第二章 机械优化数学问题

第二章优化设计的数学模型和基本概念

§2.1 优化设计的数学模型§2.2 优化设计的三大要素

§2.3 优化设计的分类

§2.4 优化设计的数学基础

§2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件

§2.6 优化设计问题的数值迭代法及其收敛条件§2.1

优化设计的数学模型一.机械优化设计方法解决实际问题的步骤

1.分析实际问题，建立优化设计的数学模型；

分析：①设计的要求（目标、准则）；

②设计的限制（约束）条件；

③设计的参数，确定设计变量。

建立：机械优化设计方法相应的数学模型。

2.分析数学模型的类型，选择合适的求解方法（优化算法）。

3.编程上机求数学模型的最优解，并对计算的结果进行评价分析,最终确定是否选用此次计算的解。§2.1

优化设计的数学模型举例：圆形等截面销轴的优化设计的数学模型

已知：轴的一端作用载荷P=1000N，扭矩M=100N·m；轴长不得小于8cm；材料的许用弯曲应力[σw]=120MPa，许用扭剪应力[τ]=80MPa，许用挠度[f]=0.01cm；密度[ρ]=7.8t/m，弹性模量E=2×105MPa。

分析：设计目标是轴的质量最轻Q=1/4πd2lρ→min.；要求：设计销轴，在满足上述条件的同时，轴的质量应为最轻。

设计限制条件有5个：弯曲强度：σmax≤[σw]

扭转强度：τ≤[τ]

刚度：f≤[f]

结构尺寸：l≥8d≥0

设计参数中的未定变量：d、l§2.1

优化设计的数学模型具体化：目标函数

Q=1/4πd2lρ→min.

约束函数σmax

=Pl/(0.1d3)≤[σw] τ=M/(0.2d3)≤[τ] f=Pl3/(3EJ)≤[f] l≥8d≥0代入数据整理得数学模型：设：X=[x1,x2]T=[d,l]T

min.f(x)=x12x2X∈R2s.t.g1(x)=8.33x2-

x13≤0g2(x)=6.25-x13≤0g3(x)=0.34x23-x14≤0g4(x)=8-x2≤0g5(x)=-x1≤0二.举例（续）§2.1优化设计的数学模型机械优化设计数学模型的一般形式：

设X=[x1,x2,…,xn]Tmin.f(x)=f(x1,x2,…,xn

)X∈Rn

s.t.gu(x)

≤0u=1,2,…,m

hv(x)=0v=1,2,…,p<n——设计变量——目标函数——约束函数（性能约束）——约束函数（性能约束）——约束函数（性能约束）——约束函数（几何约束）——约束函数（几何约束）（不等式约束）（等式约束）属于2维欧氏空间根据例子中的数学模型：设：X=[x1,x2]T=[d,l]T

min.f(x)=x12x2X∈R2s.t.g1(x)=8.33x2-

x13≤0g2(x)=6.25-x13≤0g3(x)=0.34x23-x14≤0g4(x)=8-x2≤0g5(x)=-x1≤0三.优化设计的数学模型§2.2优化设计的三大要素一.设计变量：

设计变量：在优化设计过程中是变化的，需要优选的量。

设计参数：在优化设计过程中保持不变或预先确定数值。

可以是几何参数：例，尺寸、形状、位置运动学参数：例，位移、速度、加速度动力学参数：例，力、力矩、应力其它物理量：例，质量、转动惯量、频率、挠度非物理量：例，效率、寿命、成本设计变量：优化设计问题有n个设计变量x1,x2,…,xn，

用xi(i=1,2,…,n)表示，是设计向量X的n个分量。设计向量：用X=[x1,x2,…,xn]T表示，是定义在n维欧氏空间中的一个向量。如何选定设计变量？

任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸的综合体。变量越多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难度和造成优化规模过大。所以设计变量时应注意以下几点：（1）抓主要，舍次要。对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。（2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即钢丝直径d，弹簧中径D，工作圈数n和自由高度H。在设计中，将材料的许用剪切应力和剪切模量Ｇ等作为设计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中径D作为设计常量。

