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文档简介

2(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)22《计算方》期中复习题一、填空题:1知

f(1)f

,则用辛普生辛卜生式计算求得

f(x)dx

,用三点式求得

f

。答案:2.367,0.252、

f(1)f(2)f(3)

,则过这三点的二次插值多项式中x

的系数为,拉格朗日插值多项式为。答案:

L()

11(x2)(xxx3)(2)223、近似值*

关于真值

有2)有数字;4、设

f()

可,求方程

()

的牛顿迭代格式是答案

x

n

xn

xfx)nn1)n5、对

f()x,差商f

(1),

f

(06、计算方法主要研究(

截断)误差(

舍入)误差;7用二分法求非线性方程f(在区间(a,b内的根时,二分n后的误差限为(

n

8已知(1)=2,(2=5.9,则二Newton值多项式中2

系数为0。1511两点式高斯型求积公式

10

f()d

13f()dx[f()()]23

)数精度12

为了使计算

y10

34x((x

3

的乘除法次数尽量地少将该表达式改写为(3(4)tt

1

,为了减少舍入误差,应将表达式改写为1

nnnkjkkkk42nnnkjkkkk42220011999。13用二分法求方程

f(x

(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2在区间进行一步后根的所在区间为0.5,1,进行两步后根的所在区间为0,0.75。14计算积分

0.5

xdx

,取位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268,辛卜生公式计算求得的近似值为0。4309,梯形公式的代数精度为1,辛卜生公式的代数精度为3。15设

f(0)f(1)f(2)46则l(x)

l(x1

f()

的二次牛顿插值多项式为()x2

。16求积公式

f(x)d

A

f(x)

的代精度以(

高型)求积式为最,具有n()次代数精度17已f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求公式求

f()d

≈(1218设f(1,f(2)=2,)=0用三点式求

f

(219、如果用二分法求方程x

0

在区间

[1,2]

内的根精确到三位小数,需对分(10)次20、已知

x()(x

(

(1x

是三次样条函数,则

=(3)

=(3)

=(121、

l(l(01

l(x)n

是以整数点

x,0

n

为节点的Lagrange值基函,则()xlx)x4l()k(1),k(jn2时k(xx22、区间条插值函数(在_____2_____阶的连续导数。

)。23、改变数1fx

f(xxx.

)的式,计算结果较精确24、若用二分求方程次。

f

在区间1,2]的根要求精确到第3位数,则需要对分102

25、设25、设3,Sx,1a=3,,c=1.

(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2是3次样条函数,则26、若用复化梯形公式计算

ex

,要求误差不超

,利用余项公式估计,至少用477个求积节点。27、若

f(x)x4

,则差商

f[2,,832]

3。28、数值积分公式

11

f(x)[f()f(0f

的代数精度为.选择题1、三点的高斯求积公式的代数精度为A.2B.5CD.42、舍入误差是A)产的误差。

只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D数学模型准确值与实际值3、3。141580是π的有(B)位有数字的近似值。A.6B.C.D.4、用似示e产的误差是C)误差。A.模型B观测C.截断D.入5、用1+

3

近似表示

所产生的误差是D)差。A.舍入B.观测C.型D.截断6、-324.7500舍入得到的近似值,它有(C)有效数字。A.5BC.D.7、设—1)=1,(0)=3,,则抛物插值项式中x系数为(AA.–0.5B..5C.D8、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C3

(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2A.3B.4C5D.29D)的3位效数字是0。236×102(A)0.0023549×103(B)2354.82×10-2)。418(D-110单迭代求方程f(x实根,方程f(x)=0表示成的根(A)y=j(x)与轴交点的横坐标(By=x与y=j(x)交点的横坐标(C)x轴的点的横坐标(D)y=x与y=j(x)交点11、拉格朗日插值多项式的余项是B顿插值多项式的余项是(。(A)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x-x1)(x-x2)…(x-xn-1)(x-xn),(B)

R(xf()P()n

f((n(C)f(x,x0,x1…,xn-x0)-x1-x2…-xn-1)(x-xn),(D)

R(x)f()(x

f((n1)!

(x)12用牛顿切法解方程f(x选初始值满(A的解数{xnn=01,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。(A)f()f0

(B)f()f0

f(x)f0

(D)f(x)0

13、为求方程―x2―1=0在区间[1.3,1。6]的一个根,把方程改写成下列式,并建立相应的迭代公式迭代公式不收敛的是(A)(A)

x迭:xx

x(B)

x

x2

迭公式:

x(C)

2,迭公式:2)1/3k(D)

x

,迭:x

xkxk4

bnC(i42k1k;(B)k1kk是以(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)bnC(i42k1k;(B)k1kk是以14、在牛顿—柯特斯求积公式

a

f(xb)i

(n)i

f(x)i

中,当系数是负时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。(1)

,)

7

,)

n

,(4)

6

,23、有下列数表x00.5

1

1。5

2

2.5f(x)-1.75—10。2524.25所确定的插值多项式的次数是().(1)二次;(2)三次(3)四次;(4五15、取31.732计算(1),下列方法中哪种最好?()

