平均指标和标志变异指标

平均指标和标志变异指标第一页，共六十三页，2022年，8月28日本章主要内容第一节平均指标的意义和种类第二节平均指标的计算与分析第三节标志变异指标的计算与分析第二页，共六十三页，2022年，8月28日第一节平均指标的意义和种类

一、平均指标的意义

（一）平均指标的概念概念：某一同类社会经济现象的一般水平。

将总体各单位之间的数量差异抽象化；

是一个代表值，代表总体各单位数量特征一般水平

（二）作用

平均指标可以反映总体的一般水平

可以对不同时间和空间的平均指标进行比较

算术平均数可以反映总体分布的集中趋势。第三页，共六十三页，2022年，8月28日第一节平均指标的意义和种类二、平均指标的种类数值平均数：算术平均数、调和平均数、几何平均数位置平均数：中位数、众数

第四页，共六十三页，2022年，8月28日第二节平均指标的计算和分析

一、算术平均数

1、基本公式

算术平均数=总体标志总量÷总体单位总量注意：

分子与分母是同一总体的两个总量指标，分子中的每个标志值须由分母的每一个总体单位来承担。

总体标志总量的标志是数量标志。第五页，共六十三页，2022年，8月28日

2、简单算术平均数例1：有6名学生的《英语》考试成绩分别为：81、82、85、89、92、93分，则平均考试成绩为:

（81+82+85+89+92+93）÷6=87（分）

以公式表示：对于变量数列x1x2x3…xn有

第六页，共六十三页，2022年，8月28日3、加权算术平均数1)由单项式数列计算加权算术平均数例2：某厂金工车间20名工人加工某种零件的产量资料如下：

20名工人零件生产数量分组资料产量x（件）人数f（人）总产量x*f（件）14151617182485128601288518合计20319第七页，共六十三页，2022年，8月28日以公式表示：对于变量数列x1x2x3…xn有如果掌握的资料是组距式数列，应先计算各组的组中值以代表该组内各单位的一般水平，而后按上述方法计算其平均数

第八页，共六十三页，2022年，8月28日

工资（元）组中值x人数（人）f工资总额（元）x·f800以下800~10001000~12001200~15001500以上7009001100135016506142610442001260028600135006600合计—60655002)由组距式数列计算加权算术平均数例3：某贸易公司60名员工月工资分组资料如下：第九页，共六十三页，2022年，8月28日

注意：（见例）

1、权数对算术平均数数值的影响并不取决于各组次数本身绝对数值的大小，而是取决于各组次数占总次数的比重大小（权重）。若标志值小的一方权重大，计算结果就将偏向于小的一方；若标志值大的一方权重大，计算结果就将偏向于大的一方。

2、各组标志值不变，各组次数扩大或缩小相同的倍数，其平均数值不变。

3、如果各组次数相等，加权算术平均数就等于简单算术平均数。

第十页，共六十三页，2022年，8月28日在许多情况下，我们可以直接用各组次数占总次数的比重来求加权算术平均数

第十一页，共六十三页，2022年，8月28日例4：某贸易公司60名员工月工资分组资料工资（元）组中值（元）X人数比重（%）ƒ/∑ƒ工资×比重800以下800~10001000~12001200~15001500以上70090011001350165010.023.343.316.76.770.00209.70476.30225.45110.55合计—100.01092第十二页，共六十三页，2022年，8月28日课堂练习：据下表求工人的月平均产量

各级别工人月产量和工人数情况表技术级别月产量工人数各组产量

12465123022851851303310206200437015555054152830

合计--6018940工人的月平均产量=18940/60=315.67(件）第十三页，共六十三页，2022年，8月28日

4、算术平均数的数学性质

①各个变量值与平均数离差之和等于零证明加权算术平均数简单算术平均数证明第十四页，共六十三页，2022年，8月28日②各个变量值与平均数离差平方之和为最小值证明：设x0为不等于平均数的任意值，则：代入以x0

为中心的离差平方和，得第十五页，共六十三页，2022年，8月28日

平均数的这一性质说明：以任意不为平均数的数值为中心计算的离差平方和总大于以平均数为中心计算的离差平方和，因此，算术平均数是误差最小的总体代表值。第十六页，共六十三页，2022年，8月28日

