机械原理第十章：齿轮机构及其设计

本章的教学目的：了解齿轮机构的类型及应用了解平面齿轮机构的齿廓啮合基本定律，及有关共轭齿廓的基本知识深入了解渐开线直齿圆柱齿轮的啮合特性及渐开线齿轮传动的正确啮合条件、连续传动条件等熟悉渐开线齿廓各部分的名称、基本参数及各部分几何尺寸的计算了解渐开线齿廓的范成切齿原理及根切现象，渐开线标准齿轮的最少齿数，渐开线齿轮的变位修正及变位齿轮传动的概念了解斜齿圆柱齿轮齿廓曲线的形成、啮合特点，并能计算标准斜齿圆柱齿轮的几何尺寸了解标准直齿圆锥齿轮的传动特点及基本尺寸的计算了解蜗杆蜗轮传动的特点本章重点:本章重点是渐开线直齿圆柱齿轮外啮合传动的基本理论和设计计算.第10章齿轮机构及其设计“木牛流马”

指南车记里鼓车汽车打印机内燃机录音机§10-1齿轮机构的特点及类型根据传动比(i12=ω1/ω2)是否恒定，可将齿轮机构分为两大类：定传动比：i12=常数——圆形齿轮机构变传动比：i12以一定的规律变化。——非圆齿轮机构1、用于平行轴间传动的圆柱齿轮机构

内啮合直齿轮传动

外啮合直齿轮传动

两齿轮的转动方向相反两齿轮的转动方向相同轮齿排列在圆柱体内表面的齿轮称为内齿轮。轮齿排列在圆柱体外表面的齿轮称为外齿轮。齿轮齿条传动

将齿轮的圆周运动变为齿条的直线移动，或反之。人字齿圆柱齿轮

斜齿圆柱齿轮

由两个螺旋角方向相反的斜齿轮组成轮齿与其轴线倾斜一个角度2、用于相交轴间传动的齿轮机构直齿圆锥齿轮传动

轮齿排列在圆锥体的表面称为圆锥齿轮或伞齿轮斜齿圆锥齿轮曲齿圆锥齿轮3、用于交错轴间传动的齿轮机构

蜗轮蜗杆传动

谐波齿轮传动（1）直接接触的啮合传动；可传递空间任意两轴之间的运动和动力；（2）功率范围大，速比范围大，效率高，精度高；（3）传动比稳定，工作可靠，结构紧凑；（4）改变运动方向；（5）制造安装精度要求高，不适于大中心距，成本较高，且高速运转时噪声较大。齿轮机构传动的特点ω1nnp

对齿轮传动的基本要求是保证瞬时传动比：i12=1/2=C两齿廓在任一瞬时（即任意点k接触时）的传动比：i12=1/2=？!3P13P23点p是两齿轮廓在点K接触时的相对速度瞬心，故有Vp=1o1p=2o2p两轮的瞬时传动比与连心线o1o2被其啮合齿廓在接触点处的公法线所分成的两线段长成反比。k(P12)1k1§10-2齿轮的齿廓曲线1.齿廓啮合基本定律o1o2ω22要使两齿轮的瞬时传动比为一常数，则不论两齿廓在任何位置接触，过接触点所作的两齿廓公法线都必须与连心线交于一定点p。节圆两齿廓实现定传动比传动的条件是：点p为连心线上的一个定点。中心距节点

两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走。共轭即为按一定规律相配的一对。轭2.齿廓曲线的选择1.理论上满足基本定律的共轭齿廓曲线很多；2.考虑因素：设计、制造、安装和使用；3.常用齿廓曲线：渐开线，摆线，变态摆线，圆弧曲线和抛物线等。4.本章重点研究渐开线齿廓的齿轮1.渐开线的形成及其特性

当直线沿一圆周作相切纯滚动时，直线上任一点在与该圆固联的平面上的轨迹AK，称为该圆的渐开线。AK渐开线B发生线渐开线AK的展角O基圆rb§10-3渐开线齿廓及其啮合特点B发生线渐开线Ak的展角AKO基圆渐开线PkVk渐开线的性质rbBOK=rk（1）BK=AB）（2）BK为渐开线在点K的法线，且恒切于基圆，是渐开线在点K的曲率半径；切点B就是渐开线在点K的曲率中心；愈接近于其基圆的部分，其曲率半径愈小。在基圆上其曲率半径为零。

