高中数学高考大联考大联考 2023届湖南省三湘名校教育联盟高考第三次大联考数学试卷

2023年湖南省三湘名校教育联盟高考数学第三次大联考试卷一、选择题（共8小题）.1．已知U为全集，非空集合A，B满足A∩（∁UB）≠∅，则下列正确的是（）A．A∩B＝∅ B．A⊆B C．B⊆A D．（∁UA）∩B≠∅2．已知复数z满足z（1﹣i）＝1+2i，则1+在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列选项中的两个条件是互为充要条件的是（）A．P：a＝1；Q：函数f（x）＝x2﹣（1﹣a2）x+3是偶函数 B．在△ABC中，P：△ABC是等边三角形；Q：sinA＝sinB＝sinC C．P：数列{an}的前n项和Sn＝2n2﹣3n+1；Q：数列{an}是公差为2的等差数列 D．P：实数x＞1；Q：x+≥24．九龙壁是中国古代建筑的特色，是帝王贵族出入的宫殿或者王府的正门对面，是权力的象征，做工十分精美，艺术和历史价值很高．九龙壁中九条蟠龙各居神态，正中间即第五条为正居之龙，两侧分别是降沉之龙和升腾之龙间隔排开，其中升腾之龙位居阳位，即第1，3，7，9位，沉降之龙位居2，4，6，8位．某工匠自己雕刻一九龙壁模型，为了增加模型的种类但又不改变升腾之龙居阳位和沉降之龙的位置，只能调换四条升腾之龙的相对位置和四条沉降之龙的相对位置．则不同的雕刻模型有多少种（）A．A B．2A C．A D．A•A5．函数f（x）＝﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，k]，k∈Z B．[kπ+，kπ+]，k∈Z C．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+]，k∈Z6．已知直线l被双曲线C：﹣y2＝1所截得的弦的中点坐标为（1，2），则直线l的方程（）A．x+4y﹣9＝0 B．x﹣4y+7＝0 C．x﹣8y+15＝0 D．x+8y﹣17＝07．目前我国对于轻型汽车将“国六标准”分为“国六A“和“国六B”两个阶段，并计划于2023年在全国统一实施．国六标准即“国家第六阶段机动车污染物排放标准”，是为了贯彻环境保护相关法律．减少并防止汽车排气对环境的污染，保护生态环境，保证人体健康而制定的．某国有汽车品牌努力研发轻型燃油汽车性能，对旗下生产的三款汽车在不同速度下燃油效率性能检测如图（“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程）．下列叙述中正确的是（）排放物国六A国六B一氧化碳700（mg/km）500（mg/km）非甲烷烃68（mg/km）35（mg/km）氮氧化物60（mg/km）35（mg/km）PM细颗粒物（mg/km）3（mg/km）PN颗粒物6×1011颗/km6×1011颗/kmA．国六B阶段比国六A阶段对PN颗粒物排放量要求减少 B．以相同速度行驶时，甲车每小时消耗汽油最少 C．乙车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗汽油不到10升 D．甲车以80千米/小时的速度行驶1km需要消耗汽油约10升8．已知连续型随机变量Xi～N（ui，σi2）（i＝1，2，3），其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是（）A．P（X1≤μ2）＜P（X2≤μ1） B．P（X2≥μ2）＞P（X3≥μ3） C．P（X1≤μ2）＜P（X2≤μ3） D．P（μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi）＝P（μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1）（i＝1，2）二、选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝b＝3，B＝2C，则下列结论正确的是（）A．sinC＝ B．a＝ C．a＝c D．S△ABC＝210．数列{an}为等比数列，公比为q＞1，其前n项和为Sn，若a5﹣a1＝15，a2•a4＝16，则下列说法正确的是（）A．Sn+1＝2Sn+1 B．an＝2n C．数列{log3（Sn+1）}是等比数列 D．