新高考数学二轮复习专题讲测练专题06 一网打尽外接球与内切球问题（精讲精练）（原卷版）

专题06外接球与内切球问题【命题规律】纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一．高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答．从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见，此部分是重点也是一个难点，属于中等难度．【核心考点目录】核心考点一：正方体、长方体外接球核心考点二：正四面体外接球核心考点三：对棱相等的三棱锥外接球核心考点四：直棱柱外接球核心考点五：直棱锥外接球核心考点六：正棱锥与侧棱相等模型核心考点七：侧棱为外接球直径模型核心考点八：共斜边拼接模型核心考点九：垂面模型核心考点十：二面角模型核心考点十一：坐标法核心考点十二：圆锥圆柱圆台模型核心考点十三：锥体内切球核心考点十四：棱切球【真题回归】1．（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·全国·高考真题（理））已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2020·全国·高考真题（理））已知SKIPIF1<0为球SKIPIF1<0的球面上的三个点，⊙SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外接圆，若⊙SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2020·全国·高考真题（理））已知△ABC是面积为SKIPIF1<0的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【方法技巧与总结】1、补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体SKIPIF1<0可以补形为正方体且正方体的棱长SKIPIF1<0，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4【核心考点】核心考点一：正方体、长方体外接球【规律方法】1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体外接球的体积是SKIPIF1<0，那么正方体的体对角线等于（