16(A)163;(B)43);(C)(3);(D)(1)。(x)26、已知

x02(x1()2

是三次样条函数,则b的值为((A)6,6;(B)6;(C)8,6;(D)8。16、由下列数表进行Newton插值,所确定的插值多项式的最高次数是)x12233if(x)0.58。011i5;(B)4;(C)3;(D)2。17、形如

a

f(x)dxAf(x)fx)f)1223

的高(Gauss)型求积的代数为()(A)

9

;(B)

7

;(C)

5

;(D)

3

。18、计算3的迭代格式为)(A)

32k

k

;(C);(D)

xk

。19用二分法求方程x10

在区间

[]

10内的实根要求差限为则对分次数至少为)(A)10;(B)12;(C)8;(D)9。20、设

l(x)k0,,)i

为节点的Lagrange值函数,则

9k0

(ki

()(A)x;(B)k;(C)i;(D.33、5节点的牛顿—柯特斯求积公式,至少具有()代数精度(A)5;(B)4;(C)6;(D)3。21、已知

x(x)(x1

02a)b2

是三次样条函数,则a,b的值为()5

1xx53时,(1xx53时,(A)6,6(B)6;(C)8,6;(D)8,8。35、已知方程x0

在x2附近有根,下列迭代格式中在

x2

不收敛的是)(A););(C)k1k;(D)

xk1

235k3x2k

.22、由下列数据f(x)

012341243—5确定的唯一插值多项式的次数为)(A)4;(B)2;(C)1;(D)323、5节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()(A)8;(B)9;(C)10;(D)11。三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打Ö,则打´)1、已知观察值

(x,y)(i,)ii

,用小二乘法求次拟合多项式

(x(x)n

的次数n以任意取.()2、用

近似表示cosx产生舍入误差。()3、

()(x)0()(x)1

表示在节点二次拉格朗日)插值基函数(1

Ö

)4、牛顿插值多项式的优点在计算时,高一级的插值项式可利用前一次插值的

结果。(

Ö

)31153

5、矩阵A

15

具有严格对角占优。()四、计算题:1、求B使求积公式

1f(x)A[f(f[()f()]

的代数精度尽量高并其代数精度;利用此公式求

I

(保留四位小数答案:

f)x,

是精确成立,即6

2(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)22A12

A

89求积公式为

1811f()[(f[f()f()]9922

f)x

时,公式显然精确成立;当

f()x

时,左

5

,右=

。所以代数精度为3.1

1t111dt[][]xt1/212971402、已知1i2f()i分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求

36f()

4554的三次插值多项式

(x)3

,并求

f

的近似值(保留四位小数答案:

L(2

(x5)(xx5)3)(11)(34)(3

(xx3)((xx3)((41)(45)3)(5差商表为x

i

yi

一阶均差

二阶均差

三阶均差1345

2654

2—1-1

—10

1()N(x)2xx3

14

(xx7

(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2f(2)P(2)5.535、已知x

i

-2—1012f()i

42135求

f()

的二次拟合曲线

p(x

,并求

f

的近似值。答案:解i

x

i

yi

2i

3i

4i

xi

i

i

i0-244-816-8161211-222010000313111342548161020正规方程组为

015100343415aa150110a0211a1014()

311xx2p1014

(x)xf

p

(0)

6、已知

x

区间[,0.8]的函数表0。40.50.60.7xiyi

0.800008

xx0。71736如用二次插值求

sin

(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2的近似值,如何选择节点才能使误差最小?并求该近似值。答案:解:应选个节点,使误差R(2

M33!

(3尽量小,即应使

|(

尽量小最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点

最好,实际计算结果

0.596274

,且

0.638910.5962741(0.638910.5)(0.638910.6)(0.638910.7)

7构造求解方程

x

的根的迭代格式

xx0,1,2,n

讨论其收敛性并根求出来,

|xn

。答案:解:令

f()

f(0)0,f(1)10

.且

f

对x)

在0)有一实根。将方程

f)

变形为(2)则当

时1x(210

x

)

e|故迭代格式

(2

x

)收敛.取

x0.5

,计算结果列表如下:9

xR32(xR32()x22n

010.035

(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2230。096。089877x

0。5

872

785

325n

40.090

50。090

60.090

70。090525x

993

340

950

008且满足。所以10、已知下列实验数据

x*525008

。xi(xi

1.3616。844

1.9517.378

2.1618。435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解:当0<<1时,ff,d有一位整数。要求近似值有位有数字,只须误差

(n)

(f)

.由

()1

b)12

,只要(e1

e112n12

即可解得n

6

所以

n68

,因此至少需将[0,1]68等。12、取节点0,10.5,x,求函数f()在间,1]上的二次插值多项式计误差

x)

,并估10

2(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2解

P()2

((0

(0)(0.5

(x0)(0.5)x0.5)(x

(e

(又

f(x)f

Mfx

故截断误差

R(2

(x)|xx|3!