对任意的正整数k（k为常数），数列{log2（Sn+k﹣Sn）}是公差为1的等差数列11．已知向量＝（1，sinθ），＝（cosθ，）（0≤θ≤π），则下列命题正确的是（）A．与可能平行 B．存在θ，使得||＝|| C．当•＝时，sinθ＝ D．当tanθ＝﹣时，与垂直12．已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足对任意的x∈R，都有f（﹣x）＝f（x+1）．当0≤x≤时，f（x）＝log2（1+x），则下列说法正确的是（）A．f（x）的周期为2 B．若i∈N*，则f（i）＝0 C．点（﹣1，0）为f（x）的一个对称中心 D．f（）＝log2（）1011三、填空题（共4小题）.13．从古至今，奇门遁甲，五行八卦等，称之为玄学，它充满了神秘色彩，人们常说“无极生太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．八卦是由，组合而成，八卦中的阳爻和阴爻与计算机数制“二进制”中的1和0分别对应，例如在二进制下“101011”表示的“十进制”数为1×25+0×24+1×23+0×22+1×2+1×20＝43，在八卦中乾卦代表的二进制数“111111”表示十进制数63，坤卦代表的二进制数“00000”表示的十进制数为0，据此，离卦表示的十进制数字为．14．已知过点（0，﹣4）且倾斜角的余弦值为的直线方程为，若该直线与抛物线x2＝2py（p＞0）只有一个公共点，则抛物线的准线方程为．15．“开车不喝酒，喝酒不开车”，为了营造良好的交通秩序，全国各地交警都大力宣传和查处“酒驾行为”．某地交警在设卡查处“酒驾行为”时碰到甲、乙、丙三位司机，司机甲说：我喝酒了．司机乙说：我没有喝酒．司机丙说：甲没有喝酒．若这三位司机身上都有酒味，但只有一人真正喝酒了，三人中只有一人说的是真话，请你在不使用酒精测试仪的情况下，帮助交警判定出真正喝酒的人是．16．已知点P是等边△ABC外一点，且点P在△ABC所在平面内的射影恰好在边BC上，若△ABC的边长为2，三棱锥P﹣ABC的外接球体积为4，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝1，从以下三个条件中任选其中一个①S15＝120；②a5+a7＝12；③﹣＝．（1）求公差d及{an}的通项公式；（2）求Tn＝．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA＝．（1）若a＝，c＝，求b的值；（2）若角A的平分线交BC于点D，＝，a＝2，求△ACD的面积．19．2023年5月27日，中央文明办明确规定，在2023年全国文明城市测评指标中不将马路市场、流动商贩列为文明城市测评考核内容．6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．其中套圈游戏凭借其趣味性和挑战性深受广大市民的欢迎．现有甲、乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点A，B两点处进行套圈，已知甲在A，B两点的命中率均为，乙在A点的命中率为1﹣p（0＜p≤），在B点的命中率为1﹣2p，且他们每次套圈互不影响．（1）若甲在A处套圈3次，求甲至多命中1次的概率；（2）若甲和乙每人在A，B两点各套圈一次，且在A点命中计2分，在B点命中计3分，未命中则计0分，设甲的得分为X，乙的得分为Y，写出X和Y的分布列和期望；（3）在（2）的条件下，若EX＞EY，求p的范围．20．如图所示，△ABC是等边三角形，DE∥AC，DF∥BC，二面角D﹣AC﹣B为直二面角，AC＝CD＝AD＝DE＝2DF＝2．（1）求证：EF⊥BC；（2）求平面ACDE与平面BEF所成锐二面角的正切值．21．已知函数f（x）满足xf（x）﹣xlnx﹣2a＝0（a∈R）恒成立．（1）分析函数f（x）的单调性；（2）若g（x）＝+，证明：当a≥时，f（x）＞g（x）．22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，F1，F2分别为左、右焦点，点T在椭圆上，△TF1F2的面积最大为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）椭圆C的左、右顶点分别为A，B．过定点（1，0）且斜率不为0的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线AP和直线BQ相交于椭圆C外一点M，求证：点M的轨迹为定直线．

