2021届湖南省长郡十五校高三下学期第二次联考数学试卷解析

绝密★用前2021届湖省长郡五校高下学期二次联数学试注意事：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知全集

UBNx，

U

BA．

B．

C．

D．

答案：求出全集

，结合

U

合B解：

UA0,1,2,3,4,5,6,7,8

A

U因此，

故选：2．已知复数满足：

2

74

i

（i

为虚数单位在平面内对应的点位于第三象限，则复数

的虚部为（）A．

i

B．3C．

D．

32

i答案：设

(,)

，求得

2

2

2

，据复数相等列出程组，求得复数

32

i

，即可求解解：设

(,)

，则

7i4

，可得

a2ab

74

，因为，，得

32

，所以

33i，i22

.故选：3．设aR

，则“

a

”是“

”的（）A．充分不必要条件C．充要条件

B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

2x答案：2x先解不等式a

得

，再根据基本关系判定即可得答.解：解：解不等式a

得

，因为

，所以“”“a2”的必要不充分条件故选：结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p是必要不充分条件，则对集合是对应集合的真子集；（2）p的充分不必要条件，则对集合是q对集合的真子集；（3）p的充分必要条件，则p应集合与q对应合相等；（4）p的既不充分又不必要条件，q对集合与p对集合互不包含．4．十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多人把生肖作为春节的吉祥物来达对新年的祝.某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模图在二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物.2021年节前，其中2个趣小组成员将模型随抛出望能抛出牛的图案朝（即牛的图案在最上面人各抛一次，则恰好出现次牛的图案朝上的概率为（）A．

B．

C．

1172

D．

23答案：由已知得人抛次抛出牛的图案朝上的概率是解：因为人抛次抛出牛的图案朝上的概率是

，由此可求得选.，所以2人抛一次，则恰好出现次牛的图案朝上的概率为

P12

111121272

，故选：5．已知

xcosx

8，则5

（）A．

B．

C．

725

D．

答案：

∴∴先由辅助角公式求出

πx5

,再用二倍角公式求

in2

.解：∵

sinx

，x

5

，∴

sin2x

cos22x36

.故选：利用三角公式求三角函数值的关键：(1)角的范围的判断；(2)根据条件选择合适的公式进行化简计算．.6．函数()

ln(2cosx

的图象大致()A．B．C．D．答案：分析函数f(x)定域，排除两个选项，再取特殊值得解：∵令g(x)=

，x>0时x是递增的，cosx(0,上减，则有在0,上调递增而

g(0)

，所以存在

x使g(x)00

，f()

中

x,0

，排除C、D，∵x

时

f(

，排除，以选A.故选：给定解析式，识别图象，可以从分析函数定义域、函数奇偶性、在特定区间上单调性及

特殊值等方面入.7．消除贫困、改善民生、逐步实现共同富裕，是社会主义的本质要求，是中国共产党的重要使命，中共中央、国务院于201511月29日布了《中共中央国务院关于打赢脱贫攻坚战的决定.某中学积极参与脱贫攻坚战，决定派6名教到A、B、

、、E五贫困山支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教学考虑到教师甲的家乡在山区A，定派教师甲到山区A，时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（）A．120种

B．216种C．336种D．360种答案：分山区A有1人人分别讨论求解即.解：根据条件A、、、D、五个困山区有1个地区有人其他个地区各1人若派到山区A有2人则同派法有

5

种；若派到山区A有1人则能为甲，则将剩余的5人成4组其中乙、丙不能在同一组，则有

C2

种不同的分组方法.所以不同派法有

种，故不同安排方法一共216故选：

种，8．当

时，不等式

ex

ax

恒成立，则实数a取值范围为（）A．a

3

B．

a

C．

De

2

2答案：先根据

时

f(

判断出a根

h)

ex

ax

在

处取最大值可求a的.解：令

f(x)

e

，∵

时

f(

，∴a合条件令

h)

