．则b1=ka1，b2=ka2，所以|b|=k|a|，所以k=65，所以a1+a2b1+b2=a1+a2k(a1+a2)=1k=56．故为：56．20.在空间直角坐标系0xyz中有两点A（2，5，1）和B（2，4，-1），则|AB|=______．答案：∵点A（2，5，1）和B（2，4，-1），∴AB=（0，-1，-2）．∴|AB|=0+(-1)2+(-2)2=5．故为5．21.附加题（必做题）

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4．

（1）设AD=λAB，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为925，求λ的值；

（2）若点D是AB的中点，求二面角D-CB1-B的余弦值．答案：（1）以CA，CB，CC1分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标，因为AC=3，BC=4，AA1=4，所以A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），C1=（0，0，4），所以AC1=(-3，0，4)，因为AD=λAB，所以点D（-3λ+3，4λ，0），所以CD=(-3λ+3，4λ，0)，因为异面直线AC1与CD所成角的余弦值为925，所以|cos＜AC1，CD＞|=|9λ-9|5(3-3λ)2+16λ2=925，解得λ=12．…（4分）（2）由（1）得B1（0，4，4），因为

D是AB的中点，所以D(32，2，0)，所以CD=(32，2，0)，CB1=(0，4，4)，平面CBB1C1的法向量

n1=（1，0，0），设平面DB1C的一个法向量n2=（x0，y0，z0），则n1，n2的夹角（或其补角）的大小就是二面角D-CB1-B的大小，由n2•CD=0n2•CB

1=0得32x0+2y0=04y0+4z0=0令x0=4，则y0=-3，z0=3，所以n2=（4，-3，3），∴cos＜n1，n2＞=n1•n2|n1|•|n2|=434=23417．所以二面角D-B1C-B的余弦值为23417．

…（10分）22.在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，向量是（）

A．有相同起点的向量

B．等长的向量

C．共面向量

D．不共面向量答案：C23.在直角坐标系内，坐标轴上的点构成的集合可表示为（）A．{（x，y）|x=0，y≠0或x≠0，y=0}B．{（x，y）|x=0且y=0}C．{（x，y）|xy=0}D．{（x，y）|x，y不同时为零}答案：在x轴上的点（x，y），必有y=0；在y轴上的点（x，y），必有x=0，∴xy=0．∴直角坐标系中，x轴上的点的集合{（x，y）|y=0}，直角坐标系中，y轴上的点的集合{（x，y）|x=0}，∴坐标轴上的点的集合可表示为{（x，y）|y=0}∪{（x，y）|x=0}={（x，y）|xy=0}．故选C．24.直线y=2x+1的参数方程是（）

A.（t为参数）

B.（t为参数）

C.（t为参数）

D.（θ为参数）

答案：B25.下列各量：①密度

②浮力

③风速

④温度，其中是向量的个数有（）个．A．1B．3C．2D．4答案：根据向量的定义，知道需要同时具有大小和方向两个要素才是向量，在所给的四个量中，密度只有大小，浮力既有大小又有方向，风速既有大小又有方向，温度只有大小没有方向综上可知向量的个数是2个，故选C．26.(1)把二进制数化为十进制数；(2)把化为二进制数.答案：(1)45,(2)解析：(1)先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果；(2)根据二进制数“满二进一”的原则，可以用连续去除或所得商，然后取余数.(1)(2)，，，，.所以..这种算法叫做除2余法，还可以用下面的除法算式表示；把上式中各步所得的余数从下到上排列，得到【名师指引】直接插入排序和冒泡排序是两种常用的排序方法，通过该例，我们对比可以发现，直接插入排序比冒泡排序更有效一些，执行的操作步骤更少一些.．27.（坐标系与参数方程）

从极点O作直线与另一直线ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使OM•OP=12．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设R为直线ρcosθ=4上任意一点，试求RP的最小值．答案：（1）设动点P的坐标为（ρ，θ），M的坐标为（ρ0，θ），则ρρ0=12．∵ρ0cosθ=4，∴ρ=3cosθ即为所求的轨迹方程．（2）由（1）知P的轨迹是以（32，0）为圆心，半径为32的圆，而直线l的解析式为x=4，所以圆与x轴的交点坐标为（3，0），易得RP的最小值为128.在5件产品中，有3件一等品，2件二等品．从中任取2件．那么以710为概率的事件是（）A．都不是一等品B．至少有一件二等品C．恰有一件一等品D．至少有一件一等品答案：5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，从5件产品中任取2件，共有C52=10种结果，∵“任取的2件产品都不是一等品”只有1种情况，其概率是110；“任取的2件产品中至少有一件二等品”有C31C21+1种情况，其概率是710；“任取的2件产品中恰有一件一等品”有C31C21种情况，其概率是610；“任取的2件产品在至少有一件一等品”有C31C21+C32种情况，其概率是910；∴以710为概率的事件是“至少有一件二等品”．故为B．29.已知平面向量=（3,1），=（x，3），且⊥，则实数x的值为（）

