统计学-参数假设检验

参数假设检验第一节假设检验基础第二节总体均值的检验第三节总体比率的检验第四节两总体均值差、比率差的检验第五节与假设检验相关的几个问题1.什么是假设检验？假设检验就是根据样本信息，判断总体参数是否具有某种特征。或者说根据样本信息，确定是否拒绝关于总体参数值的某种解释。例如：某电视机厂规定显像管次品率不超过4%方能购进。现到货8000个产品，从中抽出80个，经检验有4个次品（即样本次品率为5%）。现在需要检验：产品总体是否合格，即总体次品率是否小于等于4%。第一节假设检验基础假设检验也称显著性检验，正确的理解是：

第一，样本统计量与待检验的总体参数存在差异（这是假设检验的前提）；第二，出现这种差异的一种可能，是由于样本来自于另一个参数不同的总体。对应的检验结论是拒绝原假设，这时我们就说“差异是显著的”；另一种可能是差异缘于抽样，样本其实真的来自于待检验的那个总体。这时的检验结论是不拒绝原假设，我们也说“差异不显著”。第一节假设检验基础假设检验也称显著性检验，正确的理解是：

第三，无论拒绝还是不拒绝原假设，都有可能犯错误。通常我们预先设置犯第一类错误的概率界限α，一般为0.05。α也称为“显著性水平”。因此，“在0.05的显著性水平上通过了检验”和“在0.05的水平上差异是显著的”都指的是同一件事情：

在α为0.05时，拒绝了原假设。第一节假设检验基础如前例：某电视机厂规定：显像管次品率不超过4%方能购进。现到货8000个产品，从中抽出80个，经检验有4个次品（样本次品率为5%）。观察到的情况：次品率大于4%，与规定的总体次品率有差异；一种可能：该批产品的总体次品率高于4%，与次品率不超过4%的总体差异显著；另一种可能：该批产品总体次品率不高于4%，样本次品率5%是由于抽样原因造成的。第一节假设检验基础2.原假设和备择假设做假设检验需要提出两个对立的假设：原假设，也称零假设、虚无假设，即差异不显著（或无差异）的那个假设。备择假设，也称替换假设，是差异显著的那个假设。注意：做假设检验的目的是要推翻原假设，而不是“居中选择”。第一节假设检验基础如前例：某电视机厂规定：显像管次品率不超过4%方能购进。现到货8000个产品，从中抽出80个，经检验有4个次品（样本次品率为5%）。原假设：该批产品总体次品率不高于4%；备择假设：该批产品总体次品率高于4%。

第一节假设检验基础3.假设检验的原理和方法：原理：小概率原理；方法：概率性质的反证法。基本逻辑：先假设“你正确”；然后计算在“你正确”的前提下，出现样本情况的概率；如果是小概率，则根据小概率原理推断：“你正确”的假设不成立；如果不是小概率，则只能认为“你正确”。第一节假设检验基础如前例：某电视机厂规定：显像管次品率不超过4%方能购进。现到货8000个产品，从中抽出80个，经检验有4个次品（样本次品率为5%）。经计算，在次品率不超过4%的情况下，从8000件产品中抽出80个，其中有4件次品的概率为0.182。由于0.182不是个小概率，因此，我们不能拒绝产品总体次品率小于0.04的原假设。第一节假设检验基础4.如何正确地提出假设三项基本原则：第一，以实验或观察到的结果的反现象为原假设（H0:），以实验或观察到的结果（H1:）为备择假设，二者相互对立;第二，等号一定在原假设一方;第三，检验方向性指向一方的，要做单侧（右侧或左侧）检验，否则做双侧检验。第一节假设检验基础例：某生产线出产的产品单位重量正常水平应为100克，某日随机抽查100个产品，测得其平均重量为101.5克，标准差为8克。这个抽查结果是否意味着生产过程处于失控状态？正确的假设方法是：

H0：

=100

H1：≠100我们想检验什么？检验的方向如何？观察到的情况是什么？第一节假设检验基础例：某型号汽车每升汽油平均行驶里程为10公里。生产厂家研制了一种新型汽化器以求提高燃料效率。目前正在进行行驶实验，以求通过实验证明新型汽化器可以提高燃料效率。正确的假设：