e

，故

恒成立，又

，∴

h

要在

处取最大值，故

为

h

在R

上的极大值点，故

h

，又

ex

，故2

∴

a

，

故选：关键点点睛：对于不等式的恒成立问题，注意观察其等号成立的条件，从而把恒成立问题转化为函数的最值问题.二、多选题9．为进儿童全面发展和健康成长，我国于2011年颁布实施《中国儿童发展纲要（2011-2020年儿文化产和活动场所更加丰富近来，儿童接触文化艺术和娱乐体验的途径更加多元，可获得的文化产品和服务也更加丰.如图为2011-2019年少儿广播节目、少儿电视节目、电视动画节目播出时则下列结论中正确的是（）A年国少儿电视节目播出时间比上一年增长6.4%B．2011-2019年儿广播节目少儿电视节目、电视动画节目播出时间中电视动画节目播出时间的方差最小C年儿广播节目出时间的平均数约为21小时D年儿广播节目少儿电视节目、电视动画节目播出时间均逐年增长答案：通过折线图的分析，对四个选项一一验.解：2018年国少儿电视节目出时间比上一年增长

57.357.1

100%

0.35%，故A错；由图知电视动画节目播出时间的方差最小B正；少

儿

广

播

节

目

播

出

时

间

的

平

均

数13.614.921.621.822.52526.626.62014年2015年少儿电视节目出时间降低D错.故选：

21万时C正确；10．抛物线

C

px(0)

的焦点作斜率1的线交抛物线于A，两

x2x2点，则

|AF|BF

（）A．32

B．5

C．

D．32答案：设直线并设交点A，，入消元后求出纵坐标，纵标绝对值的比即为对应线段的比解：直线

:x

，联立

y2

得

y2py0

，解得y2)p，y2)p

，∴

|AF2|22，或2|BF|22

，故选:AD.11．知函数

fx

2

，

，则（）A．

fx)

与

)

的图象关于原点对称B．将

f(x)

的图象向左平移

个单位长度，得到)的象C．g()在，2

上的最大值为

D．

fx)

的对称轴为

x

，

k答案：根据函数图像的对称性、三角函数图像性质及变换法则逐一检.解：∵

y)sinx

2

2

cosg(6

，A正确；∵

f)x

cosx

cos

5

，向左平移个位长度，得到

2ycos26

cos2x()

，B正；x

12

时

g(

，故C错误；由

2x

2(kZ)得f()32

5的对称轴为xk

k，D错误；

故选:AB.12．角四面体是一种半正八面，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体如所示棱为3正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为

的截角四面体，则下列说法正确的是（）A．该截角四面体的表面积为73a

B．该截角四面体的体积为

3C．该截角四面体的外接球表面积为

112

a

D．该截角四面体中，二面角ABC

的余弦值为

13答案：根据截角四面体的定义为四面体利用正四面体的相关性质逐项求解判断；解：如图所示：由正四面体

中，题中截角四面体由4个长为a的三角形，4个边长为a的正六边形构成故S

2a

2

7

2

，A正；∵

棱

长

为

的

正

四

面

体

的

高

h

63

a

，

∴V

36162)a)a33

3

，B正；设外接球的球心为O，ABC的心为O'eq\o\ac(△,，)中心为四面体上下底面距离为

6a，∴3

R22

，∴

2

2

，∴

2

2R3

2

2

，∴

86a22aR23

，∴

2

11a8

2

，∴

2

112

2

，C正确；易知二面角

A

为锐角，所以二面角ABC

的余弦值为负值D错，故选：关键点点睛：本题关键是将几何体还原为正四面体，结合正四面体的相关性质而得.三、填空题13．知答案：

，b(1,，(ab，与的角________.先求出b

及cos

，即可求出a与的角解：∵2，∵ab)

，∴

，∴

abab

24

，∵

夹为

.故答案为：

.14若线

f(x)x

在点P的切线与直线

平行则P的标为________.答案：

(1,1)利用切线与直线l平可得切线斜率，利用导数的几何意义构造方程可求得切点坐标，验证是否与

l

平行后即可得到结果解：设

x

，

f0

，

2在点P处的切线平行于直线l：2

，即

x2

，解得：x

，当x

时，

，则切线方程为

，x

，与

l

重合，不合题意；当

x0

时，

，则切线方程为

y

，即

x+

，与

l

平行；综上所述：

.故答案为：

.易错点点睛：本题容易忽视对所得直线是否与给定直线重合进行检验，从而导致增解．15．双曲线C:

a的点F作以焦点为心的圆的切线，其中2b2一个切点为M

eq\o\ac(△,，)F1

的面积为c

2

其中c为半焦距段MF恰好被双曲线1

的一条渐近线平分，则双曲线答案：2

的离心率为_______.由图像可得

ON1

，由焦点到渐近线的距离等于b可得

F

，进而图像中线段的长度据

△FM的面积为c2列等量关系式后解方程求出离心率即可.1解：由题意，可得图像如图：∵

，ON2

，∴

F

，∴

|

，∴

，MFb

，∴

MF

1ab2

2

，∴

a2

，∴e

4

2

，∴，故答案为：2.

