印度与阿拉伯数学

3来自东方的继承者与传播者

——印度与阿拉伯的数学

印度的数学阿拉伯的数学印度的数学史前时期：公元前2300年前哈拉帕文化：前2300-前1750年，印度河流域出现早期国家早期吠陀时代：前1500-前900年，雅利安人侵入印度后期吠陀时代：前900-前600年，雅利安人的国家形成，婆罗门教形成列国时代：前6-前4世纪，摩揭陀国在恒河流域中部称霸，开始走上统一北印度的道路，佛教产生帝国时代：前4-公元4世纪，从孔雀王朝到贵霜帝国古印度简况强盛独立的王朝[孔雀王朝（前324－前187），笈多王朝（公元320－540）]、外族几乎不断的侵扰、文化受到宗教的影响婆罗门教起源于公元前2000年的吠陀教，形成于前7世纪，鼎盛于前6－4世纪。

4世纪后，婆罗门教开始衰弱。

8、9世纪，婆罗门教逐渐发展成为印度教。印度教与婆罗门教没有本质区别，都信奉梵天、毗湿奴、湿婆三大神，主张善恶有报、人生轮回，只有达到“梵我同一”方可获得解脱，修成正果。3.1印度的数学婆罗门教、印度教的创造神梵天在这样复杂的历史条件下，科学的发展在各时期不同程度地受到政治动乱的抑制，但自古以来数学始终是很受重视的科目．相传，佛祖悉达多·乔达摩(即释迦牟尼，公元前623—前544)幼时受传统的婆罗门教育，用八年时间专门学习语文和数学．在印度,数学的发展始终与天文学联系在一起．数学著作大都是天文学著作中的某些篇章．最早的数学著作《绳法经》(S．ulvasūtras)出现在吠陀时代，它包含在古代婆罗门教的经典中，专讲祭祀礼仪，其中包含毕达哥拉斯定理等数学知识

3.1印度的数学关外西天取经第一人比唐玄奘早209年北燕僧人昙无竭，于公元420年招集同志沙门25人，从龙城出发，远赴印度，取回《观世音受记经》一部，译成汉文，收录在《大藏经》内，广为传诵。据考证，昙无竭是继法显之后我国最早西行求法僧人之一，堪称关外西天取经第一人，比唐僧玄奘西天取经还要早209年。有关昙无竭是关外西天取经第一人的信息，来自于南北朝时期慧皎和尚编写的一部史书《高僧传》，书中有关于昙无竭西天取经的文字记载。昙无竭，本姓李，朝阳人，大概生于后燕时期，10来岁就出家到寺庙当沙弥，修炼苦行，遵守戒律，念诵佛经，受到法师和众僧的器重。昙无竭常慨叹佛经残缺不全，听说僧人法显等从古印度取回真经，下定决心亲赴西天取经。公元420年，昙无竭招集志同道合的和尚僧猛、昙朗等25人，从燕都龙城出发，向西天行进。他们在中国境内的西行路线大致为：龙城——今青海湖一带——今甘肃省河西走廊——今新疆吐鲁番东——塔里木盆地北缘，途经今新疆喀什一带，攀登了帕米尔高原和昆仑山等山脉。面对飞鸟难越的雪山、湍急的河水，以及两山之间以绳索为桥渡河的险境，昙无竭一行25人没有停止西行的脚步，他们分3次过河，又用一整天翻越雪山。过完雪山，同行25人竟然有12人半途坠崖而死。为取得真经，昙无竭在天竺各地礼拜佛陀圣迹，寻访名师，学习梵文经典数年后，从南天竺搭乘商船，漂印度洋，过南海，一行5人安全到达广州。回国后，昙无竭住在江南某寺，弘扬佛法，直至去世。公元500年以后，印度数学获得了较大的发展，印度数学的成就在世界数学史上占有重要地位．许多数学知识由印度经阿拉伯国家传入欧洲，促进了欧洲中古时期数学的发展．

希腊人和印度人发展数学的道路在许多方面都不相同．希腊数学遵循着严格的逻辑叙述，所以几何学获得了重大的发展．印度人则相反，不去求得严格的证明，而主要是发展实用的数学，因此算术、代数和三角具有优势．

