《一次函数与几何图形综合》 专题

《一次函与几何图形合》专题总：数与几何是初中数学中的重点内,是中考命题重点考查内容之一；函数中的几何问题，能使代数知识图形化几何中的函数问题使图形性质代数化由于函数与几何结合的综合题的式灵活、立意新颖，能更好地考查学生的维水平和数学思想方法，因而成为近几年各地中考的一类热门题；函数知识与几何知识有机结合的合题，根据构成命题的主要要素可分为以下两类：一类是几何元素间的函数关系问〔这类问题不妨称简称为“几函〞问题〕，这类问题的特点：根据几何图形间的位置和数量关系〔平行、全等、相似，特别是成比例〕建立自变量与函数所表示几何元素间的等量关系，求出函数关系式运用函数的性质解决几何图形中的问题；另一类是函数图像中的几何图形问如三角形四边形别是圆这类问题不妨简称“函〞问题〕，这类问题的特点是：根函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有函数、几何问题。一函与何合是年学初接一用几合决问的法这方和力九年解中压题必具的代数〔1〕表达什么函数〔包括其系的代数意义、几何意义、物理意义〕〔2〕显现怎样的图形〔自身、坐轴、与其他图形〕〕既是一个方程，也是一个坐标4〕藏有那些数据，含有什么些系5〕要建立某种代数关系缺少那些数据几何〔1〕根本图象有几个〔2〕图象间有怎样关系〕图象与所要证明〔求解〕的结论怎样的关联〔4〕要建立图象与图象之间的系缺少那些数据代数几〔1〕代数〔几何〕在那些地方几何〔代数〕提供了怎样的数据〔2〕几何〔代数〕通过什么方为几何〔代数〕提供关系式〔3〕怎样设数据〔坐标或线段〕函与何合的题想法“函几问题〞与“几函问题〞涉的知识面广、知识跨度大、综合性强，应用数学方法多、纵联系较复杂结构新颖灵活、注重根底力、探索创新和数学思想方法要求学生有良好的心理素质和硬的数学根本功能从所提供的信息中炼出数学问题而灵活地运用所学知识和掌握的根本技能创造的解决问题，正因如此，解决这类问题，要注意解决问题的策略，常用的解题策略一般有以下几种：综合使分法综法就是从件与结论出发进展联想、推理，“由得可知〞，“从要求到需〞，通过对问题的“两边夹击〞，使们在中间的某个环节上产生联系，从而使问题得以解决。2.运方的想就是找要解决的问题中量与量之间的等量关系建立量与未知量间方程通解方程从而使问题得到解决在运用种思想时要注意充分挖掘问题的的隐藏条件寻找等量关系立方程或方程组；意用类论思〔数法〕函方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽/

②22象、升华为函数的模型进而解有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系灵活运用函数方法可以解决许多数学问题数与几何结合的综合题中往往注意考查学生的分类讨论的数学想此在解决这类问题时一定要多个心眼儿多侧面进展缜密地思考用分类讨论的思想探讨出结论的一切可能性，从而使问题②22数结的想数形结合法是指将数与形结合，析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，起到事半功倍的作用．在中学数学中数〞与“形〞不是孤的，它们的辩证统一表现在“数〞可以确地澄清“形〞的模糊，而“形〞能直观地启迪“数〞的计算使用数形结合的思想来解5.运转的想转化的数学思想是解决数学问题的核心思想由于函与几何结合的问题都具有较强的综合性因此在解决这类问题时要善于“知识〞转化“知识〞“未知〞化“〞“抽象〞的问题转化为“具体〞的问题，“复杂〞的问题转化为“简单〞的问题，可以大胆地说，不掌转化的数学思想，就很难正确而全面地解函数与几何结合的综合问题。知规小：〔1〕常数，b对直线y=kx+b(k≠0位置的影响．①当b时，直线与y轴的正轴相交；当b=0时，直线经过原点；当b时，直线与y轴的负半相交．②当k异号时，即-

