Part5-第14章-悬索桥结构计算理论

悬索桥结构计算理论同济大学桥梁工程系大跨度桥梁研究室第十四章第十四章悬索桥结构计算理论本章主要内容概述悬索桥的近似分析

悬索桥主塔的计算

悬索桥成桥状态和施工状态的精确计算

小结1.概述悬索桥计算理论的发展与悬索桥自身的发展有着密切联系

早期，结构分析采用线弹性理论(由于桥跨小，索自重较轻，结构刚度主要由加劲梁提供

中期(1877),随着跨度的增加，梁的刚度相对降低,采用考虑位移影响的“挠度理论”

现代悬索桥分析采用有限位移理论的矩阵位移法

跨度不断增大的同时，加劲梁相对刚度不断减小，线性挠度理论引起的误差已不容忽略应用有限位移理论的矩阵位移法，可综合考虑体系节点位移影响、轴力效应，把悬索桥结构非线性分析方法统一到一般非线性有限元法中，是目前普遍采用的方法1.概述(续)悬索桥成桥状态的确定

小跨径悬索桥：确定桥成状态采用抛物线法(由于主缆自重轻，成桥态主缆近似呈抛物线形)大跨径悬索桥：主缆线型呈多段悬链线组成的索多边形，计算主缆线型主要有非线性循环迭代法和基于成桥状态的反算法1.概述(续)跨径越来越大，3300m的悬索桥已在规划中梁高与跨径之比越来越小，从。主缆安全系数随跨径增大而降低,已接近2.0。结构形式多样化按锚固形式分：地锚（隧道锚和重力式锚）、自锚按主缆形式分：平行主缆、空间主缆、单缆按主塔形式分：单塔、双塔、多塔（多跨）结构整体刚度变小，使结构非线性问题、静力稳定问题、抗风抗震问题更加突出，设计、施工难度加大，要精心设计施工。

纵观悬索桥尤其是现代悬索桥的发展过程，可以看到：1.概述(续)设计悬索桥时,以下几点是十分重要的：精确合理地确定悬索桥成桥内力状态与构形；合理确定悬索桥施工阶段的受力状态与构形，以期在成桥时满足设计要求；精确分析悬索桥在活载及其它附加荷载作用下的静力响应；。悬索桥的设计计算也要根据不同的结构形式、不同的设计阶段、不同的计算内容和要求来选用不同的力学模式和计算理论。

2.悬索桥的近似分析2.1悬索桥的受力特征

悬索桥的组成悬索桥是由主缆、加劲梁、主塔、鞍座、锚碇、吊索等构件构成的柔性悬吊组合体系，其主要构成如下图所示。成桥时，主要由主缆和主塔承受结构自重，加劲梁受力由施工方法决定。成桥后，结构共同承受外荷作用，受力按刚度分配。2.悬索桥的近似分析(续)主缆是结构体系中的主要承重构件；主塔是悬索桥抵抗竖向荷载的主要承重构件；加劲梁是悬索桥保证车辆行驶、提供结构刚度的二次结构，主要承受弯曲内力；吊索是将加劲梁自重、外荷载传递到主缆的传力构件，是连系加劲梁和主缆的纽带。锚碇是锚固主缆的结构，它将主缆中的拉力传递给地基悬索桥各部分的作用2.悬索桥的近似分析(续)2.2成桥状态的近似计算法成桥状态近似计算作如下基本假定：主缆为柔性索，不计其弯曲刚度；加劲梁恒载由主缆承担；在主缆吊梁段，主缆、索夹、吊杆和加劲梁自重都等效为桥长均布的荷载q，在无梁段，主缆自重沿索长均匀分布。

什么是成桥状态计算?