(3)渐开线齿廓各点具有不同的压力角，点Ｋ离基圆中心Ｏ愈远，压力角愈大。渐开线在基圆上的压力角为零。

渐开线上点Ｋ的压力角在不考虑摩擦力、重力和惯性力的条件下，一对齿廓相互啮合时，齿轮上接触点Ｋ所受到的正压力方向与受力点速度方向之间所夹的锐角，称为齿轮齿廓在该点的压力角。

A1Σ1rb2o2α2α1rb1o1Σ3KB1B2A2Σ2(4)渐开线的形状取决于基圆的大小。基圆半径愈大，其渐开线的曲率半径也愈大，当基圆半径为无穷大时，即为齿条的齿廓曲线。(5)基圆内无渐开线。(6)同一基圆上两条同向或反向渐开线是法向等距曲线。2.渐开线方程式及渐开线函数以O为中心，以OA为极轴的渐开线K点的极坐标方程:B发生线渐开线k0k的展角AKO基圆渐开线PkVkrbrkinvk—渐开线函数3.渐开线齿廓的啮合特点（1）能保证定传动比传动且具有可分性当一对渐开线作外啮合时，啮合点的公法线即为两基圆的内公切线，此线与连心线的交点即为节点。一对渐开线不论在哪一点相啮合，其节点的位置均保持不变。ЗO1O2rb1rb2r2r1K1K′N2N1PЗ21''o1o2N1PЗ21N2aЗ2'o2''a'N1N2p'

'

一对渐开线齿廓啮合时的重要特性一对渐开线齿廓啮合传动时，其传动比不受中心距变化的影响。有利于加工、安装和使用。中心距变动，啮合线变化。（2）渐开线齿廓之间的正压力方向不变啮合线一对渐开线齿廓啮合时的重要特性两基圆的内公切线N1N2，即是理论啮合线，又是两齿廓在啮合点的公法线，同时也是两齿廓间力的作用线（不计摩擦）。ЗO1O2rb1rb2r2r1K1K′N2N1PЗ21''接触点的轨迹是直线─啮合线。作用力的方向始终沿啮合线。§10-4渐开线标准齿轮各部分的名称和尺寸1.齿轮各部分的名称和符号1）齿数：齿轮圆柱面上凸出的部分的总数。用z表示。2）齿槽：齿轮上相邻两齿间的空间。3）齿顶圆：齿轮各点的顶端都在同一圆周上，过所有齿顶端的圆称为齿顶圆。其直径和半径分别用da和ra表示。齿根高hforbrfrark齿根圆基圆齿顶圆分度圆齿顶高ha齿距pk齿厚sk齿槽宽ek4）齿根圆：齿轮各齿槽的底部在同一圆周上，过齿轮各齿槽底部的圆称为齿根圆。其直径和半径分别用df和rf表示。5）在任意直径的圆周上a）该圆的齿厚：一齿左右两齿廓间的弧长。skb）该圆的齿槽宽：一齿槽左右两齿廓间的弧长。ek齿根高hforbrfrark齿根圆基圆齿顶圆分度圆齿顶高ha齿距pk齿厚sk齿槽宽ekc）该圆的齿距：相邻两齿上对应点之间的弧长。pkd）该圆的模数：我国规定的标准压力角为20°一个齿轮在不同直径的圆周上，其模数的大小是不同的。齿根高hforbrfrark齿根圆基圆齿顶圆分度圆齿顶高ha齿距pk齿厚sk齿槽宽ek6)