bk

＞0时，直线与x轴正半轴相交当b=0时，即

bk

=0时，直线经过原点；当k同号时，即-

bk

时，直线与x轴负半轴相交③当k，b时，图象经过一、二、三象限；当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；当b＞O，b＜O时，图象经过第、三、四象限；当k﹤O，b＞0时，图象经过第、二、四象限；当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限；当b＜O，b＜O时，图象经过第、三、四象限．〔2〕直线y=kx+b≠0〕与直y=kx(k≠0)位置关系．直线≠0)平行于直线y=kx(k≠0)当b时，把直线y=kx向上平个单位，可得直线y=kx+b；当b时，把直线y=kx向下平|b|单位，可得直线y=kx+b．〔3〕直线=kx+b与直线yx+b〔k≠0，k≠0的位置关系．①k≠ky与y相交；b

y与y相交于y轴上同一点〔0，b或〔，b〕；,③y与y平；④bb2

y与y重合/

CDEFwordCDEF例精：如图，在平面直角坐标系内，点A的标为〕，经过原点的直线l与经过点A直线相交于点B，点坐标为18，6〕．〕求直线l，的表达式；〔2点为线段OB上一动点〔点C不与，B重合作CD轴交直线l点过点D分别向y轴垂线垂分别为得矩形CDEF①设点C的纵坐为，求点的坐标〔用含a的数式表示〕；②假如矩形的面积为108求出点C的坐标．l

2

l

2

yA

B

l

1

D

l

1O

F

O

C

x解：〔1〕设直线l表达式为y=∵点〔18，6〕在直线l上∴6=18∴k=

11∴=设直线l的表式为y=k+b33∵点A〔0，24〕，B〔18，6〕在l上定系数法可得直线l解析式为y=-+24〔2①∵点C在直线l上，且点C的坐标为∴=3a，∴点C坐标为3a，〕∵CD∥轴∴点D的横标为3∵点D在直线l上，∴=-3+24∴〔3，-3a+24〕②∵〔3，〕〔3，-3+24∴CF=3，CD=-3+24-=-4∵矩形的面积为108S=CF=3a×a+24〕=108，解得=3当a=3时3a=9∴点标为，3〕2．如图①所示，直线L：

y

与

轴负半轴、

轴正半轴分别交于A、B两点。〕当OA=OB时，试确定直线L的析式；〕在(的条件下，如图②所，设为AB延线上一点，作直线OQ，过A两点分别作AM⊥OQ于M，BN于N，假如AM=4，BN=3求MN的长(3)当取不同的值时，点B在轴正半轴上运动，分以OB、AB为，点为角顶点在第一、二象限内作等腰直角△和等腰直角ABE，连EF交

轴于P点，如图③。问：当点B在y轴半轴上运动时，试猜测PB的长是否为定值，假是，请求出其值，假如不是，说明理由。第2题图①第2题图②/

第2题图③

考点一次函数综合题；直角三角形全等的判定．专题代数几何综合题．分析〔1是求直线解析式的运用，会把点的坐标转化为线段的度〕由得到启发，证明eq\o\ac(△,∴)eq\o\ac(△,)AMO≌eq\o\ac(△,，)ONB用对应线段相等求度；〕通过两次全等，寻找相等线段，并进展转化，求PB的长．解答解：〔1∵直线：y=mx+5m，∴A〔-5，0〕，B，5m，由OA=OB得5m=5，m=1∴直线解析式为：y=x+5．〕在△AMO和△中OA=OB，∠AMO=∠BNO，eq\o\ac(△,∴)≌eq\o\ac(△,．)∴AM=ON=4∴BN=OM=3．〕如图，作EK⊥y于点．证ABOeq\o\ac(△,，)BEK∴OA=BK，EK=OB．再证PBF≌PKE∴PK=PB．∴PB=

