新高考数学二轮复习专题讲测练技巧04 结构不良问题解题策略（精讲精练）（原卷版）

技巧04结构不良问题解题策略【命题规律】结构不良问题是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，主要以解答题为主，应适度关注．【核心考点目录】核心考点一：三角函数与解三角形核心考点二：数列核心考点三：立体几何核心考点四：函数与导数核心考点五：圆锥曲线【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，渐近线方程为SKIPIF1<0．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点SKIPIF1<0在C上，且SKIPIF1<0．过P且斜率为SKIPIF1<0的直线与过Q且斜率为SKIPIF1<0的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在SKIPIF1<0上；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.2．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0为正方形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分别为SKIPIF1<0，AC的中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：SKIPIF1<0；条件②：SKIPIF1<0．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．3．（2021·全国·统考高考真题）已知函数SKIPIF1<0．（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：SKIPIF1<0只有一个零点①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．4．（2021·北京·统考高考真题）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使SKIPIF1<0存在且唯一确定，求SKIPIF1<0边上中线的长．条件①：SKIPIF1<0；条件②：SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0；条件③：SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0；5．（2021·全国·统考高考真题）已知数列SKIPIF1<0的各项均为正数，记SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列SKIPIF1<0是等差数列：②数列SKIPIF1<0是等差数列；③SKIPIF1<0．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【方法技巧与总结】1、灵活选用条件，“牵手”解题经验对于试题中提供的选择条件，应该逐一分析条件考查的知识内容，并结合自身的知识体系，尽量选择比较有把握的知识内容，纳入自己熟悉的知识体系中．因此，条件的初始判断分析还是比较重要的，良好的开端是成功的一半嘛！2、正确辨析题设，开展合理验证对于条件组合类问题，初始状态更加的不确定，最关键的步骤在于对选项的条件进行组合后验证，应从多个角度，考虑多种可能性的组合，这个分析过程对思维的系统性、灵活性、深刻性和创造性的考查提出了新的要求，所以需要更加细致地完成这个验证过程．3、全面审视信息，“活”学结合“活”用数学必备知识是学科理论的基本内容，是考查学生能力与素养的有效途径和载体，更是今后生活和学习的基础．数学基础知识是数学核心素养的外显表现，是发展数学核心素养的有效载体．“活”的知识才是能力，“活”的能力才是素养．我们在学习中要重视对教材内容的理解与掌握，夯实必备知识，并在此基础上活学活用，提高思维的灵活性，才能更好地应对高考数学中考查的开放性、探究性问题．【核心考点】核心考点一：三角函数与解三角形【典型例题】例1．（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)求函数f(x)的单调递增区间和最小正周期；(2)若当SKIPIF1<0时，关于x的不等式.SKIPIF1<0求实数m的取值范围.请选择①恒成立，②有解，两条件中的一个，补全问题(2)，并求解.注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分.例2．（2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0内角SKIPIF1<0的对边，若SKIPIF1<0同时满足下列四个条件中的三个：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．(1)满足有解三角形的序号组合有哪些？(2)请在（1）所有组合中任选一组，求对应SKIPIF1<0的面积．例3．（2022春·浙江·高二期中）在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．(1)求角SKIPIF1<0的大小；(2)如图所示，当SKIPIF1<0取得最大值时，若在SKIPIF1<0所在平面内取一点SKIPIF1<0（SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0两侧），使得线段SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最大值．核心考点二：数列【典型例题】例4．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知等差数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，再从条件①､条件②､条件③选择一个作为已知，求：(1)数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.条件①SKIPIF1<0；条件②SKIPIF1<0；条件③SKIPIF1<0.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.例5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）设数列SKIPIF1<0是等比数列，其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求SKIPIF1<0的通项公式；①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；(2)在（1）的条件下，若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0例6．（2022春·福建·高三校联考阶段练习）从①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0三个选项中，任选一个填入下列空白处，并求解.已知数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，______，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.核心考点三：立体几何【典型例题】例7．（2022春·云南楚雄·高三校考阶段练习）在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知．条件①：SKIPIF1<0；条件②：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(1).求证：SKIPIF1<0；(2).求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．例8．（2022春·新疆伊犁·高二校考期中）从①AB⊥BC；②直线SC与平面ABCD所成的角为60°；③△ACD为锐角三角形且三棱锥S﹣ACD的体积为2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．(1)求证：直线EF∥平面SAD；(2)若SKIPIF1<0，AD＝2，_______，求平面SBC与平面SCD所成锐二面角的余弦值．例9．（2022春·四川遂宁·高二遂宁中学校考期中）从①SKIPIF1<0，②G是SKIPIF1<0的中点，③G是SKIPIF1<0的内心.三个条件中任选一个条件，补充在下面问题中，并完成解答.在四棱锥SKIPIF1<0中，底面ABCD是矩形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点.(1)判断EF与平面SKIPIF1<0的位置关系，并证明你的结论；(2)若G是侧面SKIPIF1<0上的一点，且________，求三棱锥SKIPIF1<0的体积.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.核心考点四：函数与导数【典型例题】例10．（2022·浙江·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极值点，求a；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的零点和极值点，证明下面①，②中的一个．①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．注：如果选择①，②分别解答，则按第一个解答计分．例11．（2022春·贵州铜仁·高三校考阶段练习）已知指数函数SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0.求：(1)若函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，且与直线SKIPIF1<0相切，求SKIPIF1<0的值；(2)对于实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.