分度圆：具有标准模数和标准压力角的圆。是齿轮上一个人为地约定的齿轮计算的基准圆，规定分度圆上的模数和压力角为标准值。d、r任何一个齿轮都有一个分度圆，且只有一个分度圆。7）齿顶高：轮齿在齿顶圆和分度圆之间的部分称为齿顶，它沿半径方向的高度称为齿顶高。ha齿根高hforbrfrark齿根圆基圆齿顶圆分度圆齿顶高ha齿距pk齿厚sk齿槽宽ek8）齿根高：轮齿在齿根圆和分度圆之间的部分称为齿根，它沿半径方向的高度称为齿根高。hf9）全齿高：轮齿在齿顶圆和齿根圆之间的径向高度。h齿根高hforbrfrark齿根圆基圆齿顶圆分度圆齿顶高ha齿距pk齿厚sk齿槽宽ekr2r1cao1o2'''10）齿顶高系数和顶隙系数正常齿制顶隙——一对相互啮合的齿轮中，一个齿轮的齿根圆与另一个齿轮的齿顶圆之间在连心线上度量的距离，用C表示。标准齿轮的特征：分度圆上模数和压力角为标准值；齿距p所包含的齿厚s与齿槽宽e相等；具有标准的齿顶高与齿根高。齿轮最基本的五个参数：齿数、模数、压力角、齿顶高系数、顶隙系数法向齿距=基圆齿距齿数，模数，压力角是决定渐开线形状的三个基本参数。渐开线标准直齿圆柱齿轮几何尺寸计算式（1）齿条

两个主要特点1、齿廓不同高度上的压力角相等；2、齿廓不同高度上的齿距均相等。齿条中线(分度线）：齿厚和齿槽宽相等的高度线。psennhahf齿顶线分度线齿根线4.齿条和内齿轮尺寸齿形角（2）内齿轮1、齿廓是内凹的；2、内齿轮的齿根远大于齿顶圆；3、为了使内齿轮齿顶的全部为渐开线，则其齿顶圆必须大于基圆。§10-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动1.一对渐开线齿轮正确啮合的条件B1N2N1B2o1o2(b)B1N2N1B2'o1o2(a)B2'欲使两齿轮正确啮合，两轮的法向齿距必须相等。

一对渐开线齿轮，只要它们分度圆上的模数和压力角分别相等，就能正确啮合，并具有互换性。2.齿轮传动的中心距及啮合角1）保证两轮的齿侧间隙为零齿侧间隙：沿两齿轮节圆测量的间隙。法向齿侧间隙：沿两齿轮齿廓的公法线方向测量的间隙。（1）中心距正确安装没有齿侧间隙的渐开线标准齿轮时，它们的分度圆相切，节圆和分度圆重合，啮合角等于分度圆压力角。2）保证两轮的顶隙为标准值a=ra1+c+rf2=（r1+ha*m）+c*m+(r2-ha*m-c*m)=r1+r2=m(z1+z2)/2——标准中心距s1′=e1′=s2′=e2′=πm/2c1′=e2′-s1′=e1′-s2′=0节圆压力角恒等于啮合角。（2）啮合角啮合角α´节圆压力角a′=aα′=αa′>ar1′>r1，r2′>r2c′>0，c>c*mα′>α（3）齿轮的中心距与啮合角的关系一个齿轮看得见的圆：齿顶圆、齿根圆看不见的圆：基圆、分度圆大小确定的角：分度圆压力角一对齿轮看得见的圆：齿顶圆、齿根圆看不见的圆：基圆、分度圆、节圆角：分度圆压力角、啮合角（节圆压力角）(1)齿轮齿条传动的中心距为齿轮中心到齿条分度线的垂直距离。齿轮齿条传动也具有中心距可变性。

渐开线齿轮齿条传动的啮合特点r1rb1o1nnpkN1v2节线分度线(b)r1rb1o1nnpkN1v2节线(分度线)(a)r1rb1o1nnpkN1v2节线分度线(b)r1rb1o1nnpkN1v2节线(分度线)(a)(2)齿廓公法线为一固定直线nn，与中心线的交点为固定点P（节点）。啮合时齿轮节圆与分度圆始终重合，但齿条的节线与分度线位置随中心距的变化而不同。r1rb1o1nnpkN1v2节线分度线(b)r1rb1o1nnpkN1v2节线(分度线)(a)(3)齿轮齿条传动时无论中心距增大还是减小，其啮合角始终不变，且数值上等于齿条齿廓的齿形角。始终等于齿轮的分度圆压力角。

(4)齿条移动的速度为v2=ω1r13、一对轮齿的啮合过程及连续传动条件一对轮齿在啮合线上啮合的起始点——从动轮2的齿顶圆与啮合线N1N2的交点B2一对轮齿在啮合线上啮合的终止点——主动轮的齿顶圆与啮合线N1N2的交点B1。实际啮合线——线段B1B2理论啮合线——线段N1N2o2

o1

1

2

N1

B2

B1

N2

ra2

rb2

rb1

ra1

动画N2N1B1B2(a)1B1B2<Pb1(b)N1B2B1N2B1B2=PbN2B1B2(c)N11B1B2>Pb为保证传动的连续性，必须使实际啮合线大于至少等于基圆齿距。或重合度重合度与模数无关，随着齿数的增多而增大，随啮合角的减小和齿顶高系数的增大而增大。在直齿圆柱齿轮中

