04-第四章-一元函数微分学的应用

四-一函微分的应D

1

1

⑵拉朗（）中定如函

yf(x)

满下两条：①闭间②开间

[a](a,)

上续内导则至少存一

b

，使得

f

)

f(bab

,

或f(ff

)(b)

.⑶柯（中定如函

f(x

与

g(x

满下两条：①闭间②开间

[a](a,)

上续内导且

(,b,则

(,b

内少在点

，得fb)fa)fg()g(a

.2.必法如①

limf(x)lim(x)0x

;②

函

f(xg(xx某邻内点可外可0导且0

；③

limx

fg

A(为有限,也可为x

f(xfAg)x

.注

上定对

x

时

00

型定同适用,1

00对

xxx时型定也相的则.3.函的调定设数

f(x

在区

[a]

上续在区

(a,)

内导则①在

(,b

内

f

则数

f(

在

[a]

上调加②在

(,bf

则数

f(x[a]

上调少4.函的值极点驻⑴极的义

设数

f(x

在

x

的邻内定义如对该域任点

x)0

，有

f(x)f(0

，则

f()

是数

f(x

的大；果于邻内一x)0

都

f()(x0

则

f()

是数

f(x

的小函的大与小统为数极，函取得值点称函

f(x

的值⑵驻

使的为数

f(x

的点.⑶极的要件

设数

f(xx处导且点x

处得值那

f

)00

.⑷极第充条设数

f(x

在

x

连在

x

的一心域的一点x处可,当该域由增经

x

时如①f

由变，么是(

的大点

f()

是f(x

的大；②

f

由变，么是(

的小点

f()

是2

f(x

的小；③

f

不变号那么不(

的值⑸极的二分件函数

f(x

点

x

阶且

f

，f

是数00

f(x

的值，

f()

为数

f(x

的极，有①果f则f(x)0

在x处得大；②果

f

0

，

f(x

在

x

处得小5.数最值最值在区上续数定在最值最值.连续数闭间的大和小只能区内驻点不导或区的点取.6.函图的、与点⑴线向义

若区

(a,

内线

y()

各的线位该线下，称曲在

(a,

内向凹（称凹或下；曲

y()

各的线都于线上，称曲在称凹或上）

(a,)

内向凹（⑵线向定理

设数区

(b

内有阶导，①如在间

(a,)

内

f

则线

y()(a,)

内是凹3

cosln(故极cosln(故极为②如在间

(b

内

，则线

yf(x)在(,b)内下的⑶点

若续线

yfx)

上点

(xy0

是线、凸分分点则P是线7.曲的近

yfx)

的点⑴平近

若

x

(

或x，f()b

为数则曲

yf()

有平近.⑵直近

若当

(或a或

xa

（为数时有

f(x)

，称线

yfx)

有直近

.⑶渐线

若数

(x)

满

lim

f()

，lim[f(x)]x

(中变的化程可同时成

或x则曲

y

(x)

有渐线

y

.二、要题法用必法求定的限方例求列限）

x

xcotx2

）lim（）x3ln(ex311lim[)]xx2（

lim(n

xx)

（5）

limx

1cosx解（）由0时，cotx型用必法

01tan0所

limx

cotxxcosx0x4

x

3

（母价穷代）

3

cosxsinx2xxlim3x0（此极限，直应洛达则所

x3

cosln(ln(e3)

=

xx

ln(x

)cos33

1exx3

31e

xcos3

（求限为不直用必法，通分后可变成

00

或

型.1[x0

ln(1)]x

x)x2

limx0

lim0

12x(1)

0

11)2

（所极为0得limx

n

xlimx0

ln1x

（型=

limx0

=

0

1

1limx0（此限型用必法，5

lim0f(xlim0f(xlimx

cosx1xlimx

不在但

limx

xxxxx

limx

小

使洛达则，注以几：（洛达则以续用但次用则，必检是属或定，不未型就能0使法；（如有约子，或有非极的积子则可约或出以化算骤（当

lim

fg

不在，不断lim也存g(x)在此应用他法极单性判与限求例试当x，

证

令

f(x)x

，易

f(在

内连，f(1)f

x时f

知x)为(

上严单减函，f(x)f(1)xf

可(x为[1,

上严单增函，即

f(x(1)

故任

x

有

f(x)0,

即

e

6

例

求数

4

3

的调与值.解

函的义为

(

yx

，令

y

驻

x12列

(

(0,3)

3

(3,+

极由表，调区为27极值y4

(

，调区为

(

，求数极也以二导来别此中

2

x,

不确定x处是否极，x

x

得y

274

是小.小

用调来明等，方是不式边解式到等的边再此等的边函数

f(x

；用数定

f(x

的调；后用知件与调，到等。例知，二导讨函在点极不列也方，它使范有，对

f

、

f

及

f

同不在点能用求数凹及点方7

例求数

y

的向拐解

函的义

(

，y

2x1

y

2)2(1(1x22)

，令

y

得

y

，列

(

(

(1,y

拐

+

拐

由可，凹间,下凹间

(

，曲的点

(ln2)

小

求数凹与点需拐的义凹的别理可注拐也在使y点得求数最值最值方例5求数

2y(2x

在间

[

上最值最值.解

函在

[

上续由于

10(x

，33令

y

，则

x

，

在

x

处存

故8

xxy

f(ff(0),f(1)}2{,0,y

2

小

函的大（值整区上最大（）值求大小值一步为1）求出

f(x

在

(,b

内的有点不导求函在点、可点区端处函值（3）比这值大，中大者为数最值最者为数最值求线近的方.例求列线渐线（

y

lnx

（2）

解（）给数定域

由

lnlimlimxx

，可

y0

为所曲

ln

的平近.由

lnxlimx0x

，可

为线

ln

的直近.（2）所给函的义

(

,

由

于

f()lim1x1

2

x

，f()1x1

2x

，可

为给线铅渐线在

的侧9

f(

的向同.又

limx

f()xxlimxx(

，lim)xx

2(x

]limx所

，y

是线一斜近函图的绘例

作函

y

x(x

的形.解

函的义

(

，

2x

2x

，y

2(xx2((4

，令

y

y

，解

0,x

12

列

(

(

1(0,)2

12

1(,2y

++

+

+

++

+

+f极

拐10

11aa11aa由表知

极值

f

，拐().2（渐线x2limylimxx

，

y所

y

是平近，limyx

x2(1)

，所

是直近.

-1

Ox（作如所.求际题最值最值方例

一边为a的方薄，从角截一个方，后成个盖方子问取小块的长于少，盒的量大解

设取小块边为

ax)2

，方子的积v(xx(2v

2

ax

2令

v

0

，得点

ax62

（合意舍）由在

a(0,)2

内有个点由际义知无方子容一有大.因，当x时v(6

取最值.故正形片角截一边是的方611

后折一无方子容最小

求优问，键在个围建目函

f(x

，根实问本可断可函

f(x