.

122220,2双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或心率的取值范围，见有两种方法：122220,2①求出，c，代入公式

c

；②只需要根据一个条件得到关于a的次式结合b＝c－a

转化为a的次式，然后等(不等式两分别除以a或a

转化为关于e的程不等式，方不等式)即可得的值范围．16．知在中，角A，，所的边分别为，b，c，点为其外接圆的圆心已，当角C取到最大值时的内切圆半径为________.答案：取

的中点D则

12

()BA)

可得由余弦定理和基本不等式可得答.解：设

中点为D，则

OD

，所

以BOBD)())BCBA2，∴

1a2c2

2

，∴a，由c得C锐角，故

2

26ab14bb7

，当且仅当

b

24b

，6时

cosC

最小，又

y

在

递减，故此时

最大此时，恰有2，即ABC为角三角形，∴r

6

.故答案为：6.

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地.四、解答题17．已函数

f(x)M0,

0,

的部分图象如图所示（1）求

fx)

的解析式；（2）在

中，角A，B，

C

的对边分别为，b，，b

ac求

f(B)

的取值范围答案）

f(x2sin2

）

3

.（1）由图得出最大值和周期此出M,代最高点坐标求出由此求出解析式（2）由基本不等式求出

的取值范围，从而求出角值范围，再合三角函数性质求解

f(B)

范围即可解）由图知M，T11

，∴

2T

.

B0,3B0,3

k

Z

，又

2

2

，∴∴

，f(x2sin2

.a222（2）∵，且仅当取“”，2ac2∵

(0,

)

，∴

，∴

，∴

f()2sin23

.求三角函数的解析式时由

T

即可求出；定若能求出离原点最近的右侧图象上升或降的零点”坐标x，令

或0

)，即可求出，则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式合数的性质解出和若对的号或对围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求18．知

n

列其前n项为S，若a3

，

，57

成等比数列且

，

2

.（1）求数列

n

式（2）设

n

n

n

，数列

和为T，

Tmn

恒成立，求实数的值范围答案）

ann

）

m

712

.（1）由条件可得递推关系

(nann

，由累乘法可得

a1

，再根据条件结合

nan11nnna等比中项，可得答案nan11nnna（2）由（1）可得

bn

14

11nn

14n

，由裂项相消和等比数列的前项公式可求和，从而得出答案解）∵

2，2n

，

∴

2nann

，即

(an

，

a即，n

所以

aaannaan

an2ann1

2na1

当n

时，也成立所

ana∵

，即

(5a

(3a2)(7化简得：

a

a，得∴a或1当

时21

，其公式

满足条.当

a时a1n

，其公式

不满足条件所以

ann

.（2）∵

bn

1an

n

114(4

，1111∴T434n111.nnTm恒成立，∵*，n

11

1414

∴

m

712

.关键点睛题考查求数列的同学公式和利用裂项相消法和等比数列的前n项公式可a求和，解答本题的关键是由，利用累乘法求通项公式，以及由n

nn111bnn4n

由裂项相消和等比数列的前项公式可求和于中档题19．图，在四棱锥中，底面ABCD是行边形，侧面PBC是边三角形，的中点

2AB，BCD45

面ABCD，、分为BCCD（1）证明：面面PAB；所成锐二面角的余弦.（2）求面PEF与6答案）明见解析）.4（1）要证明面面垂直，需证明面垂直，根据垂直关系转化为证明

平面PEF，（2）以E为标原点，、EC、分为x、、z轴建立直角坐标系，分别求平面PEF和平面PAD

的法向量，再根据法向量求二面角的余弦.解）设AB，则

AD2

，∴，

，∴

EF

，∴

EF

CE

，∴EFCF.在等边三角形

PBC

中，E为

的中点，∴

BC

，∵面

PBC

面

ABCD

，PE面

PBC

，面

PBC

面ABCDBC，∴PE.∵

面

ABCD

，∴.∵

EF

，

EFE

，

∴

面PEF∵//，ABPEF，∵

面PAB，面PAB.（2）由（）BD，DE、轴建立直角坐标系，

，以

为坐标原点，ED、EC、分为、则(0,0,，D(，(0,2,0)，A(2,2,0).2,0)，DP2,0,6)

