第八章 弯曲刚度

§8-1

弯曲变形与位移弯曲变形研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：①对梁作刚度校核；②解超静定梁（为变形几何条件提供补充方程）。第八章弯曲刚度1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用ω表示。与f

同向为正，反之为负。

2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用表示，顺时针转动为正，反之为负。

3、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：ω

=f(x)4、转角与挠曲线的关系：弯曲变形小变形PxvCqC1f式（2）就是挠曲线近似微分方程。弯曲变形小变形fxM>0fxM<0(1)§8-2小挠度曲线微分方程曲线f(x)上任一点的曲率为：一、微分方程对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：弯曲变形注意：如果取f(x)向上为正，则f’’与M符号相同，上式可不带负号。1.微分方程的积分2.位移边界条件PABCPD二、用积分法求梁的变形讨论：

①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。

②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。

③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。

④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。支点位移条件：连续条件：光滑条件：弯曲变形[例1]求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程并积分应用位移边界条件求积分常数弯曲变形解：PLxf写出弹性曲线方程并画出曲线最大挠度及最大转角弯曲变形xfPL解：建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程并积分弯曲变形xfPLa[例2]求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。应用位移边界条件求积分常数弯曲变形PLaxf写出弹性曲线方程并画出曲线最大挠度及最大转角弯曲变形PLaxf弯曲变形

[例3]试用积分法求图示梁的挠曲线方程和转角方程，并求C截面挠度和A截面转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。

解：1．外力分析：求支座约束反力。研究梁ABC，受力分析如图，列平衡方程：弯曲变形

2．内力分析：分区段列出梁的弯矩方程：3．变形分析：AB段：由于积分后得：弯曲变形BC段：由于，积分后得：边界条件：当连续光滑条件：代入以上积分公式中，解得：

弯曲变形故挠曲线方程和转角方程分别为：

由此可知：

1、载荷叠加

多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。2、结构形式叠加（逐段刚化法）弯曲变形§8-3叠加法结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明=+弯曲变形PL1L2ABCBCPL2f1f2等价等价xfxffPL1L2ABC刚化AC段PL1L2ABC刚化BC段PL1L2ABCMxf

[例4]按叠加原理求A点转角和C点挠度。解：①载荷分解如图②由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。弯曲变形qqPP=+AAABBB

Caa弯曲变形qqPP=+AAABBB

Caa③

叠加弯曲变形

[例5]

试用叠加法求图示梁C截面挠度和转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。（已知AB=BC=l/2）

(a)(b)

+

解：将原图分解成图(a)和图(b)所示情况。

查表，对于图(a)有：弯曲变形于是有：对于图(b)有：故梁C截面挠度为：转角为：(顺时针)

说明：对于图(a)：BC段无内力，因而BC段不变形，BC段为直线。§8-4

简单静不定梁1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。解：建立静定基确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构—静定基。=q0LABLq0MABAq0LRBABxf弯曲变形几何方程——变形协调方程+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程——变形与力的关系补充方程求解其它问题（反力、应力、变形等）弯曲变形几何方程

——变形协调方程：解：建立静定基=[例6]

结构如图，求B点反力。LBC弯曲变形xfq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0AB=LBCxfq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程—变形与力的关系补充方程求解其它问题（反力、应力、变形等）弯曲变形其中[]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。、校核刚度：

、设计截面尺寸：、设计载荷：弯曲变形(对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）§8-5弯曲刚度条件一、刚度条件及计算举例弯曲变形

[例7]

图示木梁的右端由钢拉杆支承。已知梁的横截面为边长a=200mm的正方形，均布载荷集度，弹性模量E1=10GPa，钢拉杆的横截面面积A=250mm2，弹性模量E2=210GPa，试求拉杆的伸长量及梁跨中点D处沿铅垂方向的位移。解：静力分析，求出支座A点的约束反力及拉杆BC所受的力。列平衡方程：弯曲变形本题既可用积分法，也可用叠加法求图示梁D截面的挠度。积分法：拉杆BC的伸长为梁AB的弯矩方程为挠曲线的近似微分方程积分得：

弯曲变形边界条件：当时，；当时，代入上式得故当时，。叠加法：

说明：AB梁不变形，BC杆变形后引起AB梁中点的位移，与BC不变形，AB梁变形后引起AB梁中点的位移叠加。

PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB

[例8]

下图为一空心圆截面梁，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，梁的E=210GPa，工程规定C点的[f/L]=0.00001,B点的[]=0.001弧度,试校核此梁的刚度。=++=弯曲变形P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=++图1图2图3解：结构变换，查表求简单载荷变形。弯曲变形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfP2BCa=++图1图2图3弯曲变形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf叠加求复杂载荷下的变形校核刚度弯曲变形弯曲变形通过以上讨论可知，梁的变形与梁的抗弯刚度EI、跨度l、支座情况、载荷形式及其作用位置有关。根据这些因素对弯曲变形的作用，可通过下列措施来提高梁的刚度。

(1)增大抗弯刚度：主要是采用合理的截面形状，在面积基本不变的情况下，使惯性矩I尽可能增大，可有效地减小梁的变形。为此，工程上的受弯构件多采用空心圆形、工字形、箱形等薄壁截面。材料的弹性模量E值愈大，梁的抗弯刚度也会愈大。但对钢材来说，各类钢的E值非常接近，故选用优质钢对提高梁的抗弯刚度意义并不大。

二、提高梁的刚度的措施

(2)调整跨度和改善结构：静定梁的挠度与跨度的n次方成正比。在可能的条件下，减小跨度可明显地减小梁的变形。但减小跨度往往和改变梁的结构联系在一起。如图a)所示受均布载荷作用的简支梁，若将两端支座向内移动2l/9变为外伸梁(图

b)，则其跨中截面的挠度明显下降。

弯曲变形弯曲变形（3）合理布置外力（包括支座）,使M

max

尽可能小PL/2L/2Mx+PL/4P=qLL/54L/5对称PL/43L/4Mx3PL/16+MxqL2/10+弯曲变形qLL/5qL/5qL/2L/2Mx+402qL50