参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知U为全集，非空集合A，B满足A∩（∁UB）≠∅，则下列正确的是（）A．A∩B＝∅ B．A⊆B C．B⊆A D．（∁UA）∩B≠∅解：因为U为全集，非空集合A，B满足A∩（∁UB）≠∅，所以A∩B≠∅，选项A正确；A⊆B，选项B正确；B⊆A时，A∩（∁UB）＝∅，所以选项C错误；（∁UA）∩B≠∅时，B⊆A，由选项C知D错误．故选：B．2．已知复数z满足z（1﹣i）＝1+2i，则1+在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：因为z（1﹣i）＝1+2i，所以z＝＝＝，所以1+＝1﹣＝在复平面内对应的点在第四象限．故选：D．3．下列选项中的两个条件是互为充要条件的是（）A．P：a＝1；Q：函数f（x）＝x2﹣（1﹣a2）x+3是偶函数 B．在△ABC中，P：△ABC是等边三角形；Q：sinA＝sinB＝sinC C．P：数列{an}的前n项和Sn＝2n2﹣3n+1；Q：数列{an}是公差为2的等差数列 D．P：实数x＞1；Q：x+≥2解：选项A，当a＝1时，函数f（x）＝x2﹣（1﹣a2）x+3是偶函数，但函数f（x）＝x2﹣（1﹣a2）x+3是偶函数，可得a＝±1，故P是Q的充分不必要条件；选项B，在△ABC中，△ABC是等边三角形可得sinA＝sinB＝sinC，当sinA＝sinB＝sinC时，△ABC是等边三角形，所以P和Q互为充要条件；选项C，数列{an}的前n项和Sn＝2n2﹣3n+1，可得数列不是等差数列，当数列{an}是公差为2的等差数列时，因为不知道首项，所以数列{an}的前n项和Sn不确定，所以P是Q的既不充分也不必要条件；选项D，因为x＞1，所以x+＞2，可以推出x+≥2，但是当x+≥2时，可得x＞0，不能推出x＞1，所以P是Q的充分不必要条件．故选：B．4．九龙壁是中国古代建筑的特色，是帝王贵族出入的宫殿或者王府的正门对面，是权力的象征，做工十分精美，艺术和历史价值很高．九龙壁中九条蟠龙各居神态，正中间即第五条为正居之龙，两侧分别是降沉之龙和升腾之龙间隔排开，其中升腾之龙位居阳位，即第1，3，7，9位，沉降之龙位居2，4，6，8位．某工匠自己雕刻一九龙壁模型，为了增加模型的种类但又不改变升腾之龙居阳位和沉降之龙的位置，只能调换四条升腾之龙的相对位置和四条沉降之龙的相对位置．则不同的雕刻模型有多少种（）A．A B．2A C．A D．A•A解：由题设可知：四条升腾之龙的相对位置有调换方法，四条沉降之龙的相对位置有调换方法，∴不同的雕刻模型共有•种，故选：D．5．函数f（x）＝﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，k]，k∈Z B．[kπ+，kπ+]，k∈Z C．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+]，k∈Z解：由图象知，，∴T＝π，∴，ω＝2，∴过点，∴，，且|φ|＜π，∴，∴，当，即（k∈Z）时，函数单调递增，∴f（x）的单调递增区间为，∴f（x）的单调递增区间为．故选：A．6．已知直线l被双曲线C：﹣y2＝1所截得的弦的中点坐标为（1，2），则直线l的方程（）A．x+4y﹣9＝0 B．x﹣4y+7＝0 C．x﹣8y+15＝0 D．x+8y﹣17＝0解：设P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），∵线段PQ的中点为（1，2），∴x1+x2＝2，y1+y2＝4，∵﹣＝1，﹣＝1，∴﹣（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，整理得＝，即直线l的斜率为，故直线l的方程为y﹣2＝（x﹣1），即x﹣8y+15＝0，故选：C．7．目前我国对于轻型汽车将“国六标准”分为“国六A“和“国六B”两个阶段，并计划于2023年在全国统一实施．国六标准即“国家第六阶段机动车污染物排放标准”，是为了贯彻环境保护相关法律．减少并防止汽车排气对环境的污染，保护生态环境，保证人体健康而制定的．