）A．SKIPIF1<0 B．4 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0.例2．（2022·陕西西安·模拟预测（文））长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例3．（2022·贵州黔南·高三开学考试（理））自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为SKIPIF1<0，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为________SKIPIF1<0．核心考点二：正四面体外接球【规律方法】如图，设正四面体SKIPIF1<0的的棱长为SKIPIF1<0，将其放入正方体中，则正方体的棱长为SKIPIF1<0，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为SKIPIF1<0，即正四面体外接球半径为SKIPIF1<0．【典型例题】例4．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））已知正四面体SKIPIF1<0外接球SKIPIF1<0表面积为SKIPIF1<0，则该正四面体棱长为______；若SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0内一动点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0最小值为______．例5．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为___________.例6．（2022·福建·福州三中模拟预测）表面积为SKIPIF1<0的正四面体的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考点三：对棱相等的三棱锥外接球【规律方法】四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，三式相加可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【典型例题】例7．（2022·全国·高三专题练习）在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则其外接球的表面积为___________.例8．（2022·全国·高三专题练习）已知四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若该四面体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例9．（2020·全国·模拟预测（文））在三棱锥SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考点四：直棱柱外接球【规律方法】如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心SKIPIF1<0的位置，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外心，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；第二步：算出小圆SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解出SKIPIF1<0【典型例题】例10．（2022·河南新乡·一模（理））已知正三棱柱的侧棱长为SKIPIF1<0，底面边长为SKIPIF1<0，若该正三棱柱的外接球体积为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0最大时，该正三棱柱的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例11．（2022·湖南岳阳·高三阶段练习）已知直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例12．（2021·四川泸州·二模（文））直六棱柱的底面是正六边形，其体积是SKIPIF1<0，则该六棱柱的外接球的表面积的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考点五：直棱锥外接球【规律方法】如图，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求外接球半径．解题步骤：第一步：将SKIPIF1<0画在小圆面上，SKIPIF1<0为小圆直径的一个端点，作小圆的直径SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0必过球心SKIPIF1<0；第二步：SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，算出小圆SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：=1\*GB3①SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；=2\*GB3②SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【典型例题】例13．（2022·内蒙古鄂尔多斯·高三期中（文））三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例14．（2022·福建·宁德市民族中学高三期中）已知三棱锥P-ABC中，SKIPIF1<0底面ABC，PA＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例15．（2021·四川成都·高三开学考试（文））已知在三棱锥SKIPIF1<0中，侧棱SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考点六：正棱锥与侧棱相等模型【规律方法】1、正棱锥外接球半径：SKIPIF1<0．2、侧棱相等模型：如图，SKIPIF1<0的射影是SKIPIF1<0的外心SKIPIF1<0三棱锥SKIPIF1<0的三条侧棱相等SKIPIF1<0三棱锥SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0在圆锥的底上，顶点SKIPIF1<0点也是圆锥的顶点．解题步骤：第一步：确定球心SKIPIF1<0的位置，取SKIPIF1<0的外心SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0三点共线；第二步：先算出小圆SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0，再算出棱锥的高SKIPIF1<0（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解出SKIPIF1<0．【典型例题】例16．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（文））在正三棱锥S－ABC中，SKIPIF1<0，△ABC的边长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为______．例17．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥SKIPIF1<0，其外接球球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，则该正三棱锥SKIPIF1<0的体积的最大值为__________．例18．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，底面边长为6．则该正三棱锥外接球的表面积为_______．例19．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥SKIPIF1<0体积为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则三棱锥外接球的表面积为____________．例20．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为___________.核心考点七：侧棱为外接球直径模型【规律方法】找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．【典型例题】例21．（2022·河南河南·一模（文））三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0是该球的直径，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的体积为_____.例22．（2022·河南·一模（理））三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0，AD是该球的直径，SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的正三角形，则三棱锥SKIPIF1<0的体积为______．例23．（2021·全国·高三专题练习（文））已知三棱锥P﹣ABC中，SKIPIF1<0，AC=2，PA为其外接球的一条直径，若该三棱锥的体积为SKIPIF1<0，则外接球的表面积为___________．核心考点八：共斜边拼接模型【规律方法】如图，在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，SKIPIF1<0为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点SKIPIF1<0为公共斜边SKIPIF1<0的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点的距离相等，故点SKIPIF1<0就是四面体SKIPIF1<0外接球的球心，公共的斜边SKIPIF1<0就是外接球的一条直径．【典型例题】例24．在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，沿SKIPIF1<0将矩形SKIPIF1<0折成一个直二面角SKIPIF1<0，则四面体SKIPIF1<0的外接球的体积为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0例25．三棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的半径为例26．在平行四边形SKIPIF1<0中，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若将其沿SKIPIF1<0折成直二面角SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考点九：垂面模型【规律方法】如图1所示为四面体SKIPIF1<0，已知平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，其外接球问题的步骤如下：（1）找出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的外接圆圆心，分别记为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．（2）分别过SKIPIF1<0和SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的垂线，其交点为球心，记为SKIPIF1<0．（3）过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线，垂足记为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（4）在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0垂直于平面SKIPIF1<0，如图2所示，底面四边形SKIPIF1<0的四个顶点共圆且SKIPIF1<0为该圆的直径．图1图2【典型例题】例27．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的半径为______例28．（2022·安徽马鞍山·一模（文））三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均为边长为SKIPIF1<0的等边三角形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则该三棱锥的外接球的表面积为________．例29．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的等边三角形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则该三棱锥的外接球的体积为______例30．（2021·全国·高三专题练习）已知在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积为__________．核心考点十：二面角模型【规律方法】如图1所示为四面体SKIPIF1<0，已知二面角SKIPIF1<0大小为SKIPIF1<0，其外接球问题的步骤如下：（1）找出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的外接圆圆心，分别记为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．（2）分别过SKIPIF1<0和SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的垂线，其交点为球心，记为SKIPIF1<0．（3）过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线，垂足记为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（4）在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0垂直于平面SKIPIF1<0，如图2所示，底面四边形SKIPIF1<0的四个顶点共圆且SKIPIF1<0为该圆的直径．【典型例题】例31．（2022·贵州·模拟预测（理））如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的正三角形，SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积为______.例32．（2022·江西赣州·高三阶段练习（文））已知菱形SKIPIF1<0的边长为2，且SKIPIF1<0，沿SKIPIF1<0把SKIPIF1<0折起，得到三棱锥SKIPIF1<0，且二面角SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为___________.例33．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）在三棱锥SKIPIF1<0中，△SKIPIF1<0是边长为3的正三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，则此三棱锥外接球的体积为________．例34．（2022·广东汕头·高三阶段练习）在边长为2的菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，将菱形SKIPIF1<0沿对角线SKIPIF1<0对折，使二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0，则所得三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为___________.核心考点十一：坐标法【规律方法】对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为SKIPIF1<0，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．【典型例题】例35．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）直角SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是斜边SKIPIF1<0上的一动点，沿SKIPIF1<0将SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0，使二面角SKIPIF1<0为直二面角，当线段SKIPIF1<0的长度最小时，四面体SKIPIF1<0的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例36．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分点，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0内一动点，若直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0垂直，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例37．（2022·山西·一模（理））如图①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D，E分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起到SKIPIF1<0的位置，使SKIPIF1<0，如图②.若F是SKIPIF1<0的中点，则四面体SKIPIF1<0的外接球体积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考点十二：圆锥圆柱圆台模型【规律方法】1、球内接圆锥如图SKIPIF1<0，设圆锥的高为SKIPIF1<0，底面圆半径为SKIPIF1<0，球的半径为SKIPIF1<0．通常在SKIPIF1<0中，由勾股定理建立方程来计算SKIPIF1<0．如图SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，球心在圆锥内部；如图SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．由图SKIPIF1<0、图SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．2、球内接圆柱如图，圆柱的底面圆半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，其外接球的半径为SKIPIF1<0，三者之间满足SKIPIF1<0．例38．球内接圆台SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0分别为圆台的上底面、下底面、高．【典型例题】例39．（2022·广东·广州市第十六中学高三阶段练习）已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表面积为SKIPIF1<0，则此圆台的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例40．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知圆锥的底面半径为SKIPIF1<0，侧面积为SKIPIF1<0，则该圆锥的外接球的表面积为______．例41．（2022·上海·曹杨二中高三阶段练习）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积为___________.例42．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为SKIPIF1<0，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.核心考点十三：锥体内切球【规律方法】等体积法，即SKIPIF1<0【典型例题】例43．（2022·全国·高三专题练习）球O是棱长为1的正方体SKIPIF1<0的内切球，球SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0、面SKIPIF1<0、面SKIPIF1<0、球O都相切，则球SKIPIF1<0的表面积是_______________．例44．（2022·全国·高三专题练习）若正四棱锥SKIPIF1<0内接于球SKIPIF1<0，且底面SKIPIF1<0过球心SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的半径与正四棱锥SKIPIF1<0内切球的半径之比为__________.例45．（2022·山东济南·二模）在高为2的直三棱柱SKIPIF1<0中，AB⊥AC，若该直三棱柱存在内切球，则底面△ABC周长的最小值为___________.核心考点十四：棱切球【规律方法】找切点，找球心，构造直角三角形【典型例题】例46．（2022•涪城区校级开学）一个正方体的内切球SKIPIF1<0、外接球SKIPIF1<0、与各棱都相切的球SKIPIF1<0的半径之比为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例47．（2022•江苏模拟）正四面体SKIPIF1<0的棱长为4，若球SKIPIF1<0与正四面体的每一条棱都相切，则球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例48．（2022•昆都仑区校级一模）已知正三棱柱的高等于1，一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【新题速递】一、单选题1．（2022·湖北·高三阶段练习）已知某圆台的体积为SKIPIF1<0，其上底面和下底面的面积分别为SKIPIF1<0，且该圆台两个底面的圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知A，B，C均在球O的球面上运动，且满足SKIPIF1<0，若三棱锥SKIPIF1<0体积的最大值为6，则球O的体积为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·江苏南京·模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为球SKIPIF1<0的球面上的四点，记SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，四棱锥SKIPIF1<0体积的最大值为SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·黑龙江·海伦市第一中学高三期中）已知四面体ABCD的所有顶点在球O的表面上，SKIPIF1<0平面BCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则球O的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知正四棱锥的所有顶点都在体积为SKIPIF1<0的球SKIPIF1<0的球面上，若该正四棱锥的高为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则该正四棱锥的体积的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知正三棱锥SKIPIF1<0的底面边长为6，体积为SKIPIF1<0，A，B，C三点均在以S为球心的球S的球面上，P是该球面上任意一点，则三棱锥SKIPIF1<0体积的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知体积为SKIPIF1<0的正三棱柱SKIPIF1<0的所有顶点都在球SKIPIF1<0的球面上，当球SKIPIF1<0的表面积SKIPIF1<0取得最小值时，该正三棱柱的底面边长SKIPIF1<0与高SKIPIF1<0的比值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022·福建·浦城县第三中学高三期中）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一.”下图解释了这段话中由一个长方体得到堑堵、阳马、鳖臑的过程.在一个长方体截得的堑堵和鳖臑中，若堑堵的内切球（与各面均相切）半径为1，则鳖臑体积的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题9．（2022·浙江·慈溪中学高三期中）已知棱长为1的正方体SKIPIF1<0，以正方体中心SKIPIF1<0为球心的球SKIPIF1<0与正方体的各条棱相切，点SKIPIF1<0为球面上的动点，则下列说法正确的是（

