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文档简介
2(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)22《计算方》期中复习题一、填空题:1知
f(1)f
,则用辛普生辛卜生式计算求得
f(x)dx
,用三点式求得
f
。答案:2.367,0.252、
f(1)f(2)f(3)
,则过这三点的二次插值多项式中x
的系数为,拉格朗日插值多项式为。答案:
L()
11(x2)(xxx3)(2)223、近似值*
关于真值
有2)有数字;4、设
f()
可,求方程
()
的牛顿迭代格式是答案
x
n
xn
xfx)nn1)n5、对
f()x,差商f
(1),
f
(06、计算方法主要研究(
截断)误差(
舍入)误差;7用二分法求非线性方程f(在区间(a,b内的根时,二分n后的误差限为(
n
8已知(1)=2,(2=5.9,则二Newton值多项式中2
系数为0。1511两点式高斯型求积公式
10
f()d
13f()dx[f()()]23
)数精度12
为了使计算
y10
34x((x
3
的乘除法次数尽量地少将该表达式改写为(3(4)tt
1
,为了减少舍入误差,应将表达式改写为1
nnnkjkkkk42nnnkjkkkk42220011999。13用二分法求方程
f(x
(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2在区间进行一步后根的所在区间为0.5,1,进行两步后根的所在区间为0,0.75。14计算积分
0.5
xdx
,取位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268,辛卜生公式计算求得的近似值为0。4309,梯形公式的代数精度为1,辛卜生公式的代数精度为3。15设
f(0)f(1)f(2)46则l(x)
l(x1
,
f()
的二次牛顿插值多项式为()x2
。16求积公式
f(x)d
A
f(x)
的代精度以(
高型)求积式为最,具有n()次代数精度17已f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求公式求
f()d
≈(1218设f(1,f(2)=2,)=0用三点式求
f
(219、如果用二分法求方程x
0
在区间
[1,2]
内的根精确到三位小数,需对分(10)次20、已知
x()(x
(
(1x
是三次样条函数,则
=(3)
=(3)
=(121、
l(l(01
l(x)n
是以整数点
x,0
n
为节点的Lagrange值基函,则()xlx)x4l()k(1),k(jn2时k(xx22、区间条插值函数(在_____2_____阶的连续导数。
)。23、改变数1fx
f(xxx.
(
)的式,计算结果较精确24、若用二分求方程次。
f
在区间1,2]的根要求精确到第3位数,则需要对分102
25、设25、设3,Sx,1a=3,,c=1.
(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2是3次样条函数,则26、若用复化梯形公式计算
ex
,要求误差不超
,利用余项公式估计,至少用477个求积节点。27、若
f(x)x4
,则差商
f[2,,832]
3。28、数值积分公式
11
f(x)[f()f(0f
的代数精度为.选择题1、三点的高斯求积公式的代数精度为A.2B.5CD.42、舍入误差是A)产的误差。
只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D数学模型准确值与实际值3、3。141580是π的有(B)位有数字的近似值。A.6B.C.D.4、用似示e产的误差是C)误差。A.模型B观测C.截断D.入5、用1+
3
近似表示
所产生的误差是D)差。A.舍入B.观测C.型D.截断6、-324.7500舍入得到的近似值,它有(C)有效数字。A.5BC.D.7、设—1)=1,(0)=3,,则抛物插值项式中x系数为(AA.–0.5B..5C.D8、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C3
(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2A.3B.4C5D.29D)的3位效数字是0。236×102(A)0.0023549×103(B)2354.82×10-2)。418(D-110单迭代求方程f(x实根,方程f(x)=0表示成的根(A)y=j(x)与轴交点的横坐标(By=x与y=j(x)交点的横坐标(C)x轴的点的横坐标(D)y=x与y=j(x)交点11、拉格朗日插值多项式的余项是B顿插值多项式的余项是(。(A)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x-x1)(x-x2)…(x-xn-1)(x-xn),(B)
R(xf()P()n
f((n(C)f(x,x0,x1…,xn-x0)-x1-x2…-xn-1)(x-xn),(D)
R(x)f()(x
f((n1)!