根据悬索桥布置的纵断面线形和控制主缆几何线型基本点的位置，分析主缆及其它构件成桥时的构形、受力状态，求出主缆、吊索的无应力索长和施工阶段鞍座的偏移量

2.悬索桥的近似分析(续)2.2成桥状态的近似计算法计算步骤：导出主缆成桥态的索形、张力以及几何长度的计算公式；扣除加劲梁恒载作用下主缆产生的弹性伸长量，得到主缆自由悬挂态的缆长；在索鞍两边无应力索长不变的情况下，用主缆在空挂状态塔顶左、右水平力相等的条件求索鞍的预偏量；由自由悬挂状态下的缆长扣除主缆自重产生的弹性伸长，得到主缆无应力长度。以中跨为例，说明成桥状态的计算。

2.悬索桥的近似分析(续)2.3加劲梁在竖向荷载作用下的近似分析悬索桥加劲梁先铰接后固结的施工特点，决定加劲梁在一期恒载作用下没有整体弯矩加劲梁竖向荷载主要指二期恒载和活载等.如图14.5所示悬索桥假定:忽略梁体剪切变形、吊杆的伸缩和倾斜变形对结构受力的影响，将离散的吊杆简化为一连续膜。微小索段的平衡方程为：(14-18)

2.悬索桥的近似分析(续)(14-19)

图14-5悬索桥计算模型

在成桥后竖向荷载p(x)作用下，荷载集度由q变为qp，外力作用下主缆和加劲梁产生挠度，主缆挠度由y变为(y+)，主缆水平拉力Hq变为(Hp+Hq)，根据式(14-18)有：

(14-20)

将(14-18)、(14-19)两式相减得：2.悬索桥的近似分析(续)(14-22)

以加劲梁为研究对象，在p(x)作用下加劲梁上的竖向荷载为：(14-23)

加劲梁的弹性方程为：设EI为常数，将(14-22)代入(14-21)整理得：式(14-23)就是挠度理论的基本微分方程。q(x)=p(x)+q－qp

(14-21)

2.悬索桥的近似分析(续)(14-24)

讨论：(14-25)

由于Hp是p(x)的函数，因此这一微分方程是非线性的。此外，方程中Hq、Hp和均为未知，求解时还需要一个补充方程。利用全桥主缆长度变化的水平投影为零这一边界条件：式中：L－两锚碇间的水平距离式(14-25)中第三项进行分部积分，并利用x=0和x=L时=0的边界条件，有：或

2.悬索桥的近似分析(续)(14-28)

代入式(14-25)整理后得：式中：为线胀系数；t为温度变化；ECAC为主缆轴向刚度。(14-27)

(14-26)

2.悬索桥的近似分析(续)最后，非线性微分方程要通过(14-23)和(14-27)两式迭代才能求解，尚达不到实用计算的要求。针对大跨径悬索桥活载远比恒载为小的特点，Godard提出了在式(14-23)中只考虑恒载索力对竖向荷载的抗力，形成了线性挠度理论。此时线性叠加原理和影响线加载均可应用，使计算得到了简化。李国豪教授在此基础上于1941年提出了等代梁法和奇异影响线的概念，揭示了悬索桥受力的本质，使挠度理论变为实用计算成为可能。下面对等代梁法作一简要介绍。应该指出：线性挠度理论忽略了竖向荷载本身引起的主缆水平力对加劲梁受力的影响，这将使计算结果绝对值增大。因而，用于设计加劲梁是偏安全的2.悬索桥的近似分析(续)2.4水平静风荷载作用下的实用计算一般假定风荷载为沿桥跨方向均布的已知荷载作用在悬索桥上的风载将分别通过主缆和加劲梁传到基础风荷载主缆与加劲梁之间的传递是由吊索完成的，其受力根据刚度分配。可见研究静风荷载的计算问题，首先必须研究风载在主缆和加劲梁上的分配问题。简单的计算方法有均等分配法。图14-7水平静风荷载作用下的悬索桥