H0：≤10

H1：

>10第一节假设检验基础例：某品牌方便面包装袋上标明，其油炸面饼的重量不少于100克。我们通过抽取的样本，实际称量面饼重量，检验生产厂家的说明是否有效。正确的假设：

H0：≥100

H1：

<100第一节假设检验基础5.两类错误假设检验只能从两个假设中选择一个作为结论，而无论选择哪个假设，都有可能犯错误。总体的情况原假设为真备择假设为真结论拒绝原假设第一类错误（弃真）结论正确不拒绝原假设结论正确第二类错误（取伪）第一节假设检验基础两类错误的图示（以检验总体均值为例）：原假设成立时样本均值的抽样分布：第一节假设检验基础第一节假设检验基础如果我们拒绝了原假设，就可能犯第一类错误。通常，我们将出错的概率上限控制在一个较小的水平上，用α标记。α又称为风险水平、显著性水平，一般为0.05。对于右侧检验，α

是抽样分布右侧的尾概率。第一节假设检验基础如果我们拒绝了原假设，就可能犯第一类错误。通常，我们将出错的概率上限控制在一个较小的水平上，用α标记。α又称为风险水平、显著性水平，一般为0.05。对于左侧检验，α就是抽样分布左侧的尾概率。α第一节假设检验基础如果我们拒绝了原假设，就可能犯第一类错误。通常，我们将出错的概率上限控制在一个较小的水平上，用α标记。α又称为风险水平、显著性水平，一般为0.05。对于双侧检验，α则是抽样分布两侧的尾概率之和。第一节假设检验基础当样本均值落到α

对应的区间时，根据检验规则，我们要拒绝原假设。依据是：在原假设成立的前提下，小概率事件发生了，这时我们更相信该样本来自于另外一个均值不同的总体。于是就发生了第一类错误，但其概率不超过0.05。第一节假设检验基础如果样本真的来自于另外一个均值不同的总体，而我们又未拒绝原假设，就犯了第二类错误，出错的概率为β。第一节假设检验基础如果样本真的来自于另外一个均值不同的总体，而我们又未拒绝原假设，就犯了第二类错误，出错的概率为β。β第一节假设检验基础关于第二类错误的结论一：两个总体分布越接近，β就越大。第一节假设检验基础第一节假设检验基础第一节假设检验基础关于第二类错误的结论二：增大犯第一类错误的概率，就可以减少犯第二类错误的概率，并且，在其他条件不变的情况下，不可能使两个概率同时减少。第一节假设检验基础关于第二类错误的结论三：当实际分布未知时，我们无法计算出犯第二类错误的概率。第一节假设检验基础6.拒绝原假设的三种方法：方法一：当样本均值小于下限值或大于上限值时，要拒绝原假设。第一节假设检验基础6.拒绝原假设的三种方法：方法二：当检验统计量小于下临界值或大于上临界值时，要拒绝原假设。这是手工计算的主要做法。

第一节假设检验基础6.拒绝原假设的三种方法：方法三：当实测的显著性水平（也称P值，即SPSS输出结果中的sig值）小于α时，要拒绝原假设。这是利用统计软件做检验时的判断方法。P值(sig值)第一节假设检验基础提出假设确定检验统计量确定显著性水平和临界值确定拒绝规则计算并做出结论对照：用SPSS做假设检验的基本步骤：提出假设根据sig值做出检验结论7.手工做假设检验的基本步骤：第一节假设检验基础确定显著性水平对总体均值已经有一个尝试性的假设，用μ0

来标记，它是待检验的总体参数；我们获得一个样本，且样本均值与待检验的总体参数有差异（是相反的结果）；于是我们做假设检验，以确定总体均值是否等于我们假设的那个值。第二节总体均值的检验总体均值的检验：规范的假设形式