εmax=1.981。重合度的物理意义1.45PbB1B2PbK双对齿啮合区双对齿啮合区单对齿啮合区二对齿啮合区长度K'Pb0.45Pb0.45Pb0.55Pbεα大——意味着什么(物理意义)？表示同时参加啮合的齿对数多或多对齿啮合所占的时间比例大。动画表明两齿轮在啮合过程中始终只有一对齿廓处于啮合状态。表明两齿轮在啮合过程中始终有两对齿廓处于啮合状态。表明两齿轮在转过一个基圆齿距的时间内，有35%的时间为两对齿啮合，65%的时间为一对齿啮合。表明两齿轮在转过一个基圆齿距的时间内，有11%的时间为三对齿啮合，89%的时间为两对齿啮合。1.齿廓切制的基本原理齿轮的加工方法：切制法、铸造法、热轧法、冲压法、电加工法等。从加工方法看：仿形法和范成法。1.1仿形法（成型法）特点：用与齿槽形状相同的成形刀具或模具将轮坯齿槽的材料去掉。切制方法：洗削法(盘型铣刀、指型铣刀、铣齿、）、冲压和拉削法（拉刀）。§10-6渐开线齿廓的切制原理与根切现象仿形法加工齿轮的特点不需要专用机床；齿型误差较大；分齿误差较大。用于9级以下精度的齿轮加工1.2范成法（包络法、展成法、共轭法）原理：利用轮齿啮合时齿廓曲线互为包络线的原理来加工齿廓，其中一个齿轮（或齿条）作为刀具，另一个齿轮则为被切齿轮毛坯，刀具相对于被切齿轮毛坯运动时，刀具齿廓即可切出被加工齿轮的齿廓。齿条插刀又称梳刀：齿型为基本齿廓加一段圆弧，用以加工出齿轮的齿根过渡曲线。刀具及其齿形刀顶线齿顶线中线刀根线C*mC*mhamham**齿轮插刀（插内齿插外齿）的形状与外齿轮相似，它不但能够加工外齿轮，还能加工内齿轮。齿轮滚刀（滚刀、滚直齿、滚斜齿）：滚齿法既可以加工直齿轮，又能很方便地加工出斜齿轮，它是齿轮加工中普遍应用的方法。磨齿优点：用一把插刀可以加工出m、α相同而齿数不同的各种齿轮(包括内齿轮)。

缺点：切削不连续，生产效率较低。优点：用一把滚刀可以加工出m、α相同而齿数不同的各种齿轮，切削连续，生产效率高。

缺点：不能加工内齿轮。切削运动及其它运动切削运动:刀具沿齿轮毛坯轴向的切齿运动。让刀运动：刀具返回时，为避免擦伤已加工出的齿廓，刀具有一后退的运动。（滚刀切削时没有该运动）进给运动：为了加工出全齿高，刀具沿齿轮毛坯径向的进给运动。范成运动：由机床传动系统所驱动使刀具与轮坯分别按所需的角速度作对滚运动。2.用范成法加工标准齿轮时齿条型刀具的位置1）标准齿轮切制

齿条刀中线与齿轮坯分度圆相切，并使它们之间保持纯滚动。这样切出的齿轮必为标准齿轮。刀顶线齿顶线

中线刀根线C*m

C*m

ham

ham

*

*

(ha*

+c)m

(ha+c)m

(ha+c*)m

ham

s

p2

m

分度圆中线m

*

*

*

*

*

2）变位齿轮切制齿条刀中线相对于被切齿轮分度圆可能有三种情况

齿条刀中线由切制标准齿轮的位置沿轮坯径向远离或靠近齿轮中心所移动的距离称为径向变位量xm（简称变位量），其中x称为径向变位系数（简称变位系数）。xm(中线)分度圆分度圆节线节线中线中线节线xm(1)齿条刀中线与轮坯分度圆相远离加工出的齿轮为正变位齿轮，用x>0表示正变位，切出的齿轮分度圆的齿厚s大于齿槽宽e，齿根高hf<(h*a+c*)m，齿顶高ha>h*am。分度圆分度圆(中线)节线节线中线中线xmxm分度圆分度圆(中线)节线节线中线中线xmxm（2）齿条刀中线与轮坯分度圆相割，加工出的齿轮为负变位齿轮，

