2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关

iiii考点相关关系的概念散点图回归直线方程

．变间的相关关．3.1变量之间的相关关系．3.2两个变量的线性相关学习目标理解两个变量的相关关系的概念会作散点图用点图判断两个变量之间是否具有相关关系会求回归直线方程

核心素养数学抽象逻辑推理、数学建模数学运算问题导学(1)相关关系分为哪两种？(2)什么叫散点图？(3)什么叫回归直线？求回归直线方法及步骤是什么？．两个变量的线性关(1)散点图：将样本中个据(x，y)(i＝，2…)描在平面直角坐标系中得到的图形．(2)正相关与负相关①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域；②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．．回归直线的方程回归直线：如果散点图中点分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程：归直线对应的方叫回归直线的方程，简称回归方程．(3)最小二乘法^^^求回归直线方程＝＋时得样本数据的点回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

^^1nn^^其中b是回归方程的斜率，a是回归方程在y上的截距．■名师点拨(1)散点图的作用(2)回归直线的性质ay()(x…xyy…(3)线性相关关系强弱的定性分析判断正误(对的打“√”，错的打“×)－－(1)线性回归方程必经过点(，y)．()^^^^(2)对于方程y＝，x增一个单位时平增个单位．()^(3)样本数据中x＝时可能有＝)^(4)样本数据中x＝时一定有＝)解析(1)(2)(ya(答案：(1)

(2)√

(3)√(4)×下列各图中所示的两个变量具有相关关系的()

^12^12AC．(2)(4)

B(1)(3)D．解析(2)(3)(4)学生的数学成绩和物理成绩如下表：学科数学物理

A

B

C

D

E则数学成绩与物理成绩之()A是函数关系B是相关关系，但相关性很弱C．有较好的相关关系，且是正相关D．有好的相关关系，且是负相关解析：C.^设有一个回归方程为＝21.5x，则变量每加1个位时平减少____________个单位,解析：y2x1yy[21.5(1)]y答案：1.5

iiii相关关系的判断以下是在某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价格单位)和房屋面积x单位：2的数据：房屋面积x2销售价格y万元)

(1)画出数据对应的散点图；判新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？【解】相关关系的判断方法(1)两个变量xy具有相关关系的判断方法(2)xy[易错警示]对变量x有测数据(xy)(i2散点图如图所示这个散点图可以判断)

ii4iii4iA变量与正关B变量与不关C．量与负关D．量与是数关系解析y线性回归方程的求法下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x()与相应的生产能耗y(吨标准煤的几组对照数据：xy

2.5

4.5(1)请画出上表数据的散点图；^^^(2)请根据上表提供的数据，用最二乘法求出y关于的性回归方程y＝bx＋a【解】

4.5y

2.534.54x3×3×4×i124286i1

ii^i1－4－4x∑ii^i1－4－4x∑^^^^^^4∑－4xy4×3.5b×4.52ii

1y3.50.7×4.50.7x如果把例题中的的及4.5分改为2和5，如何求回归直线方程？解：(2)4)(6yx3x1.求线性回归方程的步骤(1)5ayb6.某化工厂为预测某产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取了

对观测值，计算得：则y关

iii^^iii^^于x的归直线方程()^＝11.47^＝＋x^C.y＝2.6211.47^y＝11.47解析：^

8－－∑－8xyi8－∑－2

×6.5×28.5×6.5i^

ybx.线性回归方程的应用(2020·黑省大庆人中学期末考试)班主任为了对本班学生的月考成绩进行分析，从全班40名学中随机抽取一个容量为6的本进行分析．随机抽取同学的数学、物理分数对应如表：学生编号数学分数x物理分数y

(1)根据上表数据用散点图说明物成绩与数学成绩x之是否具有线性相关性？(2)如果具有线性相关性求线回归方(数精确到如果不具有线性相关性，请说明理由；(3)如果班里的某位同学数学成绩50，请预测这位同学的物理成绩．【解】

^^^^x1×70851y×9085bay0.6x37.(3)y67.5067.利用线性回归方程解题的常见思及注意点^(2)b

江省川中学期末考试)我西部某贫困地区年至年农村居民家庭人均年收入y千元的数据如下表：年份年份代号x人均年收入y

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9(1)求y关的性回归方程；利1)中的回归方程，预测该地区2019年村居民家庭人均年收入将到多少千元．

^^^^^^^^^^^^^^iiiiii^^ii解：(1)44.3bayb

×2.3.(2)9y0.52.36.8．我们常说“吸烟有害健康”，吸烟与健康之间的关系()A正相关C．相关

B．相关D．确解析：B.^^^．关于回归直线方＝＋bx的述确()^①反映y与x之间的函数关系；②反映y与x之的函数关系；^③表示y与x之间的不确定关系；④表示最接近与之真实关系的一条线．A①②

B②③

C．④

D．①④解析bxyxy①^^．在最小二乘法中，用来刻画各个样本点到直线＝abx的距离”的量()－A－^C．－a

－B．(y－)2^D．y－＋)]2解析：D.[y(bx)]2

^^^^“”(^．已知工厂加工零件的个数与费时间y(h)之间的线性回归方程＝x＋0.5则加工200个件大约需要小时．解析：0.010.52.5.答案：2.5[A基础达标]．如图所示是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图，去掉哪个点后，两个量的相关关系更明显)ADC．