A．9

B．1

C．-1

D．-9答案：C30.直线y=kx+1与椭圆x29+y24=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定答案：∵直线y=kx+1过定点（0，1），把（0，1）代入椭圆方程的左端有0+14＜1，即（0，1）在椭圆内部，∴直线y=kx+1与椭圆x29+y24=1必相交，

因此可排除B、C、D；

故选A．31.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A．123B．363C．273D．6答案：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是33，设底面边长为a，则32a=33，∴a=6，故三棱柱体积V=12?62?32?4=363．故选B32.在500个人身上试验某种血清预防感冒的作用，把一年中的记录与另外500个未用血清的人作比较，结果如下：

未感冒

感冒

合计

试验过

252

248

500

未用过

224

276

500

合计

476

524

1000

根据上表数据，算得Χ2=3.14．以下推断正确的是（）

A．血清试验与否和预防感冒有关

B．血清试验与否和预防感冒无关

C．通过是否进行血清试验可以预测是否得感冒

D．通过是否得感冒可以推断是否进行了血清试验答案：A33.已知x1,x2,…,xn都是正数，且x1+x2+…+xn=1,求证：

++…+≥n2.答案：证明略解析：证明

++…+=(x1+x2+…+xn)（

++…+）≥=n2.34.若A，B，C是直线存在实数x使得，实数x为（）

A．-1

B．0

C．

D．答案：A35.（文）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x26+y22=1的右焦点重合，则实数p的值是______．答案：∵x26+y22=1

中a2=6，b2=2，∴c2=4，c=2∴右焦点坐标为（2，0）∵抛物线y2=2px的焦点与椭圆x26+y22=1的右焦点重合∴抛物线y2=2px中p=4故为436.某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．

（1）求中三等奖的概率；

（2）求中奖的概率．答案：（1）设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，从四个小球中有放回的取两个共有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1）（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）16种不同的结果两个小球号码相加之和等于4的取法有3种：（1，3），（2，2），（3，1）两个小球号相加之和等于3的取法有4种：（0，3），（1，2），（2，1），（3，0）由互斥事件的加法公式得：P(A)=316+416=716，即中三等奖的概率为716；（2）两个小球号码相加之和等于3的取法有4种；（0，3），（1，2），（2，1），（3，0）两个小球相加之和等于4的取法有3种；（1，3），（2，2），（3，1）两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：（2，3），（3，2）两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：（3，3）由互斥事件的加法公式得：P(B)=116+216+316+416=58.即中奖的概率为：58．37.四个森林防火观察站A，B，C，D的坐标依次为（5，0），（-5，0），（0，5），（0，-5），他们都发现某一地区有火讯．若A，B观察到的距离相差为6，且离A近，C，D观察到的距离相差也为6，且离C近．试求火讯点的坐标．答案：设火讯点的坐标P（x，y），由于观察到的距离相差为6，点P在双曲线上，由于离A近，所以点P在双曲线x29-y216=1（x≥3）上；由于离C近，所以点P在双曲线Y29-X216=1（Y≥3）上；由这两个方程解得：x=1277y=1277答：火讯点的坐标为：（1277，1277）．38.已知向量与的夹角为120°，若向量，且，则=（）

A．2

B．

C．

D．答案：C39.已知a=log132，b=(13)12，c=(23)12，则a，b，c大小关系为______．答案：∵a=log132＜log131=0，又∵函数y=x12在（0，+∞）是增函数，∴(23)12＞(13)12＞0．所以，c＞b＞a．故为c＞b＞a．40.设随机变量X～N（μ，δ2），且p（X≤c）=p（X＞c），则c的值（）

A．0

B．1

C．μ

D．μ答案：C41.设向量a=(1，0)，b=(sinθ，cosθ)，0≤θ≤π，则|a+b|的最大值为

______．答案：|a|=1因为|b|=1，所以|a+b|2=a2+b2+2a?b=2+2sinθ因为0≤θ≤π，所以0≤sinθ≤1，所以2+2sinθ≤4，|a+b|≤2故为：242.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）

A．充分条件

B．必要条件

C．充要条件

D．等价条件答案：A43.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1．在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，半圆与BC、AB相切于点C、M，与AC交于N，见图中非阴影部分），则该半圆的半径长为______．答案：连接OM，则OM⊥AB．设⊙O的半径OM=OC=r．在Rt△OAM中，OA=OMsin30°=2r．在Rt△ABC中，AC=BCtan30°=3，∴3=AC=OA+OC=3r，∴r=33．故为33．44.已知a，b为正数，求证：≥．答案：证明略解析：1：∵a>0，b>0，∴≥，≥，两式相加，得≥，∴≥．解析2.≥．∴≥．解析3.∵a>0，b>0，∴，∴欲证≥，即证≥，只要证