(x)12用牛顿切法解方程f(x选初始值满(A的解数{xnn=01,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。(A)f()f0
(B)f()f0
f(x)f0
(D)f(x)0
13、为求方程―x2―1=0在区间[1.3,1。6]的一个根,把方程改写成下列式,并建立相应的迭代公式迭代公式不收敛的是(A)(A)
x迭:xx
x(B)
x
x2
迭公式:
x(C)
2,迭公式:2)1/3k(D)
x
,迭:x
xkxk4
bnC(i42k1k;(B)k1kk是以(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)bnC(i42k1k;(B)k1kk是以14、在牛顿—柯特斯求积公式
a
f(xb)i
(n)i
f(x)i
中,当系数是负时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。(1)
,)
7
,)
n
,(4)
6
,23、有下列数表x00.5
1
1。5
2
2.5f(x)-1.75—10。2524.25所确定的插值多项式的次数是().(1)二次;(2)三次(3)四次;(4五15、取31.732计算(1),下列方法中哪种最好?()
16(A)163;(B)43);(C)(3);(D)(1)。(x)26、已知
x02(x1()2
是三次样条函数,则b的值为((A)6,6;(B)6;(C)8,6;(D)8。16、由下列数表进行Newton插值,所确定的插值多项式的最高次数是)x12233if(x)0.58。011i5;(B)4;(C)3;(D)2。17、形如
a
f(x)dxAf(x)fx)f)1223
的高(Gauss)型求积的代数为()(A)
9
;(B)
7
;(C)
5
;(D)
3
。18、计算3的迭代格式为)(A)
32k
k
;(C);(D)
xk
。19用二分法求方程x10
在区间
[]
10内的实根要求差限为则对分次数至少为)(A)10;(B)12;(C)8;(D)9。20、设
l(x)k0,,)i
为节点的Lagrange值函数,则
9k0
(ki
()(A)x;(B)k;(C)i;(D.33、5节点的牛顿—柯特斯求积公式,至少具有()代数精度(A)5;(B)4;(C)6;(D)3。21、已知
x(x)(x1
02a)b2
是三次样条函数,则a,b的值为()5
1xx53时,(1xx53时,(A)6,6(B)6;(C)8,6;(D)8,8。35、已知方程x0
在x2附近有根,下列迭代格式中在
x2
不收敛的是)(A););(C)k1k;(D)
xk1
235k3x2k
.22、由下列数据f(x)
012341243—5确定的唯一插值多项式的次数为)(A)4;(B)2;(C)1;(D)323、5节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()(A)8;(B)9;(C)10;(D)11。三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打Ö,则打´)1、已知观察值
(x,y)(i,)ii
,用小二乘法求次拟合多项式
(x(x)n
的次数n以任意取.()2、用
近似表示cosx产生舍入误差。()3、
()(x)0()(x)1
表示在节点二次拉格朗日)插值基函数(1
Ö
)4、牛顿插值多项式的优点在计算时,高一级的插值项式可利用前一次插值的
结果。(
Ö
)31153
5、矩阵A
15
具有严格对角占优。()四、计算题:1、求B使求积公式
1f(x)A[f(f[()f()]
的代数精度尽量高并其代数精度;利用此公式求
I
(保留四位小数答案:
f)x,
是精确成立,即6
2(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)22A12
得
A
89求积公式为
1811f()[(f[f()f()]9922
当
f)x
时,公式显然精确成立;当
f()x
时,左
5
,右=
。所以代数精度为3.1
1t111dt[][]xt1/212971402、已知1i2f()i分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求
36f()
4554的三次插值多项式
(x)3
,并求
f
的近似值(保留四位小数答案:
L(2
(x5)(xx5)3)(11)(34)(3
(xx3)((xx3)((41)(45)3)(5差商表为x
i
yi
一阶均差
二阶均差
三阶均差1345
2654
2—1-1
—10
1()N(x)2xx3
14
(xx7
(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2f(2)P(2)5.535、已知x
i
-2—1012f()i
42135求
f()
的二次拟合曲线
p(x
,并求
f
的近似值。答案:解i
x
i
yi
2i
3i
4i
xi
i
i
i0-244-816-8161211-222010000313111342548161020正规方程组为
015100343415aa150110a0211a1014()
311xx2p1014
(x)xf
p
(0)
6、已知
x
区间[,0.8]的函数表0。40.50.60.7xiyi
0.800008
xx0。71736如用二次插值求
sin
(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2的近似值,如何选择节点才能使误差最小?并求该近似值。答案:解:应选个节点,使误差R(2
M33!
(3尽量小,即应使
|(
尽量小最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点
最好,实际计算结果
0.596274
,且
0.638910.5962741(0.638910.5)(0.638910.6)(0.638910.7)
7构造求解方程
x
的根的迭代格式
xx0,1,2,n
讨论其收敛性并根求出来,
|xn
。答案:解:令
f()
f(0)0,f(1)10
.且
f
对x)
在0)有一实根。将方程
f)
变形为(2)则当
时1x(210
x
)
,
e|故迭代格式
(2
x
)收敛.取
x0.5
,计算结果列表如下:9
xR32(xR32()x22n
010.035
(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2230。096。089877x
0。5
872
785
325n
40.090
50。090
60.090
70。090525x
993
340
950
008且满足。所以10、已知下列实验数据
x*525008
。xi(xi
1.3616。844
1.9517.378
2.1618。435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解:当0<<1时,ff,d有一位整数。要求近似值有位有数字,只须误差
(n)
(f)
.由
()1
b)12
,只要(e1
e112n12
即可解得n
6
所以
n68
,因此至少需将[0,1]68等。12、取节点0,10.5,x,求函数f()在间,1]上的二次插值多项式计误差
x)
,并估10
2(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2解
P()2
((0
(0)(0.5
(x0)(0.5)x0.5)(x
(e
(又
f(x)f
Mfx
故截断误差
R(2
(x)|xx|3!
