新高考数学二轮复习专题讲测练专题15 周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用（精讲精练）（原卷版）

专题15周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用【命题规律】从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想．【核心考点目录】核心考点一：函数单调性的综合应用核心考点二：函数的奇偶性的综合应用核心考点三：已知SKIPIF1<0奇函数SKIPIF1<0核心考点四：利用轴对称解决函数问题核心考点五：利用中心对称解决函数问题核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题核心考点七：类周期函数核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性核心考点九：函数性质的综合【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数SKIPIF1<0的定义域为R，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．0 D．12．（2022·全国·统考高考真题）已知函数SKIPIF1<0的定义域均为R，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数SKIPIF1<0及其导函数SKIPIF1<0的定义域均为SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为偶函数，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·全国·统考高考真题）若SKIPIF1<0是奇函数，则SKIPIF1<0_____，SKIPIF1<0______．【方法技巧与总结】1、单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0定义域内一个区间上的任意两个量，且SKIPIF1<0；②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；③定号：判断差的正负或商与SKIPIF1<0的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若SKIPIF1<0是增函数，则SKIPIF1<0为减函数；若SKIPIF1<0是减函数，则SKIPIF1<0为增函数；②若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均为增（或减）函数，则在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的公共定义域上SKIPIF1<0为增（或减）函数；③若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为增函数，则函数SKIPIF1<0为增函数，SKIPIF1<0为减函数；④若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为减函数，则函数SKIPIF1<0为减函数，SKIPIF1<0为增函数．2、奇偶性技巧（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数SKIPIF1<0是偶函数SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0轴对称；函数SKIPIF1<0是奇函数SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处有意义，则有SKIPIF1<0；偶函数SKIPIF1<0必满足SKIPIF1<0．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）若函数SKIPIF1<0的定义域关于原点对称，则函数SKIPIF1<0能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如SKIPIF1<0．对于运算函数有如下结论：奇SKIPIF1<0奇=奇；偶SKIPIF1<0偶=偶；奇SKIPIF1<0偶=非奇非偶；奇SKIPIF1<0奇=偶；奇SKIPIF1<0偶=奇；偶SKIPIF1<0偶=偶．（7）复合函数SKIPIF1<0的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．（8）常见奇偶性函数模型奇函数：=1\*GB3①函数SKIPIF1<0或函数SKIPIF1<0．=2\*GB3②函数SKIPIF1<0．=3\*GB3③函数SKIPIF1<0或函数SKIPIF1<0=4\*GB3④函数SKIPIF1<0或函数SKIPIF1<0．注意：关于=1\*GB3①式，可以写成函数SKIPIF1<0或函数SKIPIF1<0．偶函数：=1\*GB3①函数SKIPIF1<0．=2\*GB3②函数SKIPIF1<0．=3\*GB3③函数SKIPIF1<0类型的一切函数．④常数函数3、周期性技巧SKIPIF1<04、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数SKIPIF1<0有两条对称轴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0是周期函数，且SKIPIF1<0；（2）若函数SKIPIF1<0的图象有两个对称中心SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0是周期函数，且SKIPIF1<0；（3）若函数SKIPIF1<0有一条对称轴SKIPIF1<0和一个对称中心SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0是周期函数，且SKIPIF1<0．5、对称性技巧（1）若函数SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0．（2）若函数SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0．（3）函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于原点对称．【核心考点】核心考点一：函数单调性的综合应用【典型例题】例1．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的减函数，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例2．（2023·全国·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例3．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则下列正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考点二：函数的奇偶性的综合应用【典型例题】例4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0为偶函数，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例5．（2023·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例6．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则使不等式SKIPIF1<0成立的实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例7．（2023·全国·高三专题练习）定义在SKIPIF1<0上的奇函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例8．（2023春·广西·高三期末）SKIPIF1<0是定义在R上的函数，SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0（

