《数值计算方法》试题集及答案 2

2(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)22《计算方》期中复习题一、填空题:1知

f(1)f

,则用辛普生辛卜生式计算求得

f(x)dx

，用三点式求得

f

。答案：2.367，0.252、

f(1)f(2)f(3)

，则过这三点的二次插值多项式中x

的系数为,拉格朗日插值多项式为。答案：

L()

11(x2)(xxx3)(2)223、近似值*

关于真值

有2)有数字；4、设

f()

可,求方程

()

的牛顿迭代格式是答案

x

n

xn

xfx)nn1)n5、对

f()x，差商f

（1),

f

(06、计算方法主要研究(

截断)误差(

舍入）误差；7用二分法求非线性方程f（在区间（a，b内的根时，二分n后的误差限为(

n

8已知（1)＝2,(2＝5.9,则二Newton值多项式中2

系数为0。1511两点式高斯型求积公式

10

f()d

13f()dx[f()()]23

)数精度12

为了使计算

y10

34x((x

3

的乘除法次数尽量地少将该表达式改写为(3(4)tt

1

，为了减少舍入误差，应将表达式改写为1

nnnkjkkkk42nnnkjkkkk42220011999。13用二分法求方程

f(x

(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2在区间进行一步后根的所在区间为0.5，1，进行两步后根的所在区间为0，0.75。14计算积分

0.5

xdx

,取位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268，辛卜生公式计算求得的近似值为0。4309，梯形公式的代数精度为1，辛卜生公式的代数精度为3。15设

f(0)f(1)f(2)46则l(x)

l(x1

，

f()

的二次牛顿插值多项式为()x2

。16求积公式

f(x)d

A

f(x)

的代精度以(

高型)求积式为最，具有n（）次代数精度17已f（1)=1,f（3）=5，f(5)=-3，用辛普生求公式求

f()d

≈(1218设f（1，f(2）=2，）=0用三点式求

f

（219、如果用二分法求方程x

0

在区间

[1,2]

内的根精确到三位小数，需对分（10)次20、已知

x()(x

(

(1x

是三次样条函数,则

=（3)

=(3)

=（121、

l(l(01

l(x)n

是以整数点

x,0

n

为节点的Lagrange值基函,则()xlx)x4l()k（1）,k（jn2时k（xx22、区间条插值函数(在_____2_____阶的连续导数。

)。23、改变数1fx

f(xxx.

（

）的式，计算结果较精确24、若用二分求方程次。

f

在区间1,2］的根要求精确到第3位数，则需要对分102

25、设25、设3,Sx,1a=3,，c=1.

(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2是3次样条函数，则26、若用复化梯形公式计算

ex

，要求误差不超

，利用余项公式估计，至少用477个求积节点。27、若

f(x)x4

，则差商

f[2,,832]

3。28、数值积分公式

11

f(x)[f()f(0f

的代数精度为.选择题1、三点的高斯求积公式的代数精度为A．2B．5CD．42、舍入误差是A）产的误差。

只取有限位数B．模型准确值与用数值方法求得的准确值C．观察与测量D数学模型准确值与实际值3、3。141580是π的有（B)位有数字的近似值。A．6B．C．D．4、用似示e产的误差是C)误差。A．模型B观测C．截断D．入5、用1+

3

近似表示

所产生的误差是D)差。A．舍入B．观测C．型D．截断6、-324．7500舍入得到的近似值，它有（C)有效数字。A．5BC．D．7、设—1)=1,(0)=3，，则抛物插值项式中x系数为（AA．–0．5B．．5C．D8、三点的高斯型求积公式的代数精度为（C3

(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2A．3B．4C5D．29D）的3位效数字是0。236×102（A)0.0023549×103（B）2354.82×10－2）。418(D－110单迭代求方程f(x实根,方程f(x)=0表示成的根(A)y=j(x）与轴交点的横坐标（By=x与y=j（x)交点的横坐标（C）x轴的点的横坐标(D）y=x与y=j（x)交点11、拉格朗日插值多项式的余项是B顿插值多项式的余项是（。(A）f（x,x0,x1，x2,…，xn）(x－x1）(x－x2）…（x－xn－1)（x－xn)，(B）

R(xf()P()n

f((n（C)f（x,x0，x1…，xn－x0)－x1－x2…－xn－1）(x－xn),（D）

R(x)f()(x

f((n1)!