在5至16世纪，印度出现了许多著名的天文学家兼数学家和一批杰出的著作．这些著作都是用印度的宗教和官方语言梵文写的，就象伊斯兰国家中的阿拉伯语和中世纪西欧的拉丁语一样．印度数学著作的最大特点是叙述得过于简练，命题或定理的证明常被省略．运算法则的表述也极简短，又常常以诗歌形式出现，再加上浓厚的宗教色彩，致使这些著作更加晦涩难读．

3.1.1印度的算术十进位值制记数法的使用和印度-阿拉伯数码的出现，不仅在数学史上，而且在全人类文化史上都具有十分重要的意义．

在十进位制记数系统产生以前，在印度出现过各种不同的数字和记数法，有些地区使用的数字保持到很晚，现在很难研究出它们之间的承袭关系．从公元前4世纪到公元3世纪，在现今的东阿富汗地区和旁遮普北部风行所谓的音节数字与当时的古印度音节文字有关．这可能是一种十进位值制系统．数字1，4，10，20和100用特殊记号表示，其它数由加性原则写出，数字从右往左书写．在印度的各种数字系统中，至少从公元前2世纪起，数字1，2，…，9就存在单独的符号，这些特殊符号的存在是产生十进位值制记数法的基础．单位1出现在表示单数事物如“太阳”、“月亮”的词语中；而数字2出现在“双生子”，“眼睛”，“手”这类词语中；数字5出现在“感官”(即五官)，“手掌”中等等．数字的书写是从低位向高位，古印度历数书中的天文表就这样表示数字，缺位时用特殊符号标出阿耶波多Ⅰ的著作中用音节表示数字，完全没有位值制的特点．每一个数k·10n(k＝1，2，…，9；n＝0，1，2，…)都被特殊音节所代替，丰富的梵文字母能够给充分大的数字命名．但是，他的学生——婆什迦罗Ⅰ(BhāskaraⅠ，629)却改进了这种记数法，使数字的音节具有位值性，他还引进了表示空位的音节．大约在6世纪上半叶改变了数字中数位的书写顺序，开始从高位向低位书写，这可能是受希腊人的影响．位值制记数原则包含这样三个因素：1．每一位数都由该数位单位乘以相应的数字；2．省略每个数位单位的符号；3．用确定的符号(零号)表示任何数位上的空缺．所有这些因素在印度首先是局部地、口头地应用，然后过渡到广泛地、文字上的普及．不晚于6世纪，在印度产生了新的、整数的十进位值制记数法，即用九个数字和表示零的小圆圈可以写出任何数字，每个位置上的数字有明确意义，同一个数字在不同位置上则代表不同数值．7世纪中叶，印度的记数法开始向西方传播．8世纪末，这种记数法传入巴格达哈利发的宫廷中，印度数字经阿拉伯人的改进传入欧洲后就被称为印度—阿拉伯数字了．

带有数字0的运算是位值制系统计算的重要内容．印度人不仅仅把0看作是“一无所有”或空位，而且把0看成是一个数．这是印度算术的一大贡献．这种看法在3世纪时已经出现．在天文学家瓦拉哈米希拉的著作中．瓦拉哈米希拉(Varāha－Mihira)是6世纪著名学者．他通晓哲学、天文学和数学，是《五大历数全书汇编》的作者．此书是希腊、埃及、罗马和印度天文学的一部提要，最重要的一部分是《太阳的知识》．(SūryaSiddhānta)．其内容并不是有关太阳的知识，而是由太阳神传授的知识，具有神话色彩．另外还包括四部历数书．这部著作的计算图表是以希腊算法和亚历山大算法为基础推算的一个多世纪以后，婆罗门笈多在他的著作中有比较完整的叙述：“负数减去零是负数，正数减去零是正数，零减去零还是零；零乘正数、负数或零都是零．……零除以零空无一物，正数或负数除以零是一个以零为分母的数．”最后一种情形没有进一步说明．婆什迦罗Ⅱ把a÷0称为Khahara，与无穷大有相似的含义．分数四则运算在印度算术中，分数也有较完整的理论．分数的写法与中国古代算筹分数记法一样，分子在上，分母在下，没有分数线．若是带分数，则整数部分又写在分子之上．例如

