《共线向量与共面向量》复习讲义(教师版)

→→→→→→→→→→→→→→→→→→→第→→→→→→→→→→→→→→→→→→→1.理解向量共线、向量共面的定.2.掌握共线向量定理和共面向量理，会证明空间三点共线、四点共面．知识点一共向量1．空间两个向量共线的充要条对于空间任意两个向量，b≠0)，a∥的充要条件是存在实λ使a＝λb2．直线的方向向量在直线l上取零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为线l方向向量．思考1对于空间向量，b，，若ab且∥，是否以得到a∥c答案不能．若＝0则对任意向量a，c都ab且∥.思考2怎样利用向量共线证明，B，三共线？答案只需证明向A，BC(不唯一)共线即可．知识点二共向量1．共面向量如图，如果表示向量a的向线段所在的直线OA直线l平或重合，那么称向量平于直线l.如果直线平行于平面或在平α内，那么称向量a平行于平面.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共，那么向量p与量a，面的充要条件是存在唯一的有序实数(，)，使p＝xayb思考已知空间任意一点O和不线的三点，，，存在有序实数(，y，满足关系O＝＋xAB＋，点P与点A，，是共面？答案共面.由＝＋xAB，得＝＋yAC，所以向与向A，共，故点P与A，，共面．1．向量与向量是共线向量，则点，B，，在同一条直线上(×)2．若向量b，c共，则表示这个向量的有向线段所在的直线共面(×)3．空间中任意三个向量一定是面向量(×)1/11

→→→＝(CD－)－→→→→→→→→→→→→→→34．若P，，，共，则存在→→→＝(CD－)－→→→→→→→→→→→→→→3一、向量共线的判定及应用【例1】如图所示，已知四边形是间四边形，，分是边，的中点，F，分是边，上的→2→→2→点，且＝CB，＝CD.求证：四边形EFGH是形．33证明∵，分是，的点，→1→→1→∴＝AB，＝，22→→→1→1→1→则－＝ADABBD2221→→13→3→→3→＝(CG－CF)＝FG22244→→→3→→∴且|＝FG|≠||.4又不直线EH上，∴四边形EFGH梯形．反思感悟向共线的判定及应(1)本题利用向量的共线证明了线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别．(2)判断或证明两向量a，≠0)共，就是寻找实λ，使＝λb成，为此常结合题目图，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．(3)判断或证明空间中的三(如，，B共线的方法：是否存在实数，使＝；跟踪训练1(1)已知A，，三共线，O为线外空间任意一点，OC＋nOB，则m＋＝________.答案1解析由于AB，三共线，所以存在实λ，使得＝，即－＝(OBOA，所以＝(1)OA，所以m＝1－，＝，所以m＋→→→2→(2)如图所示，在正方体－B中，在AD上，且AE，在角AC上且＝FC.求证：，，三共线．2/11

→→→3→→→24222→→→3→→→24222→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→证明设＝，＝b，＝，→→→2→因为AE＝2，AF＝FC，→2→2→所以AED，AF＝，35→2→2所以AEAD＝b，33→2→→2→→→22AF＝－)＝(AB＋AD)＝a＋b－c，5555所以＝A－＝a－b－＝b－c515553

.→→→→22又＝EAAA＋＝－b－a＝－－，33→2→所以＝EB所以E，，三共线．5二、向量共面的判定→1→1→1→【例2】已知A，三不共线，平面外一点满M＝OA＋OC.333(1)判断，，三个向量是否共面；(2)判断M是在平面ABC．解∵＋＋OC＝3，∴＝(－)＋(－OC)，∴＋＝－MB－，∴向量，，共．(2)由(1)知，向M，，共面，而它们有共同的起点M且A，，三不共线，∴，A，，共，即在面内．反思感悟解向量共面的策略(1)若已知点在面ABC，则有＝xAB＋＝xOA＋x＋＋＝1)，然后利用指定向量表示已知向量，用待定系数法求出参数．(2)证明三个向量共面(或四点共)需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．3/11

→→→→11→11→→→→→→→跟踪训练2(1)如图所示，已知形ABCD和矩所在的平面互相垂直，点M，N分别在对线BD，上，且→→→→11→11→→→→→→→BM＝BD，＝AE求证：向M，，共面．331证明因为M在BD上且BM＝，3→1→1→1→所以＝DB＋AB.333→1→1→同理＝AD.33所以＝＋＋＝＋AB3

＋＋＋DE32→1→2→1→＝＋＝CDDE3333又不共线，根据向量共面的充要条件可N，，共．(2)已知E，G，分是空间四边形的，，，的中点，求证：①，F，，四共面．②∥平面.证明如图，连接EG，.→→→→1→→→→→→→→→→①因为＝＋＝＋(＋BD＝EBBF＋EH＝＋，向量共面的充要条件知向量E，，共面，即，2F，四共面．→→→1→1→1→②因为＝－＝－AB＝BD，所以EH∥.222又平面EFGH，BD平EFGH所以∥平面EFGH空间共线向量定理的应用【例3】如图所示，已知四边形ABCD，都平行四边形，且们所在的平面不共面M，N分别是，的中点，求证：MN.4/11

→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→证明∵，分是，的点，又四边形，ABEF是平行四边形，→→→→1→→1→∴＋FN＝CAAF＋FB，22又∵MN＝＋＋1→→→1→＝－CA＋CE－AFFB221→→1→1→→→1∴＋＋FB＝－CA＋－AF－FB，2222∴＋2＋＝2(＋＋)，∴＝2MNCE∥.∵点不上，∴CE.[素养提升证空间图形中的两直线平行，可以转化为证明两直线的方向向量共线问题．这里键是利用向量的线性运算，从而确定＝中的λ的值．1．满足下列条件，能说明空间重合的A，，点共线的()A.＋＝C.＝

