材料力学(第四章)06

第四章弯曲内力材料力学§4–1弯曲的概念和实例§4–2剪力和弯矩§4–3剪力图和弯矩图§4–4剪力、弯矩和分布载荷集度间的关系第四章弯曲内力一、弯曲的概念受力特点：杆件受垂直于轴线的外力（包括外力偶）的作用。梁：以弯曲变形为主要变形的构件通常称为梁。§4–1弯曲的概念和实例作业：4-1（f)4-2(ce)变形特点：轴线变成了曲线。F纵向对称面轴线C二、平面弯曲的概念梁的横截面有一对称轴，外载荷作用在纵向对称面内，杆发生弯曲变形后，轴线仍然在纵向对称面内，是一条平面曲线。F1F2非对称弯曲若梁不具有纵向对称面，或者，梁虽具有纵向对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。C

梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1.构件本身的简化三、受弯杆件的简化取梁的轴线来代替梁FalABFalAB(1)固定铰支座

2个约束，1个自由度。(2)可动铰支座

1个约束，2个自由度。2.支座简化(3)固定端FxFyM3个约束，0个自由度。固定铰可动铰固定铰可动铰固定端3.梁的三种基本形式(1)简支梁(2)外伸梁(3)悬臂梁FABqFFABF4.载荷的简化MqFAB作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。5.静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。超静定梁：由静力学方程不能求出支反力或不能求出全部支反力。FABqFABFFABqABF已知：F，a，l。解：(1)求支座反力§4–2剪力和弯矩求：距A端x处截面上内力。FABFAyFAxFBFalABbxFBFAFAyC（2）求内力——截面法剪力FS弯矩MFSMMFS取左段：ABFFBxmmFAy内力的正负规定（1）剪力FS:

左上右下为正;反之为负。+左上右下为正FSFS+FSFSFSFS（2）弯矩M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。MM(+)左顺右逆为正可以装水为正MMMM(+)MM(–)（2）弯矩M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。MM(+)左顺右逆为正可以装水为正MMMM(+)MM(–)MM求D截面上的内力。作业：4-5（bej)4-7(bd)解：FA截面法求D截面内力：MD[例2]取左段：FSFAaaqAqBDaCaaFB剪力=截面左侧所有外力在y轴上投影代数之和，向上为正。弯矩=截面左侧所有外力对该截面之矩的代数和，顺时针为正。MDFSFAaaq(P96)[例3]求1-1、2-2截面上的内力。AFSMqF=qaMe=2qa2解：[1-1截面]Baqa221C1F=qaMe=2qa2[2-2截面]FSMqF=qaMe=2qa2ABaqa221C1F=qaMe=2qa2§4–3剪力图和弯矩图求x截面上的内力。解：FS=

FS(x)剪力方程)(xMM=弯矩方程FSxql－lxMx－qABFaClb[例4-4]

（P100）求梁的内力方程并画出内力图。FAFBx1x2解:(1)求支座反力(2)写出内力方程AC段：CB段：FSxMx+－(3)根据方程画内力图ABFaClbFAFBx1x2MxFSx+－+ABFaClbFAFBx1x2(3)根据方程画内力图(4)内力图特征在集中力作用的地方，剪力图有突变，外力F向下，剪力图向下变，变化值=F值；弯矩图有折角。+－M图+FS图ABFaClbFAFBx1x2[例4-5]

(P101)求梁的内力方程并画出内力图。x1x2解：(1)求支座反力(2)写出内力方程AC段：CB段：ABMeaClbFAFBxMx+FS(3)根据方程画内力图x1x2ABMeaClbFAFB+－Mxx+FSx1x2ABMeaClbFAFB(3)根据方程画内力图(4)内力图特征在集中力偶作用的地方，剪力图无突变；弯矩图有突变，Me逆时针转，弯矩图向下变，变化值=Me值。+－Mxx+FSx1x2ABMeaClbFAFBABqa[例4-3]

(P99)求梁的内力方程并画出内力图。FAFB解：(1)求支座反力(2)写出内力方程xxMxFS+－（3）根据方程画内力图FAFBABaxqMxxFS+－+（3）根据方程画内力图FAFBABaxq(4)内力图特征在均布力作用的梁段上，剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线，均布力向下作用，抛物线开口向下。抛物线的极值在剪力为零的截面上。MxxFS+－+ABaxqB2aaAqC[例8]求梁的内力方程并画出内力图。x1x2解：(1)写出内力方程xFS－(2)根据方程画内力图+MxB2aaAqCx1x2MxxFS－+二次抛物线的升降，开口方向，极值点B2aaAqCx1x2MxxFS－+极值点：即：得：+B2aaAqCx1x2一、剪力、弯矩与分布荷载间的关系取一微段dx，

进行平衡分析。q(x)q(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS

(x)FS(x)M(x)dxA剪力的导数等于该点处荷载集度的大小。

§4–5剪力、弯矩和分布载荷集度间的关系dxx弯矩图的导数等于该点处剪力的大小。弯矩与荷载集度的关系。忽略高阶微量q(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS

(x)FS(x)M(x)dxA1、若q=0，则FS=常数，M是斜直线；2、若q=常数，则FS是斜直线，M为二次抛物线；3、M的极值发生在FS=0的截面上。二、剪力、弯矩与外力间的关系外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0FS图特征M图特征CMe水平直线xFSFS>0FSFS<0x斜直线增函数xFSxFS降函数xFSCFS1FS2FS1–FS2=F向下突变xFSC无变化斜直线xM增函数xM降函数曲线xMxM有折角向上突变

MxM1M2CF4、将微分关系转为积分关系简易作图法:利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。[例4]

用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解:

特殊点:端点、分区点（外力变化点）和驻点等。aaqaqACBFSxqa2–qa–xM根据及FS图和M图的特征作图。aaqaqACB[例4-9]

(P111)F=3kNq=10kN/mB1.2m0.6mMe=3.6kN·mCFAFBDA0.6mFS(kN)x3M(kN·m)x2.45–++–M0=1.251.21.8x0=0.7m7––+7用简易作图法画下列各图示梁的内力图。作业：4-6（ad)解：求支反力qMe=qa2F=qaFSx––+ABCDxM–+FAFDaaa[例9]

7a2aaFAFBABqCDMexx–q=3kN/m8.566.0462.83m[例5]Me=3kN·m–+FS(kN)M(kN·m)3.5a=2m4+–用简易作图法画下列各图示梁的内力图。FS/kNx325[例6]画梁的剪力图和弯矩图+–+1.5mM/kN·mx+–462.25F2=2kNq=2kN/mB2m2mMe=10kN·mCDA4mFAFB+4FS(kN)x723[例11]画梁的剪力图和弯矩