材料力学 第3章 扭转

§3-1扭转的概念和实例§3-2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图§3-3纯剪切§3-4圆轴扭转时的应力§3-5圆轴扭转时的变形§3-6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形§3-7非圆截面杆的扭转§3-1扭转的概念和实例1．受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。

2．变形特征：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。轴：以扭转为主要变形的构件称为轴。受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的，所以本章主要介绍圆轴扭转。§3-2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图直接计算1．外力偶矩按输入功率和转速计算电机每秒输入功：外力偶作功完成：已知轴转速－n转/分钟输出功率－P千瓦求：力偶矩Me例3-2-1传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。

MAMBMCBCADMD解：计算外力偶矩2．扭矩与扭矩图扭矩的正负号规定：按右手螺旋法则，T矢量背离截面为正，指向截面为负（或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负）T称为截面n-n上的扭矩。用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正，如果由平衡方程得到T为正，则说明是正的扭矩，如果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，正的扭矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。注意MeMeMeTx扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。目的①扭矩变化规律；②|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。xT例3-2-2计算例3-2-1中所示轴的扭矩，并作扭矩图。MAMBMCBCADMD解：已知477.5N·m955N·m637N·mT+-作扭矩图如左图示。例3-2-3已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。解：①计算外力偶矩nABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩（扭矩按正方向设）③绘制扭矩图BC段为危险截面。xTnABCDm2

m3

m1

m44.789.566.37––§3-3纯剪切薄壁圆筒：壁厚（r：为平均半径）1．实验：实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m。一、薄壁圆筒扭转时的切应力

2．实验后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。3．结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。

②各纵向线均倾斜了同一微小角度。

③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。acddxbdy´´①无正应力②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。4．与的关系：微小矩形单元体如图所示：5．薄壁圆筒剪应力大小：

A：平均半径所作圆的面积。二、切应力互等定理：

上式称为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxbdy´´tz三、切应变剪切胡克定律

单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。T=m剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。1.横截面变形后仍为平面；2.轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行。平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。§3-4圆轴扭转时的应力一、等直圆杆扭转实验观察：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：距圆心为任一点处的与到圆心的距离成正比。——扭转角沿长度方向变化率。Ttmaxtmax2.物理关系：虎克定律：代入上式得：3.静力学关系：TOdA令代入物理关系式得：—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。4.公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。

—该点到圆心的距离。Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。单位：mm4，m4。③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。对于实心圆截面：DdO对于空心圆截面：dDOd④应力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。⑤确定最大剪应力：由知：当Wt—抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：三、强度条件强度条件：，[t]—许用切应力；轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切状态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力[t]与许用正应力[σ]之间存在下述关系：对于塑性材料．[t]＝(0.5一0.577)[σ]对于脆性材料，[t]＝(0.8—1.0)[σl]式中，[σl]代表许用拉应力。强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：例3-4-1：一厚度为30mm、内直径为230mm的空心圆管，承受扭矩T=180kN·m。试求管中的最大剪应力，使用：(1)薄壁管的近似理论；(2)精确的扭转理论。解：(1)利用薄壁管的近似理论可求得(2)利用精确的扭转理论可求得例3-4-2：一空心圆轴，内外径之比为α=0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为Ｔ，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？（按强度计算）。解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一倍后内外径分别变为d1、

D1，最大许可扭矩为Ｔ1例3-4-3：某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩T=1.98kN·m，[t]=100MPa，试校核轴的强度。解：计算截面参数：由强度条件：故轴的强度满足要求。同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴较实心轴合理。

空心轴与实心轴的截面面积比(重量比)为：由上式解出：d=46.9mm。若将空心轴改成实心轴，仍使，则例3-4-4：功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力[]=30MPa,试校核其强度。Tm解：①求扭矩及扭矩图②计算并校核剪应力强度③此轴满足强度要求。x§3-5圆轴扭转时的变形一、扭转时的变形由公式知：长为l一段杆两截面间相对扭转角

为对于阶梯轴，两端面间相对扭转角为二、单位扭转角

：或三、刚度条件或GIp—抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。[

]称为许用单位扭转角。刚度计算的三方面：①校核刚度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。例3-5-1：图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA，MB与MC作用，试计算该轴的总扭转角φAC(即截面C对截面A的相对转角)，并校核轴的刚度。已知MA＝180N·m，MB＝320N·m，MC＝140N·m，Iρ＝3.0×105mm4，l=2m，G＝80GPa，[θ]＝0.50／m。解：1．扭转变形分析利用截面法，得AB段、BC段的扭矩分别为：T1＝180N·m，T2＝-140N·m设其扭转角分别为φAB和φBC，则：

各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。

由此得轴AC的总扭转角为

2刚度校核轴AC为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为：可见，该轴的扭转刚度符合要求。例3-5-2：长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，G=80GPa，许用剪应力[]=30MPa，试设计杆的外径；若[

]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。②由扭转刚度条件校核刚度解：①设计杆的外径代入数值得：D0.0226m。40NmxT③右端面转角为：例3-5-3：某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率N1=500马力，输出功率分别N2=200马力及N3=300马力，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1º/m，试确定：①AB段直径d1和BC段直径d2？②若全轴选同一直径，应为多少？③主动轮与从动轮如何安排合理？

500400N1N3N2ACB解：①图示状态下,扭矩如图，由强度条件得：

Tx–7.024–4.21(kNm)

综上：②全轴选同一直径时由刚度条件得：

③轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才为75mm。Tx–4.21(kNm)2.814F弹簧的螺旋角5°,且D>>d,这样的弹簧称为密圈螺旋弹簧.略去簧丝曲率的影响，近似地用直杆公式推导这种弹簧的应力与变形的计算公式.§3-6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形一、弹簧丝横截面上的应力簧丝的横截面上有两个内力分量即FSTFPF为便于分析，将杆的斜度视为0º截面法1.内力的计算=+tQtTFsT近似值：FFsT2.应力的计算作为近似计算，通常可略去与剪力FS相应的

，所以簧杆横截面上最大切应力为公式修正的原因：（1）当D/d较小,簧丝曲率较大时会引起很大的误差；（2）假定剪切引起的切应力是均匀分布的.式中c为弹簧指数,k为曲度系数,可查教材中的表3.13.强度条件C44.555.566.577.58k1.41.351.311.281.251.231.211.201.18

§3-7非圆截面杆的扭转

(Torsionofnoncircularprismaticbars)非圆杆，如矩形截面杆扭转后横截面将发生翘曲(warping)

而不再是平面.等直非圆杆在扭转时横截面虽发生翘曲(warping)，但当等直杆在两端受外力偶作用，且端面可以自由翘曲时，其相邻两横截面的翘曲程度完全相同.横截面上仍然只有切应力而没有正应力.这一情况称为纯扭转(puretorsion)，或自由扭转(freetorsion).

若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，则相邻两横截面的翘曲程度不同，这将在横截面上引起附加的正应力.这一情况称为

约束扭转(constrainttorsion).像工字钢和槽钢等薄壁杆件，约束扭转产生正应力相当大。但是实体杆件（如截面为矩形或椭圆形杆件）约束扭转产生正应力很小与自由扭转无太大差别。bhT矩形截面扭转时，横截面切应力如图所示，边缘上各点的切应力形成与边界相切的顺流.

整个横截面上的最大切应力发生在长边的中点.一、矩形截面（Rectangularcrosssection)短边中点的切应力