最早的印度数学家：阿耶波多（476－约550年）

499年《阿耶波多历数书》(圣使天文书)“阿耶波多号”人造卫星（印度，1975）“悉檀多”时代：以计算为中心的实用数学

建立了丢番图方程求解的“库塔卡”法3.1.2印度的代数

零的运算法则

婆什迦罗Ⅱ（1114－1188年）

古印度数学最高成就《天文系统之冠》（1150年）“婆什迦罗号”人造卫星（1979）

《莉拉沃蒂》、《算法本源》

带着微笑眼睛的美丽少女，请你告诉我，按照你理解的正确反演法，什么数乘以3，加上这个乘积的3/4，然后除以7，减去此商的1/3，自乘，减去52，取平方根，加上8，除以10，得2？

3.1.2印度的代数印度人对代数学作出了重大贡献.他们用缩写文字和一些记号来描述运算.加法不用记号，被减数上面加个点表示减法.已知的整数，前面冠以rū(来自绝对数rūpa一词)；未知数称为yāvattāvat，用音节yā来表示.如果遇到几个未知数，那么用各种颜色来区别：kā(kālaka，黑色的)、nī(nīlaka,蓝色的)、pī(pītaka，黄色的)、lo(lohitaka，红色的)等等.未知数的二次幂用varga一词的va这个音节来表示；三次幂用ghata的音节gha来表示．并且借助va和gha两个符号表示未知数的更高次幂：vava表示四次幂；vaghaghata表示五次幂；vagha表示六次幂；vavaghaghata表示七次幂；vavava表示八次幂；这套符号虽然不多，但足够使印度代数几乎称得上是符号代数，并且符号比丢番图的缩写代数用得多．

虽然印度学者创立的符号很笨拙，符号本身即梵文字母的形状很复杂，但是，他们的工作预示了新数学的发展方向．他们的后继者——阿拉伯国家的学者不仅没有前进一步，而且几百年来都是用“词语书写”来表示代数式及其运算．

3.1.2印度的代数对于乘法，各因子并列着写．一组数用线框起来相当于加括号的意义．例如印度代数的较大成就是引进了负数，当问题涉及到债务或反向运动时，印度人使用了负数，他们像运用正数一样运用负数．但是在有关一次方程的问题中没有见到负数解．印度学者解二次方程的方法比丢番图优越．在《阿耶波提亚》中就有关于求解完全二次方程的问题

《吠陀》印度雅利安人的作品，婆罗门教的经典《绳法经》（前8－前2世纪）：庙宇、祭坛的设计与测量，包含几何、代数知识，如毕达哥拉斯定理等印度数学吠陀时期(公元前10-前3世纪)

悉檀多时期(公元5-12世纪)《吠陀》手稿（毛里求斯，1980）3.1.3印度的几何与三角

π的近似值3.1416

印度学者在几何学方面的贡献明显地逊色于他们在算术和代数方面的成就．在很多情形下，他们的几何知识并不比亚历山大几何学家有多少进步．例如，婆罗门笈多与亚历山大的塞翁（希帕蒂娅的父亲）(TheonofAlexandria)的著作中的几何部分就有许多相似之处．

婆罗门笈多著作中的几何部分有这样的特点：在某些计算问题中，除给出精确的公式(当然有些问题得不到精确公式)外，还给出在实际中便于应用的近似法则

3.1.3印度的几何与三角关于圆的面积，婆罗摩笈多给出：粗糙计算时取π＝3

计算了圆内接正6，12，24，48，96，192，384边形的边长，从而得到π的值

为计算三角形的面积，除了通常的方法外，婆罗摩笈多导出了所谓海伦公式，并把这个公式推广到圆内接四边形的面积

用这些毕达哥拉斯数来构造圆内接四边形在印度的几何学中很少见到命题的证明，偶尔见到的证明也十分简短，多数情形是把证明压缩为图形和指示语“请看！”有时在图形旁边略加说明

婆罗摩笈多（598－约665年）印度的数学

628年《婆罗摩修正体系》(宇宙的开端)乌贾因天文台

早期的三角学，是伴随着天文学而产生的．在希腊化国家中，由于天文学的发展，越来越多地利用三角关系作为辅助的计算工具．例如，托勒密的著作中曾论述制作日晷的原理，并保留有世界上最早的三角函数表，即从0°到90°每隔半度的弦表．

希腊的天文学影响了印度天文学的发展，这无疑也推动了三角学的进步．许多从希腊人那里继承的计算法则发生了系统的变化．首先是用正弦，即半弦代替全弦，它们之间的关系是chord2α=2sinα．正弦和余弦的表示