x<0，s<e,ha<h*am,hf>(h*a+c*)m。运动条件被加工齿轮的齿数取决于刀具平移的速度和轮坯的角速度，而与刀具和轮坯的相对位置无关。刀具与轮坯的相对位置标准齿轮：L=r正变位齿轮：L>r负变位齿轮：L<rL-r=xm被加工齿轮的变位系数取决于刀具中线和轮坯中心的相对位置。齿廓根切——用范成法切制齿轮时，有时刀具会把轮齿根部已切制好的渐开线齿廓再切去一部分，这种现象称为齿廓根切。产生根切的原因

当刀具齿顶线与啮合线的交点超过啮合极限点N，刀具由位置Ⅱ继续移动时，便将根部已切制出的渐开线齿廓再切去一部分。齿轮根切现象3.渐开线齿廓的根切现象和标准齿轮不发生根切的最少齿数rrbpNB刀刃节线0齿顶线1B2Ⅱ动画根切产生原因证明基圆转过的弧长刀具的位移量当刀具的齿顶线超过了啮合线与基圆的切点N1时，就会产生根切现象。从啮合线上看，当时，就会产生根切现象。标准齿轮不发生根切时的最少齿数P

xm

节线分度线

ham

r

rb

N1

B2

o

*

1、减小齿顶高系数2、加大刀具压力角3、增大被加工齿轮的基圆半径4、使刀具远离轮坯中心√√避免发生根切现象的方法径向变位量§10-7变位齿轮概述2.变位齿轮的几何尺寸变位后齿厚及齿槽宽不同正变位齿轮的轮齿根部抗弯强度比标准齿轮大，负变位齿轮的轮齿根部抗弯强度则较小。负变位齿轮正变位齿轮标准齿轮分度圆为了保证轮齿顶部也有足够的强度，在设计正变位齿轮时，往往需要校核其顶圆齿厚。变位后齿顶高及齿根高不同负变位齿轮正变位齿轮标准齿轮分度圆

若用同一把齿条刀切出齿数相同的标准齿轮、正变位齿轮及负变位齿轮的轮齿，它们的齿廓是相同基圆上的渐开线（齿形一样），只是取渐开线的不同部位作为齿廓。变位前后分度圆及基圆大小是相同的正变位齿轮的齿面接触强度比标准齿轮大，负变位齿轮的接触强度最小。3.变位齿轮传动（1）变位齿轮的啮合传动1）变位齿轮传动的正确啮合条件2）变位齿轮传动的连续传动条件

3）变位齿轮传动的中心距应满足：两轮的侧隙为零和顶隙为标准值。无侧隙啮合方程(1)(2)ym=a′-a

y称为中心距变动系数

a″=r1+c+rf2=r1+(ha*+x1)m+c*m+r2-(ha*+c*-x2)m=a+(x1+x2)m两轮按无侧隙中心距a′=a+ym安装，而将两轮的齿顶高各减短△ym，以满足两轮作无侧隙啮合时，仍有标准顶隙的要求，于是两轮的全齿高将不再是标准值。△y=（x1+x2）-y齿顶高降低系数1.零传动（x1+x2=0）1）标准齿轮传动（x1=0，x2=0）α′=α，a′=a，y=0，分度圆与节圆重合，△y=0

z1>zmin，z2>zmin（2）变位齿轮传动类型及特点2）等变位齿轮传动（又称高度变位齿轮传动）x1=-x2≠0，‘=，a’=a，y=0，△y=0小齿轮取正变位，大齿轮取负变位，使大、小齿轮的承载能力得到调整，而是齿轮传动的承载能力和使用寿命有所提高。大、小齿轮的齿面磨损情况大致相等，使两轮的弯曲强度趋于相等。当z1+z2

