高1联赛数学讲缺课

数数列【例1】已知数列an中a11an3an3an2an2.求a2007解an2an2a2007a20052a20032 an2an2，得anan22，则an3an3an22 .于是a2007a20061

2005

13668 所以数列a11，a22 ，ann符合本题要求2】已知数列{an}12、1122、111222、……、111222

n nnSn（Ⅰ） 10n 10n ) 10n

记：A3

A333n个anAA+1) 个 a1102n110n S1(102104 1(102n21110n1198n【例3】数列a满足：a1,

xaa

n

akny11 1,k1 ；求xakn k

k

1 n1

11

1 n1 n1

n2

a n1

n2

1 n1 所以a

，x

a

1

1 k nnk

k ii1 k i

k

kk

kk12k1kk1kk1kykaii1ii

i1

nxn

1k2k2

1nn1

2

nn12n

nn13n211n．nk nk

k 【例4】已知数列a中a1，.关于x的方程x2 sin(cosx)

1sin10 (１)求数列an的通项公(２)设bnnan,求数列bn的前n项和sn(３)设

nlogn

]n，求证c3n 解 设f(x)x2 sin(cosx)(2a1)sin1，显然f(x 关于x的方程x2 sin(cosx)(2a1)sin1 x0是方程x2 sin(cosx)(2a1)sin1 02 sin(cos0)(2a1)sin10，即

1

1)，

12n-

1)2n，a2n1.(nN*)1nns1(211)2(221) n(2n1nn121222......n2n(12...(n-1)2n1n(n1)22c(11)(1)n21..... n

n 1＜2 .....1

2n-

＜21(1)n1＜325yf(xax2ybx11，且ab1。如果存在正项数列a nnn1足a1f(ana3n2a(nN12

nn求数列an的通项；（2）证明：

ai3iab1,yx3x1(x

f(af(a)nana(nN （1）

a3n2a

2

n又ain1)a2 an1 n(n

(2)n(nN

nn11(i1)(i1)(i1iiinn

ain n

i2(i

i2(i

1 1 (i2)nn22

i2(i

nn12 121n1n

i2(i

nn12 12

( 1 ii1212nnii1212nn

6】在数列{a}

1,an1

n1(nn（Ⅰ）试比较an

n

n1（Ⅱ）证明：当 3时，an32n1（Ⅰ）由题设知，对任意nN*，都有anan1anan1an1

,n2 n na

(ann

an1n1 1 2(n2n 2(n2n2n （Ⅱ）1a11a22a34an1an11,an1an

1(n2) n nn3时an2n11)an12n1a

n

nana3(a4a3)(a5nn934 nn

34

则1S34 ①-

122S31

n11n1.

an 32a1a3a9 （1）n3时，由3n129nk(k3 a3k1，那 2k

(

(

要证

3(k11，只需证k(k1k2kk

2(k

22k

2k k2k

k(k1)，则只需证2kk