。14、给定方程

f()

1)析该方程存在几个根2)迭代法求出这些根,精确到5有效数字3)

说明所用的迭代格式是收敛的。解:1)将方程

(x

0

(1)改写为

(2)作函数

f(x)x,()

的图形)知(2)有唯一根

x

*

(1,2)

。2)方程()写为

构造迭代格式

1.50

(0,1,2,)计算结果列表如下:k

123456891。1。1.27401。1.27811.27841.27841.2784x2231329431927969476k3)

(x

x

时,

)(2),

[1,2]

,且11

x3231xx22(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2x3231xx22|

所以迭代格式

xk

(x)(k

)

对任意

x

均收敛。15、用牛顿(切线求的近似值。取x。7,计算三次,保留五位小数。0解:

f()x

的正根,

f

,牛顿迭代公式为

2x

x

x32x

(n0,1,2,

)取x=1.7,列表如下:0

1

2

3x

1.73235

1.73205

1.7320516、已知f(-1)=2,(1)=3,(2)=—4,求拉格朗日插值多项式值,取五位小数。

L()

及(1,5)的近似解:

L()

(x((x(2)(21)(22(x(x2)(x31fL0.041672417、=3,用复合梯形公式求

10

e

的近似值(取四位小数)并求误差估计。解:

ed

12

[e

)]1.7342fx),f

x

0

时,

|

|R3

e0.02512至少有两位有效数字。20分)用最小二乘法求形如的经公式拟合以下数据:

ii

1919.0

2532。3

3049.0

3873.312

Ay1799800.050102510kxx3xn22,Ay1799800.050102510kxx3xn22,,11解

span{1,}A

1

2

T

解方程组

TATy其中

A

A

4解得:

C

所以

0.9255577

0.050102521分)用

n

的复化梯形公式或化Simpson公式)计算时试用余项估计其误差。用的复梯形公式(或复化Simpson式计算出该积分的近似值。解:

[f]T

b1hf12128h(8)[f)f()f(b)]2k1[1(0.8824969160.41686207)22分方x3在x

附近有根把方程写成三种不同的等价形)

对应迭代格式nn

x

1x

x1对应迭代格式)xx

对应迭代格式

xn

。判断迭代格式在

0

的收敛性,选一种收敛格式计算

附近的根,精确到小数点后第三位。1(解(1),

,故收敛;(2)

12x21

1x

,,故敛(3),

,故发散。选择(

0

1.35721.330912

,

1.32593

1.32494

,x525、数值积分公式形如0

xf(x))AfCf

试确定参数

A,C,D

使公式代数精度尽量高;(2)

f(x)C

4

,推导余项公式

R)()dx(x0

,并估计误差。13

H()31(dxxdx[0][0h]xdxH()31(dxxdx[0][0h]xdx][0]kkk解:将

f(xx,2

3

分布代入公式得:

1D2030构造Hermite值多项式满足

3

H()f()3ii(x)f)iii

其中

01则有:

10

xH

3

(x)(x

f(4)f()H(x)x(

R)

f()()]0

f

(4)4!

)

x(x

f(4)(f(4)f(4)20144027)已知数值积分公式为:

fx)[f(0)f()]

[

(0)f

(h)]

,试确定积分公式中的参数,其数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数。解:

f()

显然精确成立;f()x

[0]2

;f(x

时,

h3h223

;f()

时,

h0

x

3

h4h[03]h412

2

[0h

2

]

;f(x

hh3时,026

;所以,其代数精确度为328分)已知求

a(a

的迭代公式为:x

k

1()2k

xk0,1,20证明:对一切

k,

,且序列

是单调递减的,从而迭代过程收敛.证明:

x

k

a1(x)a2xkkkxa故对一切。

k0,1,214

(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)2又

xkxk

1a(1)2x2k

所以

kk

,即序列

是单调递减有下界从而代过程收敛。29)数值求积公式

f(x)[ff(2)]

是否为插值型求积公式?为什么?其代数精度是多少?解是。因为

f)

在基点1处的插值多项式为

()

xff(2)

(dx[ff(2)]

.其代数精度为。30分写出求方程

在区间,1]根的收敛的迭代公式,证明其收敛性。(6分)

,n=0,1,2,…

1xsin4

∴对任意的初值

,迭代公式都收敛。31、(12)以100,121,144为插值节点,用插值法计算115的近似值,并利用余项估计误差。用Newton值方法:差分表:100121144

101112

0.04761900.0434783

—0.0000941136115

10+0.0476190(115-100)—0。0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555f'''

38

5x215

11215x468(完整《数值计算方法》试题集答(1-6)211215x468

f'''

1368

1002

0.0016332分用复化式计算积分

I

10

x

dx

的近似值要求误差限为

。S6

12

f1Sf12

fI

10.3931

I或利用余项

f

sinx

7!9!f

(4)

x47

f

(4)

2880n4

f

(4)

12880n

4

,n2,

I

33、(10分)Gauss列主消

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