2zmin时，可采用这种传动。缺点：（1）两轮必须成对设计、制造和使用。（2）重合度略有减少。（3）小齿轮容易变尖。（1）可以提高齿轮的承载能力和使用寿命。（2）减轻轮齿根部的磨损。（3）适当选择x1及x2，可以配凑给定的中心距。（4）可以减少齿轮机构的尺寸(当z1+z2<2zmin时用)。（5）当变位系数和较大时，必须校核其重合度和顶圆齿厚。（6）必须成对地设计制造和使用。2.正传动（x1+x2>0的传动）节圆大于分度圆正传动与标准齿轮传动相比有如下特点：′a′a△y0y03.负传动（x1+x2<0的传动）只有在a‘<a的场合才不得不用；此类传动一般不用；使用时，要使两轮不发生根切必须Z1+Z2>2Zmin，且必须保证齿轮有足够的承载能力和使用寿命。′<，a′<a，y<0，△y>0节圆与分度圆不重合，变位齿轮的应用凑中心距；修复旧齿轮；减小齿轮尺寸；提高齿轮弯曲疲劳强度。渐开线直齿圆柱齿轮齿面的形成A0

A

N

K

K

N

发生面基圆柱

当发生面沿基圆柱作纯滚动时，平行于齿轮的轴线的直线KK在空间的轨迹为直齿圆柱齿轮的齿面。§10-8斜齿圆柱齿轮传动o

一对直齿轮啮合时，沿整个齿宽同时进入啮合，并沿整个齿宽同时脱离啮合。因此传动平稳性差，冲击噪声大，不适于高速传动。

渐开线斜齿圆柱齿轮齿面的形成与基圆柱母线成一夹角b的直线KK在空间的轨迹则为斜齿圆柱齿轮的渐开螺旋面。A

0

A

N

b

K

K

N

发生面基圆柱

渐开线螺旋面基圆螺旋角

斜齿轮的齿廓曲面与其分度圆柱面相交的螺旋线的切线与齿轮轴线之间所夹的锐角称为斜齿分度圆柱的螺旋角。一对斜齿轮啮合时，齿面上的接触线由短变长，再由长变短，减少了传动时的冲击和噪音，提高了传动平稳性，故斜齿轮适用于重载高速传动。

o

法面参数（下角标为n):在垂直于轮齿方向的截面内定义。端面参数（下角标为t):在垂直于齿轮回转轴线的截面内定义。轴面参数（下角标为x):在通过齿轮回转轴线的截面内定义。斜齿轮的法面参数与刀具参数相同，为标准值。斜齿轮的端面参数用于几何计算。1.斜齿轮的基本参数与几何尺寸计算法面模数mn与端面模数mt法面压力角αn与端面压力角αtptPnaa'ctnbb'(b)齿顶高系数和顶隙系数斜齿轮传动的几何尺寸在斜齿轮传动中，可以用改变螺旋角的办法来改变斜齿轮机构的标准中心距，以达到配凑中心距的目的，而不一定采用变位的办法。2.一对斜齿圆柱齿轮的啮合传动（1）一对斜齿轮传动的正确啮合条件或或或（外）（内）斜齿轮传动的重合度总重合度端面重合度纵向重合度B1B1B2B2B1B'1B2B2bBB'1B1B'2（2）斜齿轮传动的重合度动画当量齿轮：与斜齿轮法面齿形相当的直齿轮。当量齿轮的齿数称为斜齿轮的当量齿数，用zv表示。bcanndc3.斜齿圆柱齿轮的当量齿轮和当量齿数斜齿标准齿轮不发生根切得最少齿数动画当量齿轮的用途仿形法加工斜齿轮时，选择铣刀；弯曲疲劳强度计算。选择变位系数及测量齿厚1）啮合性能好；2）重合度较大，承载能力较高；3）斜齿轮不产生根切的最少齿数比直齿轮少；4）斜齿轮的制造成本及所用的机床和刀具均与直齿轮相同；5）斜齿轮要产生轴向力，使轴系支承结构复杂。斜齿轮:人字齿轮:4.斜齿轮传动主要的优缺点FaFt圆锥齿轮取大端上的参数为标准值轴交角：一对圆锥齿轮两轴线间的夹角。一般机械中∑=90°直齿圆锥齿轮传动中有五对圆锥：分度圆锥、齿顶圆锥、齿根圆锥、基圆锥、节