2.悬索桥的近似分析(续)假定横向风荷在加劲梁和主缆间产生的重分配力(实质上就是吊杆沿梁长每延米的水平分力)为沿梁长的均布荷载q，索面和梁体在位移时保持刚性转动，图14.7所示。于是，加劲梁和主缆跨中的水平位移d和c可写成：式中：c，d分别为索、梁横向风荷集度；l，EI分别为悬索桥跨径和梁横向抗弯刚度；H为主索水平拉力。(14-33)

2.悬索桥的近似分析(续)根据索面刚性转动的假定，有：式中：f，h分别为主缆的矢高，加劲梁形心到吊点距离。由式(14-33)、(14-34)得：将式(14-35)得到的q值代回式(14-33)，就可算出加劲梁和主缆的横向静风响应。(14-35)

(14-34)

2.悬索桥的近似分析(续)实际上风的重分配力q并不会沿梁长均匀分布，而是梁长座标x的函数，记为q(x)，索面和梁的位移也不满足刚性转动假定。因此，均等分配法的计算精度较差。相比之下，弹性分配法就有较高的计算精度。按照弹性分配法，悬索桥在横向风荷及重分配力q(x)的作用下，主缆和加劲梁的平衡微分方程为：

q(x)是一个未知荷载，可以根据梁、塔的位移协调条件，通过迭代计算求解。(14-36)

3.主塔的计算3.1受力特点悬索桥主塔承受的主要荷载有:直接作用于塔身的自重、风荷、地震荷载、温变荷载；由主缆传来的荷载,它一方面改变加劲梁和主缆传至塔上的竖向荷载，另一方面将在塔顶产生顺桥向和横桥向的水平位移，当两根主索受力不一致时，主塔还会受扭。

工程中桥塔的设计流程如图14-8所示，下面结合设计流程逐一介绍主塔在纵向和横向荷载作用下的静力计算和稳定计算。

3.主塔的计算(续)3.2主塔在纵向荷载作用下的实用计算纵向荷载是指顺桥向的风荷载、地震荷载、加劲梁和主缆传到主塔的活载等。在活载作用下，桥塔将发生水平位移，由于主塔纵向抗推刚度相对较小，塔顶水平位移的大小，主要是由主缆重力刚度的水平分量决定，而与塔的抗弯刚度关系不大。活载计算中常忽略塔的弯曲刚度，先求出主塔水平位移，再将它作为已知条件计算主塔内力。在计算中，必须考虑两种加载状态：最大竖向荷载与相应塔顶位移状态；最大塔顶位移与相应竖向荷载状态。一般来说，后一种状态可能更为不利。

3.主塔的计算(续)图14.9为纵向荷载作用下桥塔的计算模式。塔顶作用着主缆竖向分力p，活载或其它荷载引起的塔顶水平位移、加劲梁传来的集中力R，塔身受有塔自重、顺桥向风载或其它广义纵向纵向荷载，用带有几何非线性的平面杆系程序，可以直接对塔进行分析。为了定性分析，将塔自重集中于塔顶，讨论等截面塔在活载作用下的受力情况。x处的弯矩为：式中：F使塔顶位移达到时的水平力。对于给定的悬索桥，通过缆梁体系分析可以求得p和，这里假定为一已知常量。图14-9纵向载作用下桥塔的计算模式

(14-37)

3.主塔的计算(续)由塔的弯曲平衡微分方程：边界条件：得：

得：

由

(14-43)

(14-42)

(14-38)

(14-44)

3.主塔的计算(续)由式(14-43)可知，塔内弯矩主要与分母有关，当EI增大时，h减小，弯矩就急剧增大，为了经济地设计塔与塔基，h一定要比/2大。才能将塔内弯矩控制在较小的范围内。当然，确定h时也应考虑塔的纵向稳定性。对于变截面的主塔在各种荷载作用下的计算，也可按图14.9所示力学模型，用几何非线性有限元方法进行计算。3.主塔的计算(续)3.3主塔在横桥向荷载作用下的计算在横桥向荷载作用下，桥塔的计算模式如图14.10所示：塔顶作用着主缆的竖向分力，主缆传来的横向水平力Hc，下横梁上作用着加劲梁传来的竖向力Rs和横向水平力Hs，塔上还受有横向风载w、地震等广义荷载(y)和主塔自重。其中风引起的主缆、加劲梁横向水平力可根据14.2.4中介绍的方法算得。由于主塔受到主缆传来的巨大竖向分力P，因此分析时仍需用带有几何非线性的杆系程序。图14.10的分析模式中忽略了主缆对塔的水平约束(非保向力)作用，因此，其结果是偏安全的。

