机械工程控制基础5-稳定性

机械工程控制基础2013.11主讲人：高爱华机械类专业必修课机械与动力工程学院教学内容1、课程准备7、系统的性能指标与校正2、绪论4、系统的时间响应分析3、系统的数学模型5、系统的频率特性分析6、系统的稳定性分析教学内容第一讲稳定性概念Routh判据——系统能正常工作的首要条件系统不稳定现象例：液压位置随动系统原理：外力→阀芯初始位移Xi(0)→阀口2、4打开→活塞右移→阀口关闭（回复平衡位置）→（惯性）活塞继续右移→阀口1、3开启→活塞左移→平衡位置→（惯性）活塞继续左移→阀口2、4开启……①随动：活塞跟随阀芯运动②惯性：引起振荡③振荡结果：①减幅振荡（收敛，稳定）②等幅振荡（临界稳定）③增幅振荡（发散，不稳定）一、系统的稳定性与稳定条件依据上述实例可得如下结论：

系统稳定与否取决于系统内部条件，而与输入无关；系统发生不稳定必有适当的反馈作用；控制理论中讨论的稳定性是输入为零而初始状态不为零的稳定性。稳定性是指自由响应的收敛性系统的稳定性—稳定性概念二、稳定性的定义和条件1.稳定性定义定义：系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置，当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的能力。系统稳定性说明1：若系统在初始状态的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于0（即回到平衡位置），则称系统为稳定的；反之，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称系统是不稳定的。系统的稳定性—稳定性概念系统稳定条件线性定常系统：强迫响应输入引起的自由响应系统的初态引起的自由响应自由响应si:系统的特征根系统稳定条件当系统所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有负实部（位于[s]平面的左半平面）自由响应收敛，系统稳定若有任一sk具有正实部（位于[s]平面的右半平面）自由响应发散，系统不稳定系统稳定条件若有特征根sk

=±jω（位于[s]平面的虚轴上），其余极点位于[s]平面的坐半平面自由响应等幅振动，系统临界稳定若有特征根sk

=0（位于[s]平面的原点），其余极点位于[s]平面的坐半平面自由响应收敛于常值，系统稳定简谐运动结论：线性定常系统是否稳定，完全取决于系统的特征根。线性系统的稳定性是系统的固有特性，仅与系统的结构与参数有关；非线性系统的稳定性不仅与系统的结构与参数有关，而且还与系统的输入有关。系统稳定性说明2：2.稳定性充要条件系统稳定的充要条件是系统所有特征根的实部小于0，或系统传递函数的所有极点均分布在[s]平面的左半平面内。临界稳定的系统极易因为系统的结构和参数的细微变化而变成不稳定的系统。因此，临界稳定往往也归结为不稳定的一种。系统的稳定性—稳定性概念三、关于稳定性的相关提法1.李亚普诺夫意义下的稳定性若o为系统的平衡工作点，扰动使系统偏离此工作点的起始偏差（即初态）不超过域η，由扰动引起的输出（这种初态引起的零输入响应）及其终态不超过预先给定的整数ε，则系统是稳定的，反之，系统是不稳定的。系统的稳定性—稳定性概念3.“小偏差”稳定性系统初始偏差（初态）不超过某一微小范围时的稳定性，称之为“小偏差稳定性”或“局部稳定性”。4.“大范围”渐近稳定性若系统在任意初始条件下都保持渐近稳定，则系统称为“大范围渐近稳定”，反之，系统是不稳定的。2.渐近稳定性就是线性系统的稳定性，要求由初始状态引起的响应最终衰减为零。渐近稳定性满足李氏稳定性定义；对非线性定义，这两种稳定性是不同的。系统的稳定性—稳定性概念控制工程中希望大范围渐近稳定，基于精度要求，也需要确定最大范围。四、Routh稳定判据1.系统稳定的必要条件设系统的特征方程为：两边同除an系统的稳定性—Routh稳定判据依据上式，s的同次幂前系数应对等要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：特征方程的各项系数都不等于0；特征方程的各项系数的符号相同。按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为系统特征方程的各项系数全大于0，此即系统稳定的必要条件。系统的稳定性—Routh稳定判据2.系统稳定的充要条件对系统的特征方程：其各阶系数按下列形式排成Routh表：元素计算方法：系统的稳定性—Routh稳定判据Routh判据：Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。因此系统稳定的充要条件可表述为：Routh表中第一列各元的符号均为正。实例分析1