某国有汽车品牌努力研发轻型燃油汽车性能，对旗下生产的三款汽车在不同速度下燃油效率性能检测如图（“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程）．下列叙述中正确的是（）排放物国六A国六B一氧化碳700（mg/km）500（mg/km）非甲烷烃68（mg/km）35（mg/km）氮氧化物60（mg/km）35（mg/km）PM细颗粒物（mg/km）3（mg/km）PN颗粒物6×1011颗/km6×1011颗/kmA．国六B阶段比国六A阶段对PN颗粒物排放量要求减少 B．以相同速度行驶时，甲车每小时消耗汽油最少 C．乙车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗汽油不到10升 D．甲车以80千米/小时的速度行驶1km需要消耗汽油约10升解：对于A，国六B阶段比国六A阶段对PN颗粒物排放量要求相同，故A错误；对于B，三款车无论以什么样的相同速度行驶，甲车消耗汽油最少，故B正确；对于C，由图象可知，乙车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗汽油超过10升，故C错误；对于D，甲车以80千米/小时的速度行驶10km需要消耗汽油约1升，故D错误．故选：B．8．已知连续型随机变量Xi～N（ui，σi2）（i＝1，2，3），其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是（）A．P（X1≤μ2）＜P（X2≤μ1） B．P（X2≥μ2）＞P（X3≥μ3） C．P（X1≤μ2）＜P（X2≤μ3） D．P（μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi）＝P（μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1）（i＝1，2）解：对于A：P（X1≤μ2）是正态分布密度函数在第二条虚线左侧与x轴围成的部分，P（X2≤μ1）是正态分布密度函数在第一条虚线左侧与x轴围成的部分，故由图象可知P（X1≤μ2）＞P（X2≤μ1），故A错误；对于B：P（X2≥μ2）＝，P（X3≥μ3）＝，则P（X2≥μ2）＝P（X3≥μ3），故B错误；对于C：P（X1≤μ2）＞P（X2≤μ3），故C错误；对于D：由于概率表示曲线和x轴围成的部分，与是i还是i+1无关，故P（μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi）＝P（μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1）（i＝1，2）成立，故D正确．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝b＝3，B＝2C，则下列结论正确的是（）A．sinC＝ B．a＝ C．a＝c D．S△ABC＝2解：∵B＝2C，∴sinB＝sin2C＝2sinCcosC，由正弦定理知，＝，∵c＝b，∴cosC＝，sinC＝＝，即选项A正确；由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab•cosC，∴9＝a2+﹣2a•（2）•，即a2﹣4a+3＝0，解得a＝3或a＝1，若a＝3，则A＝C＝，此时cosC＝，与题意不符，∴a＝1＝，即选项B正确，选项C错误；△ABC的面积S△ABC＝ab•sinC＝×1××＝，即选项D错误．故选：AB．10．数列{an}为等比数列，公比为q＞1，其前n项和为Sn，若a5﹣a1＝15，a2•a4＝16，则下列说法正确的是（）A．Sn+1＝2Sn+1 B．an＝2n C．数列{log3（Sn+1）}是等比数列 D．对任意的正整数k（k为常数），数列{log2（Sn+k﹣Sn）}是公差为1的等差数列解：因为公比为q＞1，由可得，即＝，所以4q4﹣15q2﹣4＝0，解得q2＝4，所以，所以an＝2n﹣1，Sn＝2n﹣1，所以Sn+1＝2n+1﹣1＝2Sn+1，Sn+1＝2n，所以log3（Sn+1）＝nlog32，所以数列{log3（Sn+1）}是等差数列，对任意的正整数n，k，Sn+k﹣Sn＝2n+k﹣2n＝（2k﹣1）2n，所以数列log2（Sn+k﹣Sn）＝n+log2（2k﹣1），所以数列{log2（Sn+k﹣Sn）}是公差为1的等差数列，故正确的为AD．