图14-10桥塔横桥向荷载作用下的计算模式3.主塔的计算(续)3.4主塔在横桥向荷载作用下的组合主塔是在纵横桥向荷载共同作用下工作的,其响应可以用直接用空间有限元计算,也可以用上面两个平面问题来计算采用后者计算,内力(应力)组合时必须注意,竖向荷载引起的轴向力不能重复迭加3.5主塔的稳定计算塔在挂索前和成桥后作用纵向荷载时都有失稳的可能，必须对这两种状态进行稳定验算。挂索前主塔可看成是一单端固定受自重作用的变截面柱。可将变截面柱问题等效成等截面柱问题来计算。令等效荷载集度为q，等效刚度为EI，根据Eular稳定理论，易得：

3.主塔的计算(续)在成桥状态下，必须考虑主缆对塔顺桥向失稳的约束作用。在计算中偏安全地将塔自重荷载移到塔顶作为集中荷载，与主缆竖向分力共同作用下，令其合力为P，根据14-3.1的推导，主塔挠度由式(14-43)表示，当主塔失稳时，v(x)，因此有

此式与一端简支，一端固定的压杆临界荷载相一致。对塔稳定问题更精确的计算，可按有限元方法并考虑砼徐变、收缩及塔施工初始缺陷的不利因素影响进行求解。否则应在安全系数取值时加以考虑。

(14-47)

(14-46)

(14-45)

h为主塔高度解得：

4.悬索桥成桥状态和施工状态的精确计算计算思路：确定悬索桥成桥和施工状态的关键是确定主缆在成桥时的线型，也就是计算主缆与吊索交点位置及主缆与鞍座的切点座标。将悬索桥简化成图14.11所示的力学模型。

图14-11悬索桥索形力学模型简化图4.悬索桥成桥状态和施工状态

的精确计算(续)第一步：分析吊索恒载轴力；第二步：计算主缆平衡位置；第三步：确定主缆与鞍座切点的位置。

通过研究缆、吊索、梁、塔等构件的受力特性，精确计算悬索桥成桥状态和施工状态用三步分析方法比较合适:4.悬索桥成桥状态和施工状态

的精确计算(续)4.1成桥状态的近似计算法吊索是连系加劲梁与主缆的纽带，吊索力可决定加劲梁的内力分配，反过来，加劲梁的受力状态也可确定吊索内力。给定加劲梁恒载受力状态，就可求出吊索轴力。大部分悬索桥的加劲梁是按先铰接后固结的方法施工的，其吊索的恒载轴力可分为吊装时块件自重引起的轴力N1和桥面固结后二期恒载作用下根据刚度分配到各吊索上的轴力N2两部分。N1是确定的，只要计算N2。假定主缆为二次抛物线，以一期恒载内力为初内力，对结构进行二期恒载的非线性分析，就能得到N2。（同样矢跨比的悬索桥而言，索形误差对结构竖向刚度的影响较小，大量数值计算也证明了这一点），可也可用类似的方法确定其它方法施工的悬索桥吊索内力。

4.2真实索形的迭代计算为了寻找主缆变形后在吊索力作用下的平衡索形，将铰支座设置在主、转索鞍的理论交点处，主缆被分割成独立的五部分。它们靠支座的左、右边竖向力和水平力的平衡条件取得联系。弯曲刚度忽略不计，吊索力、索夹自重力都以等效集中力Pi方式作用在其相应位置。并注意到计算的是主缆有应力平衡位置，其变形已经完成，因此主缆在计算过程中不伸长。图14-11悬索桥索形力学模型简化图已知：主缆恒载集度q，中跨吊杆间距和矢高f，鞍座上IP点坐标，求主缆索形。