双侧检验：H0:μ=μ0,H1:μ

≠

μ0

左侧检验：H0:μ

≥μ0,H1:μ<

μ0右侧检验：H0:μ

≤μ0,H1:μ

>μ0μ0是待检验的总体均值的具体值第二节总体均值的检验例：某大学一个男生样本信息显示，平均身高为175.51厘米。2年前该大学男生总体的平均身高为172厘米。

如果想检验现在男生总体的平均身高与2年前是否有显著差异，应当做双侧检验，规范的假设形式为：H0:μ=172,H1:μ

≠172如果想检验现在男生总体的平均身高与2年前相比是否有显著增加，应当做右侧检验，规范的假设形式为：H0:

μ≤172,H1:μ

>172第二节总体均值的检验第二节总体均值的检验

是否已知

是否已知是否正态总体是是否将样本容量增加到30以上再进行检验否是用样本标准差S

估计否是否为大样本是用样本标准差S估计否例1：大样本、总体方差已知：某品牌精炼油标明每桶净重量不低于3公斤。现随机抽验了36桶油，计算其平均净重为2.92公斤，并且已知总体标准差为0.18公斤。试在0.05的显著性水平下，检验每桶油净重不低于3公斤的说法是否成立。解：第一步，提出假设第二节总体均值的检验例1：大样本、总体方差已知：某品牌精炼油标明每桶净重量不低于3公斤。现随机抽验了36桶油，计算其平均净重为2.92公斤，并且已知总体标准差为0.18公斤。试在0.05的显著性水平下，检验每桶油净重不低于3公斤的说法是否成立。解：第二步，确定检验统计量第二节总体均值的检验例1：大样本、总体方差已知：某品牌精炼油标明每桶净重量不低于3公斤。现随机抽验了36桶油，计算其平均净重为2.92公斤，并且已知总体标准差为0.18公斤。试在0.05的显著性水平下，检验每桶油净重不低于3公斤的说法是否成立。解：第三步，确定显著性水平及临界值第二节总体均值的检验例1：大样本、总体方差已知：某品牌精炼油标明每桶净重量不低于3公斤。现随机抽验了36桶油，计算其平均净重为2.92公斤，并且已知总体标准差为0.18公斤。试在0.05的显著性水平下，检验每桶油净重不低于3公斤的说法是否成立。解：第四步，确定拒绝原假设的规则第二节总体均值的检验例1：大样本、总体方差已知：某品牌精炼油标明每桶净重量不低于3公斤。现随机抽验了36桶油，计算其平均净重为2.92公斤，并且已知总体标准差为0.18公斤。试在0.05的显著性水平下，检验每桶油净重不低于3公斤的说法是否成立。解：第五步，计算并作出检验结论第二节总体均值的检验例2：大样本、总体方差未知：调查一个居民样本（n=400）每天看电视时间，结果显示样本均值为6.85小时、标准差为2.5小时。如果三年前居民总体每天平均看电视时间为6.6小时。试在0.01的显著性水平上验证“三年来居民每天看电视时间没有明显变化”的说法能否成立。解：第一步，提出假设第二节总体均值的检验例2：大样本、总体方差未知：调查一个居民样本（n=400）每天看电视时间，结果显示样本均值为6.85小时、标准差为2.5小时。如果三年前居民总体每天平均看电视时间为6.6小时。试在0.01的显著性水平上验证“三年来居民每天看电视时间没有明显变化”的说法能否成立。解：第二步，确定检验统计量第二节总体均值的检验例2：大样本、总体方差未知：调查一个居民样本（n=400）每天看电视时间，结果显示样本均值为6.85小时、标准差为2.5小时。如果三年前居民总体每天平均看电视时间为6.6小时。试在0.01的显著性水平上验证“三年来居民每天看电视时间没有明显变化”的说法能否成立。解：第三步，确定显著性水平和临界值第二节总体均值的检验例2：大样本、总体方差未知：调查一个居民样本（n=400）每天看电视时间，结果显示样本均值为6.85小时、标准差为2.5小时。如果三年前居民总体每天平均看电视时间为6.6小时。试在0.01的显著性水平上验证“三年来居民每天看电视时间没有明显变化”的说法能否成立。解：第四步，确定拒绝规则第二节总体均值的检验例2：大样本、总体方差未知：调查一个居民样本（n=400）每天看电视时间，结果显示样本均值为6.85小时、标准差为2.5小时。如果三年前居民总体每天平均看电视时间为6.6小时。试在0.01的显著性水平上验证“三年来居民每天看电视时间没有明显变化”的说法能否成立。解：第五步，计算并作出检验结论第二节总体均值的检验规范的假设形式：第三节总体比率的检验Π0是待检验的总体比率的具体值第三节总体比率的检验因为样本容量足够大时，二项分布可以用正态分布近似，即：因此，总体比率的检验统计量为：例：假如规定男婴占新生儿总数的比例不超过51.7%，即可认为出生性别比例正常。某地一个由400名新生儿组成的样本表明，男婴所占比例为57.5%，试以0.05的显著性水平分析：该地出生性别比例是否超出正常范围。解：第一步，提出假设第三节总体比率的检验例：假如规定男婴占新生儿总数的比例不超过51.7%，即可认为出生性别比例正常。某地一个由400名新生儿组成的样本表明，男婴所占比例为57.5%，试以0.05的显著性水平分析：该地出生性别比例是否超出正常范围。解：第二步，检验样本容量是否足够大第三节总体比率的检验例：假如规定男婴占新生儿总数的比例不超过51.7%，即可认为出生性别比例正常。某地一个由400名新生儿组成的样本表明，男婴所占比例为57.5%，试以0.05的显著性水平分析：该地出生性别比例是否超出正常范围。解：第三步，确定检验统计量第三节总体比率的检验例：假如规定男婴占新生儿总数的比例不超过51.7%，即可认为出生性别比例正常。某地一个由400名新生儿组成的样本表明，男婴所占比例为57.5%，试以0.05的显著性水平分析：该地出生性别比例是否超出正常范围。解：第四步，确定临界值和拒绝规则第三节总体比率的检验例：假如规定男婴占新生儿总数的比例不超过51.7%，即可认为出生性别比例正常。某地一个由400名新生儿组成的样本表明，男婴所占比例为57.5%，试以0.05的显著性水平分析：该地出生性别比例是否超出正常范围。解：第五步，计算并作出检验结论第三节总体比率的检验关于两个总体均值差、比率差的检验问题：