故选：AD．11．已知向量＝（1，sinθ），＝（cosθ，）（0≤θ≤π），则下列命题正确的是（）A．与可能平行 B．存在θ，使得||＝|| C．当•＝时，sinθ＝ D．当tanθ＝﹣时，与垂直解：若与平行，则sinθcosθ＝，即sin2θ＝2不成立，即与不可能平行，故A错误，若||＝||，则＝得1+sin2θ＝cos2θ+2，即cos2θ﹣sin2θ＝cos2θ＝1，此时θ存在，故B正确，若•＝，则cosθ+sinθ＝（cosθ+sinθ），设sinφ＝，cosφ＝，则cosθ+sinθ＝sin（θ+φ）＝，则sin（θ+φ）＝1，即θ+φ＝2kπ+，∵0≤θ≤π，∴k＝0时，θ＝﹣φ，则sinθ＝cosφ＝＝，故C正确，当tanθ＝﹣时，则sinθ＝﹣cosθ，则•＝cosθ+sinθ＝cosθ+×（﹣cosθ）＝cosθ﹣cosθ＝0，则与垂直成立，故D正确，故选：BCD．12．已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足对任意的x∈R，都有f（﹣x）＝f（x+1）．当0≤x≤时，f（x）＝log2（1+x），则下列说法正确的是（）A．f（x）的周期为2 B．若i∈N*，则f（i）＝0 C．点（﹣1，0）为f（x）的一个对称中心 D．f（）＝log2（）1011解：对于A，因为对任意的x∈R，都有f（﹣x）＝f（x+1），所以f（x）关于x＝对称，又因为f（x）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以，f（x）＝﹣f（x+1）＝﹣（﹣f（x+1+1））＝f（x+2），于是f（x）的周期为2，所以A对；对于B，因为f（1）＝f（0）＝0，f（2）＝f（0）＝0，所以当i∈N*时，f（i）＝0，所以f（i）＝0，所以B对；对于C，因为f（﹣2﹣x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以点（﹣1，0）为f（x）的一个对称中心，所以C对；对于D，当i＝2k时，f（）＝f（k）＝0，当i＝4k+1时，f（）＝f（2k+）＝f（），当i＝4k+3时，f（）＝f（2k+）＝f（1+）＝f（﹣）＝﹣f（），所以f（）＝f（）＝log2（）≠log2（）1011，所以D错．故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．从古至今，奇门遁甲，五行八卦等，称之为玄学，它充满了神秘色彩，人们常说“无极生太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．八卦是由，组合而成，八卦中的阳爻和阴爻与计算机数制“二进制”中的1和0分别对应，例如在二进制下“101011”表示的“十进制”数为1×25+0×24+1×23+0×22+1×2+1×20＝43，在八卦中乾卦代表的二进制数“111111”表示十进制数63，坤卦代表的二进制数“00000”表示的十进制数为0，据此，离卦表示的十进制数字为45．解：由题意，离卦表示的二进制数是101101，对应的十进制数的计算为1×25+0×24+1×23+1×22+0×2+1×20＝45．故答案为：45．14．已知过点（0，﹣4）且倾斜角的余弦值为的直线方程为y＝2x﹣4，若该直线与抛物线x2＝2py（p＞0）只有一个公共点，则抛物线的准线方程为y＝﹣1．解：由直线的倾斜角的余弦值为可得直线的正切值为2，即直线的斜率为2，又过（0，﹣4），所以直线的方程为：y＝2x﹣4，联立，整理可得：x2﹣4px+8p＝0，由直线与抛物线相切，所以△＝0，即△＝16p2﹣4×8p＝0，解得p＝2，所以准线方程为：y＝﹣＝﹣1，故答案为：y＝2x﹣4，﹣1．15．“开车不喝酒，喝酒不开车”，为了营造良好的交通秩序，全国各地交警都大力宣传和查处“酒驾行为”．某地交警在设卡查处“酒驾行为”时碰到甲、乙、丙三位司机，司机甲说：我喝酒了．司机乙说：我没有喝酒．司机丙说：甲没有喝酒．若这三位司机身上都有酒味，但只有一人真正喝酒了，三人中只有一人说的是真话，请你在不使用酒精测试仪的情况下，帮助交警判定出真正喝酒的人是乙．