在《阿耶波提亚》和一些历数书中已经出现正弦、余弦和正矢函数(即半径与余弦之差，关系为versα＝1－cosα，现已不用)．阿耶波多Ⅰ称正弦为jva，是猎人的弓弦的意思．后来传到阿拉伯国家，译为dschba．由于阿拉伯文书写中只保留辅音和长元音，这个词就写成dschaib，意为“胸膛”．12世纪，欧洲人译为拉丁文的“胸膛”(Sinus)，最后演变成Sine．印度人称余弦为kotijva，即余角的正弦，或简写为koti．译为阿拉伯文为dschaibaltamam．12世纪，由克雷莫那的杰拉德(GerardofCermona)译为拉丁文Sinusresidui．15世纪的数学家开始使用Sinuscomplementi，即余角的正弦．1620年第一次出现缩写符号co·sinus表示余弦．

阿育王(在位年代约为公元前268-前232年)是印度第一个信奉佛教的君主阿育王石柱记录了现在阿拉伯数学的最早形态巴克沙利手稿（前2－3世纪）瓜廖尔石碑（公元876年）印度的数学阿育王石柱（尼泊尔，1996）12世纪的婆什迦罗还使用了两角和与差的正弦法则．当半径不等于1时，印度学者则用文字来描述这些命题．在天文学中应用三角学自然要制造三角函数表．印度最早的正弦和正矢表出现在《太阳的知识》和《阿耶波提亚》中

15011502年间，尼拉坎塔著有《科学文集》，书中研究出一整套包含在微积分和级数论萌芽中的方法．尼拉坎塔和东方的某些学者一样，确信圆周长与直径之比是无理数．他在对《阿耶波提亚》的注释中说“如果直径用某个单位来测量，那么周长就不能准确地用这个单位来测量；而如果对某个单位而言，周长能够测量时，直径就不能准确测量．”为了更准确地计算π的值，他采用了级数求和方法计算π的10位准确数字．这是计算数学的卓越成就，虽然在15世纪初阿拉伯学者卡西已经得到更精确的近似值．尼拉坎塔的贡献在于他摆脱了初等数学的束缚，他的方法比他的结果更重要．在此基础上利用无穷小分析的思想，尼拉坎塔还得到了反正切级数的展开式.

遗憾的是，这些数学思想不仅在印度本国没有得到发展，而且也没能及时传播到其它国家去．但是，印度学者的其它贡献——十进位值制记数系统，一系列代数和数论方法，三角学的开端，从13世纪末开始传到阿拉伯国家，并对后世东西方科学的进步产生了强有力的影响．

中东地区地图3.2阿拉伯的数学阿拉伯帝国简况先知穆罕默德（570－632）：610年在麦加创立了伊斯兰教，至632年，一个以伊斯兰教为共同信仰、政教合一，统一的阿拉伯国家出现于阿拉伯半岛。四大哈里发时期（632－661）：以“圣战”为名进行大规模的武力扩张，为阿拉伯帝国的建立奠定了基础。

倭马亚王朝时期（661－750）：定都大马士革，发动大规模的对外战争，版图东起印度西部，西至西班牙，北抵中亚，南达北非，成为地跨亚、非、欧三大洲的庞大帝国。阿拔斯王朝时期（750－1258）：迁都巴格达，750－842年是帝国的极盛时代，巴格达成为国际贸易与文化中心之一，创造出光辉灿烂的阿拉伯文化。阿拉伯帝国

在阿拉伯帝国的统治下，被征服的民族很快转向伊斯兰教．同时，阿拉伯语很快成为各国通行的语言，在知识界成为学术交流的工具．这和中世纪西方各国把拉丁语作为通用语言一样．阿拉伯人和其它民族的人民共同创造了新的、别具一格的文化．当时欧洲正处在漫长的黑暗时期，阿拉伯世界的科学文化却后来居上，成为当时的人类科学文化中心之一．伊斯兰教第一圣寺麦加城大清真寺哈利发马蒙在巴格达创办了著名的“智慧馆”(Baytal－Hikmah)．这是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关，除用作翻译馆外，还起到科学院和公共图书馆的作用，它还附设一座天文台．在这里，大量的波斯、希腊和印度的古典著作被系统地译为阿拉伯文．哈利发还组织力量对这些著作进行广泛而深入的研究．就这样，东西方的文华精华被融合在一起，出现了一个学术繁荣时期．阿拉伯的数学研究就从这里开始．