二、调和平均数

定义：也称倒数平均数，是各个标志值倒数的算术平均数的倒数

根据所掌握的资料不同，调和平均数有简单和加权两种。1、简单调和平均数

例5：有一种蔬菜，早晨的价格每千克0.5元，中午0.2元，晚上0.1元。如果早、中、晚各买1元钱的蔬菜，则当天所买的蔬菜平均价格是多少？

以公式表示第十七页，共六十三页，2022年，8月28日

练习：在市场上购买某种商品，甲级每千克1.0元，乙级每千克0.9元，丙级每千克0.7元，现各花一元买每级商品，则平均每千克的价格为？

H=（1+1+1）/(1/1+1/0.9+1/0.7)=0.85元/千克2、加权调和平均数

简单调和平均数是在各标志总量对平均数起同等作用的条件下应用的，但在许多条件下，各标志总量对平均数的作用是不同的例：如果每级商品不是各花一元，而是3元买甲级，2元买乙级，一元买丙级。则平均每千克的价格为？

H=（3+2+1）/（3/1+2/0.9+1/0.7）=0.9元/千克

第十八页，共六十三页，2022年，8月28日例6

化工厂2008年11月购进三批A原料，每批的价格及金额如下：A原料的购入价格和金额资料批次价格（元/公斤）x金额（元）m购进数量（公斤）m/x第一批第二批第三批505560110002750018000220500300合计—565001020第十九页，共六十三页，2022年，8月28日

3、由相对数或平均数计算平均数

一般原则：根据算术平均数的基本公式，如果掌握了基本公式的分母资料，缺少分子资料，应以分母资料作权数，采用加权算术平均法；如果掌握了基本公式的分子资料，缺少分母资料，应以分子资料作权数，采用加权调和平均法。

第二十页，共六十三页，2022年，8月28日三、几何平均数

它是计算平均比率或平均速度最适用的一种方法。因为几何平均数的数学性质与社会经济现象发展的平均比率和平均速度形成的客观过程是一致的。

凡是变量值的连乘积等于总比率或总速度的场合都适宜用几何平均法计算平均比率或平均速度。几何平均数也分简单几何平均数和加权几何平均数两种第二十一页，共六十三页，2022年，8月28日

1、简单几何平均数

简单几何平均数是N个变量值（比率）连乘积的N次方根，计算公式为：连乘符号，项数

例8

希望机械厂生产的机床要经过四个连续作业车间才能完成。2003年一季度第一车间铸造产品的合格率为95%，第二车间粗加工产品的合格率为93%，第三车间精加工产品的合格率为90%，第四车间组装的合格率为86%，则该企业的产品平均合格率为多少？第二十二页，共六十三页，2022年，8月28日

2、加权几何平均数当计算几何平均数的每个变量值（比率）的次数不相同时，则应用加权几何平均法，其计算公式为：f权数第二十三页，共六十三页，2022年，8月28日

四、位置平均数──中位数和众数

1、中位数定义：把总体中各单位标志值按大小顺序排列，处于中点的位置的标志值。

1）由未分组资料确定中位数

a总体单位数为奇数时：

中位数是处在第(n+1)/2项位置的标志值

例10

、一个科室有9人，年龄分别为24、25、25、26、26、27、28、29、55岁，则中位数为26岁

b总体单位数为偶数时：中位数是第n/2项和第（n+2）/2项两个标志值的平均数如例10去掉24，则中位数是第4项和第5项标志值26和27的平均数(26+27)÷2=26.5岁第二十四页，共六十三页，2022年，8月28日2）由已分组资料确定中位数

单项数列：首先确定中位数位次，（∑f+1）/2；然后确定中位数组，该组的变量值就是中位数。

产量x（件）人数f（人）累计次数（频率）1415161718248512（10%）20（100%）6（30%）18（95%）14（70%）14（70%）19（95%）6（30%）20（100%）1（5%）合计20——第二十五页，共六十三页，2022年，8月28日

组距数列：首先确定中位数位次，（∑f+1）/2；然后按照公式计算中位数中位数组以下组累计次数中位数组以上组累计次数下限公式上限公式第二十六页，共六十三页，2022年，8月28日

例112010年某地大学生消费支出调查资料

月消费额组中值（元）调查人数（人）累计人数（人）300以下300~400400~500500~600600~700700以上250350450550650750801804302207020

80100026092069074091031098090100020合计——1000——

第二十七页，共六十三页，2022年，8月28日解：

中位数的位置为1000+1/2=500.5，可知月消费金额位居第500位的学生在月消费额400—500元这个组，中位数为：第二十八页，共六十三页，2022年，8月28日2、

众数

出现次数最多的变量值即为众数（1）根据单项数列确定众数例12：佳美超市2004年3月各种包装的味精销售情况：按包装分组（克）销售量（袋）102550751005001000305235714643172众数为50克第二十九页，共六十三页，2022年，8月28日一（2）由组距数列计算众数先根据各组次数确定众数所在的组，这时应注意各组组距是否相等，如不等则要考虑组距对次数的影响，然后利用下列公式计算众数。下限公式