§2.2优化设计的三大要素设计点:X(k)（x1(k),x2(k),…,xn(k)）：是设计向量X(k)的端点，代表设计空间中的一个点，也代表第k个设计方案。可能是可行方案、也可能不是可行方案。设计空间Rn

：以x1,x2,…,xn

为坐标轴，构成n维欧氏实空间Rn。它包含了所有可能的设计点，即所有设计方案。例：右图三维空间中第1设计点：X(1)=[x1(1),x2(1),x3(1)]T第2设计点：X(2)=[x1(2),x2(2),x3(2)]T

其中：X(2)=X(1)+ΔX(1)

增量：ΔX(1)=[Δx1(1),Δx2(1),Δx3(1)]T

即x1(2)=x1(1)+

Δx1(1)x2(2)

=x2(1)

+Δx2(1)

x3(2)=x3(1)+Δx3(1)一.设计变量（续）§2.2优化设计的三大要素设计约束：设计变量值(设计点)的选择不仅要使目标函数达到最优值，同时还会受一定的条件限制，这些制约条件称设计约束。约束函数：设计约束是设计变量的函数，称为约束函数。

不等式约束函数：gu(x)

≤0u=1,2,…,m

等式约束数：hv(x)=0v=1,2,…,p＜n问题：是否每个设计约束中都必须包含n个设计变量？m+p个约束呢？不等式约束能否表达成

gu(x)≥0？例：有三个不等式约束

g1(x)=-

x1

≤0g2(x)=-x2

≤0g3(x)=x12+x22-1≤0

再加一个等式约束

h(x)=x1-x2=0D二.约束函数§2.2优化设计的三大要素约束（曲）面：对于某一个不等式约束gu(x)

≤0中，满足gu(x)

=0的x点的集合构成一个曲面，称为约束（曲）面。

它将设计空间分成两部分：满足约束条件gu(x)

≤0的部分和不满足约束条件gu(x)

＞0的部分。设计可行域（简称为可行域）

对于一个优化问题，所有不等式约束的约束面将组成一个复合的约束曲面，包围了设计空间中满足所有不等式约束的区域，称为设计可行域。记作

D

=gu(x)

≤0u=1,2,…,mhv(x)=0v=1,2,…,p

D

二.约束函数（续1）§2.2优化设计的三大要素可行设计点（内点）：在可行域内任意一点称为可行设计点，代表一个可行方案。极限设计点（边界点）：在约束面上的点称为极限设计点。若讨论的设计点x(k)点使得gu(x(k))

=0，则gu(x(k))≤0称为适时约束或起作用约束。

非可行设计点（外点）：在可行域外的点称为非可行设计点，代表不可采用的设计方案。二.约束函数（续2）问题：①极限设计点是否代表可行设计方案？

②什么约束一定是适时约束？

③可行域是否一定封闭？§2.2优化设计的三大要素目标函数：优化设计的过程是从可行设计解中，找出一组最优解的过程。需要一个准则来评价当前设计点（解）的最优性。这个准则包含各个设计变量，作为评价函数，一般称为目标函数，也称为评价函数、准则函数、价值函数。多目标函数：由于评价准则的非唯一性，目标函数可以是一个——单目标函数，也可以是多个——称为多目标函数。单目标函数的表达式为：f(x)=f(x1,x2,…,xn

)多目标函数的表达式为：f(x)=ω1f1(x)+ω2f2(x)+…+ωqfq(x)=

其中：f1(x)，f2(x)，…fq(x)代表q个分设计目标；

ω1，ω2，…，ωq代表q个加权系数。三.目标函数§2.2优化设计的三大要素说明：

①f(x)必须是x的函数，应随设计点的变化f(x)的值上升、下降；②f(x)应该是实函数，是可计算的。但不一定通过数学公式，还可以用其它数值计算方法计算。③f(x)可以是有物理意义，有单位的，也可以没有物理意义。例如，销轴的质量：Q=1/4πd2lρ，∵1/4πρ是常数，∴目标函数可简化为f(x)=d2l=x12x2问题：①f(x)是否一定应包含所有的设计变量？②f(x)若是越大越好，则应如何处理？

