齐达艺术生文化课之2009宁夏理数

实用标准文案2009年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数学（理工农医类）第I卷一， 选择题：（本大题共 12题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的。（1） 已知集合 A 1,3,5,7,9,B 0,3,6,9,12,则AICNB(A)1,5,7(B)(C)1,3,9(D)解析：易有ACNB1,5,7，选A(2)复数32i32i

3,5,71,2,323i23i（A）0（B）2（C）-2i(D)2解析：32i32i32i23i32i23i26i2i,选D131323i23i13（3）对变量x,y有观测数据理力争（x1，y1）（i=1,2,⋯，10），得散点图1；对变量u，有观测数据（u1，v1）（i=1,2,⋯，10）,得散点图2.由这两个散点图可以判断。（A）变量x与y正相关，u与v正相关 （B）变量x与y正相关，u与v负相关（C）变量x与y负相关，u与v正相关 （D）变量x与y负相关，u与v负相关解析：由这两个散点图可以判断 ,变量x与y负相关，u与v正相关,选C（4）双曲线 x2-y2=1的焦点到渐近线的距离为4 12（A）2 3 （B）2 （C） 3 （D）1精彩文档实用标准文案解析：双曲线x2-y2到渐近线y3x的距离为d340=1的焦点(4,0)223,选412A（5）有四个关于三角函数的命题：p1：xR,sin2x+cos2x=1p2:x、yR,sin(x-y)=sinx-siny222p3:x0,,1cos2xp4:sinx=cosyx+y=2=sinx2其中假命题的是（A）p1，p4（B）p2，p4（3）p1，p3（4）p2，p4解析：p1：xR,sin2x+cos2x=1是假命题；p2是真命题，如x=y=0时成立；p3是真222命题，x0,,sinx01cos2xsin2xsinxsinx=sinx；p4是假命题，，2如x= ,y=2 时，sinx=cosy,但x+y2 2

。选A.2xy4（6）设x,y满足xy1,则zxyx2y2（A）有最小值2，最大值3（B）有最小值2，无最大值（C）有最大值3，无最小值（D）既无最小值，也无最大值解析：画出可行域可知，当zxy过点（2，0）时，zmin2，但无最大值。选B.（7）等比数列an的前n项和为sn，且4a1，2a2，a3成等差数列。若a1=1，则s4=（A）7（B）8（3）15（4）16解析：4a1，2a2，a3成等差数列，4a1a32240,q2，S415,选C.4a2,即4a1a1q4a1q,q4q（8）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF2，则下列结论中错误的2是A）ACBEB）EF//平面ABCD精彩文档实用标准文案C）三棱锥ABEF的体积为定值D）异面直线AE,BF所成的角为定值解析：A正确，易证AC平面D1DBB1，从而ACBE;B显然正确，EF//BD,EF//平面ABCD易证；C正确，可用等积法求得；D错误。选D.（9）已知O，N，P在ABC所在平面内，且OAOBOC,NANBNC0，且PAPBPBPCPCPA，则点O，N，P依次是ABC的（A）重心外心垂心（B）重心外心内心（C）外心重心垂心（D）外心重心内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）解析：由OAOBOC知,O为ABC的外心；由NANBNC0知，O为ABC的重心;PAPBPBPC，PAPCPB0，CAPB0,CAPB,同理，APBC,P为ABC的垂心，选C.（10）如果执行右边的程序框图，输入x2,h0.5，那么输出的各个数的合等于（A）3（B）3.5（C）4（D）4.5解析：选B.（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为（A）48+122（B）48+242（C）36+122（D）36+242解析：选A.12）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值设f（x）=min{2x,x+2,10-x}(x 0),则f（x）的最大值为（A）4 （B）5 （C）6 （D）7解析：选 C第II 卷二、填空题；本大题共 4小题，每小题 5分。（13）设已知抛物线 C的顶点在坐标原点，焦点为 F(1，0)，直线l与抛物线 C相交于 A，B两点。若 AB的中点为（2，2），则直线 的方程为_____________.解 析 ： 抛 物 线 的 方 程 为 y2 4x ，精彩文档实用标准文案Ax1,y1,Bx2,y2,则有x1y124x1x2，4x2y22两式相减得，y12y224x1x2，y1y241x1x2y1y2直线l的方程为y-2=x-2,即y=x答案：y=x（14）已知函数y=sin（x+）（>0,-<）的图像如图所示，则=________________T5,4,把解析：由图可知，2581=sin,5答案：910（15）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种（用数字作答）。解析：C73C43140，答案：14016）等差数列{an}前n项和为Sn。已知am1+am1-a2m=0，S2m1=38,则m=_______解析：由am1+am1-a2m=0得到2amam20,am0,2又S2m12m1a1am22m11am38m10。2答案10三、解答题：解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。精彩文档实用标准文案解：方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1,1；B点到M，N的俯角2,2；A，B的距离d（如图）所示）.⋯⋯⋯.3分②第一步：计算 AM.由正弦定理第二步：计算 AN. 由正弦定理第三步：计算 MN.由余弦定理