。14、给定方程
f()
1)析该方程存在几个根2)迭代法求出这些根,精确到5有效数字3)
说明所用的迭代格式是收敛的。解:1)将方程
(x
0
(1)改写为
(2)作函数
f(x)x,()
的图形)知(2)有唯一根
x
*
(1,2)
。2)方程()写为
构造迭代格式
1.50
(0,1,2,)计算结果列表如下:k
123456891。1。1.27401。1.27811.27841.27841.2784x2231329431927969476k3)
(x
,
当
x
时,
)(2),
[1,2]
,且11
x3231xx22(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2x3231xx22|
所以迭代格式
xk
(x)(k
)
对任意
x
均收敛。15、用牛顿(切线求的近似值。取x。7,计算三次,保留五位小数。0解:
是
f()x
的正根,
f
,牛顿迭代公式为
2x
,
即
x
x32x
(n0,1,2,
)取x=1.7,列表如下:0
1
2
3x
1.73235
1.73205
1.7320516、已知f(-1)=2,(1)=3,(2)=—4,求拉格朗日插值多项式值,取五位小数。
L()
及(1,5)的近似解:
L()
(x((x(2)(21)(22(x(x2)(x31fL0.041672417、=3,用复合梯形公式求
10
e
的近似值(取四位小数)并求误差估计。解:
ed
12
[e
)]1.7342fx),f
x
,
0
时,
|
|R3
e0.02512至少有两位有效数字。20分)用最小二乘法求形如的经公式拟合以下数据:
ii
1919.0
2532。3
3049.0
3873.312
Ay1799800.050102510kxx3xn22,Ay1799800.050102510kxx3xn22,,11解
span{1,}A
1
2
T
解方程组
TATy其中
A
A
4解得:
C
所以
0.9255577
,
0.050102521分)用
n
的复化梯形公式或化Simpson公式)计算时试用余项估计其误差。用的复梯形公式(或复化Simpson式计算出该积分的近似值。解:
[f]T
b1hf12128h(8)[f)f()f(b)]2k1[1(0.8824969160.41686207)22分方x3在x
附近有根把方程写成三种不同的等价形)
对应迭代格式nn
x
1x
x1对应迭代格式)xx
对应迭代格式
xn
。判断迭代格式在
0
的收敛性,选一种收敛格式计算
附近的根,精确到小数点后第三位。1(解(1),
,故收敛;(2)
12x21
1x
,,故敛(3),
,故发散。选择(
0
,
1.35721.330912
,
1.32593
,
1.32494
,x525、数值积分公式形如0
xf(x))AfCf
试确定参数
A,C,D
使公式代数精度尽量高;(2)
f(x)C
4
,推导余项公式
R)()dx(x0
,并估计误差。13
H()31(dxxdx[0][0h]xdxH()31(dxxdx[0][0h]xdx][0]kkk解:将
f(xx,2
3
分布代入公式得:
1D2030构造Hermite值多项式满足
3
H()f()3ii(x)f)iii
其中
01则有:
10
xH
3
(x)(x
,
f(4)f()H(x)x(
R)
f()()]0
f
(4)4!
)
x(x
f(4)(f(4)f(4)20144027)已知数值积分公式为:
fx)[f(0)f()]
[
(0)f
(h)]
,试确定积分公式中的参数,其数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数。解:
f()
显然精确成立;f()x
时
[0]2
;f(x
时,
h3h223
;f()
时,
h0
x
3
h4h[03]h412
2
[0h
2
]
;f(x
hh3时,026
;所以,其代数精确度为328分)已知求
a(a
的迭代公式为:x
k
1()2k
xk0,1,20证明:对一切
k,
,且序列
是单调递减的,从而迭代过程收敛.证明:
x
k
a1(x)a2xkkkxa故对一切。
k0,1,214
(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2又
xkxk
1a(1)2x2k
所以
kk
,即序列
是单调递减有下界从而代过程收敛。29)数值求积公式
f(x)[ff(2)]
是否为插值型求积公式?为什么?其代数精度是多少?解是。因为
f)
在基点1处的插值多项式为
()
xff(2)
(dx[ff(2)]
.其代数精度为。30分写出求方程
在区间,1]根的收敛的迭代公式,证明其收敛性。(6分)
,n=0,1,2,…
1xsin4
∴对任意的初值
,迭代公式都收敛。31、(12)以100,121,144为插值节点,用插值法计算115的近似值,并利用余项估计误差。用Newton值方法:差分表:100121144
101112
0.04761900.0434783
—0.0000941136115
10+0.0476190(115-100)—0。0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555f'''
38
5x215
11215x468(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)211215x468
f'''
1368
1002
0.0016332分用复化式计算积分
I
10
x
dx
的近似值要求误差限为
。S6
12
f1Sf12
fI
10.3931
I或利用余项
f
sinx
7!9!f
(4)
x47
f
(4)
2880n4
f
(4)
12880n
4
,n2,
I
33、(10分)Gauss列主消
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