空间问题有限元

第4章空间问题的有限元法4.1空间问题（1）单元为块体形状。常用单元：四面体单元、长方体单元、直边六面体单元、曲边六面体单元、轴对称单元。（2）结点位移3个分量。（3）基本方程比平面问题多。3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。4结点四面体单元：是空间问题最简单的单元，也是常应变、常应力单元，可以类似平面问题三结点三角形单元进行分析。8结点长方体单元：可以类似平面四结点矩形单元进行分析。8结点直边六面体单元：可以类似平面四结点任意四边形等参元分析。20结点曲边六面体单元：等参单元,可以类似平面八结点曲边四边形等参元进行分析。轴对称单元：一平面单元绕一对称轴旋转形成的空间问题。只需在rz平面划分网格，就像平面问题xy平面中的网格一样，这样这类空间问题可以得到简化。（环向位移等于零）4.2四结点四面体单元1、位移模式

单元结点位移向量

位移函数将上式中第1式应用于4个结点，则由此可解出代定常数a1~a4再代回到式（4-3）的第1式，可得形函数u:

编号约定：当沿i,j,m的方向转动时，n在大拇指所指的方向采用同样的方法，可得单元位移：

2、单元应变将单元中位移（4-11）代入上式常量3、单元应力弹性矩阵[D]:代入单元应变计算公式，整理后：其中[S]为应力矩阵，且：常量4、单元刚度矩阵分块矩阵的形式

式中子矩阵[krs]为3×3的矩阵：5、等效结点荷载体积力与表面力的计算公式与平面三角形单元公式相似，可以采用静力等效原则简化计算。ANSYS中Solid454.3二十结点六面体等参数单元由于精度高，容易适应不同边界，在平面问题中常选用八结点四边形等参数单元。与此类似，在三维问题中常选用二十结点六面体等参数单元。如下图。Solid95inANSYS四面体角锥体棱柱体1、位移模式采用与平面8结点四边形等参元类似的位移模式与坐标变换式：其形函数为：2、单元中应变子块矩阵根据复合函数求导规则，有

[J]为雅可比矩阵，其表达式为：3、单元中应力4、单元刚度矩阵(60X60)5、等效结点荷载（1）体积力单位体积力（2）面力某面面力4.4空间轴对称问题的有限元法对空间轴对称问题，常采用圆柱坐标系。r表示径向坐标，z表示轴向坐标，任一对称面为rz面。在有限元分析时，可采用轴对称的环形单元进行。环形单元可以是任何平面单元，本节以三角形单元为例。PLANE25(四边形),PLANE83(八结点四边形)PLANE25PLANE831、位移模式轴对称问题的环向位移恒等于零，径向r位移与轴向z位移不等于零。对于图示情形，依照平面问题的三角形单元分析，取位移模式为代入结点位移后，可解出a1-a6，再代入上式，得

x>r,y>z其中形函数：；

单元中位移2、单元中应变根据弹性力学理论，空间轴对称问题的几何方程为将u,w表达式代入上式，整理后式中其中

[B]矩阵中含有变量r，z，因此它不是常数矩阵，即轴对称问题的三角形环形单元不是常应变单元。3、单元中应力根据弹性力学理论，空间轴对称问题的应力-应变关系为弹性矩阵:单元中任意一点的应力：4、单元刚度矩阵由于被积函数与θ无关，故在三角形截面的环单元的积分可简化为在三角形截面上的积分。故有：

单元刚度矩阵的积分参照图示分区，按下式采用数值积分的方法进行

当单元较小时，可把各个单元中的r，z近似看作常数，并且分别等于各单元形心的坐标，即这样，就可把各个单元近似地当做常应变单元

单元刚度矩阵[k]的分块形式其中的近似子矩阵为5、等效结点荷载类似平面问题。对于作用于三角形环单元上的体积力、表面力的等效结点力为：体力面力：（1）均布表面力设单元ij边上作用均布表面力，其集度为l当ri=rj

时，静力等效原则(2)三角形分布表面力沿单元ij边作用了三角形分布的表面力，表面力在i点集度为

当ri=rj

时，静力等效原则。2/3集中在i点，1/3集中在j点。习题：1，44.5钢筋混凝土单元(Solid65)1、solid65单元：ANSYSSolid65单元专为混凝土、岩石等抗压能力远大于抗拉能力的非均匀材料开发的单元，最多可以定义3种不同的加筋材料。混凝土具有开裂、压碎、塑性和蠕变能力，加筋材料只能受拉压，不能受剪切力。同时假定钢筋和混凝土粘接良好，钢筋在混凝土中的布置以不同方向的体积配筋率形式表示。这就是所谓的整体模型。当然，就ANSYS而言，也可采用分离式模型：混凝土用Solid65单元，钢筋用Link单元或Pipe单元，可以引入弹簧单元来模拟粘接和滑移。2、solid65单元使用方法Solid65单元的混凝土材料参数在“材料模型”中定义，而钢筋参数（材料号、体积率、放置方向）在“实常数”中定义，当加固材料的编号为0或等于单元材料号时，将忽略加固材料。钢筋混凝土结构模拟：纵筋密集区采用带筋的solid65单元，而无筋区采用无筋65单元。混凝土材料定义：1）线性行为：弹模和波松比；2）非线性行为：等强硬化模型、随动强化模型Drcker

Prager(DP)模型；定义破坏准则参数9个。钢筋：双线性随动硬化模型。混凝土破坏准则参数（9个）Shrcf-OP:张开裂缝的剪力传递系数；(0－1，一般梁0.5，深梁0.25,剪力墙0.125）ShrCf-Cl:闭合裂缝的剪力传递系数（0.9-1.0);UnTensSt:抗拉强度ftUnCompSt:单轴抗压强度fc

；BiCompSt：双轴抗压强度；

HydroPrs：静水压力;BiCompSt：静水压力下双轴抗压强度；UnCompSt：静水压力下单轴抗压强度；TenCrFac:拉应力衰减因子。注：低静水压力只需前4项。4.6ANSYS算例分析算例1（第2章例2）：简支梁，梁高3m,跨度18m，厚度1m，承受均布荷载10N/m2。已知E=20GPa，μ=0.167，采用solid45块体单元计算应力和变形。18m3mxyANSYS分析单元：45号单元建模：先建长方体9×3×1，映射划分网格：长边12段，高度6段，厚度2段。约束：对称面面约束Ux，支点边线约束Uy。荷载：顶面加压力10。Solu:Post1:算例2（仅弹性分析）钢筋混凝土矩形板在板中作用2mm位移荷载，采用整体模型分析板的受力、开裂等情况。材料：（1）混凝土E=2.4E4MPa