1BK=OA=．22点评此重点考查了直角坐标系里的全等关系，充分运用坐标里的

垂直关系证明全等，此题也涉与一次数图象的实际应用问题．3.如图，直线l与x轴、y轴分别交于、B两点，直l与直线l关于x轴1对称，直线l的解析式为x〔1求直线l的解析式分〕1过A点在△的外部作一直线l过点B作BEl于E,过点C作CF33⊥l于F分别请画出图形并求证BE＋CF＝EF3〕沿y轴向下平移，AB边x轴点，过的直线与AC边的延长线相交于点Q，y轴相交与点M，且BP＝CQ，在△平的过程中，①OM定值；②MC为定值。在这两个结论中，有且只有个是正确的，请找出正确的结论，并

y求出其值。分〕

BB

y

l

B

y

P

0

xAA0x

A

0

x

MC

l

C

C考点轴对称的性质；全等三角形的判定与性质．

Q分析〔1根据题意先求直线与x轴、y轴的交点A的坐，再根据轴对称的性质求直线l的上坐标，用待定系数法求直线l的解析式〔2〕根据题意合轴对称的性质，先证明BEA≌eq\o\ac(△,2)，再根据全等三角的性质，结合图形证明BE+CF=EF〔3〕首先过Q点作QH⊥y轴于H，证明△QCH≌eq\o\ac(△,，)然后根据全等三角形的性质eq\o\ac(△,和)QHM≌eq\o\ac(△,，)从而得HM=OM，根线段的和差进展计算OM的值．解答解：〔1∵直线l与x轴、轴分别交于A、B两点，〔-3，0〔0，3，∵直线l与直线l关于x轴对称，〔0，-3〕直线l的解析式为y=-x-3；〔2〕如图1．答：．∵线与直线l关于x轴对称，，∠EBA=，∵BE⊥l⊥lAFC=90°∴eq\o\ac(△,≌)BEA△AFC∴BE=AF∴BE+CF=AF+EA=EF〔3〕①，过Q点作轴于H线与线关于轴称∵∠POB=∠QHC=90°BP=CQ，又AB=AC，∴∠ACB=∠HCQ如此≌△PBO〔AAS，∴QH=PO=OB=CH∴eq\o\ac(△,≌)QHM△POM∴HM=OM∴OM=BC-〔OB+CM〕=BC-/

〔CH+CM〕=BC-OM

1∴OM=BC=3．24.如图，在平面直角坐标系中，(，0)，(0)，且满a2)

2

b

.(1)求直线的解析式；(2)假如点为直线y=上一点，eq\o\ac(△,且)是以AB底的等腰直角三角形，求m值；(3)过A点的线

ykxk

交轴负半轴于，点的横坐标为-1，过点直线

y

kx22

交AP于点M试证明

PMPNAM

的值为定值．考点次函数综合题二次根式的性质与化简一次函数图象上点的坐标特征待定系数法求正比例函数解析式；全等三角形的判定与性；等腰直角三角形．分析〔1求出a、b值得到A、B的坐标，设直线AB的解析y=kx+b代入得到方程组，求出即可；〕当BM⊥BA，且BM=BA时，作MN轴于N证△BMN△ABO〔AAS〕，求出M的坐标即；②当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥X于，同法求出M坐标；③当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作⊥X轴于N，MH轴于H，证△BHM≌eq\o\ac(△,，)AMN求M坐标即可．〔3〕设NM与x轴的交点为H，分过、H作x轴的垂线垂足为G，HD交MP于，求出H、G的坐标，eq\o\ac(△,证)≌eq\o\ac(△,，)eq\o\ac(△,≌)eq\o\ac(△,≌)eq\o\ac(△,≌)DPC△NPC，推出PN=PD=AD=AM代入即求出答案．解答解〔1要

2

有意义，必须a-2，b=0，，b=4〔2〕，B〔0，4〕，设直线AB的解析式y=kx+b代入得，4=b，解得：k=-2，b=4，∴函数解式为：y=-2x+4，答：直线AB的解析式是y=-2x+4．〕如图，分三种情况：/

①如图〔1〕当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作⊥Y轴于，BMN△ABO〕，MN=OB=4，BN=OA=2∴ON=2+4=6，的坐标为〔4，6〕，代入y=mx：