系统特征方程试用Routh表判断其稳定性。改变符号一次改变符号一次解：由Routh判据：系统不稳定。系统的稳定性—Routh稳定判据3.系统稳定的特殊情况（1）如果在Routh表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的元素时，将趋向于无穷大。于是Routh表计算无法继续，为了克服这一困难，用一个很小的正数ε代替第一列的0，然后计算Routh表的其余各元。若ε上下各元符号不变，且第一列元素符号均为正，则系统特征根中有共轭的虚根。此时，系统为临界稳定系统。（2）如果Routh表中任意一行的所有元素都为0，Routh表的计算无法继续。此时，可以利用该行的上一行的元素构成一个辅助多项式，并用多项式的导数的系数组成Routh表的下一行。这样，Routh表就可以计算下去。出现这种情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应维持某一频率的等幅振荡，系统临界稳定），或是以上几种根的组合。系统的稳定性—Routh稳定判据实例分析2

系统特征方程：试用Routh表判断其稳定性。解：列Routh表如下：改变符号一次改变符号一次由Routh判据：系统不稳定。系统的稳定性—Routh稳定判据实例分析3

系统特征方程：试用Routh表判断其稳定性。解：列Routh表如下：Routh表中出现0元行，构造辅助多项式如下：取F(s)对s的导数得新方程：用上式中的系数8和96代替0元行，继续进行运算。改变符号一次系统的稳定性—Routh稳定判据此表第一列各元符号改变次数为1，因此断定该系统包含一个具有正实部的特征根，系统是不稳定的。根据Routh判据，2p的辅助多项式应该存在p对实部符号相异、虚部数值相同的共轭复根。这些特征根可以通过解辅助多项式得到。本例中辅助多项式为：解此辅助多项式可得：这两对复根是原特征方程的根的一部分。系统的稳定性—Routh稳定判据二阶系统(n=2)稳定的充要条件为：a2>0,

a1>0,

a0>0,三阶系统(n=3)稳定的充要条件为：a3>0,

a2>0,

a0>0,

a1a2－a0a3>0特别：五、相对稳定性的检验应用Routh判据可检验稳定系统的相对稳定性方法如下：将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s＝z－σ（σ为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程；利用Routh表和Routh判据对新的特征方程进行稳定性判别。如果新系统稳定，则说明原系统特征方程的根均在新的虚轴之左边，σ越大，系统相对稳定性越好。系统的稳定性—Routh稳定判据系统传递函数方框图如下图所示，已知T1＝0.1s，T2＝0.25s，试求:实例分析4解：（1）求系统稳定时K值的取值范围（1）系统稳定时K值的取值范围；（2）若要求系统的特征根均位于s＝－1线的左侧，K值的取值范围。系统的稳定性—Routh稳定判据因为：将T1和T2代入得：列Routh表如下：解之得系统稳定时K的取值范围为：由Routh表和Routh判据得：系统的稳定性—Routh稳定判据（2）令s＝z－1，代入特征方程得：即：列Routh表如下：解之得：由Routh表和Routh判据得：与(1)的结果比较可知，K的取值范围变小了。系统的稳定性—Routh稳定判据系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置，当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的能力；六、本讲小结系统稳定的充要条件是所有特征根具有负实部，或系统传递函数的所有极点均分布在[s]平面的左半平面;作业：教材：5.1~5.4,5.7Routh稳定判据是Routh表的第一列元素均大于0。利用Routh稳定判据不仅可判定系统的稳定性，而且可以确定某些参数的取值范围和相对稳定性。系统的稳定性—Routh稳定判据系统的稳定性—Nyquist稳定判据第二讲Nyquist稳定判据一、Nyquist稳定判据判据提出：该稳定性判据由H.Nyquist于1932年提出，在1940年以后得到广泛应用。判据原理：将闭环系统的特征方程1+G(s)H(s)=0与开环频率特性GK(jω)联系起来，从而将系统特性从复域引入频域来分析。判断方法：通过GK(jω)的Nyquist图，利用图解法来判明闭环系统的稳定性。Nyquist稳定判据的数学基础是复变函数中的幅角原理。系统的稳定性—Nyquist稳定判据1.幅角原理（Cauchy定理）

设F(s)在[s]平面上除有限个奇点外为单值的连续正则函数，并设[s]平面上解析点s映射到[F(s)]平面上为点F(s)，或为从原点指向此映射点的向量F(s)。若在[s]平面上任意一封闭曲线Ls，只要此曲线不经过F(s)的奇点，则在[F(s)]平面上必有一条对应的曲线LF，也是一条封闭曲线。当解析点s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s)将按顺时针方向旋转N周，即F(s)以原点为中心顺时针旋转N周，这就等于曲线LF顺时针包围原点N次。若令Z为包围于Ls内的F(s)的零点数，P为包围于Ls