三.目标函数(续）§2.3优化设计的分类一.按模型性质分：

确定型优化问题：静态优化问题（与时间无关或忽略时间因素）动态优化问题（随时间变化，系统响应变化）不确定型优化问题（随机优化问题）二.按设计变量性质分

连续变量、离散变量、随机变量三.按约束情况分1.按有无约束分：无约束优化问题约束优化问题

2.按约束性质分：区域约束（几何约束、边界约束）性能约束（功能约束、性态约束）§2.3

优化设计的分类（续）四.按目标函数和约束函数的特性分：

线性规划问题非线性规划问题几何规划问题二次规划问题五.按目标函数的个数分：

单目标优化问题双目标优化问题多目标优化问题§2.4

优化设计的数学基础一.等值（线）面：

对于可计算的函数f(x)，给定一个设计点X(k)(x1(k),x2(k),…,xn

(k))，f(x)总有一个定值c与之对应；而当f(x)取定值c时，则有无限多个设计点X(i)(x1(i),x2(i),…,xn(i))（i=1,2,…）与之对应，这些点集构成一个曲面，称为等值面。

当c取c1,c2,…等值时，就获得一族曲面族，称为等值面族。

当f(x)是二维时，获得一族等值线族；当f(x)是三维时，获得一族等值面族；当f(x)大于三维时，获得一族超等值面族。等值线从等值线上，可以清除地看到函数值的变化情况。其中F=40的等值线就是使F(x1,x2)=40的各点[x1,x2]T所组成的连线。如图函数的等值线图。等值线§2.4

优化设计的数学基础等值线的“心”（以二维为例）

一个“心”：是单峰函数的极（小）值点，是全局极（小）值点。没有“心”：例，线性函数的等值线是平行的，无“心”，认为极值点在无穷远处。

多个“心”：不是单峰函数，每个极（小）值点只是局部极（小）值点，必须通过比较各个极值点的值，才能确定极（小）值点。一.等值（线）面：§2.4

优化设计的数学基础等值线的形状：同心圆族、椭圆族，近似椭圆族；等值线的疏密：沿等值线密的方向，函数值变化快；沿等值线疏的方向，函数值变化慢。等值线的疏密定性反应函数值变化率。

严重非线性函数——病态函数的等值线族是严重偏心和扭曲、分布疏密严重不一的曲线族。一.等值（线）面：例1：如下二维非线性规划问题一、几何解释优化问题的几何解释

通过二维优化问题的几何求解来直观地描述优化设计的基本思想。

目标函数等值线是以点（2，0）为圆心的一组同心圆。如不考虑约束，本例的无约束最优解是：，约束方程所围成的可行域是D。由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几何的方法得该切点为，对应的最优值为

(见图）用图解法求解

解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲线是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是容许集上使等值线具有最小值的点。解：①先画出等式约束曲线的图形。这是一条抛物线，如图例②再画出不等式约束区域，如图（选定哪侧区域）③最后画出目标函数等值线，特别注意可行集边界点，

以及等值线与可行集的切点，易见可行域为曲线段ABCD。当动点沿抛物曲线段ABCD由A点出发时，AB段目标函数值下降。过点B后，在BC段目标函数值上升。过C点后，在CD段目标函数值再次下降。D点是使目标函数值最小的可行点，其坐标可通过解方程组：得出：ABCD由以上三个例子可见，对二维最优化问题。我们总可以用图解法求解，而对三维或高维问题，已不便在平面上作图，此法失效。在三维和三维以上的空间中，使目标函数取同一常数值的是{X|f(X)=C,C是常数}称为目标函数的等值面。等值面具有以下性质：（1）不同值的等值面之间不相交，因为目标函数是单值函数；（2）等值面稠的地方，目标函数值变化得较快，而稀疏的地方变化得比较慢；（3）一般地，在极值点附近，等值面（线）近似地呈现为同心椭球面族（椭圆族）。§2.4