32

，②如图〔2〕当AM，且AM=BA时过作MN⊥X轴于N，eq\o\ac(△,≌)△ANM〔AAS〕，同理求出M的坐为〔，2〕

13

，③当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN轴于N，MH⊥Y轴，如此BHMeq\o\ac(△,，)AMN∴MN=MH，设M，x〕代入y=mx得x=mx〕∴m=1，答：的值是

3或或2

1．〔3〕解：如图3，结论2是确的且定值为2，设NM与轴的

交点为，分别过M作x轴垂线垂足为G，HD交MP于D点，

由y=

kkx-与x轴交于H点，∴H2

kkx-与y=kx-2k2

交于M点，∴M〔3，K〕，而A〔20∴A为HG的中点∴△AMG

≌△ADH〔ASA〕，又因为N点的坐标为-1，且在y=

kkx-上，2∴可得N的纵坐标为-K同理且N、D的横坐标分别为-、1

P的纵坐标为，平行于轴∴N与D关于y轴对称，∵eq\o\ac(△,≌)AMGeq\o\ac(△,≌)eq\o\ac(△,≌)DPCeq\o\ac(△,，)NPC∴PN=PD=AD=AM∴

PM-PNAM

=2．点评题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征等腰直角角形性质用待定系数法求正比例函数的解析式全等三角形的性质和判二次根式的性质等知识点的理解和掌握综合运用这些性质展推理和计算是解此题的关键．5.如图，直线AB交X轴负半轴B〔m，0，交Y负半轴于A〔0，m〕，OC⊥AB于C〔-2，-2。(1求m的值；直线AD交OC于，交于，过作BF⊥AD于F,假如OD=OE，求

的值；(3如图P为x轴上B点左侧任一点，以AP为边等腰直角APM，其中PA=PM，直线MB交y轴，当P在x轴上运动时，线段OQ长是发生变化？假如不变，求其值；假如变化，说明理由。解答：〕设直线AB的方程为y=kx+m，将点〔〕代入方程得k=-1，如此方程可写为y=再将点C(-2,2)代入方程得2＝(-1)×(-2)+m,m=-4/

word过作OB的垂线，垂足GOA等腰直角三角形45CGO,都是等腰直角三形CG〔2〕直线AD交OC于D，交轴于E，过B作BF⊥AD于F,假如OD=OE，求的值；FAH（同角的余角相等）OEODE，ODE对顶角相等ADC在AFB和中（公共边）BAF已证)AFB（ASA）BF全等三角形对应边相等)在和中，EAO（已证）（已知）90BOHAOE（ASA）（全等三角形对应边相等）BHBFBH

BFBF1AEBH2〔3〕如图，P为x轴上B点左侧任一点，以为边作等腰直角△APM，其中，直线MB交y轴于Q，当P在x轴上运动时，线OQ长是否发生变化？假如不变，求其值；假如变化，说明理由。/

word线段OQ的长度不变如图，过P作x轴的垂线交的延长线为N，PM=PA,PB=PN,∠NPA=∠BPM,△NPA≌△BPM〔边角边〕，如此有∠=∠PAN=∠PAB，由题意可知∠OAB=，∠OAP+∠APO=∠OAB+∠PAB+∠APB=90°＝∠，在△PMB中∠PMB+∠MBP+∠=∠PMB+∠MBP+∠MPA+∠APB=180°∠PMB+∠MBP+∠MPA=90°∠MBP=90°-∠PMB-∠PAB-∠APB=90°-(90°-∠OAB)＝45°所以∠MBA=180°-∠ABO-故直线MB与直线AB互相垂直，所以线段值不变〔直线AB固定〕。向左转|向右转/

6.在平面直角坐标系中，一次函的图像过点〔-1

52

〕，与x轴于点A〔4,0〕，与y轴交于点C，与直线y=kx交于点P，且）求a+b的值；〔2〕求k的值）〔3〕为上一点DF⊥于点F，交OP于点E，假如DE=，求D点坐标考点一次函数与二元一次方程〔组〕．专题计算题；数形结合；待定系数法．分析〔1根据题意知，一次函数y=ax+b的图象过点B〔-1，52