从8世纪起，大约有一个到一个半世纪是阿拉伯数学的翻译时期．由于阿拉伯人能够控制或取得被占领帝国、埃及、叙利亚、波斯及印度诸国的人才和文化，所以他们得以接触几乎所有的古代重要著作．

当古希腊的原著失传之后，这些阿拉伯文译本就成为后来欧洲人了解古希腊数学的主要来源，而许多古希腊时期的著作也正是通过它们的阿拉伯文译本才得以流传下来．漫长而有效的翻译时期之后，阿拉伯数学出现了一个创造性的活跃时期．阿拉伯人不仅继承了古典科学遗产，而且使之适合自己的特殊需要和思想方法．他们吸取和保存了希腊和印度数学的精华，加上他们自己的创造性劳动，建立起独具风格的阿拉伯数学．他们的贡献为世界数学宝库增添了光彩．

13世纪初，成吉思汗率蒙古部队西征．13世纪中叶，成吉思汗之孙旭烈兀再次率兵西征，占领了原来阿拉伯哈利发在亚洲的所有领土，创立了伊儿汗国．蒙古人征服了这些伊斯兰国家后不久，他们自己也都皈依了伊斯兰教．到了14、15世纪，在中亚又出现了另一个蒙古帝国——帖木耳国．12世纪末，西班牙人推翻最后一个摩尔人的统治，阿拉伯人失去了他们在欧洲的立足点．阿拉伯帝国解体，阿拉伯数学走向衰落阿拉伯数学

阿拉伯数学是指7世纪伊斯兰教兴起后，崛起于阿拉伯半岛，建立在横跨亚、非、欧三洲的阿拉伯帝国统治下各民族所开创的数学．通常所谓伊斯兰国家的数学或中亚细亚数学也是指阿拉伯数学．在伊斯兰国家里，科学文化的发展是许多民族的学者共同劳动的结果，数学也不例外．他们是波斯人、花拉子模人、塔吉克人、希腊人、叙利亚人、摩尔人、犹太人和阿拉伯人，等等．他们大都是伊斯兰教徒．讲到这一时期这一地区的数学，没有很恰当的词语来表述，由于当时的数学著作都是用阿拉伯文撰写的，一般就统称为阿拉伯数学．上述各民族的学者有时也统称为阿拉伯人．阿拉伯数学976年的西班牙数码阿拉伯数学伊斯坦布尔的天文学家

（1971）

消化希腊数学,吸收印度数学

文化中心:巴格达

9-15世纪繁荣600年

对文艺复兴后欧洲数学的进步有深刻影响阿拉伯科学(突尼斯,1980)阿拉伯数学希腊(公元前6世纪-公元6世纪)印度(公元5-12世纪)波斯(公元前6世纪-前3世纪)阿拉伯科学(公元9-15世纪)阿尔·花拉子米（乌兹别克,783－850）（苏联,1983）早期阿拉伯数学:8世纪中叶－9世纪

代数教科书的鼻祖：《代数学》(820)(复原与对消)1140年被罗伯特(英)译成拉丁文

欧洲延用几个世纪标准的代数学教科书3.2.1阿拉伯数学的分期与杰出的数学家

《印度计算法》

创办翻译学校花拉子米(MohammedibnMsal－Khowrizm，约780—约850)是一个拜火教徒的后裔，早年在家乡花拉子米城接受初等教育后到中亚细亚古城默夫继续深造．当时阿拔斯王朝哈利发哈伦·赖世德的儿子马蒙任东部地区的总督，住在默夫，他在那里召见过已经远近闻名的花拉子米．813年，马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后，花拉子米作为杰出的科学家被聘请去首都巴格达工作（马蒙的司书官），并成为智慧馆学术工作的主要领导人之一．在此期间，花拉子米创作了许多重要的、举世闻名的科学著作，包括数学、天文学、地理和历史等许多领域

花拉子米的算术著作只有译本流传下来．现在唯一能够见到的，是14世纪中叶翻译的拉丁文手稿，现保存在剑桥大学图书馆．译文没有标题，以“DixitAlgoritmi…”开头，中断在一个乘法例题之中．后来，这部译本就定名为“Algoritmidenumeroindorum”，其中Algoritmi本来是花拉子米的拉丁文译名，可是被人们理解为印度的读数法，后来它竟演变成表示任何系统或计算程序的“算法”的专业术语algorithm．