dsin2；AM2)sin(1dsin2；AN1)sin(2MNAM2AN22AMANcos(11).方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1，1；B点到M，N点的府角2，2；A，B的距离d（如图所示）.②第一步：计算BM.由正弦定理BMdsin1；2)sin(1dsin1；第二步：计算BN.由正弦定理BNsin(21)第三步：计算MN.由余弦定理MNBM2BN22BMBNcos(22)（18）（本小题满分12分）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人精彩文档实用标准文案中共抽查 100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数） 。（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为 A类工人，乙为 B类工人；（II）从A类工人中的抽查结果和从 B类工人中的抽插结果分别如下表 1和表2.表1：生产能力分 100,110 110,120 120,130 130,140 140,150组人数 4 8 x 5 3表2：生产能力分组 110,120 120,130 130,140 140,150人数 6 y 36 18（i）先确定 x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言， A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(18)解：（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均为1，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”10相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为p1111010.100（Ⅱ）（i）由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名.故48x525，得x5，6y361875，得y15.频率分布直方图如下精彩文档实用标准文案从直方图可以判断：B类工人中个体间的关异程度更小.（ii）xA41058115512551353145123，2525252525xB6115153613518145133.8，75751257575x2512375133.8131.1100100类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的会计值分别为 123，133.8和131.1.（19）（本小题满分 12分）如图，四棱锥 S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的 2倍，P为侧棱SD上的点。（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角 P-AC-D的大小（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱 SC上是否存在一点 E，使得BE∥平面PAC。若存在，求 SE：EC的值；若不存在，试说明理由。（19）解法一：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO AC。在正方形ABCD中，AC BD，所以AC 平面SBD,得AC SD.( Ⅱ)设正方形边长 a，则SD 2a。又OD 2a，所以SOD600,2连OP，由（Ⅰ）知 AC 平面SBD,所以AC OP,且AC OD,所以 POD是二面角P AC D的平面角。精彩文档实用标准文案由SD平面PAC,知SDOP,所以POD300,即二面角PACD的大小为300。（Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使BE//平面PAC由（Ⅱ）可得PD2a，故可在SP上取一点N,使PNPD,过N作PC的平行线4与SC的交点即为E。连BN。在BDN中知BN//PO，又由于NE//PC,故平面BEN//平面PAC，得BE//平面PAC,由于,故.SN：NP21：SE：EC21：解法二：（Ⅰ）；连BD,设AC交于BD于O，由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点，OB，OC，OS分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系Oxyz如图。设底面边长为a，则高SO6a。2于是S(0,0,6a),D(2a,0,0)22C(0,2a,0)2OC(0,2a,0)2SD(2a,0,6a)22OCSD 0故OCSD从而ACSD(Ⅱ)由题设知，平面PAC的一个法向量DS(2a,0,6a)，平面DAC的一22个法向量OS)0,0,6a)，设所求二面角为，则cosOSDS3,所求二面角的大2OSDS2小为300精彩文档实用标准文案（Ⅲ）在棱SC上存在一点E使BE//平面PAC.由（Ⅱ）知DS是平面PAC的一个法向量，且DS（2a,0,6a),CS(0,2a,6a)2222设CEtCS,则BEBCCEBCtCS(2a,2a(1t),6at)222而BEDC01t3即当SE:EC2:1时，BEDS而BE不在平面PAC内，故BE//平面PAC20）（本小题满分12分）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（Ⅰ）求椭圆 C的方程；（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，OP=λ，求点M的OM轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。20）解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a，c，由已知得ac14,c3，,解得aac7所以椭圆C的标准方程为x2y21167OP2（Ⅱ）设M(x,y)，其中x4,4。由已知22及点P在椭圆C上可得OM9x21122。16(x2y2)整理得(1629)x2162y2112，其中x4,4。精彩文档实用标准文案（i）3时。化简得9y21124所以点M的轨迹方程为y47(4x4)，轨迹是两条平行于x轴的线段。3（ii）3x2y21，其中x4,4时，方程变形为11211241629162当03时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足4x4的4部分。当分；

31时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在 x轴上的椭圆满足 4 x 4的部4当 1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在 x轴上的椭圆；（21）（本小题满分 12分）已知函数 f(x) (x3 3x2 ax b)ex（I） 如a b 3，求f(x)的单调区间；（II） 若f(x)在( , ),(2, )单调增加，在 ( ,2),( , )单调减少，证明6.21）解：（Ⅰ）当ab3时，f(x)(x33x23x3)ex，故f'(x)(x33x23x3)ex(3x26x3)exex(x39x)(3)(x3)xxxe当x3或0x3时，f'(x)0;当3x0或x3时，f'(x)0.从而f(x)在(,3),(0,3)单调增加，在（3，0），（3，）单调减少.(Ⅱ)f'(x)(x33x2axb)ex(3x26xa)exex[x3(a6)xba].精彩文档实用标准文案由条件得：f'(2)0,即232(a6)ba0,故b4a,从而f'(x)ex[x3(a6)x42a].因为f'()f'()0,所以x3(a6)x42a(x2)(x)(x)(x2)(x2()x).将右边展开，与左边比较系数得，2,a2.故()24124a.又(2)(2)0,即2()40.由此可得a6.于是6.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。（22）本小题满分 10分）选修 4-1：几何证明选讲如图，已知 ABC的两条角平分线 AD和CE相交于H， B 600，F在AC上，且AEAF。I）证明：B,D,H,E四点共圆：II）证明：CE平分DEF。22）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA=120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC+∠HCA=60°，故∠AHC=120°.于是∠EHD=∠AHC=120°.因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E四点共圆.（Ⅱ）连结 BH,则BH为∠ABC的平分线，得∠ HBD=30°由（Ⅰ）知 B,D,H,E四点共圆，所以∠CED=∠HBD=30°.又∠AHE=∠EBD=60