〕和点〔4〕，把A代入值即可〔2设〔x，y〕，1根据PO=PA，列出方程，并与y=kx成方程组，解方程组；〔3〕设点D〔x，-x+2〕，因为E在直2y=

1x上，所以E，x〕，F〔x，0，再根据等量关系DE=2EF列方程求解．2解答解：〔1根据题意得：52

=-a+b0=4a+b解方程组得a=

1，b=2+2=，即a+b=；〕设〔x，y，如此点P即在一次函22数y=ax+b上，又在直线y=kx上由〕得：一次函数y=ax+b的解析式是y=-x+y=(4-x)+yy=kx

12

x+2，又∵PO=PA，∴y=

11x+2，解方程组得：x=2，y=1，k=∴k值是；〕设点D〔x，-x+2〕，如此E，x〕，222113F〔x，0〕，∵DE=2EF，∴-x+2-x=2×，解得x=1如此x+2=-×1+2=，〔1〕222点评此题要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一函数与一元一次方程组之间的内在联系．/

7.

word在直角坐标系中，B、A分别在x，y上，B的坐标为〔3，0〕，∠ABO=30°，AC平分∠OAB交x轴于C；(1)求C的坐标(2假如D为AB中点，，证明：CE+CF=OC(3)假如D为AB上一点，以作△DEC，使DC=DE，∠EDC=120°，连BE，试问∠的度数是否发生变化；假如不变，请求值。.在直角坐标系中B、A分别在x轴上B的坐标为3，0〕，∠ABO=30°，AC平分∠OABx轴于C；解：

∵

∠AOB=90°∠ABO=30°∴

∠OAB=30°又

∵

AC是∠OAB的角平分线∴∵

∠OAC=∠CAB=30°OB=3∴

OA=

OC=1即C(1，0)（1）假如D为AB中点∠EDF=60°明CE+CF=OC证明：取CB中点H，连CD,DH∵∴

AO=AC=2

3

CO=1又

∵

D,H分别是AB,CD中点∴

DH=

12

AB=2∵∴∵∴∵

1DB=AB=BC=2∠ABC=30°2BC=2CD=2∠CDB=60°CD=1=DH∠EOF=∠EDC+∠CDF=60°∠CDB=∠CDF+∠FDH=60°∠EDC=∠FDHAC=BC=2∴⊥AB°∵∠°∴∠°∵∴

HD=HB=1∠DHF=60°在△DCE和△DHF中∠EDC=∠∠DCE=∠/

wordDC=DH∴eq\o\ac(△,≌)△DHF(AAS)∴CE=HF∴CH=CF+FH=CF+CE=1OC=1∴CH=OC∴OC=CE+CF（2）假如D为AB上一点，以作△DEC，使DC=DE∠EDC=120°，连试问∠的度数是否发生变化；假如不变，请求值。解：不变∠EBC=60°设DB与CE交与点GDC=DE∠EDC=120°∴

∠DEC=∠DCE=30°eq\o\ac(△,在)DGC和△DCB中∠CDG=∠BDC∠DCG=∠DBC=30∴△DGC∽△DCB∴

DB=DGDCDC=DE∴

DEDB=DG在EDG和BDE中DE=DG∠EDG=∠BDE∴△EDG∽△BDE∴

∠

DEG=∠DBE=30°∴

∠

EBD=∠

∠DBC=60°8.如图，直线AB交x正半轴于点〔，0，交y轴正轴于点B〔0，b，且a、b满足4

+－|=0〕求AB点的坐标；〕为OA的点，连接，过点作⊥BD于F，交于E，求证∠=∠EDA；/

yB

MEF

P

xD

A〕如图，为x轴上A点右任意一点，以BP为边作等

腰Rt△，其中=PM，直线交轴点，当点在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？如不变，求其值；假如变化，求段OQ的取值X围解答解：①∵a