≥，只要证

≥，即证

≥，只要证a3+b3≥ab(a+b)，只要证a2+b2-ab≥ab，即证(a-b)2≥0．∵(a-b)2≥0成立，∴原不等式成立．【名师指引】当要证明的不等式形式上比较复杂时，常通过分析法寻求证题思路．“分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法，特别是这两种方法的综合运用能力，对解决实际问题有重要的作用．这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法．45.下列命题错误的是（

）A．命题“若，则中至少有一个为零”的否定是：“若，则都不为零”。B．对于命题，使得；则是，均有。C．命题“若，则方程有实根”的逆否命题为：“若方程无实根，则”。D．“”是“”的充分不必要条件。答案：A解析：命题的否定是只否定结论，∴选A.46.已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）

A．2

B．6

C．4

D．12答案：C47.数集{1，x，2x}中的元素x应满足的条件是______．答案：根据集合中元素的互异性可得1≠x，x≠2x，1≠2x∴x≠1且x≠12且x≠0．故为：x≠1且x≠12且x≠0．48.在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（）A．

B．

C．

D．

答案：由题意作出图形如图：SO⊥平面ABC，SA与SO的平面与平面SBC垂直，球与平面SBC的切点在SD上，球与侧棱SA没有公共点所以正确的截面图形为B选项故选B．49.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．

（Ⅰ）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；

（Ⅱ）若AD=23，AE=6，求EC的长．答案：证明：（Ⅰ）取BD的中点O，连接OE．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．…（3分）∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线．

…（5分）（Ⅱ）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，OA2=OE2+AE2，即(r+23)2=r2+62，解得r=23，…（7分）∴OA=2OE，∴∠A=30°，∠AOE=60°．∴∠CBE=∠OBE=30°．∴在Rt△BCE中，可得EC=12BE=12×3r=12×3×23=3．

…（10分）50.设A（3，4），在x轴上有一点P（x，0），使得|PA|=5，则x等于（）

A．0

B．6

C．0或6

D．0或-6答案：C第2卷一.综合题(共50题)1.复数z=sin1+icos2在复平面内对应的点位于第______象限．答案：z对应的点为（sin1，cos2）∵1是第一象限的角，2是第二象限的角∵sin1＞0，cos2＜0所以（sin1，cos2）在第四象限故为：四2.设xi，yi

（i=1，2，…，n）是实数，且x1≥x2≥…≥xn，y1≥y2≥…≥yn，而z1，z2，…，zn是y1，y2，…，yn的一个排列．求证：n

i-1（xi-yi）2≥n

i-1（xi-zi）2．答案：证明：要证ni-1（xi-yi）2≥ni-1（xi-zi）2，只需证

ni=1

yi2-2ni=1

xi•yi≥ni=1

zi2-2ni=1

xi•zi，由于ni=1

yi2=ni=1

zi2，故只需证ni=1

xi•zi≤ni=1

xi•yi

①．而①的左边为乱序和，右边为顺序和，根据排序不等式可得①成立，故要证的不等式成立．3.如图，梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，AB为直径，DO平分∠ADC，则∠DAO的度数是

______．答案：∵DO平分∠ADC，∴∠CDO=∠ODA；∵OD=OA，∴∠A=∠ADO=12∠ADC；∵AB∥CD，∴∠A+∠ADC=3∠A=180°，即∠A=∠ADO=60°．故为：60°4.在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是______．答案：由茎叶图可得甲组共有9个数据中位数为45乙组共9个数据中位数为46故为45、465.函数y=（43）x，x∈N+是（）A．增函数B．减函数C．奇函数D．偶函数答案：由正整数指数函数不具有奇偶性，可排除C、D；因为函数y=（43）x，x∈N+的底数43大于1，所以此函数是增函数．故选A．6.若向量a、b的夹角为150°，|a|=3，|b|=4，则|2a+b|=______．答案：|2a+b|=(2a+b)2=4a2+b2+4a?b=12+16+4×3×4×cos150°=2．故为：27.要使直线y=kx+1（k∈R）与焦点在x轴上的椭圆x27+y2a=1总有公共点，实数a的取值范围是______．答案：要使方程x27+y2a=1表示焦点在x轴上的椭圆，需a＜7，由直线y=kx+1（k∈R）恒过定点（0，1），所以要使直线y=kx+1（k∈R）与椭圆x27+y2a=1总有公共点，则（0，1）应在椭圆上或其内部，即a＞1，所以实数a的取值范围是[1，7）．故为[1，7）．8.过点M（0，1）作直线，使它被两直线l1：x-3y+10=0，l2：2x+y-8=0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程．答案：设所求直线与已知直线l1，l2分别交于A、B两点．∵点B在直线l2：2x+y-8=0上，故可设B（t，8-2t）．又M（0，1）是AB的中点，由中点坐标公式得A（-t，2t-6）．∵A点在直线l1：x-3y+10=0上，∴（-t）-3（2t-6）+10=0，解得t=4．∴B（4，0），A（-4，2），故所求直线方程为：x+4y-4=0．9.5本不同的书全部分给3个学生，每人至少一本，共有（）种分法．