B．D．A解析：C.BDEF．江西省上饶市期末统某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费用的时间，为此进行了次验，根据收集到的数(下表)，由最小二乘法求得回归线^方程为y＝x＋零件数x个)加工时间y(min)

表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值()A55C．

B．D．解析：.5067795

1233y

^za^zaiii1i586×aybbbaab1.23byx^^^m7.8340.251.D.变量y满关系＝－x＋1y与z正关结中正确的是()A与正关，与z负关B与正相关，与正相关C．与负关，与z负关D．与y负相关，x与z正关解析：C.0.1x10xy^^^^^^yzx．已知与之的几组数据如下表：xy

^^^假设根据上表数据所得线性回归方程＝bx＋a若某同学根据上表中的前组数(，和2，求得的直线方程为y＝bx＋，以下结论正确的()^^A.b＞b，a′^C.b，a＞a

^^B.＞，＜a^^bb，＜a解析：C.(12)y2x′^，135^71^^x×277916

6－－∑－6x6－∑－21i

^^^．广西钦州期末考)回归直线y＝＋的率估值为，样本中心点为，5)，当x＝，估计y的为____________．^^^^^解析：a(5)1.23×a1.23x21.23×20.082.54.答案：

5^5^(2020·北省宜昌市葛洲坝中学期末考)某公司借助手机微信平台广自己的产品，对今年前5个的微信推广费用x利润额(位：百万元进行了初步统计，得到下列表格中的数据：xy

^经计算月信推广费用与月利润额满线性回归方＝x＋17.5则的值为____________．24540p200p解析：x5.6.517.5()

p×550.答案：50．对某台机器购置后的运营年限(＝，，3)与当年利润的计分析知具备线^性相关关系，线性回归方程为＝10.47－1.3，估计该台机器使用年最合算．^解析：y≥010.47≥≤答案：8(2020·湖省张家界市期末联)为了解某地区某种农产品年产量(单位吨)对价格y(单位：千元吨)的影响，对近五年该农品的年产量和价格统计如表：xy

已知x和具有线性相关关系．－－(1)求x，y；^^^(2)求y关的性回归方程＝bx＋；(3)若年产量为吨试预测该农产品的价格．

iii1－5－5x2∑^^^n∑（－iii1－5－5x2∑^^^n∑（－）y－y(参考公式＝＝，iiiiiii^i1－5－)∑^^^解：(1)x

23565.^(2)b

5－∑－5xy×3×5×3ii(y)5(×3)9.2x9.2.^(3)y

×4.5/)(2020·河石家庄市期末考)一段时间内分测得某种商品的价格x万元和需求量y吨)之间的一组数据为价格x需求量y

1.4

1.6

1.8

2.2^^^(1)根据上表数据，求出回归直线＝＋a(2)试根据(中求出的回归方程预估当价格为1.9万时，需求量约是多少吨？－－n－－ii∑ii－ny^iin－n－∑（－）∑2－n(x)i

i

1^－^＝bx)11解：(1)x×y×3755x62x

16.6i1

i15－∑－5xy××7.4b216.6×ii

1y7.411.5×1.8x11.5x.(2)y28.111.5×6.25()1.96.25

2314214232231421423213243111^^2112[B

能力提升]两个变量的四组数据进行统计得以下散点图于个变量相关系数的比较，正确的是()Ar＜＜＜r＜rBr＜r＜0rrC．r＜r＜＜r＜rD．＜＜＜r＜r解析：rrrr.11．期中考试后，某校高三9)班班主任对全班名生的成(单位：)进行分析，^得到数学成绩关总成绩的回归直线方程＝6x由此可以估计名同学的总成绩相差50分则他们的数学成绩大约相________分．^解析：x6x6|yxx)|×20.答案：20(2020·北省宜昌县域高中协同发展共同体期考)为研究冬季昼夜温差大小某反季节大豆新品种发芽率的影响课兴趣小组记录了5组夜温差与100颗种子发芽数，得到如下资料：组号温差x℃)发芽数y颗)

经分析这组数据具有较强的线相关关系因此该小组确定的研究方案是从五组数据中选取组数据求出线性回归方程，再用没选取的2组据进行检验．^^^(1)若选取的是第23，4组数据，求出关的性回归方程＝bxa(2)若由线性回归方程得到的估计据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗则认为得到的线性回归方程是可靠的，试(1)中所得的线性回方程是否可靠？

n∑（－）y－y(参考公式＝＝，＝yn∑（－）y－y(参考公式＝＝，＝y)iiiii112233123yb27^ii－－n－－ii∑ii－ny^ii^－^－n－n－∑（－）∑x－2i

i解：(1)

11122612^

3－－∑（－）y－）i3－∑（－）

ixxyxxyxxxxxx2（11－）×（2527＋（13－）×（－27＋－12）×－27（11）2（－）2（1212）^