第一，有两个样本均值（比率）且数量有差异；

第二，我们想知道这两个样本背后的两个总体均值或比率是否也有差异；

第三，检验的基础与两总体的参数估计相同，也是样本统计量的抽样分布。第四节两总体均值差、比率差的检验例1：某品牌时装在市中心商业街设有新品店，在城郊某购物中心设折扣店。从光顾两个店的顾客中各抽取一个样本调查，发现样本平均月收入存在差异。

时装店经理想知道两个顾客总体平均月收入是否有显著差异（即两个店的顾客是否属于同一个群体）。

这就是两总体均值差的假设检验问题。第四节两总体均值差、比率差的检验例2：某制药公司聘用了20位糖尿病人为受试者，检验新研制的降血糖药物疗效。受试者先后服用降血糖药物和安慰剂，测量得到服药和未服药两组有差异的血糖测量数据。

研制者想知道患者总体使用和不使用该药的血糖值是否有显著差异（即药物是否有效）。

这也是两总体均值差的假设检验问题。第四节两总体均值差、比率差的检验例3：据香港大学民意网站调查，2010年1月香港居民样本（n=1004）不赞同台湾独立的比例为71.4%。而1993年1月，样本（n=509）数据显示这一比例为51%。

调查者想知道香港居民总体不赞同台湾独立的比例17年前和17年后是否有显著差异。

这属于两总体比率差的检验问题。第四节两总体均值差、比率差的检验两总体均值差的检验也有独立样本、匹配样本之分；第四节两总体均值差、比率差的检验在大样本情况下（两样本均为大样本），两独立样本均值差的抽样分布为：第四节两总体均值差、比率差的检验在小样本情况下（至少一个为小样本），若两总体服从正态分布、两总体方差相等，则两独立样本均值差的抽样分布为：第四节两总体均值差、比率差的检验如果是匹配样本，则样本容量相等，每个配对单位有一个差值d。这时两总体均值差的检验可转化为对差值d