L：众数组的下限Δ1

：众数组次数与前一组次数之差Δ2

：众数组次数与后一组次数之差

I：众数组的组距上限公式

根据例11资料计算第三十页，共六十三页，2022年，8月28日练习：据下表求中位数和众数某村农民家庭年纯收入资料统计表按年纯收入分组农户数

1200-140051400-1600101600-1800801800-20001302000-22001802200-2400502400-2600302600-280015

合计500第三十一页，共六十三页，2022年，8月28日3众数的应用1众数是总体中最常见的数值，不受总体内极值的影响。2众数存在于总体单位数多且标志值有明显的集中趋势。3）应在等距数列中计算众数。4）如有两个标志值有最大频数，则称为双众数分配数列。第三十二页，共六十三页，2022年，8月28日

五、各种平均数之间的关系1、算术平均数和几何平均数、调和平均数的关系

如果根据同一资料计算，则调和平均数最小，几何平均数居中，算术平均数最大，即：算术平均数≥几何平均数≥调和平均数例13：有1、3、6、7、9五个数，计算：第三十三页，共六十三页，2022年，8月28日（2）的关系对称分布左偏分布右偏分布第三十四页，共六十三页，2022年，8月28日

六、计算和应用平均指标应注意的问题

1、

同质性

2、

总平均数与组平均数结合

3、

总平均数与分布数列结合

4、

平均数与典型事例结合

5、

平均数与变异分析相结合第三十五页，共六十三页，2022年，8月28日第二点解释各类人员工资情况统计表（两个小组）按熟练程度分组甲组乙组

人数比重工资总额平均工资人数比重工资总额平均工资技术工12406480540

287014280510学徒/p>

12304680390

合计30100140404684010018960474第三十六页，共六十三页，2022年，8月28日第三点解释计划完成程度分布表企业按计划完成程度分组商业企业数

80以下380-90490-1008100-11050110-12030120-13010

合计105第三十七页，共六十三页，2022年，8月28日第三节标志变异指标

一、标志变异指标的概念和作用

1、概念：反映总体各标志值间差异大小的综合指标，能够衡量总体平均数的代表性。

2、作用：（1）标志变异指标是衡量平均数代表性大小的尺度（2）标志变异指标可以反映社会经济活动过程的节奏性和均衡性第三十八页，共六十三页，2022年，8月28日作用的两点解释1、第一组：60708090平均分75极差30第二组：2080100100平均分75极差80第一组的平均分更有代表性。2、某企业两车间产品生产计划完成情况表部门生产计划完成百分数（%）全月上旬中旬下旬甲车间100.00333433乙车间100.00123850第三十九页，共六十三页，2022年，8月28日二、标志变异指标（一）极差（全距）：总体各单位变量值中最大值与最小值之差

R=最大变量值–

最小变量值优点：计算简便缺点：易受极端值的影响举例：5名学生的成绩为50、69、76、88、97则R=97-50=47对于组距数列：极差=最高一组的上限值–

最低一组的下限值第四十页，共六十三页，2022年，8月28日（二）平均差（A.D)1、简单平均差公式：应用条件：资料未分组，各变量值出现的次数为1。举例：5名工人日产量资料日产量(件)203221230241263合计8第四十一页，共六十三页，2022年，8月28日2、加权平均差公式：应用条件：资料经过分组，各组次数不同。举例：按日产量分组（公斤）工人数f组中值x20—30102517030—40703549040—50904527050—603055390合计200—1320第四十二页，共六十三页，2022年，8月28日3、平均差的优缺点优点：平均差是根据全部数值计算的，受极端值影响较全距小。缺点：由于采取绝对值的方法消除离差的正负号，应用较少。

第四十三页，共六十三页，2022年，8月28日（三）标准差（）1、简单标准差公式：应用条件：资料未分组，各组次数都是1。举例：前例，日产量（件）209221230241269合计20第四十四页，共六十三页，2022年，8月28日2、加权标准差公式：应用条件：资料经过分组，各组次数不同。举例：前例，日产量（公斤）工人数f组中值x20—301025288030—407035343040—50904581050—6030555070合计200—12190第四十五页，共六十三页，2022年，8月28日例16