(x)12用牛顿切法解方程f(x选初始值满（A的解数｛xnn=01,2,…一定收敛到方程f（x)=0的根。(A)f()f0

(B)f()f0

f(x)f0

(D)f(x)0

13、为求方程―x2―1=0在区间［1.3，1。6]的一个根，把方程改写成下列式，并建立相应的迭代公式迭代公式不收敛的是(A)（A）

x迭:xx

x（B）

x

x2

迭公式:

x（C)

2,迭公式:2)1/3k（D）

x

,迭:x

xkxk4

bnC(i42k1k；(B)k1kk是以(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)bnC(i42k1k；(B)k1kk是以14、在牛顿—柯特斯求积公式

a

f(xb)i

(n)i

f(x)i

中，当系数是负时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1）

，）

7

,）

n

，（4）

6

，23、有下列数表x00.5

1

1。5

2

2.5f(x）-1.75—10。2524.25所确定的插值多项式的次数是（).（1)二次；（2）三次（3）四次；（4五15、取31.732计算(1)，下列方法中哪种最好？（)

16(A）163；（B）43);(C)(3)；（D)(1)。(x)26、已知

x02(x1()2

是三次样条函数，则b的值为（（A）6，6；(B)6；（C)8，6；（D）8。16、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是）x1２2３3if(x)0.58。011i5；（B)4；(C)3；(D）2。17、形如

a

f(x)dxAf(x)fx)f)1223

的高（Gauss)型求积的代数为(）（A)

9

；(B)

7

；(C)

5

;（D)

3

。18、计算3的迭代格式为）（A）

32k

k

；(C）；(D)

xk

。19用二分法求方程x10

在区间

[]

10内的实根要求差限为则对分次数至少为)(A)10；（B)12；（C）8；(D)9。20、设

l(x)k0,,)i

为节点的Lagrange值函数，则

9k0

(ki

（)（A）x;（B）k；(C)i；(D.33、5节点的牛顿—柯特斯求积公式，至少具有（)代数精度（A）5；（B)4；（C）6;（D)3。21、已知

x(x)(x1

02a)b2

是三次样条函数，则a,b的值为（)5

1xx53时，(1xx53时，(A）6,6(B)6；（C)8，6；(D)8，8。35、已知方程x0

在x2附近有根，下列迭代格式中在

x2

不收敛的是)（A)；）；(C)k1k;（D）

xk1

235k3x2k

.22、由下列数据f(x)

012341243—5确定的唯一插值多项式的次数为)（A)4；(B)2；(C)1；(D)323、5节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为（)(A)8;（B)9;（C）10；（D)11。三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打Ö，则打´）1、已知观察值

(x，y)(i，)ii

,用小二乘法求次拟合多项式

(x(x)n

的次数n以任意取.()2、用

近似表示cosx产生舍入误差。（）3、

()(x)0()(x)1

表示在节点二次拉格朗日)插值基函数（1

Ö

）4、牛顿插值多项式的优点在计算时，高一级的插值项式可利用前一次插值的

结果。（

Ö

)31153

5、矩阵A

15

具有严格对角占优。()四、计算题:1、求B使求积公式

1f(x)A[f(f[()f()]

的代数精度尽量高并其代数精度；利用此公式求

I

（保留四位小数答案:

f)x,

是精确成立，即6

2(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)22A12

得

A

89求积公式为

1811f()[(f[f()f()]9922

当

f)x

时，公式显然精确成立；当

f()x

时，左

5

,右=

。所以代数精度为3.1

1t111dt[][]xt1/212971402、已知1i2f()i分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求

36f()

4554的三次插值多项式

(x)3

，并求

f

的近似值（保留四位小数答案：

L(2

(x5)(xx5)3)(11)(34)(3

(xx3)((xx3)((41)(45)3)(5差商表为x

i

yi

一阶均差

二阶均差

三阶均差1345

2654

2—1-1

—10

1()N(x)2xx3

14

(xx7

(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2f(2)P(2)5.535、已知x

i

-2—1012f()i

42135求

f()

的二次拟合曲线

p(x

，并求

f

的近似值。答案：解i

x

i

yi

2i

3i

4i

xi

i

i

i0-244-816-8161211-222010000313111342548161020正规方程组为

015100343415aa150110a0211a1014()

311xx2p1014

(x)xf

p

(0)

6、已知

x

区间［，0.8］的函数表0。40.50.60.7xiyi

0.800008

xx0。71736如用二次插值求

sin

(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案:解：应选个节点，使误差R(2

M33!

(3尽量小，即应使

|(

尽量小最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点

最好，实际计算结果

0.596274

,且

0.638910.5962741(0.638910.5)(0.638910.6)(0.638910.7)

7构造求解方程

x

的根的迭代格式

xx0,1,2,n

讨论其收敛性并根求出来，

|xn

。答案：解：令

f()

f(0)0,f(1)10

.且

f

对x)

在0）有一实根。将方程

f)

变形为(2)则当

时1x(210

x

)

，

e|故迭代格式

(2

x

)收敛.取

x0.5

，计算结果列表如下：9

xR32(xR32()x22n

010.035

(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2230。096。089877x

0。5

872

785

325n

40.090

50。090

60.090

70。090525x

993

340

950

008且满足。所以10、已知下列实验数据

x*525008

。xi（xi

1.3616。844

1.9517.378

2.1618。435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：当0<<1时，ff，d有一位整数。要求近似值有位有数字,只须误差

(n)

(f)

.由

()1

b)12

,只要(e1

e112n12

即可解得n

6

所以

n68

，因此至少需将［0,1]68等。12、取节点0,10.5,x,求函数f()在间，1］上的二次插值多项式计误差

x)

,并估10

2(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2解

P()2

((0

(0)(0.5

(x0)(0.5)x0.5)(x

(e

(又

f(x)f

Mfx

故截断误差

R(2

(x)|xx|3!