B.－＝ACD．||＝||答案C2．若空间中任意四点，，，满O＝＋nOB，其中m＋n＝1，则)A．∈直线B．直ABC．点P可在直线AB，也可能不在直线上D．以上都不对答案A解析因为mn＝1，所以m＝1－，所P＝(1－)·＋nOB，即O－＝OB－)，即A＝nAB所以与B共线．又有公共起点，所以，，三在同一直线上，即∈直线AB.3．下列条件中，使与AB，一共面的()A.＝2－－OC5/11

→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→B.＝OA＋＋OC532C.＋＋＝0D.＋＋＋＝0答案C解析C选中MA－－MC，∴点M，，，C共．→→1→1→4．已知点在面内，并且对空间任意一点，有＝＋OBOC，则的为)331AB．0C．3D.3答案D→→1→1→解析∵＝＋OBOC，33且，B，四共面，111∴＋＋＝1∴＝，故D.3335．已知非零向量e，e不共线，使kee与e＋共的的是．答案±1解析若ke＋与e＋共，则ke＋＝(e＋)，所以

k＝，λk＝1.所以k1．知识清单：(1)空间向量共线的充要条件，线的方向向量．(2)空间向量共面的充要条件．2．方法归纳：化化归．3．常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线．1．已知向量a，，且＝＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点()6/11

→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→

B．，B，CD．，C，D答案A解析因为AD＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2)＝3，∥，又有公共点A，所以A，，三点共线．2．对于空间的任意三个向量，bab，它们一定是()A．共面向量C．不共面向量

B．共线向量D．既不共线也不共面的向量答案A3．在平行六面体ABCD－中向量，D，是)A．有相同起点的向量C．共面向量

B．等长向量D．不共面向量答案C解析因为DC－DA＝，＝C，所以DCD＝A，即D＝DA＋A.又D与A不线，所以DCD，A三向量共面．→4→→1→4．已知P为间中任意一点，，，，D四满足任意三点均不共线，但四点共面，＝－xPC＋DB，则实36数的为()1111A.B．－C.D．－3322答案A→4→→1→4→→1→→→→1→解析PA＝－xPC＋DBPB－＋(PD)＝PBxPC－PD36366又∵P是间任意一点A，B，C，四满足任意三点均不共线，但四点共面，311∴－－＝1解得＝2635多选下列命题中错误的是)A．若A，，，是间任意四点，则A＋＋＋＝0B．|a－||＝|＋是a，线的充要条件C．若，共，则∥CDD．对空间任意一点与共线的三点，C，若＝＋＋(中y，∈R)则，，，C点共面7/11

→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→2→→解析显然A正确；若a，共线，a＋|＝|b或a＋|＝||a－|b||，B错；若共线，则直线AB，可能重合，故错误；只有当x＋＋＝1时，P，，，四才共面，故误．→→→1→→6．在△中，已知是边上一点，A＝2，＝CA＋λCB，λ＝________.3答案

23→→→→1→→1→→2→解析CD＝－＝－＝－(－)＝CB＋，3333→1→→2又＝CA＋，以＝.337．设e，是间两个不共线的向量已＝e＋ke＝5e＋4e，＝－－2e，，，三共线，则实数k＝________.答案1解析∵＝＋＋＝7＋(＋6)，且共线，故＝xAB，即7＋(＋6)e＝xe＋，故7－＋(＋6xk＝0，又∵，e不共线，∴，

解得

故的为1.8．已知O为间任一点，，B，四满足任意三点不共线，但四点共面，OA＝2xBO＋3yCO＋4zDO则x＋3＋4＝________.答案－1解析由题意知，，，共的充要条件是：对空间任意一点O，存在实数x，，，OA＝OB＋y＋z，且x＋＋，因此，x＋4＝19.如图，在平行六面体－中M，分是CDAB的中，E在上且EA，在上CFFC，判断是否共线．8/11

→→→→→→→→→→→→→→→→→→2→→→2→→→→→→→→→→→→→→→→→→→2→→→2→1→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→1→→1→→→1→＝＋＋＝＋＋233＝＝＝－NF.即＝，∴共线．10．在长方体ABCD－D中，为DD中点，点在上，且AN∶NC＝2∶1，求证：A与A，A共．→→→→→→→1→→2→2→→证明∵A＝－，＝A＋DM＝AD－AA，＝AC＝AB＋)，233∴A＝－AA＝(AB＋)－＝－＋3322→2→＝＋，33∴A与AB，共面．11．若P，，，为间四点，且＝＋，则α＋＝1是，，三共线的()A．充分不必要条件C．充要条件

B．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件答案C解析若＋＝1，则－＝βPC－)，即＝βBC显然，A，，C三点共线；若，B，三点线，则有AB＝，故P－＝(－)，整理得P＝(1)－，＝1λ，β＝－，则＋β＝1故选C.→1→→→→→1→12．平面内五点，，，D，，其中无三点共线O空间一点，满O＝OBxOC＋yOD，＝2xOC＋23＋yOE则＋3等()5757A.B.C.D.6633答案B1解析由点AB，，共得＋＝22又由点B，，，共得＋y＝，311联立方程组解得x＝，＝，637所以x＋3＝.613．已知正方体ABCD－BC中P，为间任意两点，如果P＝PB＋7BA＋6，么必)9/11

→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→5→→→→C．在平面BAD内

B．在平面BAD内D．在平面ABC内答案C解析PM＝PB＋7＋6AAD＝＋＋6－4＝＋BABAAD＝＋6(－)－4(PD－)＝11PA－6PB，于是M，，，四点共面．