A．60

B．150

C．300

D．210答案：B10.关于生活中的圆锥曲线，有下面几个结论：

（1）标准田径运动场的内道是一个椭圆；

（2）接受卫星转播的电视信号的天线设备，其轴截面与天线设备的交线是抛物线；

（3）大型热电厂的冷却通风塔，其轴截面与通风塔的交线是双曲线；

（4）地球围绕太阳运行的轨迹可以近似地看成一个椭圆．

其中正确命题的序号是______（把你认为正确命题的序号都填上）．答案：（1）标准田径运动场的内道是有直道和弯道部分是半圆组成，不是椭圆．故错误（2）接受卫星转播的电视信号的天线设备，其轴截面与天线设备的交线是抛物线．故正确．（3）大型热电厂的冷却通风塔，其轴截面与通风塔的交线是双曲线．故正确．（4）地球围绕太阳运行的轨迹可以近似地看成一个椭圆．故正确．故为：（2）（3）（4）11.用数学归纳法证明“＜n+1

（n∈N*）”．第二步证n=k+1时（n=1已验证，n=k已假设成立），这样证明：=＜=（k+1）+1，所以当n=k+1时，命题正确．此种证法（）

A．是正确的

B．归纳假设写法不正确

C．从k到k+1推理不严密

D．从k到k+1推理过程未使用归纳假设答案：D12.设四边形ABCD中，有DC=12AB，且|AD|=|BC|，则这个四边形是

______．答案：由DC=12AB知四边形ABCD是梯形，又|AD|=|BC|，即梯形的对角线相等，所以，四边形ABCD是等腰梯形．故为：等腰梯形．13.已知平面向量a，b，c满足a+b+c=0，且a与b的夹角为135°，c与b的夹角为120°，|c|=2，则|a|=______．答案：∵a+b+c=0∴三个向量首尾相接后，构成一个三角形且a与b的夹角为135°，c与b的夹角为120°，|c|=2，故所得三角形如下图示：其中∠C=45°，∠A=60°，AB=2∴|a|=AB?Sin∠Asin∠C=6故为：614.已知在△ABC中，A(2，-5，3)，AB=(4，1，2)，BC=(3，-2，5)，则C点坐标为

______．答案：设C（x，y，z），则：

AC=AB+BC即：（x-2，y+5，z-3）=（4，1，2）+（3，-2，5）=（7，-1，7）所以得：x-2=7y+5=-1z-3=7，即x=9y=-6z=10故为：（9，-6，10）15.曲线与坐标轴的交点是（

）A．B．C．D．答案：B解析：当时，，而，即，得与轴的交点为；当时，，而，即，得与轴的交点为16.一个样本a，99，b，101，c中五个数恰成等差数列，则这个样本的极差与标准差分别为（

）。答案：4；17.平面向量a与b的夹角为60°，a=（2，0），|b|=1

则|a+2b|=______．答案：∵平面向量a与b的夹角为60°，a=（2，0），|b|=1

∴|a+2b|=(a+2b)2=a2+4×a?b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=23．故为：23．18.两圆相交于点A（1，3）、B（m，-1），两圆的圆心均在直线x-y+c=0上，则m+c的值为（

）

A．3

B．2

C．-1

D．0答案：A19.已知复数z=2+i，则z2对应的点在第（）象限．A．ⅠB．ⅡC．ⅢD．Ⅳ答案：由z=2+i，则z2=（2+i）2=22+4i+i2=3+4i．所以，复数z2的实部等于3，虚部等于4．所以z2对应的点在第Ⅰ象限．故选A．20.已知平面向量=（1，-3），=（4，-2），λ+与垂直，则λ是（）

A．1

B．2

C．-2

D．-1答案：D21.甲、乙两人破译一种密码，它们能破译的概率分别为和，求：

（1）恰有一人能破译的概率；（2）至多有一人破译的概率；

（3）若要破译出的概率为不小于，至少需要多少甲这样的人？答案：（1）（2）（3）至少需4个甲这样的人才能满足题意.解析：（1）设A为“甲能译出”，B为“乙能译出”，则A、B互相独立，从而A与、与B、与均相互独立.“恰有一人能译出”为事件，又与互斥，则（2）“至多一人能译出”的事件，且、、互斥，∴（3）设至少需要n个甲这样的人，而n个甲这样的人译不出的概率为，∴n个甲这样的人能译出的概率为，由∴至少需4个甲这样的人才能满足题意.22.已知2，4，2x，4y四个数的平均数是5而5，7，4x，6y四个数的平均数是9，则xy的值是______．答案：因为2，4，2x，4y四个数的平均数是5，则2+4+2x+4y=4×5，又由5，7，4x，6y四个数的平均数是9，则5+7+4x+6y=4×9，x与y满足的关系式为x+2y=72x+3y=12解得x=3y=2故为6．23.某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案：

方案1：运走设备，此时需花费4000元；

方案2：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56

000元；

方案3：不采取措施，此时，当两河流都发生洪水时损失达60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．