根据例11某地大学生2002年消费情况计算人月消费额的方差和标准差（平均458元）月消费额（元）组中值x人数f300以下300~400400~500500~600600~700700以上250350450550650750801804302207020-208-108-892192292432641166464846436864852643461120209952027520186208025804801705280合计—1000——11736000第四十六页，共六十三页，2022年，8月28日计算结果表明，每个大学生的月消费额与平均数相比，平均相差108.33元。方差与标准差用于测度数据的离散程度作用是一致的，但标准差的计量单位与变量值的计量单位相同，其实际意义比方差清楚，所以通常在对社会经济现象进行分析时，更多使用标准差来测量统计数据的差异程度。

第四十七页，共六十三页，2022年，8月28日练习：已知甲乙两组工人的平均工资均为767元，甲组的标准差为22元，乙组工人的工资见下表：按工资水平分组工人人数

500-6002600-7003700-8005800-9006900以上2

合计18试比较两组工人平均工资的代表性第四十八页，共六十三页，2022年，8月28日(四）是非标志的平均数和标准差

在社会经济活动中，常常存在这样的总体，其全部单位由具有某一标志的单位和不具有某一标志的单位两部分组成。这种将总体划分为“有”与“无”或者“是”与“非”的标志被称为是非标志（交替标志）。设：1——表示具有所研究的变量值N——总体单位数0——表示不具有所研究的变量值N1——具有所研究变量值的单位数N0——不具有所研究变量值的单位数第四十九页，共六十三页，2022年，8月28日两部分单位数占全部单位数的成数（比重）可表示为：

P=N1/N总体中具有所研究变量值的单位数所占的成数；

Q=N0/N总体中不具有所研究变量值的单位数所占的成数两个成数之和等于1，即：第五十页，共六十三页，2022年，8月28日

现说明用是非标志计算平均数与标准差的方法如下：是非标志x总体单位数（成数）f变量×总体单位数xf离差离差平方离差平方加权10PqP01–p0-p合计1p————是非标志的算术平均数为：第五十一页，共六十三页，2022年，8月28日

是非标志的标准差为：

例17

某机械厂铸造车间本月生产6000吨铸件，其中合格品5400吨，不合格品600吨。其是非标志的平均数、标准差、方差计算如下：第五十二页，共六十三页，2022年，8月28日（五）标志变异系数（离散系数）

为了消除变量值平均水平和计量单位不同对离散程度的测度值的影响，需要计算离散系数离散系数通常是就标准差来计算的标准差系数

离散系数大，说明数据的离散程度大，其平均数的代表性就差；离散系数小，说明数据的离散程度小，其平均数的代表性就大第五十三页，共六十三页，2022年，8月28日销售额标准差系数利润额标准差系数

例18：某公司下属67家连锁超市2002年平均销售额为727.09万元，销售额标准差为65.44万元；同期销售利润平均为87.28万元，销售利润额标准差为12.64万元。比较商品销售额与销售利润的离散程度。第五十四页，共六十三页，2022年，8月28日练习：甲商店职工平均工资为900元，标准差为20元，乙商店职工的平均工资为600元，标准差为18元，试比较平均工资的代表性。解：计算标准差系数V甲=20/900=2.2%V乙=18/600=3%V甲<V乙说明甲商店职工平均工资更具有代表性。第五十五页，共六十三页，2022年，8月28日总结平均指标:反映集中趋势标志变异指标:反映离散程度1、对于某一个总体内部的差异极差、平均差、标准差2、多个总体内部差异的比较X1=X2的平均数只要计算标准差就可以比较代表性X1≠X2的平均数就要计算标准差系数来比较代表性第五十六页，共六十三页，2022年，8月28日6、偏态和峰度（自学）

（1）偏态用以测定一个数列次数分布的非对称程度的统计指标。

变量数列的单峰钟形分布有对称分布和非对称分布。

相对于频数分布的对称分布，偏度有右偏（正偏）和左偏（负偏）测定：

利用算术平均数与位置平均数的关系

绝对偏态偏态=算术平均数—

众数

若算术平均数等于众数，则偏态系数等于零，表明这组频数分布是对称的若算术平均数大于众数，则偏态系数等于正值，表明这组频数分布是右偏若算术平均数小于众数，则偏态系数等于负值，表明这组频数分布是左偏第五十七页，共六十三页，2022年，8月28日

根据例11资料计算可以判断该地大学生消费支出呈右偏分布

算术平均数与位置平均数之差大小受该组变量值水平高低的影响；不同研究总体，若性质、计量单位不同，或性质、计量单位相同但变量值水平不同，其偏态的绝对数也是不可比的相对偏态

偏态系数：绝对偏态与数列原有的标志值的标准差之比计算公式第五十八页，共六十三页，2