1 数理经济学的性质 课件

第1章数理经济学的性质数理经济学(mathematicaleconomics)指采用数学符号描述经济问题，并运用已有的数学原理进行推理的分析方法及其体系。1.1数学与经济学1.2数理经济模型1.3最优化问题

1.1数学与经济学1.1.1经济学的数学化1.1.2数学之于经济学的意义1.1.3经济学数学化的代价l

1.1.1经济学的数学化20世纪30年代后，经济学开始数学化今天，高等数学是从事学术研究的基本技能经济学在总体上具备物理学研究的架构借助数学模型，提出理论假说，刻画经济事实概括观察结果，用实际数据(一般指统计数据)检验理论假说的真伪。数学在经济学中的应用理论研究(theoreticalanalysis)工具经验研究(empiricalanalysis)工具

1.1.2数学之于经济学的意义建模是经济学家的首要工作经济模型集中于探讨经济问题的核心方面建模形式文字描述物理模型数学模型理论研究采用文字描述、物理模型或运用数学符号，无实质差别数学模型更便于演绎推理，并使表述更言简意赅

数理模型的优势促使分析者在推理过程中做出明确假设揭示了直觉判断的局限性，有时能够挖掘出与直觉判断相悖的特例便于交流

1.1.3经济学数学化的代价让经济理论变得狭隘经济理论变得更简单，逻辑性更强，数量更多对数理模型进行统计检验逐渐成为标准的程序一种批评：借助数学推导的理论是不现实的理论在本质上是不现实的“不现实”既适用于数理经济理论，也适用非数理性的经济理论关于数理性的经济理论缺乏现实性的批评不是一种有效的批评

1.2数理经济模型1.2.1超越几何学方法使我们能够处理个变量的一般情形。

1.2.2经济模型经济模型的构成经济主体:消费者、工人、厂商和政府等。经济环境：对经济主体产生影响，但又在主体的可控能力之外选择(choices)：反映主体对环境时的判断决策理性假设。有时直接表示选择来建模：如消费者效用最大化有时以选择的结果来建模：如供求模型或一些宏观经济模型

均衡解(equilibriumsolution)均衡是经济主体的选择及其相互作用的后果均衡表明，除非经济环境发生变化，否则经济变量不会有变动的趋势均衡可以表示两类情形经济主体的最优决策是由经济环境决定表示经济变量(比如，供求模型中的价格和数量，或者宏观经济模型中的国内生产总值)如何由经济环境决定。分析分析目的是预测经济行为的变化，借助这种预测，经济学家能够回答重要的经济问题

例子：厂商厂商：寻求利润最大化目标的主体经济环境生产技术，投入品的供应单，产出的需求曲线，可能的税收或政府管制等。选择投入品的使用，产出水平，研究与开发支出，广告支出等均衡反映厂商的决策如何由经济环境决定。模型的价值取决于其预测能力比如，提高工薪税如何影响厂商的劳动与资本组合及其产出水平，或者，技术变化对利润水平的影响。

经济模型复杂程度的控制方法简化数学假设如假定产品需求曲线是线性的。将特定要素放在经济环境而非选择集中如假定产品质量由技术决定，而非厂商决定假定有些问题已经在其他的模型中得以解决如：将成本刻画为产出的函数，并假定，无论产出水平如何，厂商总是通过调整投入以最小化其成本包含以上所有方法，按步骤建模。这意味着以非常简单的假定开始建模，然后放松假定，再次求解。1.2.3数理模型建模有其自身的术语和定义例：厂商决策目标假定：利润最大化经济环境界定可供选择的经济环境是竞争性市场？还是垄断市场？是否存在研发投入？是否存在广告投入？厂商是否受到政府管制或税收的约束？

简单假设完全竞争市场；生产技术固定厂商(在模型之外)选择使其成本最小化的劳动—资本组合不存在税收或管制。数学表示假设(a)意味厂商以价格出售任意数量的产品；假设(b)和(c)表明厂商的总成本可视为产出的函数；假设(d)意味着可在厂商不受政府影响的情况下建模。经济环境的数学表示外生变量(exogenousvariables)~内生变量(endogenousvariables)外生变量：不受经济主体影响或控制，通常指给定参数内生变量：依赖主体的选择，由模型决定变量是外生或内生，随模型而定，因模型而异选择：最优产出(optimaloutput)，表达为供给函数：比较静态分析(comparativestatics)：预测环境变化怎样影响该变量数学上对参数进行求导：多数情形下我们感兴趣于定性结果，即外生变量变动时导数的符号只在少数场合中，我们才感兴趣于定量结果1.3最优化问题1.3.1符号所有向量都为列向量内积(innerproduct),,,,为的向量值的函数，即，则的阶Jacobi矩阵其中是关于的偏导数在点的取值，同时是的第行列元素

，为实值函数，则：为行向量，或者等价地为矩阵。表明实值函数关于列向量的导数为行向量称为梯度(gradient)，表示为。

符号扩展设为函数，其中和则是由式(1-1)给出的雅可比矩阵而则是由同一定义给出的雅可比矩阵。

设为函数，它在点处的Hessi矩阵其中的二阶偏导数。Hessi矩阵通常表示为Hessi矩阵是阶实对称的。

1.3.2参数约束最优化问题参数约束最优化问题(parametricconstrainedoptimizationproblem，PCOP)是目标函数(objectivefunction)是选择变量(choicevariables)是可行集(feasibleset)，约束着选择变量的活动范围是能够影响目标函数和选择集的外生参数

例1.1消费者问题((theconsumer’sproblem))消费组合(consumptionbundle)，消费集(consumptionset)是所有可行的消费组合的集合，消费者问题:在中选择可行的消费组合，获得最大满足。消费者的满足表示为连续效用函数预算集(budgetset)

消费者问题其中，效用函数是消费者的目标函数，预算集可行集，是选择变量，价格和收入是外生参数。

竞争性厂商生产计划(productionplan)：净产出(netoutput)，即产出减去投入。生产可能性集(productionpossibilityset)净收入函数

竞争性厂商的行为净收入函数是厂商的目标函数，是选择变量，是可行集，是外生参数。

最优化问题分析的主要对象解集(solutionset)如果问题有多个解，则是具有多个元素的集合。值函数(valuefunction)

例1.3(间接效用函数)例1.1消费者问题的最优解衡量消费者在给定价格和收入时的最佳消费组合。一般将称为商品的需求函数。而这一问题的值函数称为消费者的间接效用函数(indirectutilityfunction)。

例1.3(利润函数)例1.2中的竞争性厂商的值函数：称为厂商的利润函数(profitfunction)。

例1.4(成本函数)种投入，一种产出，生产计划生产可能性集：投入要求集(inputrequirementset)：，成本最小化厂商一种产出，投入价格投入组合成本最小化问题:值函数：称为成本函数(costfunction)。

数理经济模型关注的问题解的存在性：，最优化问题是否有解？解的连续性：解集和值函数是否随参数连续变动？求解方法：如何求出最优化问题的解？比较分析：解集和值函数如何随参数变化？

最大化问题与最小化问题

1.3.3静态优化问题静态优化问题(staticoptimizationproblems) (1.3)可行集即目标函数的定义域、个约束函数的定义域，以及使个不等式成立的变量的集合之交。

拟凹规划问题拟凹，拟凹规划问题(convexprogrammingproblems)：目标函数拟凹，约束函数拟凸。

1.3.4动