的检验问题：两个总体均值差检验的假设形式双侧检验：H0:μ1−μ2=0,H1:μ1

−μ2

≠0左侧检验：H0:μ1−μ2

≥0

,H1:μ1−μ2

<0右侧检验：H0:μ1−μ2

≤0

,H1:μ1−μ2

>0对于匹配样本，还可以表述为：

H0:μd=0

,H1:μd

≠0

H0:μd

≥0

,H1:μd<

0H0:μd

≤0

,H1:μd

>0第四节两总体均值差、比率差的检验两个总体比率差检验的假设形式双侧检验：H0:Π1−Π2=0,H1:Π1

−Π2

≠0左侧检验：H0:Π1

−Π2≥0

,H1:Π1

−Π2<0右侧检验：H0:Π1

−Π2≤0

,H1:Π1

−Π2>0

第四节两总体均值差、比率差的检验第四节两总体均值差、比率差的检验当样本容量足够大时，两样本比率差的抽样分布可以用正态分布近似，于是有：第四节两总体均值差、比率差的检验由于两总体比率未知，需要用样本比率估计：当原假设成立时，两总体比率相等，这时可以合并两个样本比率作为总体比率的估计：第四节两总体均值差、比率差的检验于是有：第四节两总体均值差、比率差的检验样本容量平均月收入收入标准差新品店364000元300元折扣店493500元420元注意：两样本均值有差异，这是检验的前提。如果两样本均值无差异，则无须再检验。关于例1的检验：以0.05的显著性水平检验，两个店的顾客总体收入均值是否有显著差异？设两个样本信息如下：第四节两总体均值差、比率差的检验样本容量平均月收入收入标准差新品店364000元300元折扣店493500元420元首先提出假设H0:μ1−μ2=0,H1:μ1

−μ2

≠0

关于例1的检验：以0.05的显著性水平检验，两个店的顾客总体收入均值是否有显著差异？设两个样本信息如下：第四节两总体均值差、比率差的检验关于例1的检验：以0.05的显著性水平检验，两个店的顾客总体收入均值是否有显著差异？设两个样本信息如下：样本容量平均月收入收入标准差新品店364000元300元折扣店493500元420元其次，确定临界值和拒绝规则：

Zα/2=1.96，│Z│≥1.96时拒绝原假设。第四节两总体均值差、比率差的检验关于例1的检验：以0.05的显著性水平检验，两个店的顾客总体收入均值是否有显著差异？设两个样本信息如下：样本容量平均月收入收入标准差新品店364000元300元折扣店493500元420元最后，计算并做出结论：第四节两总体均值差、比率差的检验关于例1的检验：如果将两个样本信息改为：

样本容量平均月收入收入标准差新品店364000元300元折扣店493900元420元第四节两总体均值差、比率差的检验关于例2的检验：以0.05的显著性水平检验，服用降糖药和安慰剂的人群总体血糖均值是否有显著差异？设两个样本信息如下：第四节两总体均值差、比率差的检验关于例2的检验：以0.05的显著性水平检验，服用降糖药和安慰剂的人群总体血糖均值是否有显著差异？设两个样本信息如下：受试者血糖水平受试者血糖水平服药服安慰剂差值d服药服安慰剂差值d123456789103.55.26.34.55.76.24.84.05.95.85.66.86.95.68.28.34.86.55.88.8-2.1-1.6-0.6-1.1-2.5-2.10-2.50.1-3.0111213141516171819205.76.15.55.87.36.27.15.84.84.66.88.27.55.37.88.36.08.87.37.5-1.1-2.1-2.00.5-0.5-2.11.1-3.0-2.5-2.9第四节两总体均值差、比率差的检验关于例2的检验：以0.05的显著性水平检验，服用降糖药和安慰剂的人群总体血糖均值是否有显著差异？设两个样本信息如下：受试者血糖水平受试者血糖水平服药服安慰剂差值d服药服安慰剂差值d123456789103.55.26.34.55.76.24.84.05.95.85.66.86.95.68.28.34.86.55.88.8-2.1-1.6-0.6-1.1-2.5-2.10-2.50.1-3.0111213141516171819205.76.15.55.87.36.27.15.84.84.66.88.27.55.37.88.36.08.87.37.5-1.1-2.1-2.00.5-0.5-2.11.1-3.0-2.5-2.9第四节两总体均值差、比率差的检验关于例3的检验：以0.05的显著性水平检验，时隔17年，香港居民总体不赞同台湾独立的比率是否有显著提高？首先提出假设H0:Π1−Π2≤0,H1:Π1