（1）试求方案3中损失费ξ（随机变量）的分布列；

（2）试比较哪一种方案好．答案：（1）在方案3中，记“甲河流发生洪水”为事件A，“乙河流发生洪水”为事件B，则P（A）=0.25，P（B）=0.18，所以，有且只有一条河流发生洪水的概率为P（A?.B+.A?B）=P（A）?P（.B）+P（.A）?P（B）=0.34，两河流同时发生洪水的概率为P（A?B）=0.045，都不发生洪水的概率为P（.A?.B）=0.75×0.82=0.615，设损失费为随机变量ξ，则ξ的分布列为：（2）对方案1来说，花费4000元；对方案2来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，但当两河流都发生洪水时，损失约56000元，而两河流同时发生洪水的概率为P=0.25×0.18=0.045．所以，该方案中可能的花费为：1000+56000×0.045=3520（元）．对于方案来说，损失费的数学期望为：Eξ=10000×0.34+60000×0.045=6100（元），比较可知，方案2最好，方案1次之，方案3最差．24.如图是一个几何体的三视图（单位：cm），则这个几何体的表面积是（）A．（7+2）

cm2B．（4+22）cm2C．（6+2）cm2D．（6+22）cm2答案：图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1；棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1，1，2，2．所以此几何体的表面积S表面=2S底+S侧面=12（1+2）×1×2+（1+1+2+2）×1=7+2（cm2）．故选A．25.正十边形的一个内角是多少度？答案：由多边形内角和公式180°（n-2），∴每一个内角的度数是180°(n-2)n当n=10时．得到一个内角为180°(10-2)10=144°26.已知a，b

，c满足a+2c=b，且a⊥c，|a|=1，|c|=2，则|b|=______．答案：根据题意，a⊥c?a?c=0，则|b|2=（a+2c）2=a2+4c2=17，则|b|=17；故为17．27.直线L1：x-y=0与直线L2：x+y-10=0的交点坐标是（）

A．（5，5）

B．（5，-5）

C．（-1，1）

D．（1，1）答案：A28.对于直线l的倾斜角α与斜率k，下列说法错误的是（）

A．α的取值范围是[0°，180°）

B．k的取值范围是R

C．k=tanα

D．当α∈（90°，180°）时，α越大k越大答案：C29.直线x3+y4=1与x，y轴所围成的三角形的周长等于（）A．6B．12C．24D．60答案：直线x3+y4=1与两坐标轴交于A（3，0），B（0，4），∴AB=5，∴△AOB的周长为：OA+OB+AB=3+4+5=12，故选B．30.口袋内有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中有45个红球，从中摸出1个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为______．答案：∵口袋内有100个大小相同的红球、白球和黑球从中摸出1个球，摸出白球的概率为0.23，∴口袋内白球数为32个，又∵有45个红球，∴为32个．从中摸出1个球，摸出黑球的概率为32100=0.32故为0.3231.写出系数矩阵为1221，且解为xy=11的一个线性方程组是______．答案：由题意得：线性方程组为：x+2y=32x+y=3解之得：x=1y=1；故所求的一个线性方程组是x+2y=32x+y=3故为：x+2y=32x+y=3．32.设函数f（x）的定义域为R，如果对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（2）=1，那么f（3）=______．答案：对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（2）=1，∴f（2）=2f（1）=1∴f(1)=12那么f（3）=f（2）+f（1）=1=12=32故为：3233.下列物理量中，不能称为向量的是（）A．质量B．速度C．位移D．力答案：既有大小，又有方向的量叫做向量；质量只有大小没有方向，因此质量不是向量．而速度、位移、力既有大小，又有方向，因此它们都是向量．故选A．34.已知抛物线方程为y2=2px（p＞0），过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A，B两点，过点A，点B分别作AM，BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于M，N两点，那么∠MFN必是（）

A．锐角

B．直角

C．钝角

D．以上皆有可能答案：B35.某厂一批产品的合格率是98%，检验单位从中有放回地随机抽取10件，则计算抽出的10件产品中正品数的方差是______．答案：用X表示抽得的正品数，由于是有放回地随机抽取，所以X服从二项分布B（10，0.98），所以方差D（X）=10×0.98×0.02=0.196故为：0.196．36.在空间直角坐标系O-xyz中，点P（4，3，7）关于坐标平面yOz的对称点的坐标为______．答案：设所求对称点为P'（x，y，z）∵关于坐标平面yOz的对称的两个点，它们的纵坐标、竖坐标相等，而横坐标互为相反数，∴x=-4，y=3，z=7即P关于坐标平面yOz的对称点的坐标为P'（-4，3，7）故为：（-4，3，7）37.如图所示，I为△ABC的内心，求证：△BIC的外心O与A、B、C四点共圆．答案：证明：连接OB、BI、OC，由O是外心知∠IOC=2∠IBC．由I是内心知∠ABC=2∠IBC．从而∠IOC=∠ABC．同理∠IOB=∠ACB．而∠A+∠ABC+∠ACB=180°，故∠BOC+∠A=180°，于是O、B、A、C四点共圆．38.已知A（-4，6，-1），B（4，3，2），则下列各向量中是平面AOB（O是坐标原点）的一个法向量的是（）A．（0，1，6）B．（-1，2，-1）C．（-15，4，36）D．（15，4，-36）答案：设平面AOB（O是坐标原点）的一个法向量是u=（x，y，z）则u•OA=0u•OB=0，即-4x+6y-z=04x+3y+2z=0，令x=-1，解得x=-1y=2z=-1，故u=（-1，2，-1），故选B．39.极坐标方程ρcos2θ=0表示的曲线为（）

