专题03从算术到代数

阅读与思考算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.用字母表示数是代数的一个重要特征， 也是代数与算术的最显著的区别 .在数学发展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃 .用字母表示数有如下特点：1.任意性即字母可以表示任意的数 .2.限制性即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义 .3.确定性即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定 .4.抽象性即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义 .例题与求解【例1】研究下列算式，你会发现什么规律：21×3＋1＝4＝22×4＋1＝9＝3223×5＋1＝16＝4⋯请将你找到的规律用代数式表示出来： ___________________________________(山东菏泽地区中考试题 )解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示.【例2】下列四个数中可以写成 100个连续自然数之和的是（ ）A.1627384950 B.2345678910 C.3579111300 D.4692581470（江苏省竞赛试题）解题思路：设自然数从a＋1开始，这100个连续自然数的和为（a＋1）＋(a＋2)＋⋯＋(a＋100)＝100a＋5050，从揭示和的特征入手.【例3】设A＝12+22+22+32+32+42＋⋯＋10032+10042＋10042+10052，求A的整数部1′22′33′41003′10041004′1005分.（北京市竞赛试题）2 2解题思路：从分析 A中第n项n +(n+1)的特征入手.n?(n 1)【例

4】现有

a根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成

m个正方形，按如图②摆放时可摆成2n个正方形

.(1)用含

n的代数式表示 m；(2)当这

a根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求

a的最小值

.（浙江省竞赛试题）解题思路：由图①中有 m个正方形、图②中有 2n个正方形，可设图③中有摆放，火柴棒的总数相同，可建立含 m，n，p的等式.

3p个正方形，无论怎样【例5】化简9999991999.n个n个n个（江苏省竞赛试题）解题思路：先考察 n＝1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确 .【例6】观察按下列规律排成的一列数：，1，2，1，2，3，1，2，3，4，1，2，3，4，5，1，⋯，（*）1213214321543216（1）在（*）中，从左起第m个数记为F(m)＝2时，求m的值和这m个数的积.2001（2）在（*）中，未经约分且分母为2的数记为c，它后面的一个数记为d，是否存在这样的两个数c和d，使cd＝2001000，如果存在，求出c和d；如果不存在，请说明理由.解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（1），（1，2），（1，2，3），（1，2，3，4），（1，2，3，4，5），⋯.121321432154321能力训练级1.已知等式：2＋2＝22×2，3＋3＝32×3，4＋4＝42×4，⋯，，10＋a＝102×a（a，b33881515bb均为正整数），则a＋b＝___________________.(湖北省武汉市竞赛试题 )2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有 n（n≥2）个棋子，每个图案棋子总数为 s，按此规律推断 s与n之间的关系是 ______________.n＝2 n＝3 n＝4s＝4 s＝8 s＝12(山东省青岛市中考试题 )3.规定任意两个实数对（a，b）和（c，d），当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d）．定义运算“?”：（a，b）?（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）?（p，q）＝（5，0），则p＋q＝________．(浙江省湖州市数学竞赛试题 )4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板， 则第（3）个图形中有黑色瓷砖 ______块，第n个图形中需要黑色瓷砖 ______块（含n代数式表示）．（广东省中考试题）-=5.如果a是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数是（）A.1000a＋1B.100a＋1C.10a＋1D.a＋1(重庆市竞赛试题)6.一组按规律排列的多项式：233547）a＋b，a—b，a＋b，a—b，⋯，其中第十个式子是（A.a10＋b19B.a10-b19C.a10-b17D.a10-b21(四川省眉山市竞赛试题)7.有三组数x1，x2，x3；y1，y2，y3；z1，z2，z3，它们的平均数分别是a，b，c，那么x1＋y1－z1，x2＋y2－z2，x3＋y3－z3的平均数是（）a+b+ca+b-cC.a＋b－cD.3(a＋b－c)A.B.3 3(希望杯邀请赛试题 )8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S1、S2的大小关系是（）（东方航空杯竞赛试题）A.S1＞S2B．Sl＜S2C．S1＝S2D．无法比较9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为4个扇形面；第二次将上次得到的一个扇形面再等分成4个小扇形；以后按第二次剪裁法进行下去．（1）请通过操作，猜想将第3、第4次，⋯，第n次剪裁后扇形面的总个数填入下表；剪裁次数1234⋯n所得的总数47⋯（2）请你推断，能否按上述操作剪裁出33个扇形面？为什么？（山东省济南市中考试题）10.某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原a（a＞0）个成品，且每个每天都生产b（b＞0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个原的和这两天生产的所成品，然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产的所成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同．（1）这若干名检验员1天检验多少个成品（用含a、b的代数式表示）；（2）试求出用 b表示a的关系式；4（3）若1名质检员 1天能检验 b个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？5（广东省广州市中考试题）级你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成（10·n＋5）（n为自然数），即求（10·n＋5）2的值（n为自然数），分析n＝1，n＝2，n＝3，⋯这些简单情况，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面的空格内填上你的探索结果）.（1）通过计算，探索规律.152＝225可写成100×1×（1＋1）＋25；252＝625可写成100×2×（2＋1）＋25；352＝1225可写成100×3×（3＋1）＋25；452＝2025可写成100×4×（4＋1）＋25；...752＝5625可写成______；852＝7225可写成______；（2）从第（1）题的结果，归纳猜想得（10n＋5）2＝______；（3）根据上面的归纳猜想，请算出2＝______.1995（福建省三明市中考试题）2.已知12＋22＋32＋⋯＋n2＝1n(n＋1)(2n＋1)，计算：61）112＋122＋⋯＋192＝_____________________；(2)22＋42＋⋯＋502＝__________________.3.已知n是正整数，an＝1×2×3×4×⋯×n，则a1＋a2＋⋯＋a2010＋a2011＝_______________.a3a4a2012a2013(“希望杯”邀请赛训练题 )4.已知17个连续整数的和是 306，那么，紧接着这 17个数后面的那 17个整数的和为__________.（重庆市竞赛试题）5.A，B两地相距 S千米，甲、乙的速度分别为 a千米/时、b千米/时（a＞b），甲、乙都从