公式准备1：取主缆吊杆间任一段无伸长自由悬索，其竖坐标为ｙ，向下为正，单位缆长重为ｑ，任一点处的Lagrange坐标为ｓ，相应的迪卡尔坐标为(ｘ,ｙ)，则任意索自由索段端点力与座标之间的函数关系为:

(14-48)

(14-49)

4.2真实索形的迭代计算(续)公式准备2：吊杆间任一索段都必须满足式(14－48)、(14－49)，令Vi=V，Hi=H，于是：

(14-51)

(14-52)

式中：

li为i号梁段吊杆间距；hi为i号梁段主缆吊点高差对仅有垂直吊杆的情况

(14-50)

4.2真实索形的迭代计算(续)索形计算思路：

(14-53)

1）先根据抛物线假定预估一个IP点处的H和V，通过式(14-61)由计算出，通过式(14-62)由计算。最后，应满足如下几何边界条件:2)如果预估的H，V能使(14－53)式成立，则H、V、和为所求。式中：m,n分别为左鞍座到跨中的吊杆数和吊索总数，为两个主鞍座IP点的y坐标之差。4.2真实索形的迭代计算(续)(14-54)

根据IP点处实际的Ｈ和Ｖ，可计算边跨主缆的成桥索形；根据主索鞍、转索鞍的设计半径，可计算主缆与鞍座的切点座标；根据吊杆在主缆和桥面上的y座标，可计算吊索在成桥态的长度。至此，整个悬吊部分的受力与几何形态都被唯一确定。实际的H，V可通过影响矩阵法迭代计算按如下步骤迭代求解：

否则设误差向量为：4.2真实索形的迭代计算(续)4.悬索桥成桥状态和施工状态

的精确计算(续)4.3悬索桥施工状态的计算主缆各索段无应力索长挂索初始状态吊梁阶段的结构状态

悬索桥施工状态是指从挂主缆开始到成桥各阶段悬索桥的构形和受力状态。确定施工状态主要解决三方面问题：4.悬索桥成桥状态和施工状态

的精确计算(续)1)主缆各索段无应力索长的计算

y=cosh(cx+c1)+c2

其中：

无应力索长的计算必须从成桥合理状态的有应力索长反算而得。对固定于A(0，0)，B(l，h)两点的自由索，其方程为：

(14-60)

(14-59)

(14-58)

(14-61)

＜＜１时当

索长

4.悬索桥成桥状态和施工状态

的精确计算(续)根据公式(14-71)和(14-72)可以完成以下计算：

a）从锚碇到转索鞍索段的索长，根据悬链线索长计算公式可计算有应力索长，扣除成桥索力引起的伸长量便是无应力索长；这一区段内主缆的长度计算比较复杂。因为主缆每一层离开转索鞍的离开点都是不一样的。在计算中先计算出该索段的中心索长，再根据不同层和离开点位置对每一层索长进行修正。b）包裹转索鞍索段的索长。根据左、右切点及中心索转索鞍半径，可计算索段的有应力索长。根据成桥态索段左、右段索的轴力，以及鞍座的实际摩阻系数，可以计算沿鞍座张角变化的索段应力，从而可计算出该索段的伸长量，有应力索长与伸长量之差便得该索段无应力索长。

