第一节误差的基本概念

第一节误差

定义：数值计算方法是计算数学的一个分支,又称数值分析或计算方法,它是研究用数字计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科,是程序设计和对数值结果进行分析的依据和基础。应用计算机解决科学技术和工程问题的步骤：(1)提出实际问题(2)建立数学模型(3)选用数值计算方法(4)编程上机计算得出数据结果。一、误差的来源

1.模型误差:在建立数学模型过程中,不可能将所有因素均考虑,必然要进行必要的简化,这就带来了与实际问题的误差。2.

观测误差:

测量已知参数时,数据带来的误差。3.

截断误差:

在设计算法时,近似处理带来的误差。函数用泰勒多项式近似代替时，有误差其中在与之间。这种误差就是截断误差。例如：4.

舍入误差:

计算机的字长是有限的,每一步运算均需四舍五入,由此产出的误差。例如：用3.14159近似代替,产生的误差就是舍入误差。二、浮点数

任何一个浮点数均可表示为其中，r叫做这个数的基，p是阶，是一个整数，取正数,负数或零。w是尾数，由t位小数构成，

若，则该浮点数为规格化浮点数。对于一个特定的机器，尾数的位数t是固定的，也称其精度有t个r进位数字。二、误差的基本概念

1.误差和误差限

设是准确值x的一个近似值,称

为近似值

的绝对误差,简称误差.

又简记

.误差是无法计算的(因为准确值x不知道),但可以估计出它的一个上界。即,称

是近似值

的绝对误差限,简称误差限.误差是有量纲的，可正可负。2.

相对误差和相对误差限实际计算中,由于准确值x总是未知的,且由于称为近似值的相对误差。简记为。相对误差是无量纲的,也可正可负,它的绝对值的上界称为该近似值的相对误差限,记作简记为即是

的平方项级,故当

较小时,常取三、有效数字

如果近似值

的误差限是某一位的半个单位,该位到的第一位非零数字共有n位,我们称

有n位有效数字。

π=3.1415926535,取

=3.14

时，所以

=3.14

作为π的近似值,有3位有效数字；而取

=3.1416时,所以

=3.1416

作为π的近似值有5位有效数字。定义：例下面给出有效数字的另一等价定义

用

表示x的近似值，并将表示成若其误差限,则称

具有

n位有效数字,这里

m

是整数,a1,a2

,,an为

0~9中的一个数字,且a10.定义：例

=3.1415926535,取

=3.14时，即

m-n=-

2,m=1,n=3,所以

=3.14作为

近似值时,

就有3位有效数字。四误差限与有效数字的关系证明故此定理说明，相对误差是由有效数字决定的。定理1有n位有效数字，。则其相对误差限为设近似值

已知定理2设近似值的相对误差则它至少有n位有效数字。故

至少有n位有效数字。证明例解由于所以由定理有即得要使的近似值的相对误差限小于0.1%,要取几位有效数字。故只要对的近似数取4位有效数字,因此,可取其相对误差就可小于0.1%,

一、算术运算的误差可见,和、差的误差是误差之和、差,但是因为所以和或差的误差限是误差限之和，以上的结论适用于任意多个近似数的和或差。第二节数值运算中误差的传播1.由于x*的误差e(x*)=x*-x可看作是x的微分,即dx=x*-x,则：同理可得：乘、除运算的误差,以两数为例写出2.x*

的相对误差是它是对数函数的微分。设u=xy,则lnu=lnx+lny,因而dlnu=dlnx+dlny

这就是说,乘积的相对误差是各乘数的相对误差之和,相对误差限是各乘数的相对误差限之和。

r(u*)=r(x*)+r(y*)即

er(u*)=er(x*)+er(y*)即商的相对误差是被除数与除数的相对误差之差,但相对误差限是各乘数的相对误差限之和.

由此可得:任意多次连乘、连除所得结果的相对误差限等于各乘数和除数的相对误差限之和。

r(u*)=r(x*)+r(y*)

同样,若u=x/y,则lnu=lnx–lny,因此dlnu=dlnx–dlny即

er(u*)=er(x*)-

er(y*)例1解因所以从而得到

设u的相对误差限等于乘数x、y和除数z、ω的相对误差限之和。求u的相对误差限。

取绝对值得其中为近似数x*的误差限。二、函数运算误差设f(x)在(a,b)内连续可微,x

的近似值为x*,f(x)的近似值为f(x*),其误差为e[f(x*)],误差限为对多元函数自变量的近似值为的近似值为函数值y*的运算误差为可得出一元函数运算的误差限和相对误差限分别为：记则上式简记为相对误差限于是误差限例1

计算多项式的值:每项akxk有k次乘法运算,因此计算Pn(x)共需次乘法和n次加法运算。如将Pn(x)写成:一、简化计算步骤,减少运算次数第三节设计算法时应注意的原则用递推算法:最终Pn(x)=un共需n次乘法和n次加法运算。

一般地要注意:能在循环外计算,就不要放在循环内计算。如用四位有效数字计算:例2结果只有一位有效数字；两个相近的数相减,有效数字会大大损失。二、注意避免两个相近数的相减如改为：有四位有效数字,新算法避免了两个相近数的相减。例3

计算

解用五位十进制计算机进行计算:0.1被大数“吃掉”了,从而有三、防止大数“吃掉”小数如改为0.1就没有被吃掉。这也是构造算法时要注意的问题,避免重要的参数被吃掉。当|x|>>|y|时,舍入误差会扩大四、避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值。例4的舍入误差均为,而的舍入误差为:,则很小的数作除数有时还会造成计算机的溢出而停机。五、使用数值稳定的算法用分部积分公式得递推公式:近似值In*的递推公式:In*

=1-nIn-1*

例5In=1-nIn-1

在运算过程中,舍入误差能控制在某个范围内的算法称为数值稳定的算法,否则就称为不稳定的算法.

e(In*)

=-ne(In-1*

),用四位有效数字计算:误差e(In*)的递推公式:于是I7*

,I8*

与精确值已经面目全非。n精确值In

近似值In*n精确值In

近似值In*012340.632120.367870.264240.207270.170890.63210.36780.26420.20740.1704567890.145530.126800.112380.100930.091610.14080.11200.2180-0.72807.5520算法一

In=1-nIn-1,代入得下表由于计算I0有误差不计中间再产生的舍入误差

|e(In*)|=n!|e(I0*)

|到I8

时|e(I8*)|=8!ε=40320ε

误差扩大了4万倍,因而该算法是不稳定的。e(In*)

=-ne(In-1*

)分析：

In=1-nIn-1,可以估计出故算法二

如果递推式改为

In-1=(1-In)/n

则In-1*

=(1-In*

)/n

误差e(In-1*)=-

e(In*

)/n

n精确值In

近似值In*n精确值In

近似值In*987650.091610.10093

0.112380.126800.145530.10000.10000.11250.12680.14554321