。14、给定方程

f()

1）析该方程存在几个根2)迭代法求出这些根，精确到5有效数字3)

说明所用的迭代格式是收敛的。解：1)将方程

(x

0

（1）改写为

(2）作函数

f(x)x，()

的图形）知（2）有唯一根

x

*

(1,2)

。2)方程（）写为

构造迭代格式

1.50

(0,1,2,)计算结果列表如下：k

123456891。1。1.27401。1.27811.27841.27841.2784x2231329431927969476k3）

(x

，

当

x

时，

)(2),

[1,2]

,且11

x3231xx22(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2x3231xx22|

所以迭代格式

xk

(x)(k

)

对任意

x

均收敛。15、用牛顿（切线求的近似值。取x。7,计算三次，保留五位小数。0解：

是

f()x

的正根，

f

，牛顿迭代公式为

2x

，

即

x

x32x

(n0,1,2,

)取x=1.7,列表如下：0

1

2

3x

1.73235

1.73205

1.7320516、已知f（-1)=2，(1）=3，(2)=—4，求拉格朗日插值多项式值，取五位小数。

L()

及(1，5)的近似解：

L()

(x((x(2)(21)(22(x(x2)(x31fL0.041672417、=3,用复合梯形公式求

10

e

的近似值（取四位小数）并求误差估计。解：

ed

12

[e

)]1.7342fx),f

x

，

0

时，

|

|R3

e0.02512至少有两位有效数字。20分）用最小二乘法求形如的经公式拟合以下数据：

ii

1919.0

2532。3

3049.0

3873.312

Ay1799800.050102510kxx3xn22，Ay1799800.050102510kxx3xn22，，11解

span{1,}A

1

2

T

解方程组

TATy其中

A

A

4解得：

C

所以

0.9255577

，

0.050102521分）用

n

的复化梯形公式或化Simpson公式）计算时试用余项估计其误差。用的复梯形公式(或复化Simpson式计算出该积分的近似值。解：

[f]T

b1hf12128h(8)[f)f()f(b)]2k1[1(0.8824969160.41686207)22分方x3在x

附近有根把方程写成三种不同的等价形）

对应迭代格式nn

x

1x

x1对应迭代格式）xx

对应迭代格式

xn

。判断迭代格式在

0

的收敛性，选一种收敛格式计算

附近的根，精确到小数点后第三位。1(解（1）,

，故收敛;（2)

12x21

1x

，，故敛（3)，

，故发散。选择（

0

，

1.35721.330912

,

1.32593

，

1.32494

,x525、数值积分公式形如0

xf(x))AfCf

试确定参数

A,C,D

使公式代数精度尽量高；（2）

f(x)C

4

，推导余项公式

R)()dx(x0

，并估计误差。13

H()31(dxxdx[0][0h]xdxH()31(dxxdx[0][0h]xdx][0]kkk解：将

f(xx,2

3

分布代入公式得：

1D2030构造Hermite值多项式满足

3

H()f()3ii(x)f)iii

其中

01则有：

10

xH

3

(x)(x

，

f(4)f()H(x)x(

R)

f()()]0

f

(4)4!

)

x(x

f(4)(f(4)f(4)20144027)已知数值积分公式为：

fx)[f(0)f()]

[

(0)f

(h)]

,试确定积分公式中的参数，其数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：

f()

显然精确成立；f()x

时

[0]2

；f(x

时，

h3h223

；f()

时，

h0

x

3

h4h[03]h412

2

[0h

2

]

；f(x

hh3时，026

；所以，其代数精确度为328分）已知求

a(a

的迭代公式为:x

k

1()2k

xk0,1,20证明：对一切

k,

,且序列

是单调递减的，从而迭代过程收敛.证明：

x

k

a1(x)a2xkkkxa故对一切。

k0,1,214

(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2又

xkxk

1a(1)2x2k

所以

kk

，即序列

是单调递减有下界从而代过程收敛。29）数值求积公式

f(x)[ff(2)]

是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？解是。因为

f)

在基点1处的插值多项式为

()

xff(2)

(dx[ff(2)]

.其代数精度为。30分写出求方程

在区间，1]根的收敛的迭代公式,证明其收敛性。（6分)

,n=0，1，2，…

1xsin4

∴对任意的初值

,迭代公式都收敛。31、(12）以100，121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值,并利用余项估计误差。用Newton值方法：差分表：100121144

101112

0.04761900.0434783

—0.0000941136115

10+0.0476190（115-100)—0。0000941136(115-100)（115-121)=10.7227555f'''

38

5x215

11215x468(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)211215x468

f'''

1368

1002

0.0016332分用复化式计算积分

I

10

x

dx

的近似值要求误差限为

。S6

12

f1Sf12

fI

10.3931

I或利用余项

f

sinx

7!9!f

(4)

x47

f

(4)

2880n4

f

(4)

12880n

4

，n2，

I

33、(10分）Gauss列主消