新高考数学二轮复习专题讲测练思想01 运用分类讨论的思想方法解题（精讲精练）（原卷版）

思想01运用分类讨论的思想方法解题【命题规律】高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．【核心考点目录】核心考点一：由情境的规则引起的分类讨论核心考点二：由定义引起的分类讨论核心考点三：由平面图形的可变性引起的分类讨论核心考点四：由变量的范围引起的分类讨论核心考点五：由空间图形的可变性引起的分类讨论【真题回归】1．（2022·浙江·统考高考真题）设函数SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的单调区间；(2)已知SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0上不同的三点SKIPIF1<0处的切线都经过点SKIPIF1<0．证明：（ⅰ）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（ⅱ）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（注：SKIPIF1<0是自然对数的底数）2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求a的取值范围；(3)设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的最大值；(2)若SKIPIF1<0恰有一个零点，求a的取值范围．【方法技巧与总结】当被研究的问题出现多种情况且综合考虑无法深入时，我们通常将可能出现的所有情况分别进行讨论，得出每种情况下相应的结论，这就是分类讨论的思想，包含分类与整合两部分，既化整为零，各个击破，又集零为整．基本步骤是：（1）研究讨论的必要性，确定讨论对象；（2）确定分类依据，并按标准分类；（3）逐类解决，获得各类的结果；（4）归纳整合，得到结果．分类的基本原则是：（1）标准统一，不重不漏；（2）层次明晰，不混不乱．分类讨论应用的热点：（1）由概念、定义、公式、定理、性质等引起的分类讨论，如直线的斜率是否存在，幂、指数、对数函数的单调性，等比数列的公比是否为等．（2）由数学运算规则引起的分类讨论，如除法运算中分母不为零，偶次方根为非负数，不等式两边同乘（除）以一个数（式）的符号等．（3）由变量的范围引起的分类讨论，如对数的真数与底数的范围，指数运算中底数的范围，函数在不同区间上单调性受参变量的影响等．（4）由图形的可变性引起的分类讨论，如图形类型、位置，点所在的象限，角大小的可能性等．（5）由情境的规则引起的分类讨论，情境问题的规则在解决数学问题时常需要分类讨论思想，如体育比赛的规则等．【核心考点】核心考点一：由情境的规则引起的分类讨论【典型例题】例1．多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．若选项中有SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0个选项符合题目要求，随机作答该题时SKIPIF1<0至少选择一个选项SKIPIF1<0所得的分数为随机变量SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，则有（

）A． B．C． D．例2．甲、乙、丙、丁进行乒乓球比赛，比赛规则如下：第一轮：甲和乙进行比赛，同时丙和丁进行比赛，两个获胜者进入胜者组，两个败者进入败者组；第二轮：胜者组进行比赛，同时败者组进行比赛，败者组中失败的选手淘汰；第三轮：败者组的胜者与胜者组的败者进行比赛，失败的选手淘汰；第四轮：第三轮中的胜者与第二轮中胜者组的胜者进行决赛，胜者为冠军．已知甲与乙、丙、丁比赛，甲的胜率分别为SKIPIF1<0；乙与丙、丁比赛，乙的胜率分别为SKIPIF1<0；丙与丁比赛，丙的胜率为SKIPIF1<0任意两场比赛之间均相互独立．SKIPIF1<0求丙在第二轮被淘汰的概率；SKIPIF1<0在丙在第二轮被淘汰的条件下，求甲所有比赛全胜并获得冠军的概率．例3．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，SKIPIF1<0SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；SKIPIF1<0设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：SKIPIF1<0的一个最小正实根，求证：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0根据你的理解说明SKIPIF1<0问结论的实际含义．核心考点二：由定义引起的分类讨论【典型例题】例4．已知数列满足SKIPIF1<0求数列的通项公式；SKIPIF1<0求数列的前n项和SKIPIF1<0例5．设数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0求数列SKIPIF1<0的通项公式；SKIPIF1<0若求数列SKIPIF1<0的前15项的和．例6．已知正项数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前n项和，则当SKIPIF1<0取得最大值时，n的值等于（

）A．17 B．18 C．19 D．20核心考点三：由平面图形的可变性引起的分类讨论【典型例题】例7．SKIPIF1<0中，内角A，B，C的对边分别为a，b，SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0求角SKIPIF1<0SKIPIF1<0若AC边上的点D满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．例8．若恰有三组不全为0的实数对SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足关系式SKIPIF1<0，则实数t的所有可能的值为__________．例9．过双曲线C：SKIPIF1<0的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点SKIPIF1<0已知O为坐标原点，若SKIPIF1<0的内切圆的半径为SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为__________．核心考点四：由变量的范围引起的分类讨论【典型例题】例10．已知函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导函数．SKIPIF1<0求证：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零点；SKIPIF1<0求证：有且仅有两个不同的零点．例11．已知函数的图像经过点．SKIPIF1<0确定a的值，并讨论函数的极值点：SKIPIF1<0设，若当SKIPIF1<0时，，求实数m的取值范围．例12．已知函数SKIPIF1<0是自然对数的底数SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的单调区间；SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，试讨论SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的零点个数．SKIPIF1<0参考数据：SKIPIF1<0核心考点五：由空间图形的可变性引起的分类讨论【典型例题】例13．正方体SKIPIF1<0棱长为2，动点P在线段SKIPIF1<0上SKIPIF1<0含端点SKIPIF1<0，以下结论不正确的为（

）A．三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值SKIPIF1<0B．过P，B，SKIPIF1<0三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或平面四边形C．当点P和SKIPIF1<0重合时，三棱锥SKIPIF1<0的外接球体积为SKIPIF1<0D．直线PD与面SKIPIF1<0所成角的正弦值的范围为SKIPIF1<0例14．两条异面直线a，b所成的角为SKIPIF1<0，在直线a，b上分别取点A，E和点B，F，使SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则线段AB的长为（

）A．8 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例15．（多选题）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0为垂足点，F为BD中点，则下列结论正确的是（

）A．若AD的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值B．若AC的长为定值，则该三棱锥内切球的半径也为定值C．若BD的长为定值，则EF的长也为定值D．若CD的长为定值，则SKIPIF1<0的值也为定值【新题速递】一、单选题1．已知SKIPIF1<0为奇函数，且在上是递增的，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的解集是（

）A．或 B．或C．或 D．或2．已知函数若存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知角SKIPIF1<0的终边上一点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．以上答案都不对4．已知函数SKIPIF1<0是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．若关于x的不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数a的取值范围为（

）A．

B．C． D．

或SKIPIF1<0二、多选题6．对于给定实数a，关于x的一元二次不等式SKIPIF1<0的解集可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．R7．SKIPIF1<0，则的值可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知函数，则方程SKIPIF1<0的根的个数可能为SKIPIF1<0（

）A．2 B．6 C．5 D．49．设数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则下列结论正确的有A．SKIPIF1<0 B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值C．当SKIPIF1<0时，n的最小值为7 D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值10．在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，M是线段SKIPIF1<0上的一个动点，则下列结论正确的是（

）A．四面体SKIPIF1<0的体积恒为定值B．直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角正弦值可以为SKIPIF1<0C．异面直线BM与AC所成角的范围是SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，平面BDM截该正方体所得的截面图形为等腰梯形11．已知函数若SKIPIF1<0，则实数a的值可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题12．定义新运算“SKIPIF1<0