内的F(s)的极点数，则有取任意拉氏函数：系统的稳定性—Nyquist稳定判据向量F(s)的相位为假设Ls内只包围了F(s)的一个零点zi，其它零极点均位于Ls之外，当s沿Ls顺时针移动一周时，向量（s－zi）的相位角变化为－2π弧度，而其余相位角的变化为0。即向量F(s)的相位角变化为－2π，或者说F(s)在[F(s)]平面上沿LF绕原点顺时针转了一圈。系统的稳定性—Nyquist稳定判据N＝Z－P系统的稳定性—Nyquist稳定判据若[s]平面上的封闭曲线包围F(s)的Z个零点，则在[F(s)]平面上的映射曲线LF将绕原点顺时针Z圈，而若[s]平面内的封闭曲线包围这F(s)的P个极点，则平面上的映射曲线LF将绕原点逆时针转P圈。——几何判据（利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性）幅角原理Ls：[s]平面上一封闭曲线（不经过F(s)的奇点）设有复变函数：幅角原理：ｓ按顺时针方向沿Ls变化一周时，F(s)将绕原点顺时针旋转N周，即包围原点N次。N=Z-PZ：Ls内的F(s)的零点数

P：Ls内的F(s)的极点数2.Nyquist稳定判据设闭环传递函数方框图对应的开环传递函数为：X

i

(s)G(s)H(s)X

o

(s)其闭环传递函数为：特征方程令则有：系统的稳定性—Nyquist稳定判据零点极点零点极点零点极点相同相同

定常线性系统稳定的充要条件是其闭环特征方程的全部根具有负实部，即在[s]右半平面内没有极点，也就是说，F(s)在[s]平面的右半平面没有零点。因为:故有：系统的稳定性—Nyquist稳定判据为研究F(s)有无零点位于[s]平面的右半平面，可选择一条包围整个[s]右半平面的封闭曲线Ls，如图。Ls由两部分组成，其中，L1为ω→－∞到+∞的整个虚轴，L2为半径R趋于无穷大的半圆弧。因此，Ls封闭地包围了整个[s]平面的右半平面。这一封闭曲线Ls即为[s]平面上的Nyquist轨迹。当ω→－∞到+∞，轨迹的方向为顺时针方向。由于在应用幅角原理时，Ls不能通过F(s)函数的任何极点，所以当函数F(s)有若干极点处于[s]平面的虚轴或原点处时，Ls应以这些点为圆心，以无穷小为半径的圆弧按逆时针方向绕过这些点。由于绕过这些点的圆弧的半径为无穷小，因此，可以认为Ls曲线仍然包围了整个[s]平面的右半平面。系统的稳定性—Nyquist稳定判据设F(s)＝1＋G(s)H(s)在[s]右平面有Z个零点和P个极点，由幅角原理，当s沿[s]平面上的Nyquist轨迹移动一周时，在[F]平面上的映射曲线LF将顺时针包围原点N＝Z－P圈。因为:

