内容课件分析

第五章总练习设a,b为两个非零向量,下列等式成立的充分必要条件ab0ab

b|a|2|b|22a(2)|a+b||a||b||a+b|2(|a||b|)2|a|2|b|22ab|a|2|b|22|a||b|ab|a||b||a||b|cosa,b|a||b|cosa,b1ab共线且方向相反(3)ab与ab共线ab(ab0baab0abab设a,b,c为非零向量判断下列等式是否成立(1)(ab)ca(bc);(2)(ab)2=a2b2;(3)a(bc)(ab)解(1)不成立.例如:(iijji(ij不成立.例如ij)20i2j2成立.a(bc)和(abc都是a,b,c的有向体积,且定向相同解(7a5b)(a3b0,(a4b)(7a2b)7a215b216ab07a2+8b230ab0(1)15(2)161(a2b2)0,a2b2直角AD是斜边上的高则ADBDCDABBDBCACCDCB.证ABADDBACAD20ABAC(ADDB)(ADDC)ADADDCDBADDB222

DBDC,

DBDCBDDCBDDC(BDDC同向 2AB2 2 2BDCDBD2BD(CDBD)BD 2AC

2CD2BDCDCD2CD(BDCD)CD设ab为非零向量,证明(ab)2a2b2a证(ab)2|a|2|b|2sin2ab|a|2|b|2(1cos2ab|a|2|b|2|a|2|b|2cos2a,ba2b2设有两直线L:x1yz1L:x2y1z2求平行于LL 解n

所求平面:-5(x12)2y1/2)z1/2)0,5x2yz1Pv设直线L通过点P0且其方向向量为v,证明LPv一点P到L的距离d可表为d|P0P1v| 1证平行四边形P0P1AB

|v设两直线L1L2分别通过点P1P2,且它们的方向向量为v1v2.证明L1与L2共面的充分必要条件为P1P2(v1v20.证L1与L2P1P2v1v2共面P1P2(v1v2设两直线L1,L2分别通过点P,1P2,且它们的方向向量为v1,v2L1与L2之间的距离义为dmin|QQ|证明:(1)当L与L平行时它们之间的距离可表示为d 1 .(2)当L与L为异面直线时,它们之间的距离可表示为d|P1P2(v1v2.

|v1v2证(1)当L1与L2平行时,它们之间的距离为L1上任意一点到L2的距离,由第8题dP1P2v1(2)P1P2(v1v2)PP(vv是PP在L与L |vv 1 1 |故其长度|PP(vv|

|P1P2(v1v2|是异面直线L与L 1 |v1v2 AxByCzD 证明:(1)对于任意两个不全为零的常数1,21(A1xB1yC1zD1)2(A2xB2yC2zD2)表示一个通过直线L的平面(2)任意给定一个通过直线L的平面 ,必存在两个不全为零的实数1,2,使平面的方程为1A1xB1yC1zD12A2xB2yC2zD2证(1)向量(A1,B1C1与(A2B2C2不共线故对于两个不全为零的常数1,1A1xB1yC1zD12A2xB2yC2zD201A1B1C1)+2A2B2C2000是一个平面的方程,并且L上点的(x,y,z) 足A1xB1yC1z(x,y,z) 足AxByCzD 1(A1xB1yC1zD1)2(A2xB2yC2zD2)(2)设平面通过直线L,其方程A(xx0)B(yy0)C(zz0)AxByCzD(x0y0z0在L上.三个向量ABCA1,B1C1)与A2B2C2均垂直于L的方向向量,故共面又(A1,B1,C1与(A2B2C2)都是非零向量故存在两个不全为零的常数1,2,(A,B,C)1(A1,B1,C1)+2(A2,B2,C2DAx0By0Cz0(1A1+2A2)x0(1B1+2B2)y0(1C12C21(A1x0B1y0C1z0)2(A2x0B2y0C2z0)1D1故表示为1A1xB1yC1zD12A2xB2yC2zD2x2z4试求通过直线L

且与直线Lx1y1z313yz8 解根据11题的结论,所求平面方程有1(x2z4)2(3yz8)0,1x32y(212)z4182由于平面与L2平行,(132212)(1,1,1)01322120122令1221,得所求平面方程2x3y5z已知曲面S的方程为S

2

1,平面

:2x

y2z

求曲面S的平行于的切平面方程在曲面S上求到平面 距离为最短及最长的点,并求最短及最长的距离解(1)S

y,z).4xy2z 2x(Xx)y(Yy)z(Zz)2已知曲面S的方程为S

2

1,平面

:2x

y2z6 求曲面S的平行于的切平面方程在曲面S上求到平面 距离为最短及最长的点,并求最短及最长的距离(1)S上的点记为(xyz).S的法向(2x,,2切平面与平行,则法向量对应坐标成比例：2x

y/2z.z2x,y 与曲面方程联立x2x22x21,x1y1,z22xXxy(Yyz(Zz2利用曲面方程得2xXyYzZ2.X1YZ 平面过点A(300).P1A2PA2PA P1到平面的距离

|n

103点P11,1PA5 PA P2到平面的距离

|n

23(在曲面S上到平面距离为最短及最长的点分别是(1,1,1)和( 并求最短及最长的距离分别是 xy1z绕z轴旋转一周 x解直线参数方程y1zzxy1z绕z轴旋转,对于固定的