在两个结论中任选一个，并证明.（注：如果选择多个结论分别证明，按第一个计分）例12．（2022春·广东东莞·高三东莞市东华高级中学校考阶段练习）已知三个函数①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0．(1)请从上述三个函数中选择一个函数，根据你选择的函数画出该函数的图象（不用写作图过程），并写出该函数的单调递减区间(不必说明理由)；(2)把（1）中所选的函数记为函数SKIPIF1<0，若关于x的方程SKIPIF1<0有且仅有两个不同的根，求实数k的取值范围；(3)（请从下面三个选项中选一个作答）（i）若（1）中所选①的函数时，有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（ii）若（1）中所选②的函数时，有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围；（iii）若（1）中所选③的函数时，有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．核心考点五：圆锥曲线【典型例题】例13．（2022春·辽宁大连·高二育明高中校考期中）①过SKIPIF1<0且垂直于长轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3；②P为椭圆C上一点，SKIPIF1<0面积最大值为SKIPIF1<0.在上述两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.设椭圆SKIPIF1<0左右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，上下顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，短轴长为SKIPIF1<0，______.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点SKIPIF1<0的直线l与C交于不同的两点M，N，若SKIPIF1<0，试求SKIPIF1<0内切圆的面积.例14．（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆的上下顶点，点SKIPIF1<0为椭圆上异于点SKIPIF1<0的任一点，若SKIPIF1<0的最大值仅在点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合时取到，在下列三个条件中能满足要求的条件有____________.条件①：过焦点且与长轴垂直的弦长为SKIPIF1<0；条件②：点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0不重合时，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1<0；条件③：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆的左、右焦点，SKIPIF1<0的最大值是120°.(1)选出所有满足要求的条件，说明理由并求出此时的椭圆方程；(2)若过原点作与SKIPIF1<0平行的直线SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0平行的直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率存在且分别与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0四点，则四边形SKIPIF1<0的面积是否为定值?若为定值，求出该值；若非定值，求其取值范围.例15．（2022·全国·高三专题练习）已知点SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)过SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的两条切线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为切点），直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0的另一点为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．①SKIPIF1<0为定值；②SKIPIF1<0．【新题速递】1．（2022春·四川成都·高三成都七中阶段练习）已知等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，现给出下列三个条件：①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．请你从这三个条件中任选两个解答下列问题．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，求证SKIPIF1<0．2．（辽宁省大连市2022-2023学年高二上学期期末数学试题）已知双曲线SKIPIF1<0．请从①②③中选取两个作为条件补充到题中，并完成下列问题．①SKIPIF1<0；②离心率为2；③与椭圆SKIPIF1<0的焦点相同．(1)求C的方程；(2)直线SKIPIF1<0与C交于A，B两点，求SKIPIF1<0的值．3．（四川省广安市2022-2023学年高三第一次诊断性考试数学（理）试题）已知SKIPIF1<0的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c从下列三个条件中选择一个并解答问题：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．(1)求角A的大小；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．4．（2022春·吉林·高三东北师大附中校考阶段练习）记数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0，且满足___________.从①记SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0中选出一个能确定SKIPIF1<0的条件，补充到上面横线处，并解答下面的问题.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.5．（2022春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考期中）在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在SKIPIF1<0中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知______．(1)求角A的大小；(2)若SKIPIF1<0为锐角三角形，且其面积为SKIPIF1<0，点G为SKIPIF1<0重心，点M为线段SKIPIF1<0的中点，点N在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0相交于点P，求SKIPIF1<0的取值范围．注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．6．（2022·四川泸州·四川省泸县第二中学校联考模拟预测）过原点O的直线与抛物线SKIPIF1<0交于点A，线段OA的中点为M，又点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处，并解答下列问题：①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．(1)已知_________，求抛物线C的方程；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）(2)已知点SKIPIF1<0，设A，B是曲线C上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA，PB与y轴分别交于D，E两点，线段DE的垂直平分线经过点P．证明：直线AB的斜率为定值．7．（2022秋·湖南永州·高二永州市第一中学校考期末）已知SKIPIF1<0的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0．(1)求角B的大小；(2)若SKIPIF1<0为钝角三角形，______，求SKIPIF1<0外接圆的半径R的取值范围．请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．8．（2022·湖南衡阳·统考三模）已知函数SKIPIF1<0．(1)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，求实数SKIPIF1<0；(2)从下面两个问题中选一个作答，若两个都作答，则按照作答的第一个给分．①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0．②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0．9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)若函数SKIPIF1<0，讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)从下面①②两个问题中任意选择一个证明，若两个都证明，则按第一个证明计分.①若函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.②若函数SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.10．（2022·山东泰安·统考模拟预测）如图1，已知等边SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0上的点，且满足SKIPI