，

F

2,0设面PAD

的法向量为

,,z)

，，取，x3，，3,0,1).6面的向量为CD(2,2,0)

，∴cosCD

6，∴面PEF面

6所成锐二面角的余弦值为.4方法点睛：求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，求得对应平面的法向量之间夹角的余弦值，再判断锐二面角或钝二面角确定结果种方法优点是思路清晰法明确但是计算量较大；二是传统方法，利用垂直关系和二面角的定义，找到二面角对应的平面角，再求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面.20．据党的十九大规划的“扶同扶志、扶智相结合”精准扶贫、精准脱贫路径，中国儿童少年基金会为了丰富留守儿童的课余文化生活养好的阅读习惯农村留

守儿童聚居地区捐建“小候鸟爱心图书角”寒假某村组织开展“小候鸟爱心图书角读书活动”，号召全村少年儿童积极读书，养成良好的阅读习.根统计全村少年儿童中，平均每天阅读1小时下约占19.7%、1-2小时占30.3%、3-4小时占27.5%、5小时上约占22.5%.（1将平均每天阅读5小以认为是“特别喜欢”阅读活动现场随机抽取30名少年儿童进行阅读情况调查，调查发现：少年儿童“特别喜欢”阅读少年儿童“非特别喜欢”阅读总计

父或母喜欢阅读7512

父母均不喜欢阅读11718

总计82230请根据所给数据判断否在犯错误的概率不超过0.005的件下认为“特别喜欢”阅读与父或母喜欢阅读有关？（2）活动规定，每天平均阅读长达3个时的少年儿童，给予两次抽奖机会，否则只有一次抽奖机会，各次抽奖相互独中奖情况如下表抽中奖品中奖概率

价值100元的书购书券13

价值50元的书购书券从全村少年儿童中随机选择一名少年儿童来抽奖，设该少年儿童共获得元图书购书券，求的分布列和期.K2

n()2()(b)(a)()

2

0

0.50

0.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

0.455

0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828答案））布列见解析100.（1）根据列联表计算卡方，根卡方的取值进行判断即可；（2）根据相互独立事件同时发计算概率，列出分布列并计算数学期.解

K2

(ad)3010.267.879()()(a)()

，故能在犯错误的概率不超过0.005的条下认为“特别喜欢”阅读与父或母喜欢阅读

有关.（2）根据题意：取50，100，200

50)

123

；

1122223318

；P(

112150)239

；111P(23则分布列如下：

，

50100150

200

13

的期望为

12)5020010031818

.独立性检验得出的结论是带有概率性质的能说结论成立的概率有多大而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．y221．知椭圆ab

的左、右焦点分别为

F，F12

1，离心率为，2过F的线与椭圆2

交于A，两，FAB的长为8.（1）求椭圆

的标准方程；（2）设P为圆

上的动点，过原点作直线与椭圆

分别交于点M、

（点P不直线MN上PMN面积的最大.答案）

24

）3.（1）根据周长可求a，再根据离心率可求c，求出

后可求椭圆的方程.（2）当直线

x

轴时，计算可得

PMN

的面积的最大值为2，线

MN

不垂

直x轴，可设

MNy

，联立直线方程和椭圆方程可求，设与平且与椭圆

相切的直线为：

，结合椭圆方程可求

的关系，从而求出该直线到直线MN的离，从而可求PMN

的面积的最大值为3.解）由椭圆的定义可知，FAB的周长为，∴4a

，

a

，又离心率为

，∴

，b

，2所以椭圆方程为.4（2）当直线MN轴，

33

；当直线

MN

不垂直x轴，

MNykx

，24

123k

，y

2k

，∴4.设与MN平且与椭圆相的直线为：

，y24

，∵

k

2m2

2

2

，∴2k，∴距

MN

的最大距离为

d

max

|m1

2

3k1

2

，∴

PMN

32MN33，3k综上，PMN面积的最大值为2方法点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，而面积的最值的计