820年

《代数学》由三部分组成：第一部分讲述现代意义下的初等代数，第二部分论及各种实用算术问题，最后一部分(也是最大的一部分)列举了大量的关于继承遗产的各种问题．

花拉子米的

《代数学》

《代数学》．它的阿拉伯文书名是《ilmaljabrwa’lmuqabalah》．比较流行的一种说法认为现在西文中代数学一词algebra由此书名中的aljabr脱胎而来．

aljabr原意是“还原”，根据上下文的意思，是指把负项移到方程另一端变成正项，方程才能平衡．muqabalah意即“化简”或“对消”，是指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．书名直译应为《还原与对消的科学》．

aljabr译成拉丁文是algebra，而muqabalah被省略了，algebra则逐渐成为代数学这门科学的名称．这一名称的起源完全符合代数学本身的特点．代数的基础就是脱离具体数字以一般的形式来考虑算术运算，它的课题首先是提出解方程的变形规则．花拉子米正是以某种变形规则的名称来为自己的书命名，从而体现了代数学的真髓

编制了中世纪最精密的历法：哲拉里历

研究三次方程根的几何作图法，提出的用圆锥曲线图求根的理论奥马·海雅姆（伊朗，1048－1131年）（阿尔巴尼亚，1997）

中期阿拉伯数学:10－12世纪

《还原与对消问题的论证》(1070)3.2.1阿拉伯数学的分期与杰出的数学家奥马·海雅姆陵墓（伊朗，1934年修建）阿拉伯数学

阿拉伯的三角学阿拉伯数学对希腊三角学系统化，对中世纪欧洲影响最大的天文学家

《天文论著》（星的科学），发现地球轨道是一个经常变动的椭圆,创立了系统的三角学术语阿尔·巴塔尼（850－929年）三角学理论的贡献利用二次插值法制定了正弦、正切函数表证明了三角公式：正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式提出地球绕太阳运转,太阳是宇宙中心的思想阿拉伯数学阿尔·比鲁尼（973－1048年）（巴基斯坦，1973）

《论完全四边形》：脱离天文学系统的三角学专著阿拉伯数学纳西尔丁·图西（1201－1274年）（伊朗，1956）

后期阿拉伯数学:13－15世纪

对15世纪欧洲三角学的发展起重要的作用阿尔·卡西（乌兹别克,1380－1429）（伊朗，1979）百科全书:《算术之鈅》(1427)

π的17位精确值(1424)阿拉伯数学

后期阿拉伯数学:13－15世纪卡西计算了圆内接3×2n边形的周长．他制造了28个大型表格，依次计算出n=1，2，…，28时圆内接正3×2n边形的周长．若取r＝1，则可算得内接正3×228边形的周长又计算出圆外切正3×228边形的周长．然后把它们的算术平均值

6.2831853071795865，除以2即得

π=3.1415926535897932．17位数字全部是准确数字！

卡西的计算结果打破了中国数学家祖冲之保持了一千多年的纪录．

卡西在《算术之钥》里，详细地叙述了十进制分数的理论，并指出把六十进制分数化为十进制分数的方法．他的著作比较通俗，很易于理解．他自己写道，用十进制分数表示圆的周长与直径之比，目的是为了使“不懂得天文学家用六十进制分数计算的人能够掌握十进制分数．”卡西在引进十进制分数之后，十分注意用四舍五入的方法简化计算，略去计算中没有意义的数位．印度——阿拉伯数字印度－阿拉伯数字9世纪的印度数码15世纪在欧洲使用的印度数码阿拉伯人原来只有数词，没有数字．在征服埃及、叙利亚等国后不久，阿拉伯人就使用了希腊字母记数法．9世纪初，开始出现阿拉伯字母记数法．公元773年(另一说771年)，一位印度学者把印度天文学名著《悉檀多》(Siddhānta)带到阿拔斯王朝哈利发曼苏尔的宫廷中．不久，这部著作被译成阿拉伯文．印度数字、位值记数法和算术运算就这样传到阿拉伯国家．3.2.2阿拉伯的算术与代数花拉子米在他的著作中讲述了印度人利用九个数字和零号的记数法，阐明了十进位值制的原理，引进了零的记号——形似字母“O”的小圆圈．13世纪的欧洲普遍用“小圆圈”或称“暗码”(ciffra)表示零号．“暗码”这一术语一直使用到18世纪末．在15至16世纪，单词ciffra开始有表示数字0，1，2，…，9的符号的涵义，它来源于阿拉伯文as－sifr，后者是梵文中零的名称Snya即“空的”的译文．在欧洲中世纪，拉丁语单词nulle—“一无所有的”、“空的”——在一些欧洲语言中以不同形式表示零．十进位值制记数法在阿拉伯国家的普及经历了相当长的时期．在整个中世纪这种记数法也没有完全代替其它形式的记数法．许多人仍然使用“词句记数法”．花拉子米系统地论述了六种类型的一次和二次方程的解法．这些方程由下列三种量构成：根、平方、数．根相当于现在的未知数x，平方就是x2，数是常数项．《代数学》完全用文字叙述，没有出现任何字母和缩写符号．为了表达方便起见，我们同时用现代的符号来表示这六种方程：