优化设计的数学基础方向导数：二维问题中，f(x1,x2)在X(0)点沿方向s的方向导数为：其中：是X(0)点的梯度。S为s方向的单位向量，。

为S的方向角,方向导数为方向余弦。为梯度在方向s上的投影。二.梯度§2.4

优化设计的数学基础梯度的性质：

①梯度是X(0)点处最大的方向导数；②梯度的方向是过点的等值线的法线方向；

③梯度是X(0)

点处的局部性质；

④梯度指向函数变化率最大的方向；

⑤正梯度方向是函数值最速上升的方向，负梯度方向是函数值最速下降的方向。对于n维问题的梯度二.梯度§2.4

优化设计的数学基础n维函数

f(x)在x(k)

点的台劳展开式:二阶近似式：其中：增量

ΔX(k)=[Δx1(k),Δx2(k),…,Δxn(k)]T梯度

Hesse

矩阵三.Hesse

矩阵与正定§2.4

优化设计的数学基础Hesse

矩阵的特性：是实对称矩阵。矩阵正定的充要条件：主子式det(ait)＞0当主子式det(ait)≥0时，矩阵半正定

det(ait)＜0时，矩阵负定

det(ait)≤0时，矩阵半负定Hesse

矩阵的正定性：H(x*)正定，是

x*为全局极小值点的充分条件；H(x*)半正定,是x*为局部极小值点的充分条件；H(x*)负定，是x*为全局极大值点的充分条件；H(x*)半负定,是x*为局部极大值点的充分条件。正定的二次函数：曲面为椭圆抛物面；等值线族为椭圆曲线族，椭圆中心为极小值点。三.Hesse

矩阵与正定§2.4

优化设计的数学基础凸集：设

D为欧氏空间Rn

中X的集合，即D∈Rn,

X∈D，若D域内任意两个点x(1)，x(2)的连线上的各点都属于D域，则的集合D称为Rn

内的一个凸集。否则，为非凸集。

凸函数：

f(x)是定义在n维欧氏空间中，凸集上的函数，同时x(1)∈D，x(2)∈D，ξ∈[0,1]，当下式成立时，则称f(x)为定义在凸集D上的凸函数。f[ξx(1)+(1-ξ)x(2)]≤ξf(x(1))+(1-ξ)f(x(2))当上式中的≤为＜时，f(x)是严格凸函数。四.函数的凸性凸函数的集合意义如图所示：一元凸函数的几何意义在凸函数曲线上取任意两点（对应于X轴上的坐标X(1)、X（2））联成一直线线段，则该线段上任一点（对应于X轴上的X(k)点）的纵坐标Y值必大于或等于该点（X(k)）处的原函数值f(X(k))。

凸规划

对于约束优化问题

式中若F（X）、均为凸函数，则称此问题为凸规划。凸规划的一些性质：

2）凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解；

1）可行域为凸集；

3）若F（X）可微，则X*为凸规划问题的最优解的充分必要条件为：对任意，对满足不论是无约束或有约束的优化问题，在实际应用中，要证明一个优化问题是否为凸规划，一般比较困难，有时甚至比求解优化问题本身还要麻烦。尤其对一些工程问题，由于其数学模型的性态都比较复杂，更难实现。因此，在优化设计的求解中，就不必花精力进行求证，而通常是从几个初始点出发，找出几个局部最优解，从中选择目标函数值最好的解。注意：§2.4

优化设计的数学基础判别函数为凸函数的凸性条件：按梯度判断凸性：设f(x)是定义在凸集D上具有连续一阶导数的函数，则f(x)在D上为凸函数的充要条件是：对于任意的x(1),x(2)∈D

都有成立。按二阶偏导数判断凸性：设f(x)

是定义在凸集D上具有连续二阶导数的函数，则f(x)在D上为凸函数的充要条件是：f(x)的Hesse矩阵处处半正定。若Hesse矩阵处处正定，则f(x)为严格凸函数。凸函数的基本性质：若f(x)是定义在凸集D上的严格凸函数，则f(x)在D上的一个极小点，也就是全局最小点。

凸函数的线性组合仍然为凸函数。

设x(1),x(2)为凸函数f(x)上的两个最小点，则其连线上的任意点也都是最小点。四.函数的凸性§2.5优化设计的最优解及获得最优解的条件一.优化设计最优解无约束优化设计问题最优解：约束优化设计问题最优解：