−Π2>0

第四节两总体均值差、比率差的检验关于例3的检验：以0.05的显著性水平检验，时隔17年，香港居民总体不赞同台湾独立的比率是否有显著提高？其次，确定显著性水平、临界值和拒绝规则：Zα/2=Z0.025=1.96,

Z>1.96时拒绝原假设。第四节两总体均值差、比率差的检验关于例3的检验：以0.05的显著性水平检验，时隔17年，香港居民总体不赞同台湾独立的比率是否有显著提高？再次，合并样本比率：第四节两总体均值差、比率差的检验关于例3的检验：以0.05的显著性水平检验，时隔17年，香港居民总体不赞同台湾独立的比率是否有显著提高？最后，计算并作出结论：第五节与假设检验相关的几个问题1.使用参数估计做假设检验参数估计与假设检验均依据样本统计量的抽样分布；参数估计做出的置信区间，其实就是假设检验不能拒绝原假设的区间；因此，可以用参数估计做假设检验：若总体参数的置信区间不包括待检验的总体参数，就可以拒绝原假设。第五节与假设检验相关的几个问题第五节与假设检验相关的几个问题就参数估计而言，样本均值与μ0的距离超过Zα/2，所构造的置信区间就不包括μ0。第五节与假设检验相关的几个问题就假设检验而言，无论以何种方法检验，此时均要拒绝原假设。第五节与假设检验相关的几个问题例：高尔夫球生产企业规定，合格球的射程为280码。某日随机抽取36个球组成一个样本，测得其平均射程为278.5码，标准差为12码。试在显著性水平为0.05条件下，检验该批球的射程是否不为280码。假设检验方法第五节与假设检验相关的几个问题例：高尔夫球生产企业规定，合格球的射程为280码。某日随机抽取36个球组成一个样本，测得其平均射程为278.5码，标准差为12码。试在显著性水平为0.05条件下，检验该批球的射程是否不为280码。参数估计方法第五节与假设检验相关的几个问题2.控制第二类错误概率如果我们不拒绝原假设，我们可能犯第二类错误，即“取伪”错误。其含意是：样本其实来自于另一个总体，但我们错误地认为它来自于我们所期待的总体。由于样本出自的那一个总体（即“真实的总体”）的均值我们不知道，因此，犯第二类错误的概率通常也就无从得知。第五节与假设检验相关的几个问题2.控制第二类错误概率如果我们不拒绝原假设，我们可能犯第二类错误，即“取伪”错误。由于样本出自的那一个总体（即“真实的总体”）的均值我们不知道，因此，犯第二类错误的概率通常也就无从得知。但是，如果我们设定了“真实的总体”的均值，则第二类错误的概率就可以计算了。第五节与假设检验相关的几个问题例：某品牌精炼油标明每桶净重量不低于3公斤。现随机抽验了36桶油，计算其平均净重为2.92公斤，并且已知总体标准差为0.18公斤。

如果这批油平均每桶重量真的是2.92公斤，而不是3公斤，那么，在显著性水平α确定的同时，β也就确定了，并且可以计算出来。第五节与假设检验相关的几个问题首先，取α＝0.05，－Zα=－1.645。第五节与假设检验相关的几个问题然后，我们计算来自均值为2.92的总体的样本均值抽样分布中，样本均值2.95065对应的Z值。第五节与假设检验相关的几个问题最后，查表得知：标准正态分布下，Z＝1.0217对应的上侧面积（即尾概率）约为0.1539。这就是我们犯第二类错误的概率。第五节与假设检验相关的几个问题如果犯第二类错误的概率可以计算，则我们就可以确定检验功效：拒绝错误的原假设的概率。第五节与假设检验相关的几个问题3.关于假设检验的样本容量如果其他条件不变，则设置较小的α

可能导致较大的β

。如果我们想同时将α

和β

均控制在较小的水平上，则需要控制样本容量

。以单侧检验为例，可使用下列公式：第五节与假设检验相关的几个问题第五节与假设检验相关的几个问题例：