解：因为只有一人真正喝酒了，三人中只有一人说的是真话，若果甲说的是真话，那么乙说也是真话，与只有一人说的是真话相矛盾，故甲说的是假话，即甲没有喝酒是真的，则丙说的是真话，那么乙说的就是假话，则乙喝酒了，故答案为：乙．16．已知点P是等边△ABC外一点，且点P在△ABC所在平面内的射影恰好在边BC上，若△ABC的边长为2，三棱锥P﹣ABC的外接球体积为4，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为．解：如图，点P在过直线PC与平面ABC垂直的球的小圆面的圆周上，当点P在平面ABC的射影为BC中点时，三棱锥P﹣ABC体积最大，设等边三角形ABC的中心为O1，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O上，球O的体积为4，∴外接球的半径r＝，∵△ABC的边长为2，点P在△ABC所在平面内的射影恰好在边BC上，设为D，过O作OE⊥PD，垂足为E，垂足为E，依题意可得，，∴PE＝，，又，PD＝，∴三棱锥P﹣ABC体积的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝1，从以下三个条件中任选其中一个①S15＝120；②a5+a7＝12；③﹣＝．（1）求公差d及{an}的通项公式；（2）求Tn＝．【解答】（1）若选条件①：∵S15＝120＝＝15a8，∴a8＝8，又a1＝1，∴d＝＝1，an＝n；若选条件②：由a5+a7＝12可得：a6＝6，又a1＝1，∴d＝＝1，an＝n；若选条件③：由﹣＝可得：﹣＝＝，解得：d＝1，∴an＝n；（2）由（1）可得：Sn＝，∴＝＝2（﹣），∴Tn＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝2（1﹣）＝．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA＝．（1）若a＝，c＝，求b的值；（2）若角A的平分线交BC于点D，＝，a＝2，求△ACD的面积．解：（1）因为tanA＝，所以cosA＝，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝7，即b2﹣3b﹣4＝0，解得b＝4或b＝﹣1（舍），（2）因为＝，所以＝，因为∠CAD＝∠BAD，所以＝，因为a＝2，由余弦定理得，故c2＝，所以S△ABC＝＝＝，△ACD的面积S△ACD＝＝＝．19．2023年5月27日，中央文明办明确规定，在2023年全国文明城市测评指标中不将马路市场、流动商贩列为文明城市测评考核内容．6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．其中套圈游戏凭借其趣味性和挑战性深受广大市民的欢迎．现有甲、乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点A，B两点处进行套圈，已知甲在A，B两点的命中率均为，乙在A点的命中率为1﹣p（0＜p≤），在B点的命中率为1﹣2p，且他们每次套圈互不影响．（1）若甲在A处套圈3次，求甲至多命中1次的概率；（2）若甲和乙每人在A，B两点各套圈一次，且在A点命中计2分，在B点命中计3分，未命中则计0分，设甲的得分为X，乙的得分为Y，写出X和Y的分布列和期望；（3）在（2）的条件下，若EX＞EY，求p的范围．解：（1）设“甲至多命中1次”为事件C，则P（C）＝•+＝，故甲至多命中1次的概率为．（2）由题意知，X＝0，2，3，5，Y＝0，2，3，5，P（X＝0）＝＝，P（X＝2）＝P（X＝3）＝＝，P（X＝5）＝＝，P（Y＝0）＝[1﹣（1﹣p）][1﹣（1﹣2p）]＝2p2，P（Y＝2）＝（1﹣p）[1﹣（1﹣2p）]＝2p﹣2p2，P（Y＝3）＝[1﹣（1﹣p）]（1﹣2p）＝p﹣2p2，P（Y＝5）＝（1﹣p）（1﹣2p）＝2p2﹣3p+1，∴X的分布列为X0235PY的分布列为X0235P2p22p﹣2p2p﹣2p22p2﹣3p+1∴E（X）＝0×+2×+3×+5×＝，E（Y）＝0×2p2+2×（2p﹣2p2）+3×（p﹣2p2）+5×（2p2﹣3p+1）＝5﹣8p．（3）∵EX＞EY，∴＞5﹣8p，即p＞，∴p的取值范围是（，]．20．如图所示，△ABC是等边三角形，DE∥AC，DF∥BC，二面角D﹣AC﹣B为直二面角，