PPT5-1：轴向拉伸与压缩

压力：与端面外法线方向相反的轴向载荷。拉力：与端面外法线方向相同的轴向载荷。轴向拉伸：杆件在拉力作用下轴向尺寸伸长、横向尺寸缩小。§5-1

轴向拉伸与压缩的概念和工程实例F

轴向拉伸

轴向压缩FFFF轴向载荷：作用在直杆上，作用线与轴线重合的外力。轴向压缩：杆件在压力作用下轴向尺寸缩短、横向尺寸变大。§5-2

轴向拉伸和压缩时的内力和应力杆的受力特点：外力（或外力的合力）的作用线与杆件的轴线重合。变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。一、轴向拉压杆的内力­—轴力内力：构件在受到外力作用之前，为了保持构件的固有形状，分子间已存在着结合力，构件受外力时发生变形，为了抵抗外力引起的变形，结合力增大了，这种由于外力作用而引起的内力的改变量，称为“附加内力”，简称内力。截面法：欲求某截面mm上的内力，可假想将杆沿该截面截开，分成左、右两段，任取其中一段为研究对象，将另一段对该段的作用以内力FN

来代替，因为构件整体是平衡的，

所以它的任何一部

分也必须是平衡的。列出平衡方程，即可求出截面上内力

的大小和方向。这种方法称为截面法。mm轴力：因轴向拉压引起的内力也与杆的轴线一致，称为轴向内力，简称轴力。约定：拉伸引起的轴力为正值，方向背离横截面；压缩引起的轴力为负值，指向向着横截面。假截留半；内力代换；内外平衡。截面法求轴力的一般步骤轴力图

为了直观地表示整个杆件各横截面轴力的变化情况，用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标按选定的比例表示对应截面轴力的正负及大小。这种表示轴力沿轴线方向变化的图形称为轴力图。

例5-1

直杆受外力作用如图，求此杆各段的轴力，并作轴力图。解（1）AB段112233（2）AC段（3）CD段绘制轴力图：（压）二、轴向拉压杆横截面上的应力

两根相同材料做成的粗细不同的直杆在相同拉力作用下，用截面法求得的两杆横截面上的轴力是相同的。若逐渐将拉力增大，则细杆先被拉断。这说明杆的强度不仅与内力有关，还与内力在截面上各点的分布集度有关。当粗细二根杆轴力相同时，细杆内力分布的密集程度较粗杆要大一些，可见，内力的密集程度才是影响强度的主要原因。为此我们引入应力的概念。平面假设：杆变形后各横截面仍保持为平面，这个假设称为平面截面假设。正应力：横截面上应力的方向垂直于横截面，称为“正应力”并以“

”表示：正应力式中

为横截面上的正应力，FN为横截面上的轴力，A为横截面面积。说明当轴力为正时，

为拉应力取正号；当轴力为负时，

为压应力，取负号。应力的国际单位为PakPaMPaGPa：（1Pa=1N/m2）、、、

例5-2一阶梯杆如图所示，AB段横截面面积为：A1=100mm2，BC段横截面面积为A2=180mm2，试求：各段杆横截面上的正应力。解（1）计算各段内轴力，并绘制轴力图BC段（2）确定应力1122AB段BC段AB段压力§5-3

材料在轴向拉伸和压缩时的力学性能一、材料拉伸时的力学性质

在做拉伸试验时，要求将金属材料按国家标准《金属材料拉伸试验法》制成标准试件。一般金属材料采用圆形截面试件（图a）或矩形截面试件（图b）。

1、低碳钢的拉伸试验

试件的有效工作总长度称为标距。低碳钢的拉伸图（FN-l曲线

）低碳钢的拉伸时的应力–应变曲线图（-曲线

）弹性阶段：由直线段oa

和微弯段ab

组成。oa

段称为比例阶段或线弹性阶段，在此阶段内，材料服从胡克定律，即=E

适用，a点所对应的应力值称为材料的比例极限，并以“P

”表示。

曲线ab段称为非线弹性阶段，只要应力不超过b点，材料的变形仍是弹性变形。所以b点对应的应力称为弹性极限，以“e

”表示。屈服阶段：bc段近似水平，既应力几乎不再增加，而变形却增加很快，表明材料暂时失去了抵抗变形的能力。这种现象称为屈服现象或流动现象。bc段最低点对应的应力称为屈服极限，以“s