A地到

B地去开会，如果甲比乙先出发 1小时，那么乙比甲晚到 B地的小时数是（ ）A．s-(s+1)B．s-(s+1)C．s-(s-1)D．s-(s-1)abbaabba6.某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整原来零售价的b%出售，那么调价后的零售价是（）A．m（1＋a%）（1－b%）元B．ma%（1－b%）元C．m（1＋a%）b%元D．m（1＋a%b%）元（山东省竞赛试题）7.如果用a名同学在b小时内共搬运c块砖，那么个以同样速度所需要的数是（）c2c2aba2bA．B．C．D．a2babc2c2(“希望杯”邀请赛试题 )8.甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，其中甲班参加天文小组的人数是乙班未参加人数的

1，乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数的

1．问甲班未参加的人数是乙班未参加3

5人数的几分之几？9.将自然数1，2，3，⋯，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33.（重庆市竞赛试题）有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数，再将各组所得的数相加，其和恰好等于18.若这四个数的乘积是23100，求这四个数.（天津市竞赛试题）专题03从算术到代数例1n(n2)1(n21)例2A例3原式=2(1111112(1111)2()2())2()223341003100410041005=21004(11)故其整数部分为20081005例4设图③中含有3p个正方形.(1)由3m15n2,得5n1m3(2)由a3m15n27p3m25n1,因m,n,p均是正整数,所以当m17,n103,得p77时,p7,此时a317152例5解法1:n1时,99198119100102;n2时,9999199(1001)9919999009919910000410,猜想:9999991999102n个,计算过程类似于n2n个n个n个9999991999(10n1)99919999990009991999102nn个n个n个n个n个n个n个n个n个解法2:n1时,991999109(999)10910101010102n2时,9999199999910099(999999)10099100100100100104猜想:原式102n验证如下:9999991999999999100099999999999910nn个n个n个n个n个n个n个n个n个n个999nn10n2n101010n个反思结论必为一个数的平方形式,不妨设999a,得另一种解法n个解法3:原式a2(a1)aa22a1(a1)2(10n)2102n例6(1)(※)可分组为(1),(1,2),(1,2,3),(1,2,3,4),(1,2,3,4,5),,可知各组数的个数依次为1213214321543211,2,3,.按其规律2应在第2002组(1,2,3,,2002)中,该组前面共有20012002200120001123420012003001个数.故当F(m)2时,m200300122003003.又因各组的数2001积为1,故这2003003个数的积为121200220012003001(2)依题意,c为每组倒数第2个数,d为每组最后一个数,设它们在第n组,别cn1,dn,n(n1)2001000.即n(n1)400200020012000,n2001,212得c20011200020012,d12级1.100提示:10a102a中,根据规律可得a10,b102199,故ab1099109bb2.s4(n1)(n2)3.1提示:根据题中定义的运算可列代数式p2q5,q2p0,可得p1,q2,故pq14.103n1CBBB9.(1)10 13 3n 1 (2)不能,33不符合3n 110.(1)a2b或2(a5b)或3b23(2)由2(a2b)2(a5b),得a4b23(3)2(a2b)47.582b5级1.(1)100 7 (7 1) 25, 100 8 (8 1) 25100n(n1)253980025(1)2085(2)22100提示:原式4(1222252)3.2011提示:由an1234n可得,4026原式1111123344520112012201220131111111120112334201220132201340264.595提示:设17个连续整数为m,m1,,m16,且m(m1)(m16)306,它后面紧接的17个连续自然数应为m17,m18,m19,,m33,可得它们之和为5955.D6.C7.D提示:每一名同学每小时所搬砖头为c块,c名同学按此速度每小时所搬砖头为c2块.abab8．用a，b分别表示甲、乙两班