A．极点

B．极轴

C．一条直线

D．两条相交直线答案：D40.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1与C2的参数方程分别为x=ty=t（t为参数）和x=2cosθy=2sinθ（θ为参数），则曲线C1与C2的交点坐标为______．答案：在平面直角坐标系xOy中，曲线C1与C2的普通方程分别为y2=x，x2+y2=2．解方程组y2=xx2

+y2=2

可得x=1y=1，故曲线C1与C2的交点坐标为（1，1），故为（1，1）．41.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：x=22t+1y=22t，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．答案：曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x2+y2-4x=0，即（x-2）2+y2=4直线l的参数方程x=22t+1y=22t，化为普通方程为x-y-1=0，曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为12=22所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长24-12=14．42.如图，以1×3方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？

答案：模为1的向量；模为2的向量；模为3的向量；模为2的向量；模为5的向量；模为10的向量共有6个模，进而分析方向，正方形的边对应的向量共有四个方向，边长为1的正方形的对角线对应的向量共四个方向；1×2的矩形的对角线对应的向量共四个方向；1×3的矩形对角线对应的向量共有四个方向共有16个方向43.已知f（x）=1-（x-a）（x-b），并且m，n是方程f（x）=0的两根，则实数a，b，m，n的大小关系可能是（）

A．m＜a＜b＜n

B．a＜m＜n＜b

C．a＜m＜b＜n

D．m＜a＜n＜b答案：A44.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为（）

A．2.44

B．3.376

C．2.376

D．2.4答案：C45.用0、1、2、3、4、5这6个数字，可以组成无重复数字的五位偶数的个数为______（用数字作答）．答案：末尾是0时，有A55=120种；末尾不是0时，有2种选择，首位有4种选择，中间有A44，故有2×4×A44=192种故共有120+192=312种．故为：31246.已知集合M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N．求a、b的值．答案：由M=N及集合中元素的互异性，得a=2ab=b2

①或a=b2b=2a

②解①得：a=0b=1或a=0b=0，解②得：a=14b=12，当a=0b=0时，违背了集合中元素的互异性，所以舍去，故a、b的值为a=0b=1或a=14b=12．47.在△ABC所在平面存在一点O使得OA+OB+OC=0，则面积S△OBCS△ABC=______．答案：∵OA+OB+OC=0，∴OB+

OC=AO，设OB+OC=OD∴O是AD的中点，要求面积之比的两个三角形是同底的三角形，∴面积之比等于三角形的高之比，∴比值是13，故为：13．48.方程组的解集为（）

A．{2，1}

B．{1，2}

C．{（2，1）}

D．（2，1）答案：C49.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为33，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；

（3）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上，且满足QR•RS=0，求|QS|的取值范围．答案：（1）由e=33得2a2=3b2，又由直线l：y=x+2与圆x2+y2=b2相切，得b=2，a=3，∴椭圆C1的方程为：x23+y22=1．（4分）（2）由MP=MF2得动点M的轨迹是以l1：x=-1为准线，F2为焦点的抛物线，∴点M的轨迹C2的方程为y2=4x．（8分）（3）Q（0，0），设R(y214，y1)，S(y224，y2)，∴QR=(y214，y1)，RS=(y22-y214，y2-y1)，由QR•RS=0，得y21(y22-y21)16+y1(y2-y1)=0，∵y1≠y2∴化简得y2=-y1-16y1，（10分）∴y22=y21+256y21+32≥2256+32=64（当且仅当y1=±4时等号成立），∵|QS|=(y224)2+y22=14(y22+8)2-64，又∵y22≥64，∴当y22=64，即y2=±8时|QS|min=85，∴|QS|的取值范围是[85，+∞)．（13分）50.若函数f（x）=x+1的值域为（2，3]，则函数f（x）的定义域为______．答案：∵f（x）=x+1的值域为（2，3]，∴2＜x+1≤3∴1＜x≤2故为：（1，2]第3卷一.综合题(共50题)1.设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．图中给出了程序的一部分，则在横线①上不能填入的数是（）

A．13

B．13.5

C．14

D．14.5答案：A2.某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是______；众数是______．