4.悬索桥成桥状态和施工状态

的精确计算(续)根据桥面标高，鞍座压力等参数，就可以确定塔高、吊索无应力索长等重要构件尺寸。从而完全得到了挂索初态所必须的基本参数。

c）转索鞍到主鞍切点索段索长该索段索长应根据桥跨布置来进行计算。对于单联吊桥，该段索长可用悬链线索长计算公式。根据转、主索鞍切点座标直接计算而得，扣除应力伸长量便得无应力索长。对于三联悬索桥，主缆与各吊杆的理论交点均已知，可分段将各吊索间的索段作为悬链线，计算出各段的有应力索长和无应力索长，累加得到该索段的总索长和无应力索长。d）包裹主鞍座索段的索长，可仿b）进行计算；e）中跨主鞍座两切点间索长计算，可参照c）中三联悬索桥的索长计算方法计算。4.悬索桥成桥状态和施工状态

的精确计算(续)2)鞍座基准回退量及空索合理状态

鞍座基准回退量是指以满足成桥合理状态的各跨主缆无应力索长空挂于索鞍上，使左、右边空索水平拉力相等时索鞍的移动量。空索合理状态是指在鞍座具有基本回退量时主缆的真实形状与受力状态。计算采用数值迭代法，通过图14.12所示流程由电算完成。

在实际施工时，有时塔顶尺寸不允许鞍座有基准回退量那么大的偏移，柔性塔往往使塔在施工时预拉一水平位移来实现。挂索时，只要能将各跨算准的无应力索长安装到位，并保证主缆在鞍座上不滑动，基准回退量并不影响最终成桥时达到合理状态。

4.悬索桥成桥状态和施工状态

的精确计算(续)3)加劲梁安装阶段合理状态的确定加劲梁的安装步骤是由施工设计确定的。要确定梁体上各块件在每次施工中的确切位置，从几何上讲仍是困难的，为此，可以从成桥合理状态开始，逆施工过程进行非线性倒退分析，计算每一施工阶段剩余结构的状态。根据前面讨论可知，只要结构材料参数、几何参数是合理的、施工过程中不出现人为误差，从空索合理状态开始吊梁，则全桥加劲梁安装完毕，各块件将相互独立，固结后作用以二期恒载，就可以达到成桥的合理状态。首先介绍了悬索桥及其计算理论的发展过程，用框图形式给出了悬索桥静力设计计算流程用解析法介绍了悬索桥成桥状态以及在面内和面外荷载作用下的近似计算方法以及主塔在纵向和横向荷载作用下的近似计算方法根据几何非线性理论，用先分析吊索恒载轴力，再求主缆平衡位置，最后确定主缆与鞍座切点位置的三步分析方法导出了计算悬索桥成桥真实索形的叠代计算方法

5.小结以中跨为例，说明成桥状态的计算1)中跨主缆索形与张力计算图14.3所示，中跨主缆微小单元dx与主缆竖向分力的平衡条件为：(14-2)

(14-3)

(14-1)

所以有：

1)中跨主缆索形与张力计算(续)若座标系如图14-3(b)选取，式(14-3)的解为：(14-5)

(14-4)

式中：f为索端连线在跨中到主缆的竖向距离，即矢高；l为跨径；Hq为主缆水平力式(14-4)是一抛物线方程，用这种方法计算主缆也称抛物线法。将式(14-4)代入式(14-3)，得：对于不吊梁的主缆段，不难导出其索形为悬链线，请读者作为习题完成。用抛物线法确定的索形是近似的，误差来自基本假定3。

2)中跨主缆成桥态和自由悬挂态的中心索长计算根据中跨索形方程积分，可得成桥态主缆中心线有应力索长为：(14-13)

(14-11)

将其展开为级数形式，则：S=l(1+8/3n2－32/5n4+......)其中:n=f/l，为矢跨比；S为索长。加劲梁自重作用下主缆产生的弹性伸长量为：

式中：H=ql2/8f，为一、二期恒载引起的主缆近似水平拉力；Ec为主缆弹性模量；Ac为主缆面积。

成桥态缆长扣除加劲梁自重引起的主缆弹性伸长量，可得自由悬挂态的缆长为：

S1=S－△S1

(14-12)

(14-14)

主缆自由悬挂状态下，索形为悬链线。取中跨曲线最低点为坐标原点，则对称悬链线方程为：(1