”表示。低碳钢的应力–应变曲线可分成四个阶段：强化阶段：过了屈服阶段，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使试件继续变形必须再增加载荷，这种现象称为材料的强化，故

-

曲线图中的

ce

段称为强化阶段，最高点

e

点所对应的应力称为材料的强度极限，以“b”表示，它是材料所能承受的最大应力，所以b是衡量材料强度的另一个重要指标。颈缩阶段：载荷达到最高值后，可以看到在试件的某一局部范围内的横截面迅速收缩变细，形成颈缩现象。应力应变曲线图中的ef段称为颈缩阶段。

试件拉断后，弹性变形消失，只剩下残余变形，残余变形标志着材料的塑性。工程中常用延伸率

和断面收缩率作为材料的两个塑性指标。分别为材料的两个塑性指标一般把>5%的材料称为塑性材料，把

<5%的材料称为脆性材料。低碳钢的延伸率

=20~30%，是典型的塑性材料。截面收缩率也是衡量材料塑性的重要指标，低碳钢的截面收缩率约为60%左右。2、铸铁的拉伸试验

铸铁是典型的脆性材料，其拉伸-曲线如图所示，图中无明显的直线部分，但应力较小时接近于直线，可近似认为服从胡克定律。工程上有时以曲线的某一割线斜率作为弹性模量。铸铁拉伸时无屈服现象和颈缩现象，断裂是突然发生的。强度指标b是衡量铸铁强度的唯一指标。二、材料在压缩时的力学性质1、低碳钢的压缩试验

压缩试验所用的金属试件常做成短圆柱形试件，高度是直径的1.5~3.0倍。低碳钢压缩时的应力应变曲线如图所示。图中虚线是为了便于比较而绘出的拉伸的

-

曲线。从图中可以看出，低碳钢压缩时的弹性模量与拉伸时相同，但由于是塑性材料，所以试件愈压愈扁，可以产生很大的塑性变形而不破坏，因而没有抗压强度极限。2、铸铁的压缩试验

铸铁压缩时的

–

曲线如图所示。其线性阶段不明显，强度极限b比拉伸时高2~4倍，破坏突然发生，断口与轴线大致成45～55的倾角。

由于脆性材料抗压强度高，宜用于制作承压构件。一、安全系数的概念

为了保证构件具有足够的强度，构件在外力作用下的最大工作应力必须小于材料的极限应力。在强度计算中，把材料的极限应力除以一个>1的系数

n

—

称为安全系数，作为构件工作时所允许的最大应力，称为材料的许用应力，以[

]表示。

安全系数的确定除了要考虑载荷变化，构件加工精度不够，计算不准确，工作环境的变化等因素外，还要考虑材料的性能差异（塑性材料或脆性材料）及材质的均匀性等。§5-4

失效、安全因数和强度条件二、安全系数的选取

安全系数的选取，必须体现既安全又经济的设计思想，通常由国家有关部门制订，公布在有关的规范中供设计时参考，一般在静载下：脆性材料塑性材料

、分别为脆性材料、塑性材料对应的安全系数。三、轴向拉伸和压缩的强度计算设计截面尺寸强度校核确定许用载荷

为了保证构件在外力作用下安全可靠地工作，必须使构件的最大工作应力小于材料的许用应力，即：强度计算三类问题杆件受轴向拉伸或压缩时的强度条件

例5-3如图所示一结构由钢杆1和铜杆2在A、B、C处铰接而成，在节点A点悬挂一个G=40kN的重物。钢杆AB的横截面面积为A1=150mm2，铜杆的横截面面积为A2=300mm2。材料的许用应力分别为[1]=160MPa，[2]=98MPa，试校核此结构的强度。