）A．－1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1例9．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）若函数f（x）=SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0恒成立的实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考点三：已知SKIPIF1<0奇函数+M【典型例题】例10．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知SKIPIF1<0（a，b为实数），SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．例11．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．3 C．－2 D．－3例12．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）A．4 B．8 C．12 D．16核心考点四：利用轴对称解决函数问题【典型例题】例13．（2022·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5例14．（2021春·高一单元测试）设函数SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．（0，2] B．SKIPIF1<0C．[2，＋∞） D．SKIPIF1<0∪[2，＋∞）例15．（2021春·西藏拉萨·高三校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小关系（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0核心考点五：利用中心对称解决函数问题【典型例题】例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的偶函数，且SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例17．（2021春·安徽六安·高三校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0为奇函数，若函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象共有SKIPIF1<0个交点为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例18．（2021春·贵州黔东南·高一凯里一中校考期中）已知函数SKIPIF1<0是奇函数，若函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象的交点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例19．（2022春·湖北恩施·高一恩施市第一中学校考阶段练习）已知定义在R上的奇函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴交点的横坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例20．（2021春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0个零点，则所有这些零点之和为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题【典型例题】例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0为奇函数，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例22．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0的定义域为R，SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0（

）A．16 B．20 C．24 D．28例23．（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R上的偶函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．若直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0恰有三个公共点，那么实数a的取值的集合为（

）A．SKIPIF1<0（SKIPIF1<0） B．SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）C．SKIPIF1<0（SKIPIF1<0） D．SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）例24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0图象与SKIPIF1<0的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例25．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<01，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．-1 C．0 D．2例26．（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R上的偶函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．若直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0恰有三个公共点，那么实数a的取值的集合为（

）A．SKIPIF1<0（SKIPIF1<0） B．SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）C．SKIPIF1<0（SKIPIF1<0） D．SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）例27．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0图象与SKIPIF1<0的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例28．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<01，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．-1 C．0 D．2核心考点七：类周期函数【典型例题】例29．（2022·天津一中高三月考）定义域为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例30．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例31．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性【典型例题】例32．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立．有以下结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的偶函数；③若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；④当SKIPIF1<0时，恒有SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．则上述所有正确结论的编号是________例33．（2022·山东聊城·二模）已知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的奇函数，SKIPIF1<0，若对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，都有SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例34．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R上的奇函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例35．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R的偶函数满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则方程SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上所有解的和为（

）A．8 B．7 C．6 D．5【典型例题】例36．（2023·上海·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，在SKIPIF1<0上是增函数，且SKIPIF1<0恒成立，则不等式SKIPIF1<0的解集为______．例37．（2023春·山东济南·高三统考期中）已知SKIPIF1<0是定义域为R的奇函数，SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0__________．例38．（2023春·重庆璧山·高三校联考阶段练习）设a＞0，b＞0，若关于x的方程SKIPIF1<0恰有三个不同的实数解x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3＝b，则a+b的值为______．例39．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的偶函数，对于任意的SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的所有零点之和为______；【新题速递】一、单选题1．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）己知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图像的公共点个数为n，且这些公共点的横坐标从小到大依次为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，则下列说法正确的有（

）个①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0

②若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0③若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0

④若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·青海海东·统考一模）已知函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数C．SKIPIF1<0的单调性与SKIPIF1<0有关D．若不等式SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<03．（2023·青海海东·统考一模）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，正实数a，b满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．SKIPIF1<05．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）若正实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知f（x），g（x）分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且SKIPIF1<0，若关于x的不等式SKIPIF1<0在（0，ln2）上恒成立，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2023春·江苏南京·高三统考阶段练习）设SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2023春·辽宁·高三校联考期中）已知偶函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，则满足SKIPIF1<0的x的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题9．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0的定义域为R，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导函数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为偶函数，则下列一定成立的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的定义域均为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶函数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列说法正确的有（

）A．函数SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0对称 B．函数SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0对称C．函数SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为周期的周期函数 D．函数SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为周期的周期函数11．（