G(s)H(s)＝F(s)－1可见[GH]平面是将[F]平面的虚轴右移一个单位所构成的复平面。[F]平面上的坐标原点，就是[GH]平面上的（－1，j0）点，F(s)的映射曲线LF包围原点的圈数就等于G(s)H(s)的映射曲线LGH包围（－1，j0）点的圈数。系统的稳定性—Nyquist稳定判据由于任何物理上可实现的开环系统，其GK(s)的分母的阶次n必不小于分子的阶次m，即n≥m，故有：这里s→∞是指其模而言，所以，[s]平面上半径为∞的半圆映射到[GH]平面上为原点或实轴上的一点。îíì=>=¥®mnmnsHsGs当const当0)()(lim因为，Ls为[s]平面上的整个虚轴再加上半径为无穷大的半圆弧，而[s]平面上半径为无穷大的半圆弧映射到[GH]平面上只是一个点，它对于G(s)H(s)的映射曲线LGH对某点的包围情况无影响，所以G(s)H(s)的绕行情况只考虑[s]平面的虚轴映射到[GH]平面上的开环Nyquist轨迹G(jω)H(jω)即可。系统的稳定性—Nyquist稳定判据闭环系统稳定的充要条件是F(s)在[s]平面的右半平面无零点，即Z＝0。因此，如果G(s)H(s)的Nyquist轨迹逆时针包围（－1，j0）点的圈数N等于G(s)H(s)在[s]平面的右半平面的极点数P时，有N＝－P，闭环系统稳定。综上所述，Nyquist稳定判据表述如下：当ω→－∞到+∞时，若[GH]平面上的开环频率特性G(jω)H(jω)逆时针包围（－1，j0）点的P圈，则闭环系统稳定。P为G(s)H(s)在[s]平面的右半平面的极点数。对于开环稳定的系统，有P＝0，此时闭环系统稳定的充要条件是，系统的开环频率特性G(jω)H(jω)不包围（－1，j0）点。系统的稳定性—Nyquist稳定判据如图是P=0的系统的开环奈氏图。(a)图不包围(-1，j0)点，它所对应的闭环系统稳定；(b)图对应的闭环系统不稳定。(a)(b)实例分析1系统的稳定性—Nyquist稳定判据实例分析2已知某系统的开环传递函数为：其开环传递函数的奈氏图如下：由开环传递函数可知，P=1，即在[s]平面的右半平面有一个极点。其奈氏轨迹逆时针包围(-1，j0)点一圈，所以闭环系统仍是稳定的。这就是所谓的开环不稳定而闭环稳定。开环不稳定是指开环传递函数在[s]平面的右半平面有极点。显然，此时的开环系统是非最小相位系统。系统的稳定性—Nyquist稳定判据3.开环含有积分环节的Nyquist轨迹轨迹特点：当系统中串联有积分环节时，开环传递函数有位于[s]平面坐标原点处的极点。设开环传递函数式中，v为系统中积分环节的个数，当s沿无穷小半圆弧逆时针方向移动时，有系统的稳定性—Nyquist稳定判据映射到[GH]平面上的Nyquist轨迹为：因此，当s沿小半圆从ω＝0－变化到ω＝0＋时，θ角从－π/2变化到π/2，这是[GH]平面上的Nyquist轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从vπ/2转到-vπ/2。系统的稳定性—Nyquist稳定判据已知某系统的开环传递函数为分析：G(s)H(s)在[s]平面的右半平面有一个极点，为s=1，所以，P=1。