）A．球SKIPIF1<0在正方体外部分的体积为SKIPIF1<0B．若点SKIPIF1<0在球SKIPIF1<0的正方体外部（含正方体表面）运动，则SKIPIF1<0C．若点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0下方，则直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值最大为SKIPIF1<0D．若点SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0在球SKIPIF1<0的正方体外部（含正方体表面）运动，则SKIPIF1<0最小值为SKIPIF1<010．（2022·福建泉州·高三开学考试）已知正四棱台SKIPIF1<0的所有顶点都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0内部（含边界）的动点，则（

）A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的最大值为60°11．（2022·广东·铁一中学高三阶段练习）如图，已知圆锥顶点为SKIPIF1<0，其轴截面SKIPIF1<0是边长为6的为正三角形，SKIPIF1<0为底面的圆心，SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0的一条直径，球SKIPIF1<0内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），点SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0与圆锥侧面的交线上一动点，则（

）A．圆锥的表面积是SKIPIF1<0 B．球SKIPIF1<0的体积是SKIPIF1<0C．四棱锥SKIPIF1<0体积的最大值为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<012．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等SKIPIF1<0“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，SKIPIF1<0为圆柱上下底面的圆心，SKIPIF1<0为球心，EF为底面圆SKIPIF1<0的一条直径，若球的半径SKIPIF1<0，则（

）A．球与圆柱的表面积之比为SKIPIF1<0B．平面DEF截得球的截面面积最小值为SKIPIF1<0C．四面体CDEF的体积的取值范围为SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0为球面和圆柱侧面的交线上一点，则SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<013．（2022·全国·模拟预测）如图，在五面体SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均为等边三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且二面角SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的大小均为SKIPIF1<0．设五面体SKIPIF1<0的各个顶点均位于球SKIPIF1<0的表面上，则（

）A．有且仅有一个SKIPIF1<0，使得五面体SKIPIF1<0为三棱柱B．有且仅有两个SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．