答案：将比赛中的得分按照从小到大的顺序排，中间两个数为23，23，所以这组数据的中位数是23，所有的数据中出现次数最多的数是23故为23；233.如图，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则必有（）A．k1＜k3＜k2B．k3＜k1＜k2C．k1＜k2＜k3D．k3＜k2＜k1答案：设直线l1、l2、l3的倾斜角分别为α1，α2，α3．由已知为α1为钝角，α2＞α3，且均为锐角．由于正切函数y=tanx在（0，π2）上单调递增，且函数值为正，所以tanα2＞tanα3＞0，即k2＞k3＞0．当α为钝角时，tanα为负，所以k1=tanα1＜0．综上k1＜k3＜k2，故选A．4.设函数f（x）定义如下表，数列{xn}满足x0=5，且对任意自然数均有xn+1=f（xn），则x2004的值为（）

A．1B．2C．4D．5答案：由于函数f（x）定义如下表：故数列{xn}满足：5，2，1，4，5，2，1，…是一个周期性变化的数列，周期为：4．∴x2004=x0=5．故选D．5.圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ．

（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求经过圆O1，圆O2交点的直线的直角坐标方程．答案：以有点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1）x=ρcosθ，y=ρsinθ，由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ．所以x2+y2=4x．即x2+y2-4x=0为圆O1的直角坐标方程．…．（3分）同理x2+y2+4y=0为圆O2的直角坐标方程．…．（6分）（2）由x2+y2-4x=0x2+y2+4y=0解得x1=0y1=0x2=2y2=-2．即圆O1，圆O2交于点（0，0）和（2，-2）．过交点的直线的直角坐标方程为y=-x．…（10分）6.已知a，b

，c满足a+2c=b，且a⊥c，|a|=1，|c|=2，则|b|=______．答案：根据题意，a⊥c?a?c=0，则|b|2=（a+2c）2=a2+4c2=17，则|b|=17；故为17．7.设复数z满足条件|z|=1，那么|z+22+i|的最大值是______．答案：∵|z|=1，∴可设z=cosα+sinα，于是|z+22+i|=|cosα+22+(sinα+1)i|=(cosα+22)2+(sinα+1)2=10+6sin(α+θ)≤10+6=4．∴|z+22+i|的最大值是4．故为48.若a2+b2=4，则两圆（x-a）2+y2=1和x2+（y-b）2=1的位置关系是______．答案：若a2+b2=4，由于两圆（x-a）2+y2=1和x2+（y-b）2=1的圆心距为(a-0)2+(0-b)2=a2+b2=2，正好等于两圆的半径之和，故两圆相外切，故为相外切．9.刻画数据的离散程度的度量，下列说法正确的是（）

（1）应充分利用所得的数据，以便提供更确切的信息；

（2）可以用多个数值来刻画数据的离散程度；

（3）对于不同的数据集，其离散程度大时，该数值应越小．

A．（1）和（3）

B．（2）和（3）

C．（1）和（2）

D．都正确答案：C10.已知e1，e2是夹角为60°的单位向量，且a=2e1+e2，b=-3e1+2e2

（1）求a•b；

（2）求a与b的夹角＜a，b＞．答案：（1）求a•b=(2e1+e2)•

(-3e1+2e2)=

-6e12+e1

•e2+2e22=-6+1×1×cos60°+2=-72．（2）|a|=|2e1+e2|=(2e1+e2)2=4e12+2e1•e2+e22=7同样地求得|b|=7．所以cos＜a，b＞=a•b|a||b|=-727

×7=-12，又0＜＜a，b＞＜π，所以＜a，b＞=2π3．11.以直线x+3=0为准线的抛物线的标准方程是______．答案：由题意，抛物线的焦点在x轴上，焦点坐标为（3，0），∴抛物线的标准方程是y2=12x故为：y2=12x12.若圆O1方程为（x+1）2+（y+1）2=4，圆O2方程为（x-3）2+（y-2）2=1，则方程（x+1）2+（y+1）2-4=（x-3）2+（y-2）2-1表示的轨迹是（）

A．经过两点O1，O2的直线

B．线段O1O2的中垂线

C．两圆公共弦所在的直线

D．一条直线且该直线上的点到两圆的切线长相等答案：D13.某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为（）

A．0.4

B．1.2

C．0.43

D．0.6答案：B14.已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，则的值（）

A．3

B．

C．2

D．答案：B15.已知A（3，4，5），B（0，2，1），O（0，0，0），若，则C的坐标是（）

A．（-，-，-）

B．（，-，-）

C．（-，-，）

D．（，，）答案：A16.如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是正确的，则下列命题中正确的是（）

A．曲线C是方程f（x，y）=0的曲线

B．方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上

C．不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上

D．方程f（x，y）=0是曲线C的方程答案：C17.已知点M在z轴上，A（1，0，2），B（1，-3，1），且|MA|=|MB|，则点M的坐标是

______．答案：∵点M在z轴上，∴设点M的坐标为（0，0，z）又|MA|=|MB|，由空间两点间的距离公式得：12+02+(z-2)2=12+32+(z-1)2解得：z=-3．故点M的坐标是（0，0，-3）．故为：（0，0，-3）．18.设b是a的相反向量，则下列说法错误的是（）