+|4-b|=0∴a=4，∴A，0，B〔0，4；〕作AOB的角平分线，交BD于G，∴∠BOG=∠OAE=45°，OB=OA∠OBG=∠AOE=90°-∠BOF∴△OAE，．∵∠GOD=∠A=45°，OD=AD∴GODeq\o\ac(△,．)∴∠ADE〔3〕过作轴，垂足为N．∵∠BPM=90°，MPN=90°∵∠AOB=∴∠BPO=∠PMN∵∴eq\o\ac(△,≌)△MPN，PN=AO=BO，OP=OA+AP=PN+AP=AN∴MN=AN，MAN=45°∵∠BAO=45°∴∴△BAQ是腰直角形．∴OB=OQ=4．∴无论P点怎么动OQ的不变．点评〔1考查的是根式和绝对值的性质．〔2〕考查的是全等判定和性质．〕此题灵活考的是全等三角形的判定与性质，还三角形的性质．9.如图，平面直角坐标系中，点、分别、轴上，点1)，∠=30°）求的长度；〕以为边作等ABE作的垂直平分线交点D．求证：=OE．〕在〔〕的条件下，连结DE交AB于．求证：为DE

eq\o\ac(△,≌)BOG∠GDO=∠BP=MP，∠三角角形的有特殊B的坐标为0，的垂线于的中点．/

wordyB

F

x

D考点全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边角形的性质；含30度角直角三角形．专题计算题；证明题．分析〔1直接运用直角三角形30°角的性质即可．〕连接，易证△ADO为边三角形，再证ABD≌△AEO即可．〕作EH⊥AB于H先证ABO≌△AEH得AO=EH，再证△≌即可．解答〔1解：∵在Rt△ABO中，∠BAO=30°，∴AB=2BO=2；〔2证接OD，∵△ABE为等边三角形，，∠EAB=60°∵∠BAO=30°，的垂直平分线MN交AB的垂线AD于D∠DAO=60°∠EAO=∠NABDO=DA∴△ADO为等边三角形在△与△中∵AB=AE，EAO=∠NAB，DA=AO∴eq\o\ac(△,≌)eq\o\ac(△,．)∴BD=OE．〔3证明：作EH⊥AB于H．∵AE=BE，∴

明作OA又∵∠AH=

11AB，AB，，在Rt△AEHRt△BAO中AH=BO，22

AE=AB∴Rt△AEH≌Rteq\o\ac(△,，)∴EH=AO=AD又∵∠EHF=∠DAF=90°在△HFEAFD中∠EHF=∠DAF∠EFH=∠DFAEH=AD∴HFEeq\o\ac(△,，)AFD∴EF=DF∴DE的中点．点评题主要考查全等三角形与等边三角形的巧妙结合，段相等．

与△F为来证明角相等和线10.如图直线y=

x+1分别与坐标轴交于A、B两点在y

轴的负半轴上截取OC=OB.(1)求直线AC的解析式；(2)在x轴上取一点D〔-1〕过点做AB的线，垂F，交y轴于点G，求F点的坐；

足为E交AC于点/

(3过点B作的平行线BM，过O作直线y=kx〔k〕，分别交直线AC、BM于点H、I，试求的值。

AHAB解：(1)∵直线y=

x+1分别与坐标轴交于A、B两∴可得点A坐标为〔-3〕，标为0，1∵OC=OB∴可得点坐标为〔0，-1〕设直线AC的解析式为将A，0〕〔0，-1〕代解析式且b=-1

-3k+b=0可得k=-

，

b=-1∴直线

AC的解析式

为

y=

x-1(2)在x点D过点D线足解：∵GE⊥AB

轴上取一〔-1，做AB的垂为E，交AC于点F，交轴于，求点的标；∴∴

kk

EGGE

设直线GE的解析式为

将点D坐标〔，0〕代入，得

∴

'

∴直线GE的解析式为y=-3x-3联立y=

与y=-3x-3，可求出，将其代入方程可得y=

4

，∴F点的坐标为〔

4

，

4

〕(3)过点B作AC的平行线BM，过直线＞0，分别交直线AC于点H