不受约束条件限制，使目标函数达到最小值的一组设计变量，即最优点x*=[x1*,x2*,…,xn*]

和最优值f(x*)构成无约束问题最优解。

满足约束条件，使目标函数达到最小值的一组设计变量，即最优点x*=[x1*,x2*,…,xn*]

和最优值f(x*)构成约束问题最优解。§2.5优化设计的最优解及获得最优解的条件二.有约束问题最优点的几种情况有适时约束目标函数是凸函数,可行域是凸集，则目标函数等值线与适时约束曲面的切点为最优点，而且是全局最优点。无适时约束目标函数是凸函数，可行域是凸集，则最优点是内点。相当于无约束问题的最优点。x(k)

为最优点x*的条件：必要条件：充分条件：Hesse矩阵H(x(k))

是正定矩阵··X*f(x)·x*§2.5优化设计的最优解及获得最优解的条件有适时约束目标函数是非凸函数（图a），或可行域是非凸集（图b）：

则目标函数等值线与适时约束曲面可能存在多个切点，是局部极值点，其中只有一个点是全局最优点。二.有约束问题最优点的几种情况pQQp§2.5

优化设计的最优解及获得最优解的条件三.K-T(Kuhn-Tucker库恩-塔克)

条件

——有适时约束时获得最优解的条件1.有一个适时约束时：

与x(k)点目标函数的负梯度方向成锐角，即沿S方向目标函数值下降；与x(k)点约束函数的梯度方向成钝角，即保证S方向上各点在可行域内。此时，获得最优解x(k)

为最优点x*，f(x(k))为最优值f(x*)。

从数学上定义，当从x(k)点出发不存在一个S方向能同时满足：①;②，即，则获得最优解：x(k)为最优点x*，f(x(k))为最优值f(x*)。从几何上看，当从x(k)点出发不存在一个S方向能同时满足：§2.5优化设计的最优解及获得最优解的条件

相反，当从x(k)点出发，存在一个S方向能同时满足：和时，则x(k)

不是最优点。

从几何上看，当从x(k)点出发存在一个S方向能同时满足：与x(k)点目标函数的负梯度方向成锐角，即沿S方向目标函数值下降；与x(k)点约束函数的梯度方向成钝角，即保证S方向上各点在可行域内。此时，x(k)不是最优点x*。三.K-T(Kuhn-Tucker库恩-塔克)

条件

——有适时约束时获得最优解的条件1.有一个适时约束时：§2.5优化设计的最优解及获得最优解的条件2.

有二个适时约束时：

x(k)成为约束最优点x*的必要条件为:。

几何上位于和所张的扇形子空间内。即不存在一个S方向能同时满足：三.K-T(Kuhn-Tucker库恩-塔克)

条件

——有适时约束时获得最优解的条件§2.5优化设计的最优解及获得最优解的条件相反，不符合以上条件：

几何上不位于和所张的扇形子空间内。则x(k)

点不是最优点。不能表达成和的线性组合。即存在一个S方向能同时满足：三.K-T(Kuhn-Tucker库恩-塔克)

条件

——有适时约束时获得最优解的条件2.

有二个适时约束时：§2.5优化设计的最优解及获得最优解的条件3.K-T条件（扩展至m个适时约束）：

设某个设计点x(k)，其适时约束集为，

几何上，x(k)成为约束最优点（极小点）x*时，目标函数的负梯度向量位于m适时约束梯度向量所张成的子空间内。且为线性独立，则x(k)成为约束最优点的必要条件是目标函数的负梯度向量可表示为适时约束梯度向量的线性组合，即。其中，。三.K-T(Kuhn-Tucker库恩-塔克)

条件

——有适时约束时获得最优解的条件§2.5优化设计的最优解及获得最优解的条件K-T条件的作用：判别边界设计点x(k)

为最优点的依据作为约束优化的收敛条件。三.K-T(Kuhn-Tucker库恩-塔克)

条件

——有适时约束时获得最优解的条件总结：优化问题的极值条件

*一、无约束优化问题的极值条件1.F(x)在处取得极