实例分析3当ω由-∞变到+∞时，开环奈氏轨迹逆时针包围(-1，j0)点一圈，所以，闭环系统是稳定的。显然，此时的开环系统是非最小相位系统。由于G(s)H(s)分母中有一个积分环节，所以，映射到[GH]平面上就是半径为∞按顺时针方向从-π/2到+π/2的圆弧。在[s]平面上，当ω由-∞变到+∞时，经过ω=0时，系统的稳定性—Nyquist稳定判据实例分析4已知某系统的开环传递函数为：当ω=0时，当ω=∞时，故奈氏曲线将穿越负实轴，在交点处，有由此可算得：当ω由-∞变到+∞时，经过ω=0时，由于G(s)H(s)分母中有两个积分环节，所以，影射到[GH]平面上就是半径为∞按顺时针方向从π到-π的圆弧。因P=0，当ω由-∞变到+∞时，开环奈氏轨迹顺时针包围(-1，j0)点两圈，所以，闭环系统不稳定。系统的稳定性—Nyquist稳定判据四.关于Nyquist判据的几点说明Nyquist判据是在[GH]平面判别系统的稳定性；Nyquist判据证明复杂，但应用简单；开环稳定与闭环稳定之间的关系；开环Nyquist轨迹是对称的。系统的稳定性—Nyquist稳定判据实例分析5已知系统的开环传递函数为：开环奈氏轨迹如右边图所示。因为P=0，当ω由-∞变到+∞时，开环奈氏轨迹不包围(-1，j0)点，所以，不论K取任何正值，其所对应的闭环系统都是稳定的。从开环传递函数的特点可知，当ω=+∞时，相位为-π，当ω由0变到+∞时，开环奈氏轨迹到不了第二象限。所以，当ω由-∞变到+∞时，开环奈氏轨迹不会包围(-1，j0)点，闭环系统总是稳定的。由此可知，开环为最小相位系统时，只有三阶及其以上，其闭环系统才有可能不稳定。系统的稳定性—Nyquist稳定判据实例分析6已知某系统的开环传递函数为:右图是对应不同K奈氏曲线，且曲线(1)所对应的K值大于曲线(2)的K值。当ω由-∞变到+∞时，开环奈氏轨迹顺时针包围(-1，j0)点，所以，闭环系统不稳定。若减小K值得曲线(2)，当ω由-∞变到+∞时，开环奈氏轨迹不包围(-1，j0)点，所以，闭环系统稳定。保持系统稳定的方案有:减小K值;增大T4,T5.系统的稳定性—Nyquist稳定判据实例分析7某系统的开环传递函数为：右图为其开环奈氏曲线。显然，只要K>0，无论取何值，其对应的闭环系统都是稳定的。此例中只有一个积分环节，而且是二阶系统，相位最多为-π所以，闭环系统一定是稳定的。系统的稳定性—Nyquist稳定判据系统的开环传递函数为:实例分析8–前导环节在系统中的重要作用右图为开环奈氏曲线。其中曲线（1）的T4较小，即前导作用较弱，曲线包围了（-1，j0）点，所对应的闭环系统不稳定。曲线(2)的T4较大，即导前作用较强，曲线不包围(-1，j0)点，所对应的闭环系统稳定。系统的稳定性—Nyquist稳定判据实例分析9–前导环节和积分环节的作用系统的开环传递函数为：T1、T2取值不同时的奈氏曲线见下图：由图可知：（1）T2大，表示导前环节作用大，可使系统稳定；（2）开环系统中串联的积分环节越多，开环Nyquist轨迹越容易包围点（－1，j0）。系统的稳定性—Nyquist稳定判据五.具有延时环节的系统的稳定性分析若则故具有延时环节的系统传递函数结构图为：延时环节不改变原频率特性幅值的大小，但改变其相角的大小。系统的稳定性—Nyquist稳定判据对上述具有延时环节的单位反馈系统，其特征方程为：即此时系统处于临界状态，故有：解得：此例说明，串联延时环节对系统稳定性是不利的。即使原系统稳定，但串入延时环节后系统可能会不稳定。此例，τ<1.15，系统稳定；τ=1.15，系统临界稳定；τ>1.15，系统不稳定。系统的稳定性—Nyquist稳定判据了解幅角原理基本概念及与系统稳定性关系；六、本讲小结掌握Nyquist判据稳定性判断方法；作业：教材：5.10明确Nyquist判据稳定性时的特点；系统的稳定性—Nyquist稳定判据第三讲Bode稳定判据系统的稳定性—Bode稳定判据系统的稳定性—Bode稳定判据一Bode判据原理判据原理：将开环Nyquist极坐标图采用开环Bode对数坐标图以进行系统稳定性判断。判据对应关系：系统的稳定性—Bode稳定判据对应关系描述：Nyquist图上的单位圆对应于Bode图上的0dB线；Nyquist图上的负实轴对应于Bode图上的-180º线。二穿越原理穿越：开环Nyquist轨迹在点(-1,j0）以左穿过负实轴。正/负穿越：沿频率ω增加的方向，开环Nyquist轨迹自上而下（相位增加）穿过点(-1,j0）以左的负实轴为正穿越，反之为负穿越。半次正/负穿越：沿频率ω增加的方向，开环Nyquist轨迹自点(-1,j0）以左的负实轴开始向下称为半次正穿越，反之为半次负穿越。系统的稳定性—Bode稳定判据

对应于Bode图上，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，沿ω增加的方向，对数相频特性曲线自下而上穿过－180度线为正穿越；反之，为负穿越。对数相频特性曲线自－180度线开始向上，为半次正穿越；对数相频特性曲线自－180度线开始向下，为半次负穿越。系统的稳定性—Bode稳定判据三Bode判据在Bode图上，当ω由0变为+∞时，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，开环对数相频特性对-180度线正穿越与负穿越的次数之差为P/2时，闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。闭环系统稳定的充要条件：当P＝0时，若开环对数幅频特性比其对数相频特性先交于横轴，即ωc<ωg，则闭环系统稳定；若开环对数幅频特性比其对数相频特性后交于横轴，即ωc>ωg，则闭环系统不稳定。系统的稳定性—Bode稳定判据若开环对数幅频特性曲线对横轴有多个剪切频率，如图，则取剪切频率最大的来判别稳定性，因为若用ωc3

判别系统稳定性，则用ωc1、ωc2判别，自然也是稳定的。Bode判据的优点：Bode图可以用作渐近线的方法作出，故比较简便；Bode图上的渐近线，可以粗略的判别系统的稳定性；Bode图上可以明确哪些环节是造成不稳定的主要因素，从而对其中参数进行合理选择或校正；在调整开环增益K时，只需将Bode图中的对数幅频特性上下平移即可，很容易看出保证稳定性所需的增益值。系统的稳定性—Bod