A．a与b的长度必相等

B．a与b的模一定相等

C．a与b一定不相等

D．a是b的相反向量答案：C19.如图所示，图中线条构成的所有矩形中（由6个小的正方形组成），其中为正方形的概率为

______．答案：它的长有10种取法，由长与宽的对称性，得到它的宽也有10种取法；因为，长与宽相互独立，所以得到长X宽的个数有：10X10=100个即总的矩形的个数有：100个长=宽的个数为：（1X1的正方形的个数）+（2X2的正方形个数）+（3X3的正方形个数）+（4X4的正方形个数）=16+9+4+1=30个即正方形的个数有：30个所以为正方形的概率是30100=0.3故为0.320.设集合A={x|x＜1，x∈R}，B={x|1x＞1，x∈R}，则下列图形能表示A与B关系的是（）A．

B．

C．

D．

答案：B={x|1x＞1}={x|0＜x＜1}，所以B?A．所以对应的关系选A．故选A．21.如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，，，

.则⊙O的半径为（

）.

A.6

B.13

C.

D.答案：C解析：分析：延长AO交BC于D，接OB，根据AB=AC，O是等腰Rt△ABC的内心，推出AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，求出∠BAD=∠ABD=45°，AD=BD=3，由勾股定理求出OB即可．解答：解：延长AO交BC于D，连接OB，∵⊙O过B、C，∴O在BC的垂直平分线上，∵AB=AC，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∴AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，∵∠BAC=90°，∴∠ADB=90°，∠BAD=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD=3，∴OD=3-1=2，由勾股定理得：OB==故选C．22.用“斜二测画法”作正三角形ABC的水平放置的直观图△A′B′C′，则△A′B′C′与△ABC的面积之比为______．答案：设正三角形的标出为：1，正三角形的高为：32，所以正三角形的面积为：34；按照“斜二测画法”画法，△A′B′C′的面积是：12×1×34×sin45°=616；所以△A′B′C′与△ABC的面积之比为：61634=24，故为：2423.下列命题中为真命题的是（

）

A．平行直线的倾斜角相等

B．平行直线的斜率相等

C．互相垂直的两直线的倾斜角互补

D．互相垂直的两直线的斜率互为相反数答案：A24.已知x1,x2,…,xn都是正数，且x1+x2+…+xn=1,求证：

++…+≥n2.答案：证明略解析：证明

++…+=(x1+x2+…+xn)（

++…+）≥=n2.25.已知点A（-1，-2），B（2，3），若直线l：x+y-c=0与线段AB有公共点，则直线l在y轴上的截距的取值范围是（）

A．[-3，5]

B．[-5，3]

C．[3，5]

D．[-5，-3]答案：A26.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的（

）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件答案：C27.设双曲线的渐近线方程为2x±3y=0，则双曲线的离心率为______．答案：∵双曲线的渐近线方程是2x±3y=0，∴知焦点是在x轴时，ba=23，设a=3k，b=2k，则c=13k，∴e=133．焦点在y轴时ba=32，设a=2k，b=3k，则c=13k，∴e=132．故为：133或13228.若=（2，-3，1），=（2，0，3），=（0，2，2），则•（+）=（）

A．4

B．15

C．7

D．3答案：D29.点M（4，）化成直角坐标为（）

A．（2，）

B．（-2，-）

C．（，2）

D．（-，-2）答案：B30.已知f（x）=1-（x-a）（x-b），并且m，n是方程f（x）=0的两根，则实数a，b，m，n的大小关系可能是（）

A．m＜a＜b＜n

B．a＜m＜n＜b

C．a＜m＜b＜n

D．m＜a＜n＜b答案：A31.已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程．答案：∵P（2，3）在已知直线上，2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0．∴2（a1-a2）+3（b1-b2）=0，即b1-b2a1-a2=-23．∴所求直线方程为y-b1=-23（x-a1）．∴2x+3y-（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0．32.设A、B、C、D是半径为r的球面上的四点，且满足AB⊥AC、AD⊥AC、AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是[

]A、r2

B、2r2

C、3r2

D、4r2答案：B33.为求方程x5-1=0的虚根，可以把原方程变形为（x-1）（x2+ax+1）（x2+bx+1）=0，由此可得原方程的一个虚根为______．答案：由题可知（x-1）（x2+ax+1）（x2+bx+1）=（x-1）[x4+（a+b）x3+（2+ab）x2+（a+b）x+1]比较系数可得a+b=1ab+2=1，∴a=1+52，b=1-52∴原方程的一个虚根为-1-5±10-25i4，-1+5±10+25i4中的一个故为：-1-5+10-25i4．34.设F1，F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且P、F1、F2三点构成一直角三角形，则点P的纵坐标为______．答案：由题意，P是第一象限