1．平方等于根ax^2=bx

2．平方等于数ax^2＝c

3．根等于数ax=c

4．平方和根等于数ax^2＋bx=c

5．平方和数等于根ax^2＋c＝bx

6．根和数等于平方bx＋c＝ax^2

例如“一个平方数及其根的十倍等于三十九”即方程x^2＋10x＝39对于方程x^2＋10x＝39的两种解法第一种方法是在边长为x的正方形的四个边上向外作边长为x和5/2的矩形，再在这个图形的四角作边长为5/2的四个小正方形，然后把图形补充为边长为(x＋5)的大正方形(图6.2)．第二种方法是在边长为x的两个邻边上向外作边长为x和5的矩形，然后把图形补充为边长为(x＋5)的大正方形(图6.3)．花拉子米都利用已知方程x^2＋10x＝39求出大正方形的面积为64，然后开方，再求出x来．11世纪，阿拉伯学者已经熟悉了丢番图的《算术》书．凯拉吉在《发赫里》中大量地引用《算术》书的内容，他不仅把先辈们关于二次方程的理论网罗殆尽，而且无论在理论还是应用方面都出现了一系列新内容．他引进的代数运算比艾布卡米尔的更丰富、更系统，他所选用的习题比花拉子米甚至丢番图的更多样化．给出了下面关于三次根式运算的关系式：提出了求两个二次根式的和与差的一般运算法则：奥马海雅姆的代数著作中共列出14种典型的三次方程．对每种方程，他都适当地选择两种圆锥曲线，用类似上述的方法求出方程的几何解．深入研究他的方法，人们发现海亚姆所选择的曲线还遵循着一定的规律，这也正是他的方法的巧妙之处．一些科学史家认为，奥马海雅姆解三次方程的几何方法是笛卡儿解析几何学的先驱性工作．如果把奥马海雅姆的工作与笛卡儿的《几何学》进行比较，不难发现，奥马海雅姆的具有一般性的方法与解析几何学的思想是同源的．他的工作预示了新数学的发展方向．阿拉伯代数学也有很大的局限性．首先，阿拉伯人没有引进负数(艾布瓦法的著作中出现了唯一的例外)．为了避免负数，他们对方程进行了细致的分类．解方程过程中，放弃了负根和零根．其次，阿拉伯人没有使用字母或缩写符号，他们的代数著作完全用文字叙述．这两方面都比印度人倒退了一步．3.2.2阿拉伯的算术与代数阿拉伯几何学主要受欧几里得、阿基米德和希罗(Heron)的影响

艾布瓦法在他的《几何作图法》(Kjtābfīmāyahtaji-layhal-snij‘minal-a‘malal-handasiyya)中，研究了用直尺和固定角规作图的问题，给出抛物线作法及各种圆内接正多边形的作法，还研究了某些等积问题

奥马海雅姆也曾为《几何原本》中某些公设作出注释，他的著作《对欧几里得几何原本中困难公设的注释》

纳西尔丁为证明欧几里得第五公设作出了尝试．沃利斯在17世纪把他的证明译成拉丁文，并称之为“现有论证中最机智的论证”．纳西尔丁工作是非欧几何最重要的先驱性工作．

3.2.3阿拉伯的几何与三角纳西尔丁还证明了以下与第五公设等价的命题：

(1)垂线与斜线必然相交．

(2)自角内的一点永远可以引一直线与该角的两个边相交卡西在他的代表作《圆周论》中给出关于π的异常精采的计算10—11世纪伊拉克学者伊本海塞姆(al－Hasanibnal-Haytham，约965—1039)曾计算抛物弓形分别绕弦、顶点切线或任意直径旋转所得旋转体之体