解：1）求各杆的轴力：取节点A为研究对象,作出其受力图1）求各杆的轴力故：此结构的强度足够。2）求各杆横截面上的应力解得：

例5-4如图所示，三角架受载荷F

=

50kN作用，AC

杆是钢杆，其许用应力[1]

=

160MPa；BC杆的材料是木材，其许用应力[2]

=

8MPa，试设计两杆的横截面面积。

解：1）求各杆的轴力：取节点C为研究对象,作出其受力图1）求各杆的轴力2）设计各杆的截面解得：（拉）（压）

例5-5如图所示的三角架由钢杆AC和木杆BC在A、B、C处铰接而成，钢杆AC的横截面面积AAC

=

6cm2，许用应力[1]

=

160MPa，木杆BC的横截面面积ABC

=

100cm2，许用应力[2]

=

8MPa，求C点允许起吊的最大载荷F为多少？解：取节点C为研究对象,作出其受力图1）求各杆的轴力2）求许可的最大载荷F解得：（拉）（压）故：一、纵向变形和胡克定律

直杆在轴向拉力或压力作用下，杆件产生的变形是轴向伸长或缩短。同时，杆件的横向尺寸还会产生缩小或增大。前者称为纵向变形，后者称为横向变形。纵向变形

纵向变形反映的是与杆件原长有关的绝对变形。§5-5

轴向拉压杆的变形

为了消除杆件原长度的影响，采用单位长度的变形量来度量杆件的变形程度，称为纵向线应变，用表示。对于均匀伸长的拉杆，有：纵向线应变相对变形

是无纲量的量，其正负号与

l

相同，即在轴向拉伸时

>

0，称为拉应变；在压缩时

<

0，称为压应变。胡克定律引入比例常数E

胡克定律胡克定律

实验表明：当轴向拉（压）杆件横截面上的正应力不大于某一极限值时，杆件的纵向变形量与轴力

及杆长成正比，而与横截面面积

成反比，即胡克定律：在弹性范围内，杆件上任一点的正应力与线应变成正比。E

称为材料的弹性模量，与应力单位相同，不同的材料，E

的数值不同，可由实验测得。弹性模量

E的单位与应力的相同，常用Pa、kPa、MPa、GPaEA称为杆件的抗拉（或抗压）刚度。它反映了杆抵抗拉伸（压缩）变形的能力。胡克定律二、横向变形与弹性模量

E

一样，泊松比

也是材料的弹性常数，由实验测定。横向应变泊松比

横向变形系数材料名称弹性模量E（GPa）

泊松比

铸铁碳钢合金钢铝合金铜及其合金80～160196～216206～21670～7272～128

0.23～0.270.24～0.280.25～0.300.26～0.330.31～0.42表4-1几种常用材料的E

和

的值

例5-6钢制阶梯杆如图，已知轴向外力F1=50kN，F2=20kN，各段杆长为l1=150mm，l2=l3=120mm，横截面面积为：A1=A2=600mm2，A3=300mm2，钢的弹性模量E=200GPa。求各段杆的纵向变形和线应变。解（1）作轴力图（2）计算纵向变形

112233（3）计算各段杆的线应变

112233§5-6

轴向拉压的超静定问题

超静定问题：若未知量的数目多于独立平衡方程的数目，则未知量不能全部由平衡方程求出，这类问题称为静不定问题（或称超静定问题），总未知量数与总独立平衡方程数两者之差称为静不定次数。（a）静定（b）超静定求解超静定问题的方法：求解超静定问题，除了根据静力平衡方程列出平衡方程外，还必须根据杆件变形之间的相互关系，称为变形谐调条件，列出变形的几何方程，再由力和变形之间的物理条件（胡克定律）建立所需的补充方程。

例4-7